精品解析：山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

高三数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、三角函数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题即得. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算即得. 【详解】依题意，. 故选：A 3. 已知集合，，，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】变形数，再利用元素与集合的关系判断即得. 【详解】依题意，， 所以且. 故选：C 4. 已知函数，则“”是“曲线关于直线对称”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由曲线关于直线对称求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由曲线关于直线对称，得， 解得，又，于是或， 所以“”是“曲线关于直线对称”的充分不必要条件. 故选：B 5. 如图，在中，，顶点A在函数的图象上，顶点B在x轴上，顶点C在函数的图象上，轴，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式及勾股定理，求出的长即可得解. 【详解】如图， 设AC与y轴交于点D． 因为轴，，所以， 所以，所以点A的纵坐标为3． 将代入，得，解得，所以． 在中，，，则， 所以，所以点C的坐标为，故． 故选：C 6. 大荔冬枣是陕西省渭南市大荔县的特产.大荔冬枣果个大，果实近圆形，果面平整光洁，果皮薄，完熟期呈浅黄片状赭红色，肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酰脆且味香甜.假设某水果店销售的大荔冬枣的单价（单位：元/斤）与单果的直径（单位：）满足关系式.当单果的直径为时，大荔冬枣的单价为8元/斤；当单果的直径为时，大荔冬枣的单价为24元/斤.当单果的直径为时，大荔冬枣的单价约为（ ）（参考数据：） A. 11.5元/斤 B. 12.5元/斤 C. 10元/斤 D. 14元/斤 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，求解可得，，计算可得的值. 【详解】根据题意有当单果的直径为时，大荔冬枣的单价为8元/斤； 当单果的直径为时，大荔冬栙的单价为24元/斤， 所以，， 两式相除可得，所以，所以，解得， 当单果的直径为时，大荔冬枣的单价为(元/斤). 故选：A. 7. 若锐角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式、同角三角函数基本公式求出，再利用和角的正切公式计算即得. 【详解】由，为锐角，得， 则，，由，得，又为锐角，则， 所以． 故选：D 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先运算变形，再根据指数函数和对数函数的单调性可判断. 【详解】，， 因，故， ，故， 综上， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. ， B. ， C. 至少存在两个质数的平方是偶数 D. 存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 【答案】BD 【解析】 【分析】利用存在量词命题的定义及真假判断方法，逐项判断即得. 【详解】对于A，“，”是全称量词命题，A错误； 对于B，“，”是存在量词命题，，B正确； 对于C，只有质数2的平方为偶数，即不存在两个质数的平方是偶数，C错误； 对于D，内角为，，的直角三角形，其三个内角成等差数列，D正确． 故选：BD 10. 已知幂函数的图象经过点，则函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用幂函数的解析式得到的解析式，从而得到为二次函数，进而根据二次函数的对称轴位置得到结果. 【详解】设幂函数，将代入可得：，所以， ，所以是二次函数，故排除B选项， 对称轴为，在轴左侧，故排除D选项， 当时，为开口向上的二次函数，可知A正确， 当时，为开口向下的二次函数，可知C正确. 故选：AC. 11. 对任意，函数，都满足，则（ ） A. 是增函数 B. 是奇函数 C. 的最小值是 D. 为增函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题目给到的等式，分别求出，解析式，由解析式分别判断选项是否正确. 【详解】由题意得恒成立， 所以存在常数a，使得且． 令，得解得经检验，符合条件． 由，易知是增函数，显然，即不是奇函数，A正确，B错误. 因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，C正确. 由为增函数，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的最小值为______，此时______． 【答案】 ①. 11 ②. 【解析】 【分析】由题意可得，利用基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，所以， 所以． 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为11，此时. 故答案为：； 13. 已知函数，则______． 【答案】700 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨时函数的性质，再借助性质求出分段函数的函数值. 【详解】当时，， 则， 即，所以. 故答案为：700 14. 若函数在上有两个零点，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数，再结合正弦型函数图象性质求出的范围. 【详解】令函数 ，由，得， 当，即时，函数单调递增，函数值从增大到， 当，即时，函数单调递减，函数值从减小到， 由，得，函数有两个零点，即直线与函数在上的图象有两个交点， 则，所以m的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若或，求m的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集、并集、补集的定义求解即得. （2）利用交集的结果，借助集合的包含关系建立不等式并求解即得. 【小问1详解】 依题意，，或，当时，， 所以，. 【小问2详解】 若或，则或， 当时，，解得； 当时，若，则，解得， 若，则，无解，因此， 所以m的取值范围为. 16. 已知函数满足． （1）求的解析式； （2）若，求的值域； （3）讨论的定义域． 【答案】（1） （2） （3）当时，的定义域为；当时，的定义域为． 【解析】 【分析】（1）换元法求函数解析式即可； （2）换元后求出真数的取值范围，再利用对数函数的单调性求值域； （3）分类讨论m的取值范围，再得出函数的定义域. 【小问1详解】 令，得， 则， 所以． 【小问2详解】 若，则， 令，当且仅当时，u取得最小值，且最小值为4． 因为为减函数，所以， 故的值域为． 【小问3详解】 ． 当时，，则的定义域为； 当时，，则的定义域为； 当时，由，得或， 则的定义域为． 综上，当时，的定义域为；当时，的定义域为． 17. 已知 （1）证明：的最大值与的最小值相等． （2）若恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）由，得，，则， 即，当且仅当时取等号，因此的最大值为； ， 当且仅当，即时取等号，因此的最小值为， 所以的最大值与的最小值相等． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用求出最值即可. （2）变形式子，并求出最小值，再借助恒成立求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，，， 则 ，当且仅当，即时取等号， 因此的最小值为1，依题意，，解得， 所以m的取值范围为. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求. （2）若将的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，证明：. （3）若函数（常数）在区间上是单调函数，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，向左平移个单位长度可得函数， 由于图象关于原点对称，则， 解得，当时，取最小值13， 故，即得证. （3） 【解析】 【分析】（1）由正余弦函数的图象，先根据周期可求，，再通过代入点的坐标即可得； （2）由余弦型函数的平移变换得平移后的解析式为，结合图象关于原点对称的条件即可求得答案； （3）首先利用诱导公式以及两角和与差公式的逆用可得，再分类讨论，结合正弦型函数的单调性即可求得m的范围，则最大值可求. 【小问1详解】 由图可知函数的周期为2，又因为， 则，再将代入可得， 结合图象可知是向上零点，故， 因为，所以； 同理函数的周期为6，又因为， 则，再将代入可得， 结合图象可知是向上零点，故， 因为，所以； 综上：，，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知， 则 ， 由于且在区间上为单调函数， 所以，即， 当在区间上为单调递增函数时，， 则有 ，解得 ，此时无解； 当在区间上为单调递减函数时， 则有 ，解得，， 只有满足条件，则， 所以m的最大值为. 19. 若关于的方程的系数均为整数，，则称该方程为次整系数方程，若该整系数方程存在无理数根，则称该方程为次优越方程.若关于的方程的系数均为实数，，则称该方程为次实系数方程. （1）试问这两个方程哪个是次优越方程？说明你的理由. （2）已知4次实系数方程有个互不相等的实根，求的取值范围. （3）若是6次优越方程的一个实根，求的一组值. 【答案】（1）是3次优越方程. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求解方程的根，并根据定义判断即可； （2）化解4次实系数方程为，令，通过导数判断函数的单调性即可； （3）方法一：由且 ，并转化为，再计算，然后根据是6次优越方程的一个实根，则也是6次优越方程的一个实根，即可得的值. 方法二：通过构造三角形计算，，，，再根据是6次优越方程的一个实根，则是6次优越方程的一个实根，即可得的值. 【小问1详解】 是3次优越方程，不是3次优越方程． 理由如下： 因为，， 所以方程存在无理数根， 方程不存在无理数根． 又方程中各项的系数均为整数，且， 所以是3次优越方程，不是3次优越方程． 【小问2详解】 因为， 由，得或， 令，得或1或2． 设函数，则， 令，得， 令，得或， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极大值，且极大值为0， 在处取得极小值，且极小值为．如图①所示. 因为， 所以m的取值范围是． 【小问3详解】 （方法一）因为，． 因为， 所以， 所以， 所以． 又是6次优越方程的一个实根， 所以是6次优越方程的一个实根， 故a，b，c的一组值可以为，，． （方法二）． 如图②所示，在等腰中，，， 作的角平分线，可得， 设，，则，则， 解得，． 取的中点，则， 所以， 所以，， 又是6次优越方程的一个实根， 所以是6次优越方程的一个实根， 所以， 整理得． 因为均为整数， 所以解得 又因为均为整数，且， 所以，，，其中且． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了方程的实根及通过导数判断函数单调性，第三问解题的关键由且 ，并转化为，再计算，然后根据是6次优越方程的一个实根，则也是6次优越方程的一个实根，即可得的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、三角函数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知集合，，，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 4. 已知函数，则“”是“曲线关于直线对称”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在中，，顶点A在函数的图象上，顶点B在x轴上，顶点C在函数的图象上，轴，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 大荔冬枣是陕西省渭南市大荔县的特产.大荔冬枣果个大，果实近圆形，果面平整光洁，果皮薄，完熟期呈浅黄片状赭红色，肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酰脆且味香甜.假设某水果店销售的大荔冬枣的单价（单位：元/斤）与单果的直径（单位：）满足关系式.当单果的直径为时，大荔冬枣的单价为8元/斤；当单果的直径为时，大荔冬枣的单价为24元/斤.当单果的直径为时，大荔冬枣的单价约为（ ）（参考数据：） A. 11.5元/斤 B. 12.5元/斤 C. 10元/斤 D. 14元/斤 7. 若锐角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. ， B. ， C. 至少存在两个质数的平方是偶数 D. 存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 10. 已知幂函数的图象经过点，则函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 11. 对任意，函数，都满足，则（ ） A. 是增函数 B. 是奇函数 C. 的最小值是 D. 为增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的最小值为______，此时______． 13. 已知函数，则______． 14. 若函数在上有两个零点，则m的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若或，求m的取值范围． 16. 已知函数满足． （1）求的解析式； （2）若，求的值域； （3）讨论的定义域． 17. 已知 （1）证明：的最大值与的最小值相等． （2）若恒成立，求m的取值范围． 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求. （2）若将的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，证明：. （3）若函数（常数）在区间上是单调函数，求的最大值. 19. 若关于的方程的系数均为整数，，则称该方程为次整系数方程，若该整系数方程存在无理数根，则称该方程为次优越方程.若关于的方程的系数均为实数，，则称该方程为次实系数方程. （1）试问这两个方程哪个是次优越方程？说明你的理由. （2）已知4次实系数方程有个互不相等的实根，求的取值范围. （3）若是6次优越方程的一个实根，求的一组值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $