第1章 勾股定理（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

第1章 勾股定理（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 知识点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 　如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点归纳： 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系： 　　 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 　　 若时，△ABC是锐角三角形； 　　　若时，△ABC是钝角三角形． 2.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点归纳： 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 考点1：一个定理——勾股定理 【例题1】（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，一张长方形纸片剪去一个角后剩下一个梯形，则这个梯形的周长为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 【变式2】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知直角三角形中两边的长分别为6和8，求第三边的长的平方． 考点2：一个判定——直角三角形的判定 【例题2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，13 【变式1】（22-23八年级上·上海长宁·期末）在中，、、的对边分别是a、b、c，下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B．∠ C． D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是上一点，已知，，，，则的长为 ． 【变式3】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，． (1)求证：． (2)若，判断的形状． 考点3：一个概念——勾股数 【例题3】（24-25八年级上·全国·课后作业）勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（　　） A．，， B． C．5，15，20 D．9，40，41 【变式1】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国在著名的数著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．5，10，13 D．3，4，5 【变式2】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数： ． 【变式3】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． (2)任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 考点4：四种方法 方法1：化曲（折）为直法 【例题4】（23-24八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【变式1】（23-24八年级上·四川达州·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为 （杯壁厚度不计）． 【变式3】（22-23八年级上·宁夏银川·期中）编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 方法2：对称找点法 【例题5】（20-21八年级上·陕西西安·期中）如图，牧童在处放牛，牧童家在处，、处距河岸的距离、的长分别为500m和700m，且，两点的距离为500m，天黑前牧童从处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为（    ） A．1000m B．1200m C．1300m D．1700m 【变式1】（21-22七年级上·山东泰安·期中）如图，牧童在处放牛，牧童家在处，，处距河岸的距离、的长分别为5km和10km，且，两点的距离为8km，天黑前牧童从处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为（    ）． A．15km B．16km C．17km D．18km 【变式2】（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短． (1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值． 【变式3】（20-21八年级下·安徽淮南·期中）如图，A村和B村在河岸CD的同侧，它们到河岸CD的距离AC，BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元． （1）请在CD上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省； （2）求铺设水管的最省总费用． 方法3：旋转法 【例题6】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，将绕原点B旋转，则旋转后点A的对应点的坐标是（    ）    A． B． C．或 D．或 【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（       ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，连接，．若，，，则的度数是 ． 【变式3】（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）教学实验：画的平分线． (1)将一块最够大的三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别于交于E，F（如图①）．度量的长度， ______（填，，=）； (2)将三角尺绕点P旋转（如图②）： ①与相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由； ②若，请直接写出四边形的面积：______ ． 方法4：化斜为直法 【例题7】（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知等腰中，，，D是边上一点，且．    (1)求的长； (2)求中边上的高． 【变式1】（20-21八年级·河南商丘·期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=20cm，D是AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm (1)求证：CD⊥AB； (2)求△ABC的周长． 【变式2】（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图，四边形中，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【变式3】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）如图，已知等腰的底边，D是腰上一点，且，． (1)求证：； (2)求的长． 考点5：两个应用 应用1：勾股定理的应用 【例题8】（23-24八年级上·江苏镇江·期末）《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间．根据勾股定理可列得方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为(    ) A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【变式2】（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺，如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的，示意图如图，则水深为 尺    【变式3】（23-24八年级上·宁夏中卫·阶段练习）《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高9尺，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高9尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 应用2：直角三角形判定的应用 【例题9】（22-23八年级·湖南益阳·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国南宋时期长度单位，则该沙田的面积为（    ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 【变式1】（21-22八年级·广西防城港·期末）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（    ）． A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形的稳定性 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单 【变式2】（23-24八年级·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 【变式3】（23-24八年级·甘肃定西·期中）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为 ． 考点6：三种思想 思想1：方程思想 【例题10】（20-21八年级上·重庆沙坪坝·期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（    ） A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺 【变式1】（22-23八年级下·重庆渝北·阶段练习）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·山东济南·期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为（    ）    A．