期中考前满分冲刺之优质压轴题-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、循环规律问题 1．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 2．观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 3．三边都相等的三角形叫做等边三角形．如图，将数轴从点开始向右折出一个等边三角形，点，，表示的数分别为，，．现将等边三角形向右滚动，则与表示数2024的点重合的点（    ） A．是点 B．是点 C．是点 D．不存在 4．将一列有理数，2，，4，，6，…，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数 ．2024应排在A、B、C、D、E中 的位置．    5．观察下列各式：，，，，，……你能从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：的个位数字是 ． 6．如图，将一列有理数按如图规律排列，请回答下列问题： 数对应A，B，C，D，E的位置字母是 ． 类型二、收费问题 1．某停车场24小时营业，其收费方式如表所示，已知王爱国某日进场停车，停了x小时后离场，x为整数．若王爱国离场时间介于当日的之间，则他此次停车的费用为（　　） 停车时间 收费方式 3元/小时，该时段最多收18元． 1元/小时，该时段最多收10元． 若进场时间与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费 A． B． C． D． 2．某城市按以下规定收取每月媒气费，用煤气不超过50立方米，按0.7元/立方米收费；如果超过50立方米，超过部分按1.1元/立方米收费，现在甲家庭某月份用煤气立方米，那么这个月甲家庭应交煤气费（    ）元． A． B． C． D． 3．某市居民使用自来水按照如下标准收费：若每户月用水不超过，按a元收费；若超过，但不超过，则超过的部分按元收费；若超过，超过的部分按元收费．某户居民月用水，则该居民这个月应交水费为 元． 4．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市采用价格调控的手段达到节水的目的，我市自来水收费的价目表如表（注：水费按月份结算，表示立方米）： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 小乐家11月份用水量为，小乐由表列出水费为，则可知小乐家的用水量的范围是 ． 5．为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的．该市自来水收费价格见下表： 水费收费标准一览表 档次 每月用水量 水价 第一档 不超出20m3 a元/m3 第二档 超出 20m3不超出30m3的部分 元/m3 第三档 超出30m3的部分 元/m3 某用户1月用水，缴纳水费30元． (1)求a的值； (2)若该用户2月份用水，求2月份应缴水费； (3)若该用户3月份用水，求3月份应缴水费（用含x的代数式表示） ． 6．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/ 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/ 超出10立方米的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费______元． (2)若某户居民3月份用水a立方米（其中），求该用户3月份应交水费．（用含a的整式表示，结果要化成最简形式） (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 类型三、找规律问题 1．将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照下图排列的规律，第10行第6个数是（    ） A．100 B．102 C．104 D．106 2．红红按照一定的规律用小棒摆出了下面的4幅图． 如果按照这个规律维续摆，第五幅图要用（ ）根小棒． A．23 B．31 C．35 D．45 3．按照下面的图形的规律，第6堆有 个棋子，第n堆有 个棋子． 4．下面的图形是由边长为的正方形按照某种规律排列而组成的，如图，正方形的个数为，周长为．    （1）推测第个图形中，正方形的个数为 ，周长为 ； （2）推测第个图形中，正方形的个数为 ，周长为 ；（都用含的代数式表示）． 5．观察下列等式：，① ，② ，③ … (1)请直接写出第⑩个等式； (2)根据上述等式的排列规律，猜想并写出第n个等式（n是正整数）． 6．【问题提出】 欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？ 【构建模型】 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段． （1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛； （2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 【实际应用】 （3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛． （4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 类型四、数轴折叠问题 1．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 2．小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，若数轴上A，B两点之间的距离为8（点A在点B的左侧），且A，B两点经上述折叠后重合，则点A表示的数为（    ） A． B． C． D． 3．如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图②，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为 ． 4．已知数轴上A点表示的数是，B点表示的数是6，将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 5．综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 6．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 操作一： （1）折叠纸面，使表示的点与表示1的点重合，那么表示3的点与表示 的点重合，此时若数轴上A，B两点之间距离为7（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，那么A，B两点表示的数分别是 ， ． 操作二： （2）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a互为相反数，那么a的值是 ； 操作三： （3）A，B是数轴上的两点，点A表示的数是a，折叠纸面，使表示的点与表示1的点重合，A，B两点也重合，若B点表示的数的绝对值是2，则a的值是 ； 类型五、数轴最值问题 1．