第1讲 力与物体平衡-2025年高中物理二轮复习解密（浙江选考专用）

第1讲 力与平衡 高考对于这部分知识点主要以与生活、生产、高科技密切联系进行命题，如以生活、劳动为情境，考查受力分析和共点力平衡等。强化对物理基本概念、基本规律的考核。试题的呈现形式丰富，提问角度设置新颖。在解决此类问题时要将所学物理知识与实际情境联系起来，抓住问题实质，将问题转化为熟知的物理模型和物理过程求解。主要考查的知识点有：几种性质的力、牛顿三大定律和共点力平衡。 一、几种常见力的性质对比 种类 大小 方向 说明 静摩擦力 0<F静≤Fmax 与相对运动趋势方向相反 没有计算公式，只能由牛顿运动定律或平衡条件求解 滑动摩擦力 F＝μFN 与相对运动方向相反 一般情况下FN ≠mg 电场力 F电＝qE 正(负)电荷受电场力的方向与电场强度方向相同(相反) 带电体处于电场中一定受到电场力作用 安培力 F＝BILsin θ 当B∥I时，F＝0 可由左手定则判断，安培力(洛伦兹力)的方向总是垂直于B与I(或B与v)决定的平面 电流或运动电荷处于磁场中不一定受到磁场力 洛伦兹力 F洛＝qvBsin θ 当B∥v时，F洛＝0 二、平衡中的临界与极值问题 1.常见的临界状态 (1)两接触物体脱离的临界条件是两物体间的弹力恰好为0。 (2)绳子断的临界条件为绳中的张力达到最大值，绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中的张力为0。 (3)两物体间相对滑动的临界条件为静摩擦力达到最大静摩擦力。 2.平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值或最小值问题。一般用图解法或解析法分析。 三、方法指导 （1）整体法与隔离法的应用对比 （2）解答平衡问题的常用方法 1.在三个力作用下物体的平衡问题中，常用合成法分析；在多个力作用下物体的平衡问题中，常用正交分解法分析。 2.动态平衡问题的常用方法 (1)图解法　(2)解析法　(3)相似三角形法　(4)正弦(或余弦)定理法等。 题型1选考真题探秘 1. （2024•浙江）如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50g，细线c、d平行且与水平成θ＝30°（不计摩擦），则细线a、b的拉力分别为（　　） A．2N，1N B．2N，0.5N C．1N，1N D．1N，0.5N 2. （2023•浙江）如图所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb＝90°，半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为（　　） A．Fa＝0.6G，Fb＝0.4G B．Fa＝0.4G，Fb＝0.6G C．Fa＝0.8G，Fb＝0.6G D．Fa＝0.6G，Fb＝0.8G 3. （2020•浙江）如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0＞0，qB＝﹣q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则（　　） A． B．弹簧伸长量为 C．A球受到的库仑力大小为2Mg D．相邻两小球间距为 题型2力学中的平衡问题 4. （2024•浙江二模）某同学参加“筷子夹玻璃珠”游戏。如图所示，夹起玻璃珠后，两筷子始终在同一竖直平面内，右侧筷子竖直，左侧筷子与竖直方向的夹角为θ。保持玻璃珠静止，忽略筷子与玻璃珠间的摩擦。下列说法正确的是（　　） A．两侧筷子对玻璃珠的合力比重力大 B．若逐渐减小θ的大小，则两侧筷子对玻璃珠的弹力也逐渐减小 C．左侧筷子对玻璃珠的弹力一定比玻璃珠的重力大 D．右侧筷子对玻璃珠的弹力一定比玻璃球的重力大 5. （2024•宁波二模）如图所示，将三根完全相同的轻质细杆，两两互成90°，连接到同一个顶点O，另一端分别连接到竖直墙壁上的A、B、C三个点，BC连线沿水平方向，ΔABC是等边三角形，O、A、B、C点处，分别是四个可以向各个方向自由转动的轻质光滑饺链（未画出）。在O点用细绳悬挂一个质量为m的重物，则AO杆对墙壁的作用力为（　　） A． B． C． D． 6. （2024•浙江模拟）如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个重环，绕过光滑定滑轮的轻绳一端与重环相连，另一端施加拉力F使重环从A点缓慢上升到B点。设杆对重环的弹力大小为FN，整个装置处于同一竖直平面内，在此过程中（　　） A．F逐渐增大，FN逐渐增大 B．F逐渐增大，FN先减小后增大 C．F先减小后增大，FN逐渐增大 D．F先减小后增大，FN先减小后增大 7. （2024•浙江模拟）图甲是传统民居建筑材料瓦片，相同的质量为m的瓦片紧靠在一起静止竖直叠放在水平地面上如图乙所示。下方瓦片的受力点均在其顶端，则瓦片（　　） A．4右端对地面的压力比左端的大 B．5右端受到的支持力是2右端受到支持力的2倍 C．4顶端受到的压力大小为mg D．5左端对地面的压力为 题型3电学中的平衡问题 8. （2024•西湖区校级模拟）如图所示，两相同的小球M、N用等长的绝缘细线悬挂在竖直绝缘墙壁上的O点，悬点到小球中心的距离均为L，给小球N带上电，电荷量大小为q，小球M上电荷量未知且保持不变。由于库仑斥力作用，初次平衡时两小球间的距离为d1，由于某种原因，小球N缓慢漏电，当两小球间的距离为d2时，小球N的电荷量为（　　） A． B． C． D． 