10 尺 B．14.5 尺 C．13尺 D．17尺 【变式3】（20-21八年级·吉林·期中）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几”．此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离AB的长度为1尺．将它往前推送，当水平距离为10尺时．即尺，则此时秋千的踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，求绳索OA的长． 思想2：转化思想 【例题11】（23-24八年级上·山西晋中·期中）阅读下列材料，并完成相应任务． 巧用勾股定理测算旗杆高度 数学活动课上，老师让同学们利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算出学校旗杆的的高度． 小李同学将升旗的绳子拉直到其末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端的距离为(如图1)．小李同学发现无法求出旗杆的高度．    小明同学将绳子拉直到其末端距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面的高度为(如图2)．小明同学也发现无法求出旗杆的高度．    他俩去请教老师，老师给出提示：你俩的方法结合一下便可以解决问题，因为不管怎么拉动绳子，绳子的长度不变，… 任务：请你按照老师的提示帮小李和小明求出旗杆的高度． 【变式1】（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为． (1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； (2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留） ①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 【变式2】（23-24八年级·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【变式3】（23-24八年级上·广东佛山·期中）阅读下面材料：实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5cm，BC是底面直径，高AB为5cm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．    解决方案： 路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示： 这路线一的长度为；则； 路线2：高底面直径BC，如图（1）所示： 设路线2的长度为：则； 为比较和的大小，我们采用“作差法”： ∵， ∴． ∴． 小明认为应选择路线2较短． (1)问题类比： 小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm”请你用上述方法帮小亮比较出与的大小； (2)问题拓展： 请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为时，高为，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由． (3)问题解决： 如图（3）为两个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5cm，当蚂蚁从点A出发，沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r．（注：按上面小明所设计的两条路线方式） 思想3：分类讨论思想 【例题12】（23-24八年级·安徽亳州·期中）直角三角形两条边长分别是，则这个直角三角形的斜边是（    ） A． B． C．或 D．或3 【变式1】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为t秒，若是等腰三角形时，则t的值为（    ） A．10 B．16 C．10或16 D．10或16或 【变式2】（22-23八年级上·上海长宁·期末）我们把不等边三角形一条边上的中线与这条边上的高的夹角叫做该三角形的“偏离角度”．已知直角三角形的“偏离角度”为，斜边长为4，那么它的面积等于 ． 【变式3】（22-23八年级上·广东清远·阶段练习）如图，在中，，D为边上的动点，点D从点C出发，沿边往点A运动，当运动到点A时停止．已知点D运动的速度为每秒2个单位长度．设点D运动的时间为t秒，当t为多少时，是直角三角形？ 一、单选题 1．（2022·山东济宁·中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（  ） A． B． C． D． 2．（2023·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 3．（2020·陕西·中考真题）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）    A． B． C． D． 4．（2023·山东日照·中考真题）已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（    ） A． B． C． D．大小无法确定 5．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 二、填空题 6．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 7．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）． 8．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    9．（2023·山东东营·中考真题）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km． 10．（2020·湖北黄冈·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是 尺． 三、解答题 11．（2021·四川攀枝花·中考真题）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2． 12．（2023·湖南·中考真题）如图，，，，垂足分别为，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（2023·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．    (1)在图①中，的面积为； (2)在图②中，的面积为5 (3)在图③中，是面积为的钝角三角形． 一、单选题 1．（22-23八年级上·辽宁阜新·阶段练习），，，高，则的周长为（    ） A．32 B．42 C．32或42 D．38或42 2．（23-24八年级上·浙江·周测）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则这根芦苇的长度是（    ）    A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 3．（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米．则小巷的宽度为（）米    A．7 B． C． D． 4．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 6．（22-23八年级上·广东清远·阶段练习）如图，已知中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于    （     ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，有两棵树，一棵高20米，另一棵高10米，两树相距24米，若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（    ） A．26米 B．30米 C．36米 D．40米 8．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）如图，小方格都是边长为2的正方形，则中边上的高是（    ） A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3 9．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 10．（24-25八年级上·全国·课后作业）某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，线段，经过点作，使，连接，在上截取，在上截取，则 ．      12．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为 ．    13．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    14．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，在高，斜坡长，宽为的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少需要 ． 15．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ． 16．（22-23八年级上·宁夏银川·期中）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 海里时． 17．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）观察下列表格中数组的规律． 组别 数字 等式 1 3，4，5 2 5，12，13 3 7，24，25 4 9，40，41 … … … 根据上表的规律，写出第组的三个数字满足的等式： ． 18．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，于点A，于点B，点E是的中点，连按，已知知，，，则 的长为 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：   (1)的长； (2)四边形的面积． 20．