精品解析：广东省东莞市香市中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

广东省东莞市香市中学2023-2024学年七年级（下）期中数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 人体内的某种球状细胞的直径为，数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图中，∠1与∠2属于对顶角是（ ） A. B. C. D. 3. 计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路MN旁有一村庄P，现要建一个汽车站，且有A，B，C，D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在（　　） A. 点A处 B. 点B处 C. 点C处 D. 点D处 5. 多多从家步行到学校，离家的路程（米）与步行时间（分）的函数关系如图所示．若多多步行速度保持不变，则中途停留时间为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 周末，小明骑车从家出发去博物馆，途中突然发现钥匙不见了，于是原路折返，在刚才等红绿灯的路口找到了钥匙，便立即前往博物馆．小明从家出发到博物馆的过程中，离家距离y（m）与时间x（）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小明家到博物馆的距离为2400m B. 小明等红绿灯的时间为 C. 小明发现钥匙不见后，原路折返找钥匙的骑车速度是 D. 小明从家出发到博物馆的过程中，离家距离y是自变量，时间x是因变量 8. 若，，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. 12 D. 3 9. 下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知．则结论①；②平分；③；④．正确的是（ ） A ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 计算的结果为___________． 12. 如图，点在直线上，过点作射线、，使，当时，度数为________． 13. 某地海拔高度与温度的关系可用来表示，则该地区某海拔高度为的山顶上的温度为______． 14. 如图，，，相交于点C．如果，那么的度数为______． 15. 如图，在大长方形ABCD中放入5张相同的小长方形（图中空白部分）．若大长方形的周长是48，图中阴影部分的面积是78，则一张小长方形的面积 __． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知，求证：． 19. 【问题背景】 尽享春日好时光，张梅和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时张梅用所学过的知识来记录他们的行程． 【收集信息】 张梅从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①． 【建立模型】 张梅通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后继续行驶到达终点．折线表示观光车到终点的路程与行驶时间之间的关系． 【解决问题】 （1）请求出线段表示函数表达式； （2）请通过计算求观光车在景点甲停留的时间． 20. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，四边形． 求作：点，使，，且点在四边形的内部． 21. 已知有甲、乙两个长方形纸片，它们的边长如图中所示（m是正整数），面积分别为S甲和S乙 （1）含m的代数式表示S甲=___________，S乙=___________； （2）用“＜”、“=”或“>”号填空：S甲___________S乙； （3）若一个正方形纸片的周长与甲的周长相等，其面积设为S正，小方同学发现“S正与S甲的差是定值”请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由. 22. 假期，甲乙两人沿同一条笔直的马路同时从同一小区出发到南京博物院参观，小区与南京博物院的路程是4千米，甲骑自行车，乙步行，当甲从原路回到小区时，乙刚好到达南京博物院，图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离小区的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系， 请根据图像回答下列问题： （1）甲在南京博物院参观的时间为______分钟，甲返回小区的速度为______千米/分钟； （2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （3）若两人之间的距离为y千米，请画出y（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数图像． 23. 综合运用 已知， （1）化简A和B； （2）若变量y满足，求出y与x之间的关系式； （3）在（2）的条件下，求的值． 24 问题解决： （1）如图1，ACBD，点P在AC与BD之间，过P作PEAC，探究∠A、∠APB、∠B之间的数量关系，并直接写出它们之间的关系式； （2）如图2，变换点P的位置，∠A、∠APB、∠B之间的数量关系发生了怎样的变化；写出关系式，并说明理由； （3）如图3，在（2）的基础上，AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，写出∠APB与∠Q之间的关系式，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省东莞市香市中学2023-2024学年七年级（下）期中数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 人体内的某种球状细胞的直径为，数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选B 2. 下列各图中，∠1与∠2属于对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．根据对顶角的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A．与不属于对顶角，故A选项不符合题意； B．与不属于对顶角，故B选项符合题意； C．与属于对顶角，故C选项不符合题意； D．与不属于对顶角，故D选项不符合题意， 故选C． 3. 计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项正确，符合题意； D、，故该项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路MN旁有一村庄P，现要建一个汽车站，且有A，B，C，D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在（　　） A. 点A处 B. 点B处 C. 点C处 D. 点D处 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：根据垂线段最短可知建在点C处，汽车站离村庄最近， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解答本题的关键．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 5. 多多从家步行到学校，离家的路程（米）与步行时间（分）的函数关系如图所示．