第1章 三角形的初步知识（单元测试A卷）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙江专用）

第1章 《三角形的初步知识》单元测试卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）为估计池塘两岸A、B间的距离，晓聪在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离可能是（　　） A．2m B．30m C．28m D．20m 2．（3分）下列图形中，正确画出AC边上的高的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（　　） A．45° B．50° C．60° D．75° 4．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A．25° B．50° C．65° D．70° 5．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 6．（3分）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（　　） A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠C＝70° C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠B＝30° 7．（3分）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝48°，∠C＝68°，则∠DAE的度数是（　　） A．10° B．12° C．14° D．16° 8．（3分）如图所示，在△ABC中，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（　　） A．7 B．2 C．3 D．5 9．（3分）如图，△ABC的面积为18cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．10cm2 10．（3分）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝40°，则∠BFC的大小是（　　） A．105° B．100° C．110° D．115° 二．填空题（每题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）把“对顶角相等”改成“如果…，那么…”：　 　． 12．（3分）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有 　 　． 13．（3分）如图，点E，F在线段AC上（不与点A，C重合），△ADF≌△CBE，若AC＝8，EF＝2，则AE的长为 　 　． 14．（3分）如图，射线OE是∠AOB的平分线，C是射线OE上一点，CF⊥OA于点F．若D是射线OB上一点，且OD＝CF＝4，则△ODC的面积是 　 　． 15．（3分）如图，△ABC中，点D、E、F分别在边BC，AC，AB上，E为AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD＝2CD，S△AGE＝3，S△GDC＝4，则S△ABC的值是 　 　． 16．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，过点A作AM⊥AC，点P，Q分别在线段AC和射线AM上移动．若PQ＝AB，则当AP＝　 　时，△ABC和△APQ全等． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，且AD＝AE．求证：BD＝CE． 请将下列证明过程补充完整： 证明：在△ABD和△ACE中， ∵AB＝AC（ 　 　） ∠　 　＝∠　 　（公共角） AD＝　 　（已知） ∴△ABD≌△ACE （ 　 　） ∴BD＝CE（ 　 　） 18．（6分）已知：如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，∠EBC＝∠A，求证：BE∥CD． 19．（8分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数． 20．（8分）如图，AB∥CD，点E是射线CD上一点． （1）利用尺规作图，作∠FED，使∠FED＝∠C，边EF交射线AB于F，（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）∠AFE与∠C相等吗？说明理由． 21．（10分）将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA＝∠CBE，∠BDE＝∠BAC，AC＝DE＝DC． （1）试说明△ABC≌△DBE； （2）若∠ACD＝72°，求∠BED的度数． 22．（10分）如图，点D在△ABC的边BA延长线上，点E在BC边上，连结DE交AC于点F，∠C＝∠D． （1）求证：∠DAC＝∠CED； （2）若∠AFD＝66°，∠DFC＝3∠B，求∠BED的度数． 23．（12分）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝14cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒： （1）BP＝　 　cm．（用t的代数式表示） （2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？ （3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 24．（12分）在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，连接BE，CF． 【发现问题】如图①，若∠BAC＝30°，延长BE交CF于点D，则BE与CF的数量关系是 　 　，∠BDC的度数为 　 　． 【类比探究】如图②，若∠BAC＝120°，延长BE，FC相交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若∠BAC＝90°，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M，请猜想BF，CF，AM之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 《三角形的初步知识》单元测试卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）为估计池塘两岸A、B间的距离，晓聪在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离可能是（　　） A．2m B．30m C．28m D．20m 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得16﹣12＜AB＜16+12，再解即可． 【解答】解：根据三角形的三边关系定理可得：16﹣12＜AB＜16+12， 即4＜AB＜28， 故选：D． 2．（3分）下列图形中，正确画出AC边上的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【解答】解：A、图中没有画出AC边上的高，不符合题意； B、图中没有画出的BE是AC边上的高，不符合题意； C、图中没有画出AC边上的高，不符合题意； D、图中画出AC边上的高，符合题意； 故选：D． 3．（3分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（　　） A．45° B．50° C．60° D．75° 【分析】如图（见解析），先根据三角板可得∠2＝45°，∠4＝30°，再根据角的和差可得∠3＝45°，然后根据三角形的外角性质即可得． 【解答】解：如图，由题意可知，∠2＝45°，∠4＝30°， ∵两个三角板中有刻度的边互相垂直， ∴∠3＝90°﹣∠2＝45°， ∴∠1＝∠3+∠4＝45°+30°＝75°， 故选：D． 4．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A．25° B．50° C．65° D．70° 【分析】由角平分线的定义可得∠PBC＝∠ABC，∠ACP＝∠DCP＝∠ACD，从而可求得∠DCP＝90°﹣∠ACB，再利用三角形的外角性质得∠DCP＝∠PBC+∠P，从而可求解． 【解答】解：如图， ∵∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P， ∴∠PBC＝∠ABC，∠ACP＝∠DCP＝∠ACD， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠PBC＝∠ACB，∠DCP＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB， ∵∠DCP是△BCP的外角，∠BPC＝25°， ∴∠BPC+∠PBC＝∠DCP， 25°+∠ACB＝90°﹣∠ACB， 解得：∠ACB＝65°． 故选：C． 5．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，得到三角形全等，由全等得到角相等，是用的全等的性质，全等三角形的对应角相等． 【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，则∠A′O′B′＝∠AOB． 故选：C． 6．（3分）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（　　） A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠C＝70° C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠B＝30° 【分析】根据三角形三边的关系对A选项进行判断；根据全等三角形的判定方法可对B、C、D选项进行判断． 【解答】解：A．3cm、6cm、2cm不能组成三角形，所以A选项不符合题意； B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠C＝70°，符合三角形全等的条件，所以B选项符合题意； C．∠A＝∠B＝∠C＝60°，不符合全等三角形的条件，所以C选项不符合题意； D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠B＝30°，不符合三角形全等的条件，所以D选项不符合题意． 故选：B． 7．（3分）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝48°，∠C＝68°，则∠DAE的度数是（　　） A．10° B．12° C．14° D．16° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，求出∠DAC，再求出答案即可． 【解答】解：∵∠B＝48°，∠C＝68°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝BAC＝32°， ∵AD是△ABC的BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝68°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝22°， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝32°﹣22°＝10°， 故选：A． 8．（3分）如图所示，在△ABC中，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（　　） A．7 B．2 C．3 D．5 【分析】根据垂直的定义得到∠AEC＝∠D＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D， ∴∠AEC＝∠D＝90°， 在Rt△AEC与Rt△CDB中， ， ∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL）， ∴CE＝BD＝2，CD＝AE＝7， ∴DE＝CD﹣CE＝7﹣2＝5， 故选：D． 9．（3分）如图，△ABC的面积为18cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．10cm2 【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出△PBC的面积等于△ABC面积的一半，代入计算即可． 【解答】解：如图，延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴×18＝9（cm2）． 故选：C． 10．（3分）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝40°，则∠BFC的大小是（　　） A．105° B．100° C．110° D．115° 【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′+∠AHC′，再求出∠C′+∠AHC′即可解决问题． 【解答】解：延长C′D交AB′于H． ∵△AEB≌△AEB′， ∴∠ABE＝∠AB′E， ∵C′H∥EB′， ∴∠AHC′＝∠AB′E， ∴∠ABE＝∠AHC′， ∵△ADC≌△ADC′， ∴∠C′＝∠ACD， ∵∠BFC＝∠DBF+∠BDF，∠BDF＝∠CAD+∠ACD， ∴∠BFC＝∠AHC′+∠C′+∠DAC， ∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°， ∴∠C′AH＝120°， ∴∠C′+∠AHC′＝60°， ∴∠BFC＝60°+40°＝100°， 故选：B． 