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，O是等边三角形内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接．    (1)图中哪两个三角形可以通过怎样的旋转互相得到？并说明理由． (2)连接，判断的形状； 21．（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)试说明为直角三角形． (2)求的长． 22．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，平分，且，过点D作于点E．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知中，，，边上的高．求的面积． 24．（23-24八年级上·北京平谷·期末）阅读下面材料： 已知，在中，，，点D是射线上任意一点，连接，过点C作，垂足为点E，交于点F，过点B作交的延长线于点G．    (1)如图1，当，点D是边中点时，求的长； (2)当点D在的延长线上时，根据题意补全图形2，用等式表示线段、和的数量关系，并证明． 25．（23-24七年级上·山东泰安·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，同折者高几何？”译成数学问题是：如图所示，在中，，，，求AC的长为多少尺？（说明：） 26．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，点是平面内任意一点（不同于、、），若点与、、中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点为的一个勾股点． (1)如图1，若点是内一点，，，，证明点是的一个勾股点． (2)如图2，在中，，，，点在上，且，点在射线上．若点是的勾股点，请求出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 勾股定理（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 知识点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 　如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点归纳： 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系： 　　 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 　　 若时，△ABC是锐角三角形； 　　　若时，△ABC是钝角三角形． 2.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点归纳： 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 考点1：一个定理——勾股定理 【例题1】（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，一张长方形纸片剪去一个角后剩下一个梯形，则这个梯形的周长为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理求出的长，进一步求出梯形的周长即可． 【详解】解：由图和题意，得：， ∴， ∴， ∴这个梯形的周长为； 故选B． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，，根据题意得出，由勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 设， ， 且， 在中，， ， 解得， 故选A． 【变式2】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，延长交于点F，然后证明，得到，然后利用勾股定理得到，然后解题即可． 【详解】解：延长交于点F， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为： 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知直角三角形中两边的长分别为6和8，求第三边的长的平方． 【答案】100或28 【分析】本题考查勾股定理，分第三边为直角边和斜边，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当第三边为斜边时，6和8分别是两直角边的长，由勾股定理，得第三边的长的平方为：． 当第三边为直角边时，斜边长为8，由勾股定理，得第三边的长的平方为：． ∴第三边的长的平方为100或28 考点2：一个判定——直角三角形的判定 【例题2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，13 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．掌握并熟练应用勾股定理的逆定理是解题的关键． 先求出两较短边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可判断得出结论． 【详解】解：A、，是直角三角形，故选项不符合题意； B、，不是直角三角形，故选项符合题意； C、，是直角三角形，故选项不符合题意； D、，是直角三角形，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（22-23八年级上·上海长宁·期末）在中，、、的对边分别是a、b、c，下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B．∠ C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据勾股定理及其逆定理可判断A、D选项，根据三角形内角和可判断B、C选项，从而解题． 【详解】解答：解：， ， 故A能，不符合题意； ，， ， ， 故B能，不符合题意； ，， ， 故C不能，符合题意； ， ， 故D能，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是上一点，已知，，，，则的长为 ． 【答案】14 【分析】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，在中，由三边长，利用勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，可得出与垂直，在直角三角形中，由勾股定理求出，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：， ， 即， 为直角三角形，且， ， ， ， ． 故答案为：14． 【变式3】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，． (1)求证：． (2)若，判断的形状． 【答案】(1)证明见解析 (2)是直角三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理的逆定理等相关知识点，解题的关键是熟知相关性质． （1）由平行线的性质推得，由推得，再利用“边角边”定理即可证明两三角形全等． （2）结合三角形全等的性质计算的各边的长，再利用勾股定理的逆定理可判断三角形的形状． 【详解】（1）∵， ∴， ∵ ∴即 在与中， ， ∴ （2）∵， ∴，， 又 则， 在中， ∵， ∴ ∴， ∴的形状是直角三角形 考点3：一个概念——勾股数 【例题3】（24-25八年级上·全国·课后作业）勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（　　） A．，， B． C．5，15，20 D．9，40，41 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数：满足勾股定理逆定理的三个正整数；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数； B、1.5，2.5不是正整数，不是勾股数； C、，不是勾股数； D、，且各数均为正整数，为勾股数； 故选:D． 【变式1】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国在著名的数著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．5，10，13 D．3，4，5 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； B、1.5和2.5不是整数，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，故是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数： ． 【答案】/10，6 【分析】本题考查了勾股数的概念，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴可以组成一组勾股数 故答案为：（答案不唯一） 【变式3】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． (2)任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 【答案】(1)①6；②12；③17 (2)见解析 【分析】本题考查勾股数： （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴6，8，10是勾股数； 故答案为：6 ②∵， ∴5，12，13是勾股数； 故答案为：12 ③∵， ∴8，15，17是勾股数． 故答案为：17； （2）证明：∵，， ∴， ∴三个整数，，是勾股数 考点4：四种方法 方法1：化曲（折）为直法 【例题4】（23-24八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故选：A 【变式1】（23-24八年级上·四川达州·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得：． 故选：C． 【变式2】（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为 （杯壁厚度不计）． 【答案】20 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，轴对称的性质和勾股定理，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，根据勾股定理求出最后结果即可． 