若多多步行速度保持不变，则中途停留时间为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据图象可求出多多步行的速度，进而求出多多从家一直步行到学校需要的时间，即可求出多多中途停留时间，能从函数图象中获取有关信息是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，多多分钟步行了米， ∴多多步行的速度为米分钟， ∴多多从家一直步行到学校需要分钟， ∴多多中途停留时间为分钟， 故选：． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查单项式除以单项式，完全平方公式，多项式乘以多项式，平方差公式，根据相关知识计算出各项结果后再进行判断即可 【详解】解：A. ，此选项计算错误，不符合题意； B. ，此选项计算错误，不符合题意； C. ，此选项计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意， 故选：D 7. 周末，小明骑车从家出发去博物馆，途中突然发现钥匙不见了，于是原路折返，在刚才等红绿灯的路口找到了钥匙，便立即前往博物馆．小明从家出发到博物馆的过程中，离家距离y（m）与时间x（）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小明家到博物馆的距离为2400m B. 小明等红绿灯的时间为 C. 小明发现钥匙不见后，原路折返找钥匙的骑车速度是 D. 小明从家出发到博物馆的过程中，离家距离y是自变量，时间x是因变量 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行分析即可． 【详解】解：由图象可知：小明家到博物馆的距离为2400m，故选项A正确； 小明等红绿灯的时间为，故选项B错误； 小明发现钥匙不见后，原路折返找钥匙的骑车速度是；故选项C错误； 小明从家出发到博物馆的过程中，离家距离y是因变量，时间x是自变量；故选项D错误． 故选A． 8. 若，，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. 12 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】逆用同底数幂的除法把变形为am÷an，然后把，代入计算即可. 【详解】解：∵=am÷an=6÷2=3. 故选D. 【点睛】本题考查了同底数幂除法的逆运算，熟练掌握同底数幂的除法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识. 9. 下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式在几何图形中的应用，根据面积公式分别表示出和各自的几何意义即可． 【详解】解：根据几何意义表示为边长为x截去1个单位长正方形的面积， 由可知边长为x正方形的面积，减去2个边长为x和1的长方形，加一个边长为1的正方形，即可知A满足题意． 故选：A． 10. 如图，已知．则结论①；②平分；③；④．正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 分析】根据得到FG∥AD，判断①正确； 根据∠ADE+∠BDE=90°，∠B+∠BDE=90°，得到③正确； 根据， 证明∠BDE=∠C，进行角的代换证明∠BDE+∠CFG=90°，得到④正确； 证明∠ADE+∠BDE=90°，判断②不正确． 【详解】解：∵ ∴∠FGB=∠ADB=90°， ∴FG∥AD，∠ADE+∠BDE=90°， 故①正确； ∵DE∥AC， ∴∠DEB=∠CAB=90°， ∴∠B+∠BDE=90°， ∴， ∴③正确； ∵， ∴∠BDE=∠C， ∵∠FGC=90°， ∴∠C+∠CFG=90°， ∴∠BDE+∠CFG=90°， ∴④正确； ∵∠ADB=90°， ∴∠ADE+∠BDE=90°， ∴②不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等，平行线的判定等知识，熟知相关定理是解题关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 计算的结果为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．利用单项式乘以多项式的每一项，再把积相加即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，点在直线上，过点作射线、，使，当时，的度数为________． 【答案】##48度 【解析】 【分析】本题考查角的知识，解题的关键掌握平角和直角的性质，根据题意，得到，，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵且， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 某地海拔高度与温度的关系可用来表示，则该地区某海拔高度为的山顶上的温度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，依题意，把代入，即可作答． 【详解】解：∵ ∴把代入 ∴ 故答案为： 14. 如图，，，相交于点C．如果，那么的度数为______． 【答案】##146度 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质．根据两直线平行，同位角相等得出，进而利用邻补角解答即可． 【详解】解：∵，， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在大长方形ABCD中放入5张相同的小长方形（图中空白部分）．若大长方形的周长是48，图中阴影部分的面积是78，则一张小长方形的面积 __． 【答案】 【解析】 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据“大长方形的周长是48，图中阴影部分的面积是78”，即可得出关于x，y的方程组，解之即可求出的值，此题得解． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 依题意得： ， 整理得： ， 由得：， ∴一张小长方形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，找准等量关系，正确列出关于x，y的方程组是解题的关键． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，整式的混合运算等知识点，能灵活运用运算法则进行计算和化简是解此题的关键； 根据任意非零数的零次幂都得 1 ，绝对值以及计算即可； 【详解】 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查整式的化简求值，整式的混合运算，根据完全平方公式和平方差公式计算小括号，再合并同类项及计算除法得到化简结果，再将代入化简结果求值． 【详解】解： 当时，原式． 18. 如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】依据，可得，再根据，可得，可得，进而可得，等量代换即可得到． 【详解】， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质是①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 19. 【问题背景】 尽享春日好时光，张梅和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时张梅用所学过的知识来记录他们的行程． 【收集信息】 张梅从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①． 【建立模型】 张梅通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后继续行驶到达终点．折线表示观光车到终点的路程与行驶时间之间的关系． 【解决问题】 （1）请求出线段表示的函数表达式； （2）请通过计算求观光车在景点甲停留的时间． 