9. （2024•宁波二模）如图，用三根绝缘细绳把三个带同种电荷的小球A、B、C悬挂在O点。小球静止时，恰好位于同一水平面，细绳与竖直方向的夹角分别为α、β、γ，已知小球A、B、C的质量分别为mA、mB、mC，电荷量分别为qA、qB、qC，则下列说法正确的是（　　） A．若小球的质量mA＝mB＝mC，则一定有α＝β＝γ B．若小球的质量mA＝mB＝mC，则可能有α＝β＞γ C．若小球所带电荷量qA＝qB＝qC，则一定有α＝β＝γ D．若小球所带电荷量qA＞qB＞qC，则一定有α＜β＜γ 10. （2023•台州模拟）如图所示，a、b、c、d四个质量均为m的带电小球恰好构成“三星拱月”之形，其中a、b、c三个完全相同的带电小球在光滑绝缘水平面内的同一圆周上绕O点做半径为R的匀速圆周运动，三小球所在位置恰好将圆周等分。小球d位于O点正上方h处，且在外力F作用下恰处于静止状态。已知a、b、c三小球的电荷量均为q，d球的电荷量为﹣6q，h，重力加速度为g，静电力常量为k。则（　　） A．小球a的线速度为 B．小球b的角速度为 C．小球c的向心加速度大小为 D．外力F竖直向上，大小为 11. （2023•台州二模）如图所示，两个质量分别为mA和mB的带电小球A、B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计），两球静止，O为滑轮正下方AB连线上的一个点。两球到O点距离分别为xA和xB，到滑轮的距离分别为lA和lB，且lA：lB＝1：2，细绳与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，两球电荷量分别为qA和qB。则（　　） A．qA＞qB B．θ1＞θ2 C．mA：mB＝1：2 D．xA：xB＝1：2 题型4平衡中的临界与极值问题 12. （2024•宁波模拟）如图所示，某款可折叠手机支架，调节支撑杆MN，手机背部支撑平面PQ的倾角θ随之改变，底部支撑平面ab与PQ始终垂直，忽略一切摩擦，当θ逐渐减小时，下列说法正确的是（　　） A．背部支撑平面PQ对手机的弹力逐渐变小 B．手机对底部支撑平面ab的弹力逐渐变大 C．支架对手机的作用力逐渐增大 D．手机对支架的作用力始终不变 13. 如图所示，一只半球形碗倒扣在水平桌面上处于静止状态，球的半径为R，质量为m的蚂蚁只有在离桌面的高度大于或等于R时，才能停在碗上，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，那么蚂蚁和碗面间的动摩擦因数为（　　） A． B． C． D． 14. 如图所示，质量均为m的A、B两个小球，用细线悬挂在天花板上的同一点O，并用第三根细线连接A、B两小球，三根细线长度相等，现对小球A施加一个作用力F，两小球均处于静止状态时，三根细线均处于拉直状态，且OB恰好沿竖直方向，重力加速度为g，则作用力F的最小值为（　　） A．2mg B．mg C．mg D．mg 15. 打印机在正常工作的情况下，进纸系统能做到每次只进一张纸。进纸系统的结构示意图如图所示，设图中刚好有20张相同的纸，每张纸的质量均为m，搓纸轮按图示方向转动并带动最上面的第1张纸向右运动，搓纸轮与纸张之间的动摩擦因数为μ1，纸张与纸张之间、纸张与底部摩擦片之间的动摩擦因数均为μ2，工作时搓纸轮给第1张纸压力大小为F。打印机正常工作时，下列说法错误的是（　　） A．第2张纸受到第3张纸的摩擦力方向向左 B．第10张纸与第11张之间的摩擦力大小可能为μ2（F+10mg） C．第20张纸与摩擦片之间的摩擦力为μ2（F+mg） D．若μ1＝μ2，则进纸系统不能进纸 1. 如图是远距离输电的部分线路。A、B两点分别为铁塔与输电线的连接点，输电线质量分布均匀，下列说法正确的是（　　） A．输电线上电流相等时，输电线越粗，在输电线上消耗的电能越多 B．若A点高于B点，输电线两端的切线与竖直方向的夹角θA＜θB C．若A、B两点等高，A、B两端点对输电线的弹力大小之和等于输电线的重力 D．由于热胀冷缩，夏季输电线与竖直方向的夹角变小，输电线两端的弹力变大 2. 如图所示，PQ是固定的水平导轨，两端是定滑轮，滑轮摩擦不计，导轨上物体A两端分用细绳通过滑轮与物体B相连。系统处于静止状态时，绳PB与导轨平面的夹角为α，绳QB与导轨平面的夹角为β，则以下判断正确的是（　　） A．若α＝β，则水平导轨一定是光滑的 B．若α＜β，则物体A受导轨的摩擦力方向向右 C．若α≠β，则物体A受导轨的摩擦力的大小与物体A的重力无关 D．若α+β＝90°，则物体A所受摩擦力是物体B所受重力的|tanα﹣tanβ|倍 3. 如图，在水平桌面上叠放着两个物块M和m，M与桌面间的动摩擦因数为μ1，m与M之间的动摩擦因数为μ2，一根轻绳一端与M相连，另一端绕过光滑的定滑轮A系在竖直杆上的B点。现将另一个物体G用光滑轻质挂钩挂在轻绳上AB之间的O点，已知整个装置处于静止状态时，竖直杆与绳OB的夹角为α，则（　　） A．将绳的B端向上缓慢移动一小段距离时绳的张力变小 B．将竖直杆缓慢向右移动一小段距离时绳的张力变大 C．M所受的摩擦力为μ1（M+m）g D．剪断A处轻绳瞬间，m的加速度为μ2g 4. （2024•鹿城区校级模拟）如图所示，“马踏飞燕”是汉代艺术家高度智慧、丰富想象、浪漫主义精神和高超的艺术技巧的结晶，是我国古代雕塑艺术的稀世之宝。飞奔的骏马之所以能用一只蹄稳稳地踏在飞燕上，是因为马的重心位置和飞燕（视为质点）在一条竖直线上。下列关于重力和重心的说法中正确的是（　　） A．只有静止的物体才受到重力作用 B．