二．填空题（每题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）把“对顶角相等”改成“如果…，那么…”：　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　． 【分析】根据把一个命题写成“如果…那么…”的形式，则“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，即可得出答案． 【解答】解：把“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 12．（3分）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有 　稳定性　． 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【解答】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性， 故答案为：稳定性． 13．（3分）如图，点E，F在线段AC上（不与点A，C重合），△ADF≌△CBE，若AC＝8，EF＝2，则AE的长为 　3　． 【分析】根据全等三角形的性质可得AF＝CE，再利用等量代换可得AE＝CF，即可求解． 【解答】解：∵△ADF≌△CBE， ∴AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF， ∵2AE＝AC﹣EF＝8﹣2＝6， ∴AE＝3， 故答案为：3． 14．（3分）如图，射线OE是∠AOB的平分线，C是射线OE上一点，CF⊥OA于点F．若D是射线OB上一点，且OD＝CF＝4，则△ODC的面积是 　8　． 【分析】过点C作PC⊥OB于点P，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【解答】解：如图，过点C作PC⊥OB于点P， ∵射线OE是∠AOB的平分线，CF⊥OA，OD＝CF＝4， ∴PC＝FC＝4， ∴△ODC的面积是． 故答案为：8． 15．（3分）如图，△ABC中，点D、E、F分别在边BC，AC，AB上，E为AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD＝2CD，S△AGE＝3，S△GDC＝4，则S△ABC的值是 　30　． 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出△AGE和△CGE的面积相等，△BCE和△BEA的面积相等，再根据BD＝2CD即可得出△GDB与△GDC面积之间的关系，从而求出△BCE的面积，从而求出△ABC的面积． 【解答】解：∵E为AC的中点， ∴S△CGE＝S△AGE＝3， ∵BD＝2CD， ∴S△GDB＝2S△GDC＝2×4＝8， ∵S△GDC＝4， ∴S△BCE＝S△GDB+S△GDC+S△CGE＝8+4+3＝15， ∵E为AC的中点， ∴S△ABC＝2S△BCE＝2×15＝30， 故答案为：30． 16．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，过点A作AM⊥AC，点P，Q分别在线段AC和射线AM上移动．若PQ＝AB，则当AP＝　8cm或16cm　时，△ABC和△APQ全等． 【分析】先利用垂直的定义得到∠PAQ＝90°，由于PQ＝AB，则根据直角三角形的判定方法得到AP＝AC＝16cm，Rt△ABC≌Rt△PQA或当AP＝BC＝8cm时，Rt△ABC≌Rt△QPA． 【解答】解：∵AM⊥AC， ∴∠PAQ＝90°， ∵∠C＝90°，PQ＝AB， ∴当AP＝AC＝16cm时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）， 当AP＝BC＝8cm时，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）， 综上所述，AP为8cm或16cm时，△ABC和△APQ全等． 故答案为：8cm或16cm． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，且AD＝AE．求证：BD＝CE． 请将下列证明过程补充完整： 证明：在△ABD和△ACE中， ∵AB＝AC（ 　已知　） ∠　BAD　＝∠　CAE　（公共角） AD＝　AE　（已知） ∴△ABD≌△ACE （ 　SAS　） ∴BD＝CE（ 　全等三角形的对应边相等　） 【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE． 【解答】证明：在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）， 故答案为：已知，BAD，CAE，AE，SAS，全等三角形的对应边相等． 18．（6分）已知：如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，∠EBC＝∠A，求证：BE∥CD． 【分析】根据垂直的定义得到∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA，等量代换可得∠EBC＝∠BCD，再根据平行线的判定定理即可得到结论． 【解答】解：∵BC⊥AC，CD⊥AB， ∴∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA， ∴∠BCD＝∠A， ∵∠EBC＝∠A， ∴∠EBC＝∠BCD， ∴BE‖CD． 19．（8分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数． 【分析】（1）先根据AD＝BE得AB＝DE，由此可依据“SSS”判定△ABC和△DEF全等； （2）由△ABC≌△DEF得∠A＝∠FDE＝55°，进而根据三角形内角和定理可得∠F的度数． 【解答】（1）证明：∵AD＝BE， ∴AD+BD＝BE+BD， 即AB＝DE， 在△ABC和△DEF中， ， △ABC≌△DEF（SSS）； （2）解：∵∠A＝55°，∠E＝45°， 由（1）可知：△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠FDE＝55°， ∴∠F＝180°﹣（∠FDE+∠E）＝180°﹣（55°+45°）＝80°． 20．（8分）如图，AB∥CD，点E是射线CD上一点． （1）利用尺规作图，作∠FED，使∠FED＝∠C，边EF交射线AB于F，（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）∠AFE与∠C相等吗？说明理由． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）证明∠C+∠FEC＝180°，∠AFE+∠FEC＝180°，可得结论． 