是数轴上一点表示的数，则的最小值是（    ） A．1 B． C．5 D． 2．如果是有理数，则的最小值为（　　） A． B． C． D．不存在 3．若表示一个有理数，则的最小值是 ． 4．已知m是有理数，则的最小值是 ． 5．我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示3的点与的点之间的距离表示为 ； (2)的最小值是 ，此时的值为 ； (3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值． 6．阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是．问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． （2）若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； （3）当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； （4）求的最小值是 ． 实际应用： （5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： （6）若数a，b满足，求的最小值为 ． 类型六、销售打折问题 1．某商家有600件成本元的商品，现将商品分成两部分，分别采取两种销售方案： 方案一： 将其中200件商品交给某直播团队直播带货，商品售价定为成本的2倍再降5元，并用当天销售额的作为整个直播团队的费用，结果当晚所有200件商品全部销售完毕． 方案二： 将剩下400件的商品打折销售，售价定为成本的倍，第一次打八折，售出100件；第二次在第一次基础上再打八折，剩下商品被一抢而空． (1)用含的代数式表示方案一中直播团队的费用为________元； (2)用含的代数式表示方案二的总销售额； (3)用含的代数式表示商家两种方案销售后的总盈利．（总盈利＝总销售额−总成本） 2．某家具商场销售某品牌餐桌、餐椅的信息如下表： 餐桌 餐椅 进价（元/张） 150 40 售价（元/张） 270 70 利润（元/张） 120 该商场购进了一批餐桌和餐椅，总数量为200张．现计划将一半的餐桌配成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套，售价为500元）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，设购进餐桌x张． （1）填空：______． （2）若，请求出餐桌、餐椅按计划销售完的总利润． （3）受疫情影响，该商场拟停业休整，为了清除库存，该商场对配成套的餐桌用了如下表的折扣方式促销，零售的桌、餐椅不打折； 一次性购买的餐桌套数 不超过15套的部分 超过15套的部分 折扣数 9折 8折 小王开的中餐厅刚好需要一批餐桌、餐椅，他购买了该商场所有配成套的餐桌椅，请求出商场卖完这批一批餐桌和餐椅的总利润（用含x的代数式表示）． 3．某商场销售一种西装和领带，西装每套定价500元，领带每条定价100元．元旦甲、乙两商家促销打折 甲商场：买一套西装送一条领带； 乙商场：西装和领带都按定价的付款． 现某客户要购买西装10套，领带条． （1）若该客户去甲商场购买，需付款多少元？（用含的代数式表示）若该客户去乙商场购买，需付款多少元？（用含的代数式表示） （2）若等于20，通过计算说明此时去哪家商场买更合算？ （3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 4．月日，东方甄选吉林专场正式开播，上百款吉林好物在抖音直播间迅速热卖，包括朝鲜族辣白菜，皓月牛肉，冻梨，大米等．开播小时，成交订单超过万单．直播间号链接为皓月牛肉，每单为元；号链接为辣白菜，每单为元；号链接为牛肉辣白菜组合，每单元． (1)某单位食堂打算购买牛肉单，辣白菜单，若在号和号链接购买，由于订单量大，辣白菜和牛肉可以打折，那么需付款______ 元；若在号和号链接购买，由于组合装已经优惠，故辣白菜和牛肉不再打折，那么需付款______ 元用含的代数式表示． (2)在（1）的条件下，如果购买牛肉单，辣白菜单，通过计算说明怎样购买最合算． 5．川维中学附近有一商店销售一种笔记本和一种签字笔．笔记本的单价是元，签字笔的单价是2元．商店决定在“双十一”开展促销活动，提供了2种促销方案． 方案一：买一本笔记本送一支签字笔 方案二：笔记本和签字笔都按定价的付款 说明：两种方案可以同时选择． 现在一个学生要到该商店购买本笔记本，签字笔x支() (1)分别用含有x的代数式表示单独选择方案一和方案二所需要的费用． (2)若时，通过计算，说明选择方案一划算，还是选择方案二划算． (3)当时，你能给出一种更为省钱的方案吗？试写出购买的方法，计算所需费用是多少元？ 6．某文具店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，售价为每支12元．每天的销售数量以20支为标准，每天售出超出20支的部分记为正，不足20支的部分记为负．该文具店记录了5天该钢笔的销售情况，如下表所示． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 每天售出的数量（支） 0 (1)在这5天中，第一天售出该种钢笔 支，销售数量最多的一天比销售数量最少的一天多售出钢笔 支； (2)求该文具店这5天出售这种钢笔的总利润； (3)该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案： 方案一：若购买数量不超过5支，每支12元；若超过5支，则超过部分每支降价4元； 方案二：每支均打七五折销售． 在促销期间，王老师在该文具店购买10支该种钢笔作为奖品，通过计算说明应选择上述两种促销方案中的哪种方式购买更省钱． 类型七、代数式的新定义 1．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对，中，是“相伴有理数对”的是 ___________； (2)若是“相伴有理数对”，求x的值； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 2．定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)4与______是关于6的实验数；代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 3．定义：若一对有理数满足，则称为“完美有理数对”，如：有理数对满足，则称为“完美有理数对”． (1)数对中是“完美有理数对”的是______； (2)某学习小组发现：如果为“完美有理数对”，那么也为“完美有理数对”．请判断该结论是否正确，并说明理由； (3)若一对有理数为“完美有理数对”，求的值． 4．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“方差有理数对”，记为，如：都是“方差有理数对”． (1)分别判断与是否“方差有理数对”，并说明理由； (2)若是“方差有理数对”，求的值． 5．定义：若（n为常数），则称a与b是关于数n的“平衡数”．例如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”． (1)若a与的“平衡数”是0，则a= ； (2)若a与b是关于3的“平衡数”，则与是关于哪个数的“平衡数”？