这件艺术品的重力大小总是恒定的 C．物体挂在弹簧测力计下，弹簧测力计的示数一定等于物体的重力 D．质量分布均匀形状规则物体的重心一定在其几何中心，但不一定在物体上 5. （2024•浙江二模）燃气灶支架有很多种规格和款式。如图所示，这是a、b两款不同的燃气灶支架，它们都是在一个圆圈底座上等间距地分布有五个支架齿，每一款支架齿的简化示意图在对应的款式下方。如果将含有食物的球面锅置于两款支架上，假设锅和锅内食物的总重量总是维持不变，则（　　） A．如果锅的尺寸越大，则a款每个支架齿受到的压力越大 B．如果锅的尺寸越大，则a款每个支架齿受到的压力越小 C．如果锅的尺寸越大，则b款每个支架齿受到的压力越大 D．如果锅的尺寸越大，则b款每个支架齿受到的压力越小 6. （2024•湖北模拟）2024年春节期间，哈尔滨的冰雪旅游爆火，图甲中的超级大滑梯是哈尔滨冰雪大世界中最受欢迎的游乐项目之一。现将游客在滑梯上的下滑过程的某阶段简化为如图乙所示模型：一粗糙斜面固定在水平地面上，物体A、B的上下表面皆与斜面平行，A、B相对静止，共同沿斜面匀速下滑，默认图中物体的最大静摩擦力大小均等于相应滑动摩擦力的大小，则下列说法中正确的是（　　） A．A受到的摩擦力为零 B．A受到的摩擦力与斜面平行且向下 C．若在A、B匀速下滑过程中对A施加一竖直向下的力，则A、B继续匀速下滑 D．若在A、B匀速下滑过程中对A施加一竖直向下的力，则A、B将加速下滑 7. （2024•宁波二模）如图所示，物块A放在直角三角形斜面体B上面，B放在弹簧上面并紧挨着竖直墙壁，初始时A、B静止。现用力F沿斜面向上推A，但A、B仍未动。下列说法正确的是（　　） A．施力后，A、B之间的摩擦力一定比施力前大 B．施力后，B与墙面间的弹力可能与施力前相等 C．施力后，B与墙面间的摩擦力可能与施力前相等 D．施力后，A对B的作用力可能比施力前小 8. （2024•宁波模拟）如图所示，在无风的房间内，一个氢气球由静止释放，在浮力的作用下往上飘后最终静止于倾斜天花板上，关于该氢气球的受力，下列说法正确的是（　　） A．气球受到四个力的作用 B．天花板对气球的弹力竖直向下 C．天花板对气球的弹力是由于气球发生形变而引起的 D．气球对天花板的摩擦力沿天花板平面向下 9. （2024•鹿城区校级模拟）俗称书籍整理神器的“铁书立”是一种用来支撑书籍以达到使书籍平稳站立效果的物品，如图所示．现在简化为如下示意图，水平桌面上有一质量为M的静止的“铁书立”，刚好静止摆放了两本书A和B，由此可知（　　） A．桌面对A书有向上的弹力 B．B书受到的合力为0 C．B书与“铁书立”之间可以无摩擦 D．“铁书立”对桌面的压力为Mg 10. （2024•绍兴二模）如图1和2为工地搬运长方体大理石块的设备示意图，该设备吊起部分可以理想化为图3所示，ABCD为一块厚厚的水平钢板，AEFB和DHGC为两根不可伸长的轻绳，两绳子关于水平钢板左右对称放置，且AE和DH平行于大理石块的后表面，BF和CG平行于大理石块的前表面，AE、DH、BF、CG与水平方向的夹角均为θ，忽略AE和DH与大理石块的后表面（包括E、H两点）、BF和CG与大理石块的前表面（包括F、G两点）的所有作用力，若EF与大理石块左表面、HG与大理石块右表面的动摩擦因数均为μ，若能吊起大理石块，μ至少为（　　） A．tanθ B． C．sinθ D． 11. 位于杭州市风情大道与江南大道交叉口附近的智慧之门建成之后会成为杭州智慧建筑的典范，两栋高达272米的双子塔将组成“门”的形象（如图甲所示）。图乙是智慧之门施工现场的实拍图片，图丙是重物正在被竖直向上匀速吊起的放大图。现将该情景简化为如图丁所示的示意图，绳子CD和CE共同挂着质量为m1的重物A，绳子FG和FH共同挂着质量为m2的重物B，F点拴在重物A的下方。不计绳子质量和空气阻力，下列说法一定正确的是（　　） A．绳子CD和CE对重物A的作用力的合力大于（m1+m2）g B．绳子FG和FH对重物A的作用力的合力大小为m2g C．若绳子FG和FH的夹角为锐角，则绳子FG上的力小于 D．若拴接点F与重物A脱离，则该瞬间重物A的加速度大小为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 力与平衡 高考对于这部分知识点主要以与生活、生产、高科技密切联系进行命题，如以生活、劳动为情境，考查受力分析和共点力平衡等。强化对物理基本概念、基本规律的考核。试题的呈现形式丰富，提问角度设置新颖。在解决此类问题时要将所学物理知识与实际情境联系起来，抓住问题实质，将问题转化为熟知的物理模型和物理过程求解。主要考查的知识点有：几种性质的力、牛顿三大定律和共点力平衡。 一、几种常见力的性质对比 种类 大小 方向 说明 静摩擦力 0<F静≤Fmax 与相对运动趋势方向相反 没有计算公式，只能由牛顿运动定律或平衡条件求解 滑动摩擦力 F＝μFN 与相对运动方向相反 一般情况下FN ≠mg 电场力 F电＝qE 正(负)电荷受电场力的方向与电场强度方向相同(相反) 带电体处于电场中一定受到电场力作用 安培力 F＝BILsin θ 当B∥I时，F＝0 可由左手定则判断，安培力(洛伦兹力)的方向总是垂直于B与I(或B与v)决定的平面 电流或运动电荷处于磁场中不一定受到磁场力 洛伦兹力 F洛＝qvBsin θ 当B∥v时，F洛＝0 二、平衡中的临界与极值问题 1.常见的临界状态 (1)两接触物体脱离的临界条件是两物体间的弹力恰好为0。 (2)绳子断的临界条件为绳中的张力达到最大值，绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中的张力为0。 (3)两物体间相对滑动的临界条件为静摩擦力达到最大静摩擦力。 2.平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值或最小值问题。一般用图解法或解析法分析。 三、方法指导 （1）整体法与隔离法的应用对比 （2）解答平衡问题的常用方法 1.在三个力作用下物体的平衡问题中，常用合成法分析；在多个力作用下物体的平衡问题中，常用正交分解法分析。 2.动态平衡问题的常用方法 (1)图解法　(2)解析法　(3)相似三角形法　(4)正弦(或余弦)定理法等。 题型1选考真题探秘 1. （2024•浙江）如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50g，细线c、d平行且与水平成θ＝30°（不计摩擦），则细线a、b的拉力分别为（　　） A．2N，1N B．2N，0.5N C．1N，1N D．1N，0.5N 【解答】解：由题意可知细线c对A的拉力和细线d对B的拉力大小相等、方向相反，对A、B整体分析可知细线a的拉力大小为 Ta＝（mA+mB）g 代入数据解得Ta＝1N 设细线b与水平方向夹角为α，对B分析有 Tbsinα+Tcsinθ＝mAg Tbcosα＝Tdcosθ 解得 Tb＝0.5N 故ABC错误，D正确。 故选：D。 2. （2023•浙江）如图所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb＝90°，半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为（　　） A．Fa＝0.6G，Fb＝0.4G B．Fa＝0.4G，Fb＝0.6G C．Fa＝0.8G，Fb＝0.6G D．Fa＝0.6G，Fb＝0.8G 【解答】解：对圆柱体受力分析，如图： 由几何关系得：Fa＝Gsin37°＝0.6G Fb＝Gcos37°＝0.8G 故ABC错误，D正确。 故选：D。 3. （2020•浙江）如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0＞0，qB＝﹣q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则（　　） A． B．弹簧伸长量为 C．A球受到的库仑力大小为2Mg D．相邻两小球间距为 【解答】解：AD、对C分析，受重力、支持力和AB的库仑力，则AB的库仑力之和沿斜面向上，又B距离C近，给C的库仑力大，则C球带正电，设小球间距为a， 对C：kkMgsinα 对B：kkMgsinα 联立解得：qCq0 代入kkMgsinα 解得：a＝q0，故A正确，D错误； 对ABC用整体法，ABC受力平衡，即ABC受到的弹力等于重力的分力。即得弹簧伸长量Δx，故B错。 对BC用整体法，BC受力平衡，即BC受到库仑力等于重力分力，即得A受到的库仑力为2Mgsinα，故C错。 故选：A。 题型2力学中的平衡问题 4. （2024•浙江二模）某同学参加“筷子夹玻璃珠”游戏。如图所示，夹起玻璃珠后，两筷子始终在同一竖直平面内，右侧筷子竖直，左侧筷子与竖直方向的夹角为θ。保持玻璃珠静止，忽略筷子与玻璃珠间的摩擦。下列说法正确的是（　　） A．两侧筷子对玻璃珠的合力比重力大 B．若逐渐减小θ的大小，则两侧筷子对玻璃珠的弹力也逐渐减小 C．左侧筷子对玻璃珠的弹力一定比玻璃珠的重力大 D．右侧筷子对玻璃珠的弹力一定比玻璃球的重力大 【解答】解：对玻璃珠受力分析如图所示，受到重力G、左侧筷子对玻璃珠的弹力F1，右侧筷子对玻璃珠的弹力F2， A、在三个力的作用下处于平衡状态，根据力的平衡可知，两侧筷子对玻璃珠的合力与重力等大反向，则两侧筷子对玻璃珠的合力等于重力，故A错误； BCD、玻璃珠在三个力作用下保持静止，根据平衡条件结合数学知识可得：， 从上式可以看出，若逐渐减小θ的大小，则左侧筷子对玻璃珠的弹力逐渐减小，右侧筷子对玻璃珠的弹力逐渐增大。 左侧筷子对玻璃珠的弹力，弹力大于玻璃珠的重力大，右侧筷子对玻璃珠的弹力不一定比玻璃球的重力大，故BD错误，C正确。 故选：C。 5. （2024•宁波二模）如图所示，将三根完全相同的轻质细杆，两两互成90°，连接到同一个顶点O，另一端分别连接到竖直墙壁上的A、B、C三个点，BC连线沿水平方向，ΔABC是等边三角形，O、A、B、C点处，分别是四个可以向各个方向自由转动的轻质光滑饺链（未画出）。在O点用细绳悬挂一个质量为m的重物，则AO杆对墙壁的作用力为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，设OA＝OB＝OC＝L，由于三根完全相同的轻质细杆，两两互成90°，则 过O、O'、A分别作AE、AB、BC的垂线，如图： 由几何关系得： 可得 由于ABC是等边三角形且AE⊥BC，则 可得： 对O点受力分析，可知BO与CO对O点的合力（设为F）沿EO方向。对O点受力分析，将OB和OC杆上的力合成，合力为F，OA上作用力为T，受力分析如图： 由平衡条件得： 竖直方向：Tcosθ+Fsinα＝mg 水平方向：Tsinθ＝Fcosα 联立解得： 故C正确，ABD错误。 故选：C。 6. （2024•浙江模拟）如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个重环，绕过光滑定滑轮的轻绳一端与重环相连，另一端施加拉力F使重环从A点缓慢上升到B点。设杆对重环的弹力大小为FN，整个装置处于同一竖直平面内，在此过程中（　　） A．