【详解】解：如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程， ， ，， 根据勾股定理有： ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为， 故答案为：20． 【变式3】（22-23八年级上·宁夏银川·期中）编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 【答案】每一根这样的竹条的长度最少是 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键．将圆柱侧面展开，再根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示， 圆柱底面周长为，高为， ， 即每一根这样的竹条的长度最少是 方法2：对称找点法 【例题5】（20-21八年级上·陕西西安·期中）如图，牧童在处放牛，牧童家在处，、处距河岸的距离、的长分别为500m和700m，且，两点的距离为500m，天黑前牧童从处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为（    ） A．1000m B．1200m C．1300m D．1700m 【答案】C 【分析】本题可以把两线段的和最小的问题转化为两点之间线段最短的问题解决．转化的方法是作A关于CD的对称点，求解对称点与B之间的距离即可． 【详解】解：解：作A关于CD的对称点E，连接BE，并作BF⊥AC于点F． 则EF=BD+AC=500+700=1200m，BF=CD=500m． 在Rt△BEF中，根据勾股定理得：BE==1300（m）． 故选：C． 【点睛】此题考查了轴对称--最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用 【变式1】（21-22七年级上·山东泰安·期中）如图，牧童在处放牛，牧童家在处，，处距河岸的距离、的长分别为5km和10km，且，两点的距离为8km，天黑前牧童从处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为（    ）． A．15km B．16km C．17km D．18km 【答案】C 【分析】作出A点关于河岸的对称点A'，根据两点之间线段最短得出BA'的长即为牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：作A点关于河岸的对称点A'，连接BA'交河岸与P，连接A'B'，连接PA，过A'作A'B'⊥BD于B'， 则PB＋PA＝PB＋PA'＝BA'最短，故牧童应将马赶到河边的P地点． ∴B'D＝A'C＝CA＝5km， ∴BB'＝BD＋BD'＝10＋5＝15km， ∵A'B'＝CD＝8km， ∴BA'＝． 即牧童至少要走的距离为17km， 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理、轴对称−−最短路径问题在生活中的应用，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短． (1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长，取，再连接，与交于点E即可； （2）作出以为斜边的直角，求出直角边，利用勾股定理求出结果． 【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置； （2）如图，作出以为斜边的直角， 由（1）可知：， 由题意可得：，，， ∴，，， ∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为． 【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于的对称点是确定建水厂位置的关键． 【变式3】（20-21八年级下·安徽淮南·期中）如图，A村和B村在河岸CD的同侧，它们到河岸CD的距离AC，BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元． （1）请在CD上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省； （2）求铺设水管的最省总费用． 【答案】（1）见解析；（2）100000元 【分析】（1）延长到，使，连接，交于，则为所求； （2）过作，交的延长线于，得出矩形，求出，长，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）延长到，使，连接，交于， 则在上选择水厂位置是时，使铺设管道的费用最省； （2）过作，交的延长线于， ，， ， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米千米千米， 在中，由勾股定理得：（千米）， ，， ， 千米， 铺设水管的最最省总费用是：20000元千米千米元． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，矩形的性质和判定，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力 方法3：旋转法 【例题6】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，将绕原点B旋转，则旋转后点A的对应点的坐标是（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质和全等三角形的判定和性质，分顺时针和逆时针旋转，由旋转的性质得到对应三角形全等，结合对应边相等，即可求得旋转后点的坐标． 【详解】解：过点A作轴交轴于点H，如图，    设，则， ∵， ∴，解得， ∴，，， 当绕原点B逆时针旋转90°后，得到， 过点作轴交轴于点， 由旋转性质得， 则，， 那么， ∴； 当绕原点B顺时针旋转90°后，得到， 过点作轴交轴于点N， 由旋转性质得， 则，， 那么， ∴． 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的规律探究．熟练掌握旋转的性质，所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理，是解题的关键． 过点作轴于，求出的长，进于求出点的坐标，根据旋转的性质，以及点的坐标规律，判断每6次一个循环，进而求出第2024次旋转后，点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴于， 在中，， ， ， 由勾股定理得， ， ， ， ∴逆时针旋转后，得，以此类推，6次一个循环， ， ∴第2024次旋转后，点的坐标为， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，连接，．若，，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理的计算是解题的关键． 根据等边三角形，旋转的性质可证是等边三角形，可得，由此可证，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，结合即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵绕点旋转得， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴， 故答案为： ． 【变式3】（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）教学实验：画的平分线． (1)将一块最够大的三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别于交于E，F（如图①）．度量的长度， ______（填，，=）； (2)将三角尺绕点P旋转（如图②）： ①与相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由； ②若，请直接写出四边形的面积：______ ． 【答案】(1)= (2)①；理由见解析；②1． 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形面积等知识点，熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等是解题的关键． （1）通过证明，然后根据全等三角形的性质即可解答； （2）①把三角尺绕点顺时针旋转，使三角尺的两条直角边分别与，垂直于、，证出四边形是正方形，由证明，得出对应边相等即可． ②由①得出四边形是正方形，由正方形的性质得出，四边形的面积正方形的面积即可． 【详解】（1）解：∵的平分线， ∴, ∵三角尺的两条直角边分别于交于E，F（如图①）． ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：=． （2）解：①；理由如下： 如图：把三角尺绕点顺时针旋转，使三角尺的两条直角边分别与，垂直于、， 则，四边形是矩形 平分， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； ②由①得：四边形是正方形，， ， 四边形的面积正方形的面积； 故答案为：． 方法4：化斜为直法 【例题7】（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知等腰中，，，D是边上一点，且．    (1)求的长； (2)求中边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理得出是解此题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理求出，求出，再根据勾股定理求出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）∵，且， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； （2）， 过A作于E，则是的高，    ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即中边上的高是 【变式1】（20-21八年级·河南商丘·期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=20cm，D是AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm (1)求证：CD⊥AB； (2)求△ABC的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据BD、CD、BC长可利用勾股定理逆定理证明∠BDC=90°，进而得到CD⊥AB； （2）设AD=xcm，则AB=AC=（x+12）cm，再利用勾股定理可得x2+162=（x+12）2，解方程可得x的值，即可求出AD的长，进而得到AB长，然后即可算出周长． 