【答案】（1） （2）1小时 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，函数图象，从函数图象获取有用信息是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的时间，即可求得线段表示的时间，即可求解． 【小问1详解】 解：设线段表示的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得：， ∴线段表示的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由图可得，当时，，解得， ∴(小时）， ∴观光车在景点甲停留了1小时． 20. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，四边形． 求作：点，使，，且点在四边形的内部． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——复杂作图，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．连接，以点为圆心，适当长度为半径画弧交、，再以相同的半径，以点为圆心画弧交，然后取弧与、的交点距离为半径，以点为圆心的弧与的交点为圆心画弧，连接点与两弧的交点，得到，再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 21. 已知有甲、乙两个长方形纸片，它们的边长如图中所示（m是正整数），面积分别为S甲和S乙 （1）含m代数式表示S甲=___________，S乙=___________； （2）用“＜”、“=”或“>”号填空：S甲___________S乙； （3）若一个正方形纸片的周长与甲的周长相等，其面积设为S正，小方同学发现“S正与S甲的差是定值”请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由. 【答案】（1） （2）＞ （3）正确，见解析 【解析】 分析】（1）根据长方形面积公式解答； （2）求出S甲-S乙的值即可得到解答； （3）由题意求出S正，然后求出S正与S甲的差，即可对小方同学的发现作出判断． 【小问1详解】 根据长方形面积公式可得： S甲=（m+1）（m+7）= S乙=（m+2）（m+4）=， 故答案为； 【小问2详解】 由（1）可得： S甲-S乙=2m-1， ∵m是正整数，即m≥1， ∴2m≥2，2m-1>0， ∴S甲-S乙>0，即S甲>S乙， 故答案为>； 【小问3详解】 小方同学的发现正确，理由如下： 由题意可得： S正= = =， ∴S正-S甲=，为定值． 【点睛】本题考查整式的综合应用，熟练掌握用整式表示长方形和正方形的面积和周长的方法、整式的各种运算法则及运算顺序、整式的大小判断方法等知识是解题关键． 22. 假期，甲乙两人沿同一条笔直的马路同时从同一小区出发到南京博物院参观，小区与南京博物院的路程是4千米，甲骑自行车，乙步行，当甲从原路回到小区时，乙刚好到达南京博物院，图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离小区的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系， 请根据图像回答下列问题： （1）甲在南京博物院参观的时间为______分钟，甲返回小区的速度为______千米/分钟； （2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （3）若两人之间的距离为y千米，请画出y（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数图像． 【答案】（1）， （2）P的坐标为，实际意义为当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米． （3）见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据图象上所给的数据的实际意义求解即可； （2）分别求出直线和直线的解析式，联立即可求得交点坐标，表示的实际意义为相遇时的时间及路程； （3）分别求出点、时，的值，直线的相交时，距离为，当时距离为，画出分段函数即可； 【小问1详解】 甲在南京博物院参观的时间为（分钟） 甲返回小区的速度为（千米/分钟） 故答案为：，； 【小问2详解】 设直线的函数表达式为． ∵， ∴， 解得． ∴直线的函数表达式为 当甲从图书馆返回时：设直线的函数表达式为． ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． ∴， 解得． 当时，． ∴． 答：P的坐标为，实际意义为当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米． 【小问3详解】 如图即为y（千米）与所经过时间（分钟）之间的函数图像． 当时，两人之间的距离为； 当时，两人之间的距离为； 当时，两人之间的距离为； 当时，两人之间的距离为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 23. 综合运用 已知， （1）化简A和B； （2）若变量y满足，求出y与x之间的关系式； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算： （1）计算A时，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案；计算B时，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可； （2）根据（1）所求结合，计算求解即可； （3）先根据平方差公式，完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则把所求式子去括号，然后合并同类项化简，再把代入化简求解即可． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ． 24. 问题解决： （1）如图1，ACBD，点P在AC与BD之间，过P作PEAC，探究∠A、∠APB、∠B之间的数量关系，并直接写出它们之间的关系式； （2）如图2，变换点P的位置，∠A、∠APB、∠B之间的数量关系发生了怎样的变化；写出关系式，并说明理由； （3）如图3，在（2）的基础上，AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，写出∠APB与∠Q之间的关系式，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由两直线平行、同旁内角互补，可得，，进而可得； （2）作过P作PFAC，由两直线平行、内错角相等，可得，，进而可得； （2）同（2）可证，结合角平分线定义可得，结合（2）的结论可得． 【小问1详解】 解：∵ PEAC， ∴， ∵ PEAC，ACBD， ∴PE BD， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：．理由如下： 如图，过P作PFAC， ∵ PFAC， ∴， ∵ PFAC，ACBD， ∴PF BD， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：．理由如下： 过Q作QGAC，如图， ∵ QGAC， ∴， ∵QGAC，ACBD， ∴QGBD， ∴， ∴， 即， ∵ AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD， ∴，， ∴， 由（2）得， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质、平行公理的推论、角平分线的定义等，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$