F逐渐增大，FN逐渐增大 B．F逐渐增大，FN先减小后增大 C．F先减小后增大，FN逐渐增大 D．F先减小后增大，FN先减小后增大 【解答】解：对重环受力分析，并构封闭的矢量三角形，如图所示 由图可知，在拉力到达竖直方向前，与竖直方向的夹角越来越小，拉力F增大，FN减小，经过竖直方向后，夹角又逐渐变大，拉力F继续增大，FN也增大，故B正确，ACD错误。 故选：B。 7. （2024•浙江模拟）图甲是传统民居建筑材料瓦片，相同的质量为m的瓦片紧靠在一起静止竖直叠放在水平地面上如图乙所示。下方瓦片的受力点均在其顶端，则瓦片（　　） A．4右端对地面的压力比左端的大 B．5右端受到的支持力是2右端受到支持力的2倍 C．4顶端受到的压力大小为mg D．5左端对地面的压力为 【解答】解：A、1对2的压力为mg 2对4的压力为F24（mg+mg）mg 4对地面的压力F4（mg+F24），解得mg，故A错误； BD、2的右端所受支持力为F2mg 5的右端所受的支持力为F5（mg+2F2），解得F5mg，故D正确，B错误； C、4的顶端受到的压力大小为F＝F2mg，故C错误。 故选：D。 题型3电学中的平衡问题 8. （2024•西湖区校级模拟）如图所示，两相同的小球M、N用等长的绝缘细线悬挂在竖直绝缘墙壁上的O点，悬点到小球中心的距离均为L，给小球N带上电，电荷量大小为q，小球M上电荷量未知且保持不变。由于库仑斥力作用，初次平衡时两小球间的距离为d1，由于某种原因，小球N缓慢漏电，当两小球间的距离为d2时，小球N的电荷量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示： 对小球M受力分析可知M所受的重力，绳的拉力和库仑力F构成的力的三角形与OMN长度三角形一直相似，所以当初次平衡时两小球间的距离为d1 时，有：，当两小球间的距离为d2 时，有：，而根据库仑定律，两种状态下库仑力分别有：，，联立解得：，故B正确，ACD错误； 故选：B。 9. （2024•宁波二模）如图，用三根绝缘细绳把三个带同种电荷的小球A、B、C悬挂在O点。小球静止时，恰好位于同一水平面，细绳与竖直方向的夹角分别为α、β、γ，已知小球A、B、C的质量分别为mA、mB、mC，电荷量分别为qA、qB、qC，则下列说法正确的是（　　） A．若小球的质量mA＝mB＝mC，则一定有α＝β＝γ B．若小球的质量mA＝mB＝mC，则可能有α＝β＞γ C．若小球所带电荷量qA＝qB＝qC，则一定有α＝β＝γ D．若小球所带电荷量qA＞qB＞qC，则一定有α＜β＜γ 【解答】解：A.对ABC三个小球整体来看，其整体重心在竖直线上，由此得到 mAlsinα＝mBlsinβ+mClsinγ 当mA＝mB＝mC时 sinα＝sinβ+sinγ 当 α＝β＝γ时 sinα＝2sinα 这是不能实现的，故A错误； B.由A项分析，当 γ＝0时 α＝β＞γ B正确； C.小球位置与其质量有关，与电荷量无关，电荷量只决定小球张开的绝对大小，不影响相对大小，故C错误； D.由C项分析可知，故D错误。 故选：B。 10. （2023•台州模拟）如图所示，a、b、c、d四个质量均为m的带电小球恰好构成“三星拱月”之形，其中a、b、c三个完全相同的带电小球在光滑绝缘水平面内的同一圆周上绕O点做半径为R的匀速圆周运动，三小球所在位置恰好将圆周等分。小球d位于O点正上方h处，且在外力F作用下恰处于静止状态。已知a、b、c三小球的电荷量均为q，d球的电荷量为﹣6q，h，重力加速度为g，静电力常量为k。则（　　） A．小球a的线速度为 B．小球b的角速度为 C．小球c的向心加速度大小为 D．外力F竖直向上，大小为 【解答】解：ABC、a、b、c三小球电荷量相等，完全相同，受力相同，绕O点做半径为R的匀速圆周运动，线速度、角速度、加速度大小均相等， 设 db连线与水平方向的夹角为α，则cosα，则sinα， 对b球，根据牛顿第二定律和向心力得：kcosα﹣2k•cos30°＝mmω2R＝ma 解得：v，，a，故AB错误，C正确； D、小球d受到a、b、c三球的库仑引力、重力、竖直向上的外力F作用，由平衡条件得：F＝3ksinα+mg＝mg，故D错误。 故选：C。 11. （2023•台州二模）如图所示，两个质量分别为mA和mB的带电小球A、B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计），两球静止，O为滑轮正下方AB连线上的一个点。两球到O点距离分别为xA和xB，到滑轮的距离分别为lA和lB，且lA：lB＝1：2，细绳与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，两球电荷量分别为qA和qB。则（　　） A．qA＞qB B．θ1＞θ2 C．mA：mB＝1：2 D．xA：xB＝1：2 【解答】解：A．根据题意可知两球的电场力是相互作用力，所以无法比较两球电荷量的大小，故A错误； B．绳子上的力处处相等，对绳子跨过定滑轮的结点受力分析可知： T'cosθ1＝T'cosθ2 解得：θ1＝θ2，故B错误； CD．对两球受力可知，如下图所示，根据相似三角形可得： 可得mA：mB＝2：1 xA：xB＝1：2 故C错误，D正确。 故选：D。 题型4平衡中的临界与极值问题 12. （2024•宁波模拟）如图所示，某款可折叠手机支架，调节支撑杆MN，手机背部支撑平面PQ的倾角θ随之改变，底部支撑平面ab与PQ始终垂直，忽略一切摩擦，当θ逐渐减小时，下列说法正确的是（　　） A．