【详解】（1）∵ ∴122+162=202， ∴DB2+CD2=BC2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°， ∴CD⊥AB； （2）设AD=xcm，则AB=AC=（x+12）cm， ∵∠BDC=90°， ∴∠ADC=90°， ∴x2+162=（x+12）2， 解得：x=， 即AD的长为， ∴AC=AB=BD+AD=12+=， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC=×2+20=． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形 【变式2】（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图，四边形中，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)114 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理： （1）连接，根据勾股定理可得到的长，再由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，即可求证； （2）根据四边形的面积的面积的面积，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：四边形的面积的面积的面积 故四边形的面积为114 【变式3】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）如图，已知等腰的底边，D是腰上一点，且，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理及逆定理的应用，正确理解题意正确应用定理是解题的关键： （1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理得，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， 即． （2）由题意得：， 设，则， 在中，， 即，， 即． 考点5：两个应用 应用1：勾股定理的应用 【例题8】（23-24八年级上·江苏镇江·期末）《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间．根据勾股定理可列得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间，这时乙共行， 甲共行， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故选：D 【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为(    ) A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设这根芦苇的长度为尺，在中，由勾股定理得出方程求解即可得出结果． 【详解】解：设这根芦苇的长度为尺， 由题意知，尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 这根芦苇的长度为尺， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺，如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的，示意图如图，则水深为 尺    【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，    因为尺，所以尺， 在中，， 解之得， 即水深尺，芦苇长尺． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·宁夏中卫·阶段练习）《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高9尺，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高9尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 【答案】折断处离地面尺 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为尺，利用勾股定理，即可得出关于x的方程，此题得解． 【详解】解：如图： ∵一根竹子原来高9尺，设折断处离地面的高度为x尺， ∴竹梢到折断处的长度为尺 依题意得： 解得， ∴折断处离地面尺． 应用2：直角三角形判定的应用 【例题9】（22-23八年级·湖南益阳·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国南宋时期长度单位，则该沙田的面积为（    ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵三角形的三条边长分别为里，里，里， 又，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴ 这个三角形的面积为：平方里, 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式1】（21-22八年级·广西防城港·期末）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（    ）． A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形的稳定性 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m， ∵（3m）2+（4m）2=（5m）2， ∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：D． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单 【变式2】（23-24八年级·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 【答案】 【分析】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画出示意图如下：   丈，丈，丈， ，， ， 是直角三角形，且， （平方丈）, 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级·甘肃定西·期中）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵， ∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：（平方米）（平方千米）． 故答案为． 考点6：三种思想 思想1：方程思想 【例题10】（20-21八年级上·重庆沙坪坝·期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（    ） A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺 【答案】C 【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解． 【详解】解：设绳索有x尺长，则 102+（x+1-5）2=x2， 解得：x=14.5． 故绳索长14.5尺． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 【变式1】（22-23八年级下·重庆渝北·阶段练习）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果． 【详解】解：设绳索有尺长，    则，即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 【变式2】（22-23七年级下·山东济南·期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为（    ）    A．10 尺 B．14.5 尺 C．13尺 D．17尺 【答案】B 【分析】设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果． 【详解】解：设绳索有尺长， 则， 解得：， 即绳索长尺， 故选：B．    【点睛】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解 【变式3】（20-21八年级·吉林·期中）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几”．此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离AB的长度为1尺．将它往前推送，当水平距离为10尺时．即尺，则此时秋千的踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，求绳索OA的长． 【答案】绳索OA的长为14.5尺． 【分析】设绳索OA的长为x尺，根据题意知，可列出关于 的方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知： 尺， 设绳索OA的长为x尺，根据题意得 ， 解得． 答：绳索OA的长为14.5尺． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，列出方程是解题的关键 思想2：转化思想 【例题11】（23-24八年级上·山西晋中·期中）阅读下列材料，并完成相应任务． 巧用勾股定理测算旗杆高度 数学活动课上，老师让同学们利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算出学校旗杆的的高度． 小李同学将升旗的绳子拉直到其末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端的距离为(如图1)．小李同学发现无法求出旗杆的高度．    小明同学将绳子拉直到其末端距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面的高度为(如图2)．小明同学也发现无法求出旗杆的高度．    