请通过计算说明； (3)已知，（k为常数），且无论k为何值时，a与b始终是关于数n的“平衡数”，求n的值． 6．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为()．如：数对，都是“共生有理数对”． (1)在数对中，“共生有理数对”是__________. (2)若是“共生有理数对”，则__________“共生有理数对”，并说明理由：（填“是”或“不是”) (3)是否存在“共生有理数对”，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 类型八、代数式的递增、减的变化规律 1．根据下表，回答问题： x … －2 －1 0 1 2 … －2x＋5 … 9 7 5 3 a … 2x＋8 … 4 6 8 10 b … 【初步感知】 （1）a＝ ；b＝ ； 【归纳规律】 （2）随着x值的变化，两个代数式的值变化规律是什么? 【问题解决】 （3）比较－2x＋5与2x＋8的大小； （4）请写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值减小5，当x＝0时， 代数式的值为－7. 2．根据表格，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … (1)【初步感知】______；______； (2)【归纳规律】表中－2x＋5的值的变化规律是：x的值每增加1时，的值就减少______．类似地，请写出的值的变化规律：______． (3)【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小5，且当时，代数式的值为． 3．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … m 1 3 … … 7 5 3 1 n … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：_______， ______； 【归纳规律】 （2）表中代数式值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加2；类似地，代数式值的变化规律是：x的值每增加1，值就_____； 【计算验证】 （3）当x的值从a增加到时，猜想代数式的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 4．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题； (1)根据表中信息可知：______；______． (2)表中的值的变化规律：的值每增加，的值就增加2． 类似地，的值的变化规律：的值每增加，值就______． (3)①若一个含的多项式满足：的值每增加1，多项式的值就减小5，且当时，多项式的值为8．则这个多项式为______． ②当的值从增加到时，试通过计算说明关于的代数式（为一次项的系数，且）的变化规律． 5．代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： 0 1 2 0 0 3 1 4 7 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：______；______； 【归纳规律】 （2）表中的值随着的变化而变化的规律是：的值每增加1，的值就减少1．类似的，的值随着的变化而变的规律是：______； （3）观察表格．下列说法正确的有______（填序号）： ①当时，    ②当时， ③当时，    ④时， 【应用迁移】 （4）已知代数式与（为常数且），若无论取何值，的值始终小于的值，试分别写出与与的关系______． 6．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： … … … … … … (1)根据表中信息可知：_____；______； (2)表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加2；类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______； (3)当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（k为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 类型九、数轴动点求t——定值、无关问题 1．已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：，为正整数． (1)判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． (2)设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动秒． ①当时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．    (1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ； (2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示） ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度． 3．在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且（a+2）2+|b﹣4|＝0，记AB＝|a﹣b|． （1）求AB的值； （2）如图，点P、Q分别从点A、B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，当BQ＝2BP时，P点对应的数是多少？ （3）在（2）的条件下，点M从原点与P、Q点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（1＜x＜2），若在运动过程中，2MP—MQ的值与运动的时间t无关，求x的值． 4．若点在数轴上对应的数分别为，其中是最小的正整数，满足，请回答问题： (1)请直接写出的值； (2)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 5．解答题 【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为 （1）在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有，则的中点N所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点，则我们有五等分点公式：点M对应的数为______． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值． 6．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 类型十、数轴动点求t——新定义问题 1．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是______；写出【N，M】美好点H所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 2．