背部支撑平面PQ对手机的弹力逐渐变小 B．手机对底部支撑平面ab的弹力逐渐变大 C．支架对手机的作用力逐渐增大 D．手机对支架的作用力始终不变 【解答】解：AB、以手机为研究对象，受力情况如图所示： 根据平衡条件可得背部支撑平面PQ对手机的弹力FN＝mgcosθ，手机与底部支撑平面ab之间的弹力Fab＝mgsinθ； 当θ逐渐减小时，背部支撑平面PQ对手机的弹力增大，手机与底部支撑平面ab之间的弹力减小，故AB错误； CD、根据平衡条件可得，支架对手机的作用力大小始终等于手机的重力大小，根据牛顿第三定律可知，手机对支架的作用力大小也等于手机的重力大小，保持不变，故C错误、D正确。 故选：D。 13. 如图所示，一只半球形碗倒扣在水平桌面上处于静止状态，球的半径为R，质量为m的蚂蚁只有在离桌面的高度大于或等于R时，才能停在碗上，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，那么蚂蚁和碗面间的动摩擦因数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解蚂蚁受重力、支持力和摩擦力处于平衡，根据平衡有：f＝mgsinθ，N＝mgcosθ 而cosθ．所以．故C正确，A、B、D错误。 故选：C。 14. 如图所示，质量均为m的A、B两个小球，用细线悬挂在天花板上的同一点O，并用第三根细线连接A、B两小球，三根细线长度相等，现对小球A施加一个作用力F，两小球均处于静止状态时，三根细线均处于拉直状态，且OB恰好沿竖直方向，重力加速度为g，则作用力F的最小值为（　　） A．2mg B．mg C．mg D．mg 【解答】解：以B为研究对象，若细线AB中有拉力，则细线OB无法保持竖直，所以细线AB中无拉力，由几何关系知∠BOA＝60° 以A为研究对象，受重力，细线OA的拉力和所求力F，根据三力平衡条件知：任意两个力的合力必定与第三个力等大、反向、共线，所以当F与OA垂直时，有最小值，如图所示 结合几何关系可得：Fmin＝mgsin60°mg，故C正确，ABD错误。 故选：C。 15. 打印机在正常工作的情况下，进纸系统能做到每次只进一张纸。进纸系统的结构示意图如图所示，设图中刚好有20张相同的纸，每张纸的质量均为m，搓纸轮按图示方向转动并带动最上面的第1张纸向右运动，搓纸轮与纸张之间的动摩擦因数为μ1，纸张与纸张之间、纸张与底部摩擦片之间的动摩擦因数均为μ2，工作时搓纸轮给第1张纸压力大小为F。打印机正常工作时，下列说法错误的是（　　） A．第2张纸受到第3张纸的摩擦力方向向左 B．第10张纸与第11张之间的摩擦力大小可能为μ2（F+10mg） C．第20张纸与摩擦片之间的摩擦力为μ2（F+mg） D．若μ1＝μ2，则进纸系统不能进纸 【解答】解：A、第1张纸在搓纸轮的摩擦力作用下向右运动，受到第2张纸的摩擦力向左，第2纸相对于第3张纸向右运动，所以第2张纸受到第3张纸的摩擦力方向向左，故A正确。 BC、工作时搓纸轮给第1张纸压力大小为F，第1张纸对第2张纸的压力为F+mg，所以第2张以下的纸没有运动，只有运动趋势，所以第2张以下的纸之间以及第20张纸与摩擦片之间的摩擦力均为静摩擦力，大小均为μ2（F+mg）， 故B错误，C正确。 D、若μ1＝μ2，搓纸轮与第1张纸之间的摩擦力为μ1F，第1张纸受到第2张纸的滑动摩擦力为μ2（F+mg），则有：μ1F＜μ2（F+mg），搓纸轮与第1张纸之间会发生相对滑动，不会进纸，打印机不会正常工作，故D正确。 故选：B。 1. 如图是远距离输电的部分线路。A、B两点分别为铁塔与输电线的连接点，输电线质量分布均匀，下列说法正确的是（　　） A．输电线上电流相等时，输电线越粗，在输电线上消耗的电能越多 B．若A点高于B点，输电线两端的切线与竖直方向的夹角θA＜θB C．若A、B两点等高，A、B两端点对输电线的弹力大小之和等于输电线的重力 D．由于热胀冷缩，夏季输电线与竖直方向的夹角变小，输电线两端的弹力变大 【解答】解：A、输电线上电流相等时，输电线越粗，输电线的电阻越小，输电线上消耗的电能越少，故A错误； B、设输电线下垂的最低点为C，若A点高于B点，则A到C之间的输电线长度比B到C之间的输电线长度长，设A到C之间的输电线重力大小为GAC，B到C之间输电线的重力大小为GBC，A、B两端点对输电线的弹力大小分别为FA、FB，则根据平衡条件有：FAcosθA＝GAC，FBcosθB＝GBC，FAsinθA＝FBsinθB，并且有GAC＞GBC，联立以上各式可得θA＜θB，故B正确； C、若A、B两点等高，由于A、B两端点对输电线的弹力并不是竖直向上，所以A、B两端点对输电线的弹力大小之和大于输电线的重力，故C错误； D、由于热胀冷缩，夏季输电线与竖直方向的夹角变小，根据FAcosθA+FBcosθB＝G，可知当θA和θB都减小时，FA和FB也减小，故D错误。 故选：B。 2. 如图所示，PQ是固定的水平导轨，两端是定滑轮，滑轮摩擦不计，导轨上物体A两端分用细绳通过滑轮与物体B相连。系统处于静止状态时，绳PB与导轨平面的夹角为α，绳QB与导轨平面的夹角为β，则以下判断正确的是（　　） A．若α＝β，则水平导轨一定是光滑的 B．若α＜β，则物体A受导轨的摩擦力方向向右 C．若α≠β，则物体A受导轨的摩擦力的大小与物体A的重力无关 D．若α+β＝90°，则物体A所受摩擦力是物体B所受重力的|tanα﹣tanβ|倍 【解答】解：对物体B受力分析如图： 物体B处于静止状态，根据平衡条件： 水平方向：TPcosα＝TQcosβ A、当α＝β时TP＝TQ， 摩擦力等于0，但是水平面不一定光滑，故A错误； B、当α＜β时TP＜TQ，摩擦力方向向左，故B错误； C、当α≠β时，摩擦力等于两个绳子拉力的差，故和物体的重力无关，故C正确； D、对B受力分析如图： 若α+β＝90° 根据共点力平衡条件，TP和TQ的合力与重力等大反向： TP＝mgsinα TQ＝mgsinβ 物体A在水平方向上受两个绳子的拉力和摩擦力，因为不知道两个绳子哪个力大，故有： f＝|TP﹣TQ|＝|mgsinα﹣mgsinβ|＝|sinα﹣sinβ|mg， 故D错误。 故选：C。 3. 如图，在水平桌面上叠放着两个物块M和m，M与桌面间的动摩擦因数为μ1，m与M之间的动摩擦因数为μ2，一根轻绳一端与M相连，另一端绕过光滑的定滑轮A系在竖直杆上的B点。现将另一个物体G用光滑轻质挂钩挂在轻绳上AB之间的O点，已知整个装置处于静止状态时，竖直杆与绳OB的夹角为α，则（　　） A．将绳的B端向上缓慢移动一小段距离时绳的张力变小 B．将竖直杆缓慢向右移动一小段距离时绳的张力变大 C．M所受的摩擦力为μ1（M+m）g D．剪断A处轻绳瞬间，m的加速度为μ2g 【解答】解：A、O点受的张力分析如图，设绳子长为L，两杆之间距离为d，由于挂钩是光滑的，所以OA和OB与竖直方向夹角一样，有 LA+LB＝L， dA+dB＝d； dA＝LAsinα； dB＝LBsinα； 即有sinα， 由此可知，只要d和L不变，夹角α是不变的。绳子在O点的张力T，不变，故A错误； B、将竖直杆缓慢向右移动一小段距离，即d增大，α增大，cosα减少，T增大，故B正确； C、由于M是静止的，计算摩擦力不适用动摩擦因数的计算公式，摩擦力f≠μ1（M+m）g，故C错误； D、剪断A处轻绳瞬间，m受力平衡，只受重力和支持力作用，加速度始终为0，故D错误。 故选：B。 4. （2024•鹿城区校级模拟）如图所示，“马踏飞燕”是汉代艺术家高度智慧、丰富想象、浪漫主义精神和高超的艺术技巧的结晶，是我国古代雕塑艺术的稀世之宝。飞奔的骏马之所以能用一只蹄稳稳地踏在飞燕上，是因为马的重心位置和飞燕（视为质点）在一条竖直线上。下列关于重力和重心的说法中正确的是（　　） A．只有静止的物体才受到重力作用 B．这件艺术品的重力大小总是恒定的 C．物体挂在弹簧测力计下，弹簧测力计的示数一定等于物体的重力 D．质量分布均匀形状规则物体的重心一定在其几何中心，但不一定在物体上 【解答】解：A、物体是否受到重力与运动状态无关，地面附近一切物体无论处于何种运动状态，都受到重力的作用，故A错误； B、在地球上不同位置重力加速度不同，故重力G＝mg不同，故B错误； C、物体挂在弹簧测力计下，竖直处于平衡状态时，弹簧测力计的示数等于物体的重力，当弹簧测力计和物体有加速度时，示数不等于物体的重力，故C错误； D、质量分布均匀形状规则物体的重心一定在其几何中心，但不一定在物体上，故D正确； 故选：D。 5. （2024•浙江二模）燃气灶支架有很多种规格和款式。如图所示，这是a、b两款不同的燃气灶支架，它们都是在一个圆圈底座上等间距地分布有五个支架齿，每一款支架齿的简化示意图在对应的款式下方。如果将含有食物的球面锅置于两款支架上，假设锅和锅内食物的总重量总是维持不变，则（　　） A．如果锅的尺寸越大，则a款每个支架齿受到的压力越大 B．如果锅的尺寸越大，则a款每个支架齿受到的压力越小 C．如果锅的尺寸越大，则b款每个支架齿受到的压力越大 D．如果锅的尺寸越大，则b款每个支架齿受到的压力越小 【解答】解：AB、因为a款支架与球面锅的接触点的弹力始终垂直于支架的斜面，方向不变，设每个支架齿对锅的支持力与竖直方向的夹角为θ。 锅静止，由平衡条件得 5FNcosθ＝G锅 可知，锅的尺寸越大，θ不变，支架齿对锅的支持力FN不变，由牛顿第三定律可知，a款每个支架齿受到的压力不变，故AB错误； CD、因为b款支架与球面锅的接触点的弹力始终垂直于公切面，则知锅的尺寸越大，b款每个支架齿对锅的支持力与竖直方向的夹角θ变小，由上式分析可知，支架齿对锅的支持力FN越小，由牛顿第三定律可知，b款每个支架齿受到的压力越小，故C错误，D正确。 故选：D。 6. （2024•湖北模拟）2024年春节期间，哈尔滨的冰雪旅游爆火，图甲中的超级大滑梯是哈尔滨冰雪大世界中最受欢迎的游乐项目之一。现将游客在滑梯上的下滑过程的某阶段简化为如图乙所示模型：一粗糙斜面固定在水平地面上，物体A、B的上下表面皆与斜面平行，A、B相对静止，共同沿斜面匀速下滑，默认图中物体的最大静摩擦力大小均等于相应滑动摩擦力的大小，则下列说法中正确的是（　　） A．A受到的摩擦力为零 B．A受到的摩擦力与斜面平行且向下 C．若在A、B匀速下滑过程中对A施加一竖直向下的力，则A、B继续匀速下滑 D．若在A、B匀速下滑过程中对A施加一竖直向下的力，则A、B将加速下滑 【解答】解：AB、A向下匀速运动，合力为零，根据平衡条件可知，A受到与斜面平行且向上的摩擦力，大小为fA＝mAgsinθ，故AB错误； CD、A、B匀速下滑过程中，对A、B整体，由平衡条件有 m′gsinθ＝μm′gcosθ 即sinθ＝μcosθ 该方程与A、B的总质量m′无关，对A施加一竖直向下的力，相当于“重力”变大，依然处于平衡状态，所以A、B继续匀速下滑，故C正确，D错误。 故选：C。 7. （2024•宁波二模）如图所示，物块A放在直角三角形斜面体B上面，B放在弹簧上面并紧挨着竖直墙壁，初始时A、B静止。现用力F沿斜面向上推A，但A、B仍未动。下列说法正确的是（　　） A．施力后，A、B之间的摩擦力一定比施力前大 B．施力后，B与墙面间的弹力可能与施力前相等 C．