【解答】解：（1）如图，∠FED即为所求． （2）结论：∠AFE＝∠C． 理由：∵∠FED＝∠C， ∴AC∥EF， ∴∠C+∠FEC＝180°， ∵AB∥CD， ∴∠AFE+∠FEC＝180°， ∴∠AFE＝∠C． 21．（10分）将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA＝∠CBE，∠BDE＝∠BAC，AC＝DE＝DC． （1）试说明△ABC≌△DBE； （2）若∠ACD＝72°，求∠BED的度数． 【分析】（1）利用AAS证明三角形全等即可； （2）全等三角形的性质，得到∠BED＝∠BCA，证明△DBC≌△ABC（SSS），得到，即可得解． 【解答】（1）证明：因为∠DBA＝∠CBE， 所以∠DBA+∠ABE＝∠CBE+∠ABE， 即∠DBE＝∠ABC． 在△ABC和△DBE中， ， 所以△ABC≌△DBE（AAS）． （2）解：因为△ABC≌△DBE， 所以BD＝BA，∠BCA＝∠BED． 在△DBC和△ABC中， ， 所以△DBC≌△ABC（SSS）， 所以， 所以∠BED＝∠BCA＝36°． 22．（10分）如图，点D在△ABC的边BA延长线上，点E在BC边上，连结DE交AC于点F，∠C＝∠D． （1）求证：∠DAC＝∠CED； （2）若∠AFD＝66°，∠DFC＝3∠B，求∠BED的度数． 【分析】（1）利用三角形的外角性质，可得出∠CAD＝∠B+∠C，∠CED＝∠B+∠D，再结合∠C＝∠D，即可证出∠CAD＝∠CED； （2）由∠AFD＝66°得出∠DFC＝114°，再由∠DFC＝3∠B，可求出∠AFD及∠B的度数，在△ADF中，利用三角形内角和定理，可求出∠C，∠D的度数，再在△BED中，利用三角形内角和定理，即可求出∠BED的度数． 【解答】（1）证明：∵∠DAC是△ABC的外角， ∴∠DAC＝∠B+∠C； ∵∠CED是△BDE的外角， ∴∠CED＝∠B+∠D． 又∵∠C＝∠D， ∴∠DAC＝∠CED； （2）解：∵∠AFD＝66°， ∴∠DFC＝114°， ∵∠DFC＝3∠B， ∴∠AFD＝180°﹣∠DFC＝180°﹣114°＝66°，∠B＝∠DFC＝×114°＝38°． 在△ADF中，∠CAD+∠D+∠AFD＝180°， ∵∠CAD＝∠B+∠C，∠C＝∠D， ∴∠B+∠C+∠C+∠AFD＝180°， 即38°+∠C+∠C+66°＝180°， ∴∠C＝×（180°﹣38°﹣66°）＝38°， ∴∠D＝38°． 在△BED中，∠B＝38°，∠D＝38°， ∴∠BED＝180°﹣∠B﹣∠D＝180°﹣38°﹣38°＝104°． 23．（12分）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝14cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒： （1）BP＝　2t　cm．（用t的代数式表示） （2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？ （3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据P点的运动速度可得BP的长； （2）根据全等三角形的性质即可得出BP＝CP即可； （3）此题主要分两种情况①△ABP≌△PCQ得到BP＝CQ，AB＝PC，②△ABP≌△QCP得到BA＝CQ，PB＝PC，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【解答】解：（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t秒时，BP＝2t， 故答案案为：BP＝2t； （2）当t＝时，△ABP≌△DCP， 理由：∵BP＝2t，CP＝14﹣2t， ∵△ABP≌△DCP， ∴BP＝CP， ∴2t＝14﹣2t， ∴t＝， （2）①当△ABP≌△PCQ时， ∴BP＝CQ，AB＝PC， ∵AB＝8， ∴PC＝8， ∴BP＝BC﹣PC＝14﹣8＝6， 2t＝6， 解得：t＝3， CQ＝BP＝6， v×3＝6， 解得：v＝2； ②当△ABP≌△QCP时， ∴BA＝CQ，PB＝PC ∵PB＝PC， ∴BP＝PC＝BC＝7， 2t＝7， 解得：t＝， CQ＝BA＝8， v×＝8， 解得：v＝． 综上所述：当v＝2或时，△ABP与△PQC全等． 24．（12分）在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，连接BE，CF． 【发现问题】如图①，若∠BAC＝30°，延长BE交CF于点D，则BE与CF的数量关系是 　BE＝CF　，∠BDC的度数为 　30°　． 【类比探究】如图②，若∠BAC＝120°，延长BE，FC相交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若∠BAC＝90°，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M，请猜想BF，CF，AM之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论； （3）利用SAS证明△ABE≌△ACF，可得BE＝CF，再由等腰直角三角形的性质可得AM＝EM＝FM，即EF＝2AM，根据BF＝BE+EF，等量代换可得BF＝CF+2AM． 【解答】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°， 理由如下：如图1所示，设AC与BD交于点O， ∵∠BAC＝∠EAF＝30°， ∴∠BAC+∠CAE＝∠EAF+∠CAE， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF， ∵∠AOE＝∠ABE+∠BAC，∠AOE＝∠ACF+∠BDC， ∴∠BDC＝∠BAC＝30°． 故答案为：BE＝CF，30°； （2）BE＝CF，∠BDC＝60°， 理由如下：如图2， ∵∠BAC＝∠EAF＝120°， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC， ∵∠EAF＝120°，AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE＝30°， ∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°； （3）【拓展延伸】BF＝CF+2AM， 理由如下：如图3， ∵∠BAC＝∠EAF＝90°， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF， ∵AE＝AF，∠EAF＝90°，AM⊥EF， ∴AM＝EM＝FM，即EF＝2AM， ∵BF＝BE+EF， ∴BF＝CF+2AM． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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