数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 3．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7． (1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　； (2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值． 4．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数3，下列各数，，0，1所对应的点分别是，其中是点A，B的“联盟点”的是___________； (2)点A表示数，点B表示数5，P为数轴上的一个动点： ①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数． 5．对于数轴上的两点P，Q给出如下定义，P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：P，Q两点表示的数如图1所示，因为点P表示的数是，点Q表示的数是1，所以，则．A，B两点表示的数如图2所示． (1)求A，B两点的绝对距离； (2)若C为数轴上一点，且，求点C表示的数． 6．阅读材料： 定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为–1，0，2，且满足，则点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)基础巩固：在A，B，C三点中，点_____________是点M，N的“倍分点”． (2)尝试应用：若数轴上点M是点A，D的“倍分点”，则点D在数轴上对应的数有_____________个． (3)灵活运用：若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点Р在点N的右侧，求此时点Р在数轴上表示的数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、循环规律问题 1．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 【答案】D 【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答． 本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键． 【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于， 即前2024个数共有674组，且余2个数， ∴奇数有个． 故选：D 2．观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了数字的规律探究．根据题意寻找规律是解题的关键． 由题意知，当为非负整数时，的末位数字依次为1、7、9、3且每4个为1个循环，由，，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，当为非负整数时，的末位数字依次为1、7、9、3且每4个为1个循环， ∵，， ∴的结果的个位数字为1， 故选：B． 3．三边都相等的三角形叫做等边三角形．如图，将数轴从点开始向右折出一个等边三角形，点，，表示的数分别为，，．现将等边三角形向右滚动，则与表示数2024的点重合的点（    ） A．是点 B．是点 C．是点 D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离、图形找规律、根据三角形为等边三角形，，建立方程，求出的值，得到点，，表示的数，再根据图形的的运动情况找出点的变化规律，即可求解． 【详解】解：等边三角形，点，，表示的数分别为，，． ，即， 点，，表示的数分别为、、，即等边三角形边长为， 将等边三角形继续向右滚动，则从即点开始3个为一循环，且循环为，，， ， 与表示数2024的点重合的点为， 故选：A． 4．将一列有理数，2，，4，，6，…，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数 ．2024应排在A、B、C、D、E中 的位置．    【答案】 C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，观察可得每个峰要5个数，且第奇数个峰是正数，第偶数个峰是负数，故可得“峰6”中C的位置；由，即可得2024为“峰405”中C位置的数． 【详解】解：由每个峰要5个数，且第奇数个峰是正数，第偶数个峰是负数， 得， 故“峰6”中C的位置是有理数； 由， 得2024为“峰405”中C位置的数． 故答案为：，C． 5．观察下列各式：，，，，，……你能从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：的个位数字是 ． 【答案】1. 【分析】根据题意可得出尾数每4个一循环，进而求出答案. 【详解】，，，，，,… 尾数每4个一循环，3，9，7，1， ， 的个位数字是：1. 故答案为：1. 【点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出数字变化规律是解题关键. 6．如图，将一列有理数按如图规律排列，请回答下列问题： 数对应A，B，C，D，E的位置字母是 ． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出数字的循环规律是解题的关键． 通过观察发现，每个6数是一组循环，由此求解即可． 【详解】观察图可知：最上方的数分别是，， 由图可知，每6个数是一组循环， ， 对应字母B的位置， 故答案为：B 类型二、收费问题 1．某停车场24小时营业，其收费方式如表所示，已知王爱国某日进场停车，停了x小时后离场，x为整数．若王爱国离场时间介于当日的之间，则他此次停车的费用为（　　） 停车时间 收费方式 3元/小时，该时段最多收18元． 1元/小时，该时段最多收10元． 若进场时间与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查列代数式．由题意得王爱国停车的时间第一时段超过6小时，且第二个时段的停车时间为小时，则可求解． 【详解】解：王爱国离场时间介于当日的间， 王爱国的停车费为：元． 故选：A． 2．某城市按以下规定收取每月媒气费，用煤气不超过50立方米，按0.7元/立方米收费；如果超过50立方米，超过部分按1.1元/立方米收费，现在甲家庭某月份用煤气立方米，那么这个月甲家庭应交煤气费（    ）元． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题中的应交煤气费不超过50立方米的费用超过50立方米的费用． 【详解】解：由题意，得元， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了列代数式，注意数学和实际生活的联系，解题的关键是理解有两种情况且根据题意找出题目中的相等关系． 3．某市居民使用自来水按照如下标准收费：若每户月用水不超过，按a元收费；若超过，但不超过，则超过的部分按元收费；若超过，超过的部分按元收费．某户居民月用水，则该居民这个月应交水费为 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式．根据题意正确的列代数式是解题的关键． 根据中，按a元收费；按元收费；按元收费，可列代数式为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，该居民这个月应交水费为元， 故答案为：． 4．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市采用价格调控的手段达到节水的目的，我市自来水收费的价目表如表（注：水费按月份结算，表示立方米）： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 小乐家11月份用水量为，小乐由表列出水费为，则可知小乐家的用水量的范围是 ． 【答案】 【分析】根据自来水收费的价目表、以及即可得． 【详解】解：由题意可知，当用水量为时，水费为（元）， 则代数式中的12表示用水量为的水费，表示超出不超出的部分的水费， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式表示的实际意义，读懂价目表是解题关键． 5．为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的．该市自来水收费价格见下表： 水费收费标准一览表 档次 每月用水量 水价 第一档 不超出20m3 a元/m3 第二档 超出 20m3不超出30m3的部分 元/m3 第三档 超出30m3的部分 元/m3 某用户1月用水，缴纳水费30元． (1)求a的值； (2)若该用户2月份用水，求2月份应缴水费； (3)若该用户3月份用水，求3月份应缴水费（用含x的代数式表示） ． 【答案】(1) (2)元 (3)见解析 【分析】本题考查的是有理数混合运算的实际应用，列代数式，理解题意是关键． （1）由总价除以用水量即可得到的值； （2）由20乘以单价，再加上超过部分的数量乘以超过部分的单价可得答案； （3）分三种情况讨论：当时， 当时， 当时， 再列式即可． 【详解】（1）解：（元/） （2）（元）． （3）当时，应缴元； 当时，元； 当时，元． 6．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/ 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/ 超出10立方米的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费______元． (2)若某户居民3月份用水a立方米（其中），求该用户3月份应交水费．（用含a的整式表示，结果要化成最简形式） (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 【答案】(1)8 (2) (3)元或元或36元 【分析】本题考查有理数混合运算，列代数式，整式加减混合运算，根据题意列出算式是解题关键．注意分类讨论，经免漏解． （1）根据题意，用单价乘以用水量计算即可； （2）根据题意，得6立方米的部分的费用超出的立方米的费用，列式计算即可； （3）分4种情况：当时，当时，当时，分别列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得（元； 答：该用户2月份应交水费8元； （2）解：∵ ∴（元）， 答：该用户3月份应交水费元； （3）解：∵4月份用水x立方米， ∴5月份用水立方米， ∵5月份用水量多于4月份， ∴， 解得， 当时，则该户居民4，5月份共交水费为：(元)， 当时，(元)， 当时，(元). 答：该户居民4，5月份共交水费为元或元或36元． 类型三、找规律问题 1．将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照下图排列的规律，第10行第6个数是（    ） A．100 B．102 C．104 D．106 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律探究，观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第10行第6个数即可 【详解】解：由数阵可知，第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，⋯⋯第10行有10个偶数， 10行共有（个）偶数， ∴第10行第6个数是， 故选：B 2．红红按照一定的规律用小棒摆出了下面的4幅图． 如果按照这个规律维续摆，第五幅图要用（ ）根小棒． A．23 B．31 C．35 D．45 【答案】B 【分析】本题考查图形变化的规律，能用含的代数式表示第幅图要用的小棒根数是解题的关键． 依次求出图形中小棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1幅图要用的小棒根数为：； 第2幅图要用的小棒根数为：； 第3幅图要用的小棒根数为：； 第4幅图要用的小棒根数为：； ， 所以第幅图要用的小棒根数为根， 当时， （根， 即第5幅图要用的小棒根数为31根． 故选：B． 3．按照下面的图形的规律，第6堆有 个棋子，第n堆有 个棋子． 【答案】 14 【分析】本题考查了图形规律探索，第一堆第1层1个，第2层3个；第二堆第1层2个，第2层4个；第三堆第1层3个，第2层5个；第四堆第1层4个，第2层6个；根据每一堆的层数和个数，发现规律第n堆第1层n个，第2层个，得出第六堆和第n堆小球的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一堆第1层1个，第2层3个； 第二堆第1层2个，第2层4个； 第三堆第1层3个，第2层5个； 第四堆第1层4个，第2层6个； 则第n堆第1层n个，第2层个； ∴第六堆第1层6个，第2层个，共个； 第n堆共有个． 故答案为：14；． 4．下面的图形是由边长为的正方形按照某种规律排列而组成的，如图，正方形的个数为，周长为．    （1）推测第个图形中，正方形的个数为 ，周长为 ； （2）推测第个图形中，正方形的个数为 ，周长为 ；（都用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】（）依次数出，，，时正方形的个数，算出图形的周长； （）根据规律以此类推，可得出第个图形中，正方形的个数为及周长； 本题考查了根据图示寻找规律，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）因为时，正方形有个，即，周长是，即， 时，正方形有个，即，周长是，即， 时，正方形有个，即，周长是，即， 时，正方形有个，即，周长是，即， 故答案为：；； （）解：由（）总结可得，第个图形时，正方形有个，周长是， 故答案为：，． 5．观察下列等式：，① ，② ，③ … (1)请直接写出第⑩个等式； (2)根据上述等式的排列规律，猜想并写出第n个等式（n是正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，数字规律的运用， （1）根据材料提示的运算法则，数字规律，代入计算即可； （2）根据上述运算，总结规律即可． 【详解】（1）解：第①个等式，， 第②个等式，， 第③个等式，， 第④个等式，， ∴第⑩个等式，， ∴第⑩个等式，； （2）解：根据（1）中的计算可得，第个等式为：， 检验：等式左边 右边， ∴第个等式是． 