施力后，B与墙面间的摩擦力可能与施力前相等 D．施力后，A对B的作用力可能比施力前小 【解答】解：A、对A物体分析，开始受重力、B对A的支持力和静摩擦力平衡，当施加F后，仍然处于静止，开始A所受的静摩擦力大小为mAgsinα，若F＝2mAgsinα，则A、B之间的静摩擦力大小还是等于mAgsinα，所以A、B之间的摩擦力可能不变，故A错误； B、以整体为研究对象，开始时B与墙面的弹力为零，施加力F后，B与墙面的弹力变为Fcosα，弹力增大，故B错误； C、对整体分析，因为AB不动，弹簧的形变量不变，则弹簧的弹力不变，开始弹簧的弹力等于A、B的总重力，由于水平方向没有外力作用，故整体和墙间没有弹力，也就肯定没有摩擦力；施加F后，弹簧的弹力不变，总重力不变，根据平衡条件知，则B与墙之间一定有摩擦力，摩擦力大小等于力F在竖直方向的分力，方向竖直向下，所以施力前后的摩擦力不可能相等，故C错误； D、对A分析可知，施力前A受重力和B对A的作用力处于平衡，B对A的作用力大小等于A的重力，施力后A受重力、推力以及B对A的作用力，推力和B对A的作用力的合力等于A的重力，根据力的合成可知，B对A的作用力可能小于A的重力，再由牛顿第三定律可知，施力后A对B的作用力可能比施力前小，故D正确。 故选：D。 8. （2024•宁波模拟）如图所示，在无风的房间内，一个氢气球由静止释放，在浮力的作用下往上飘后最终静止于倾斜天花板上，关于该氢气球的受力，下列说法正确的是（　　） A．气球受到四个力的作用 B．天花板对气球的弹力竖直向下 C．天花板对气球的弹力是由于气球发生形变而引起的 D．气球对天花板的摩擦力沿天花板平面向下 【解答】解：A、气球受到重力、支持力、浮力、摩擦力四个力的作用，故A正确； B、弹力方向垂直于接触面，所以天花板对气球的弹力垂直于天花板向下，故B错误； C、“谁施加弹力谁形变”，所以天花板对气球的弹力是由于天花板发生形变而引起的，故C错误； D、气球相对于天花板有沿天花板向上的运动趋势，天花板对气球的摩擦力沿天花板平面向下，所以气球对天花板的摩擦力沿天花板平面向上，故D错误。 故选：A。 9. （2024•鹿城区校级模拟）俗称书籍整理神器的“铁书立”是一种用来支撑书籍以达到使书籍平稳站立效果的物品，如图所示．现在简化为如下示意图，水平桌面上有一质量为M的静止的“铁书立”，刚好静止摆放了两本书A和B，由此可知（　　） A．桌面对A书有向上的弹力 B．B书受到的合力为0 C．B书与“铁书立”之间可以无摩擦 D．“铁书立”对桌面的压力为Mg 【解答】解：A、由题图甲知，A书与桌面没有接触，则桌面对A书不会有弹力，故A错误； B、B书处于静止状态，所以合力为0，故B正确； C、对B书受力分析知，“铁书立”对B书有向上的弹力，A书对B书有向右的弹力，又B书处于静止状态，则B书有相对“铁书立”向右运动的趋势，所以水平方向“铁书立”对B书有向左的摩擦力，故C错误； D、选整体为研究对象分析知，“铁书立”对桌面的压力大于Mg，故D错误； 故选：B。 10. （2024•绍兴二模）如图1和2为工地搬运长方体大理石块的设备示意图，该设备吊起部分可以理想化为图3所示，ABCD为一块厚厚的水平钢板，AEFB和DHGC为两根不可伸长的轻绳，两绳子关于水平钢板左右对称放置，且AE和DH平行于大理石块的后表面，BF和CG平行于大理石块的前表面，AE、DH、BF、CG与水平方向的夹角均为θ，忽略AE和DH与大理石块的后表面（包括E、H两点）、BF和CG与大理石块的前表面（包括F、G两点）的所有作用力，若EF与大理石块左表面、HG与大理石块右表面的动摩擦因数均为μ，若能吊起大理石块，μ至少为（　　） A．tanθ B． C．sinθ D． 【解答】解：设绳子的张力为T，根据整体法得2Tsinθ＝mg 将T沿水平方向分解，根据平衡条件FN＝Tcosθ 最大静摩擦力fm＝μFN＝μTcosθ 根据平衡条件2fm＝mg 即2μTcosθ＝mg 联立解得μ＝tanθ 综上分析，故A正确，BCD错误。 故选：A。 11. 位于杭州市风情大道与江南大道交叉口附近的智慧之门建成之后会成为杭州智慧建筑的典范，两栋高达272米的双子塔将组成“门”的形象（如图甲所示）。图乙是智慧之门施工现场的实拍图片，图丙是重物正在被竖直向上匀速吊起的放大图。现将该情景简化为如图丁所示的示意图，绳子CD和CE共同挂着质量为m1的重物A，绳子FG和FH共同挂着质量为m2的重物B，F点拴在重物A的下方。不计绳子质量和空气阻力，下列说法一定正确的是（　　） A．绳子CD和CE对重物A的作用力的合力大于（m1+m2）g B．绳子FG和FH对重物A的作用力的合力大小为m2g C．若绳子FG和FH的夹角为锐角，则绳子FG上的力小于 D．若拴接点F与重物A脱离，则该瞬间重物A的加速度大小为 【解答】解：A、以重物A和B为整体，由题意知重物做匀速运动，故在竖直方向绳子CD和CE对重物A的作用力的合力等于（m1+m2）g，故A错误； B、以重物B为研究对象，根据共点力的平衡条件可知绳子FG和FH对重物B的作用力的合力的大小为m2g； 绳子FG和FH对重物A的作用力等于绳子FG和FH作用力的合力的大小，即绳子FG和FH对重物A的作用力的合力大小为m2g，故B正确； C、设绳子FG和FH的夹角为锐角θ，则由共点力的平衡条件可知FFGcos 由分析可知FFG，故C错误； D、若拴接点F与重物A脱离，则该瞬间绳子CD和CE对重物A的作用力发生突变，重物A的加速度大小为零，故D错误。 故选：B。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$