他俩去请教老师，老师给出提示：你俩的方法结合一下便可以解决问题，因为不管怎么拉动绳子，绳子的长度不变，… 任务：请你按照老师的提示帮小李和小明求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【分析】本题考查勾股定理，先根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：设旗杆的高度为， 由图1得，绳子的平方为：， 由图2得，绳子的平方为：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为． 【变式1】（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为． (1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； (2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留） ①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 【答案】(1)选择路线1较短，理由见解析 (2)①8，；②选择路线2较短，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理计算后，比较大小即可； （2）把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算即可． 【详解】（1）解：剪开前，，， ∴， 剪开后，，， ∴； ∵ ∴即所以选择路线1较短； （2）解：①， ． ②， ∴即所以选择路线2较短． 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题． 【变式2】（23-24八年级·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲 【变式3】（23-24八年级上·广东佛山·期中）阅读下面材料：实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5cm，BC是底面直径，高AB为5cm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．    解决方案： 路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示： 这路线一的长度为；则； 路线2：高底面直径BC，如图（1）所示： 设路线2的长度为：则； 为比较和的大小，我们采用“作差法”： ∵， ∴． ∴． 小明认为应选择路线2较短． (1)问题类比： 小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm”请你用上述方法帮小亮比较出与的大小； (2)问题拓展： 请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为时，高为，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由． (3)问题解决： 如图（3）为两个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5cm，当蚂蚁从点A出发，沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r．（注：按上面小明所设计的两条路线方式） 【答案】(1) (2)当时，，即选择路线2最短． (3)当圆柱的底面半径r为厘米时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等． 【分析】（1）由阅读材料，可知路线1：；路线2：；将数据代入即可求出的值，再运用差比法即可得出即可； （2）先根据阅读材料用含h、r的代数式分别表示，再由列出关于h、r的不等式，然后解不等式即可求解； （3）先根据阅读材料将代入，用含r的代数式分别表示，再由列出关于r的方程求解即可． 【详解】（1）解：如图2：∵圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm， 路线1：； 路线2： ； ∵， ∴． ∴． （2）解：如图2：∵圆柱的底面半径为时，高为， 路线1：； 路线2： ； ∵， ∵； ∴， ∴当时，，即选择路线2最短． （3）解：如图（3），圆柱的高为5厘米．，， 由题意，得，解得， 所以当圆柱的底面半径r为厘米时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等． 【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问、比较整式的大小、阅读能力等知识点，掌握数形集合思想和作差法是解答本题的关键 思想3：分类讨论思想 【例题12】（23-24八年级·安徽亳州·期中）直角三角形两条边长分别是，则这个直角三角形的斜边是（    ） A． B． C．或 D．或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，分边长为3的边为直角边和斜边两种情况利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当边长为3的边为直角边时，则斜边的长为， 当边长为3的边为斜边时，则斜边的长为； 综上所述，这个直角三角形的斜边是或3， 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为t秒，若是等腰三角形时，则t的值为（    ） A．10 B．16 C．10或16 D．10或16或 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的定义，解题的关键是注意分类讨论．根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出t． 【详解】解：中，，，， 由勾股定理得：， ∵动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，运动的时间为t秒， ∴， ①时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图所示： ∵， ∴， 解得：； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当t分别为、10、16时，为等腰三角形． 故选：D 【变式2】（22-23八年级上·上海长宁·期末）我们把不等边三角形一条边上的中线与这条边上的高的夹角叫做该三角形的“偏离角度”．已知直角三角形的“偏离角度”为，斜边长为4，那么它的面积等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形中线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分情况讨论：①如图，当直角三角形斜边上的中线与它高夹角为时，可知，再利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，得到，利用勾股定理求得，即可得到答案；②如图，当直角三角形直角边上的中线与它高夹角为时，可得到，利用勾股定理求得，即可得到答案． 【详解】解：①如图，在中，为斜边的高，为斜边的中线， ,为斜边的中线， 又， ，即 ②如图，在中，为直角边的中线， 根据题意， 为直角边边的中线 ，即 解得： 综上，直角三角形的面积为或 故答案为：或． 【变式3】（22-23八年级上·广东清远·阶段练习）如图，在中，，D为边上的动点，点D从点C出发，沿边往点A运动，当运动到点A时停止．已知点D运动的速度为每秒2个单位长度．设点D运动的时间为t秒，当t为多少时，是直角三角形？ 【答案】当t为或10时，是直角三角形 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，难点在于要分情况讨论．分两种情况讨论即可． 【详解】解：， ， 当时，则点与点重合， ； 当时，则， ， ， ， ； 综上，当t为或10时，是直角三角形 一、单选题 1．（2022·山东济宁·中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处， ∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴CE= DE， ∠C=∠CDE， ∵∠BAC = 90°， ∴∠B+ ∠C= 90°， ∴∠ADB + ∠CDE = 90°， ∴∠ADE = 90°， ∴AD2 + DE2 = AE2， 设AE=x，则CE=DE=3-x， ∴22+(3-x)2 =x2， 解得 即AE= 故选A 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 2．（2023·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 【答案】C 【分析】首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后由，，是互质的奇数逐项求解即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∴a，b是直角三角形的直角边， ∵，是互质的奇数， ∴A．， ∴当，时，，，， ∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出； B．， ∴当，时，，，， ∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出； C．，， ∵，是互质的奇数， ∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出； D．， ∴当，时，，，， ∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数的应用，通过，，是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键． 3．（2020·陕西·中考真题）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可． 【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝， ∵S△ABC＝3×3﹣＝， ∴， ∴， ∴BD＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 4．（2023·山东日照·中考真题）已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（    ） A． B． C． D．大小无法确定 【答案】C 【分析】根据题意，由勾股定理可得，易得，然后用分别表示和，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵为直角三角形的三边，且。 ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出和是解题关键． 5．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的信纸，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 【详解】解：是四个全等的直角三角形， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 故选：C． 二、填空题 6．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 7．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）． 【答案】． 【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，作PC⊥AB于点C， 在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°， ∴海里，海里， 在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°， ∴PC=BC=海里， ∴海里， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线． 8．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 9．（2023·山东东营·中考真题）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km． 【答案】50 【分析】根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，根据题意，得，，，，    ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即A，C两港之间的距离为50 km． 故答案为：50 【点睛】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键． 10．（2020·湖北黄冈·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是 尺． 【答案】12 【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52=（x+1）2即可． 【详解】设这个水池深x尺， 由题意得，x2+52=（x+1）2， 解得：x=12 答：这个水池深12尺． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 三、解答题 11．（2021·四川攀枝花·中考真题）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2． 【答案】见解析 【分析】根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积证明即可 【详解】解：由题意得大正方形面积，小正方形面积， 4个小直角三角形的面积， ∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键在于能够根据题意知晓大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 12．（2023·湖南·中考真题）如图，，，，垂足分别为，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用“”可证明； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 13．（2023·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．    (1)在图①中，的面积为； (2)在图②中，的面积为5 (3)在图③中，是面积为的钝角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）以为底，设边上的高为，依题意得，解得，即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可； （2）由网格可知，，以为底，设边上的高为，依题意得，解得，将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点； （3）作，过点作，交于格点，连接A、B、C即可． 【详解】（1）解：如图所示， 以为底，设边上的高为， 依题意得： 解得： 即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可， 答案不唯一； （2）由网格可知， 以为底，设边上的高为， 依题意得： 解得： 将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点， 答案不唯一， （3）如图所示， 作，过点作，交于格点，      由网格可知， ，， ∴是直角三角形，且 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直． 一、单选题 1．（22-23八年级上·辽宁阜新·阶段练习），，，高，则的周长为（    ） A．32 B．42 C．32或42 D．38或42 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，存在种情况，是锐角三角形和钝角三角形时，高分别在的内部和外部，结合勾股定理即可求解． 【详解】如下图，是锐角三角形， ∵是高， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∴的周长为：； 如下图，是钝角三角形， 则的周长为：； 故选C． 2．（23-24八年级上·浙江·周测）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则这根芦苇的长度是（    ）    A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】D 【分析】将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知尺，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：设水深x尺，则芦苇长尺， 在中， ， 即， 解得：， ∴， 故芦苇长13尺， 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键． 3．（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米．则小巷的宽度为（）米    A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记勾股定理是解题关键． 在中，由米，米，根据勾股定理求出的值；根据题意可以分析出，的数量关系；在中，应用勾股定理求出的长度最后应用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，    在中，米，米， 在中米 故小巷长为米 故选∶C． 4．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 5．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，则，再勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点为的中点， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ， 故选：D． 6．（22-23八年级上·广东清远·阶段练习）如图，已知中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于    （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边的平方是解答此题的关键．根据半圆面积公式结合勾股定理，可知等于以斜边为直径的半圆面积． 【详解】解：中，， ， ∵，， ∴． 故选A． 7．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，有两棵树，一棵高20米，另一棵高10米，两树相距24米，若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（    ） A．26米 B．30米 C．36米 D．40米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图建立数学模型， 则，，则， 两棵树的高度差， 间距， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离， 故选：A． 8．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）如图，小方格都是边长为2的正方形，则中边上的高是（    ） A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，以及等面积法求高，设中边上的高是，利用割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，利用的面积建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设中边上的高是， 小方格都是边长为2的正方形， ， ， ， ， 故选：C． 9．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023， 故选：A 10．（24-25八年级上·全国·课后作业）某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 二、填空题 11．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，线段，经过点作，使，连接，在上截取，在上截取，则 ．      【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，设，则，，根据已知条件可求出，利用勾股定理得出，解方程求出，则可求出． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或（舍去）， ∴． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题． 根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可． 【详解】解：如图所示：作A点关于直线的对称点，再连接，交直线于点P，    则此时最小，过点B作交延长线于点E， ∵，，． ∴，， ∴，， 在中， ， 则的最小值为． 故答案为：． 13．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    【答案】/13厘米 【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可． 【详解】解：把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示：    由题意，得：， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：． 14．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，在高，斜坡长，宽为的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少需要 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理求得直角三角形的另一条边长，求得地毯的长，即可求出地毯的面积，正确理解地毯的长度等于直角三角形的两条直角边的长是解题的关键． 【详解】由勾股定理得，， ∴地毯的长， ∴地毯的面积， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ． 【答案】480 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， 即该河处的宽度是； 故答案为：480． 16．（22-23八年级上·宁夏银川·期中）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 海里时． 【答案】40 【分析】根据已知判定为直角，根据路程公式求得的长．再根据勾股定理求得的长，从而根据公式求得其速度． 本题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，关键是根据勾股定理解答． 【详解】解：如图， 甲的速度是海里时，时间是小时， 海里． ，， ． 海里， 海里． 乙船也用小时， 乙船的速度是40海里时， 故答案为：40． 17．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）观察下列表格中数组的规律． 组别 数字 等式 1 3，4，5 2 5，12，13 3 7，24，25 4 9，40，41 … … … 根据上表的规律，写出第组的三个数字满足的等式： ． 【答案】 【分析】根据题意，找出规律列式表示即可；本题主要考查勾股数，找规律，准确得出规律并列式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第一列数字都为奇数，且后一排比上一排大2，第三列比第二列大1， 且三个数成勾股数 根据表格规律：第一列数字是组数的2倍加1 第组第一列数字为, 设第二列数为，则第三列数为，由勾股定理得： 解得： 第组的三个数字满足的等式是：， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，于点A，于点B，点E是的中点，连按，已知知，，，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明全等三角形是本题的关键． 延长交于F，由“”可证，可得 ，由勾股定理可求的长，即可求的长． 【详解】解：延长交于F，如图， ∵点E是的中点 ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：   (1)的长； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的综合运用、三角形面积的计算等知识点；由勾股定理求出是解题的关键． （1）由垂直的定义得出，由勾股定理求出，再求出，然后根据勾股定理求解即可； （2）由勾股定理求出，再求出，再根据    求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 20．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，O是等边三角形内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接．    (1)图中哪两个三角形可以通过怎样的旋转互相得到？并说明理由． (2)连接，判断的形状； 【答案】(1)是绕点B逆时针旋转得到的，理由件解析 (2)是直角三角形 【分析】本题主要考查了旋转的性质和定义，等边三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，熟知旋转的定义和性质是解题的关键． （1）利用旋转的性质得，再由为等边三角形得到，然后根据旋转的定义可判断可由绕着点B逆时针旋转得到； （2）先证明等边三角形得到，再利用旋转的性质得，然后根据勾股定理的逆定理可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：是绕点B逆时针旋转得到的，理由如下： ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是绕点B逆时针旋转得到的； （2）解：由旋转的性质可得，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形．    21．（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)试说明为直角三角形． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，垂直平分线的性质，勾股定理．熟练掌握勾股定理的逆定理，垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键． （1）由，可得是直角三角形； （2）由（1）可知，，由是的垂直平分线，可得，设，则，由勾股定理得，，即，可求，进而可求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）可知，， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴． 22．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，平分，且，过点D作于点E．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）先证明，再由全等三角形的性质即可得结果； （2）先在中，用勾股定理求得的长，再由全等三角形的性质可得，，最后再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ∴， 又， ∴， ∴； （2）在中，，， ， 由（1）：， ，， ， 在中，． 23．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知中，，，边上的高．求的面积． 【答案】的面积为84或36 【分析】此题考查了勾股定理及三角形的面积，解本题的关键是分两种情况进行讨论．本题应分两种情况进行讨论：①在内部，②在外部． 【详解】解：如图①， 在直角三角形中，，， 根据勾股定理，得． 在直角三角形中，，， 根据勾股定理，得， ∴， ∴的面积为． 如图②， 在直角三角形ABD中，，， 根据勾股定理，得． 在直角三角形ACD中，，， 根据勾股定理，得， ∴， ∴的面积为． 综上所述，的面积为84或36． 24．（23-24八年级上·北京平谷·期末）阅读下面材料： 已知，在中，，，点D是射线上任意一点，连接，过点C作，垂足为点E，交于点F，过点B作交的延长线于点G．    (1)如图1，当，点D是边中点时，求的长； (2)当点D在的延长线上时，根据题意补全图形2，用等式表示线段、和的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)图见解析；，证明见解析． 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由勾股定理求得，再证明，得，即可求解； （2）根据题意画出图形，再证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点D是边中点，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，    ，理由： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 25．（23-24七年级上·山东泰安·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，同折者高几何？”译成数学问题是：如图所示，在中，，，，求AC的长为多少尺？（说明：） 【答案】尺 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：1丈尺， 设， ， ． 在中，， ，即． 解得：， 即尺． 26．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，点是平面内任意一点（不同于、、），若点与、、中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点为的一个勾股点． (1)如图1，若点是内一点，，，，证明点是的一个勾股点． (2)如图2，在中，，，，点在上，且，点在射线上．若点是的勾股点，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)点是的勾股点时，的长为或或 【分析】本题考查了三角形的外角，勾股点的定义，勾股定理， （1）延长交于，根据三角形的外角得，即可得，即可得； （2）在中，根据勾股定理求出的长度，分情况讨论：①，②，③，进行计算即可得． 【详解】（1）证明：如图1所示，延长交于， 是的外角， ∴， ∴， ∴点是的一个勾股点； （2）解：在中，，，， 则， ∴； ①如图，当时，设，， 在和中，， ， 解得：； ②如图，当时，设，， 在和中，， ， 解得：； ③如图，当时，点为的中点， ， ， 综上所述，点是的勾股点时，的长为或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$