6．【问题提出】 欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？ 【构建模型】 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段． （1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛； （2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 【实际应用】 （3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛． （4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（1）． （2） （3） （4）30 【分析】本题考查了归纳总结和配对问题，涉及列代数式及其求值、有理数的运算，求出关于的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键． （1）根据图②线段数量进行作答． （2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段，即可得求出比赛的场数． （3）根据题意可得，一个小组会有场比赛，故六个小组则共有有场比赛． （4）因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票，得出六个车站一共形成了种车票． 【详解】（1）由图②可知，图中实际共有条线段， ∴根据题意，可得支队伍进行单循环比赛一共要安排场比赛． 故答案为：． （2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段， 即根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排场比赛， 故答案为：． （3）根据题意可得，欧洲杯支参赛球队分成个小组， 由上可得一个小组会有场比赛， 故六个小组则共有有场比赛， 即本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛， 故答案为． （4）由题意可得一共有六个车站，因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即每两个车站就会有两种车票， ∴一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票， ∴这样六个车站一共形成了种车票． 故答案为． 类型四、数轴折叠问题 1．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴和数轴上两点间的距离，图1中的长度13，图2中的，用就是的长度，用两点之间的距离公式得出点C表示的数． 【详解】解：图1：， 图2：，   ， 点C表示的数是：， 故选：C． 2．小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，若数轴上A，B两点之间的距离为8（点A在点B的左侧），且A，B两点经上述折叠后重合，则点A表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的知识，折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数．先求出折痕经过的点表示的数，再根据折叠的性质即可得出答案． 【详解】解：画出数轴如下所示： 依题意得：两数是关于2和的中点对称，即关于对称； ∵A、B两点之间的距离为8且折叠后重合，则A、B关于对称，又A在B的左侧， ∴A点坐标为：． 故选：A． 3．如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图②，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴，根据折叠及可得点表示的数，再根据中点公式即可求出点C表示的数． 【详解】解：设点C表示的数为x， 由可得， ∵点B表示的数为7，点在B的右边， ∴表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为． 故答案为：． 4．已知数轴上A点表示的数是，B点表示的数是6，将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据题意得，由条件分类讨论即可. 【详解】解：由题意得： 设得到的三条线段的长度分别为：， 则：， 解得： 时，如图所示： ∴ 折痕处对应的点所表示的数是：； 时，如图所示： ∴ 折痕处对应的点所表示的数是：； 时，如图所示： ∴ 折痕处对应的点所表示的数是：； 故答案为：或或 5．综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③ 【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键． （1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题． （2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题． 【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知， 它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1； 它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2； 它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3； …， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即 时， ， 所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时， 可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为： ，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知， ， 则折点所表示的数为1． 因为， 所以表示5的点与表示的点重合． 故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同， 所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为， 所以点D表示的数为，点E表示的数为1013． 故答案为：，1013． ③由折叠可知， ， 因为点M、N表示的数分别是、8， 所以 ． 又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3， 所以． 因为，， 所以点P表示的数为． 故答案为：． 6．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 操作一： （1）折叠纸面，使表示的点与表示1的点重合，那么表示3的点与表示 的点重合，此时若数轴上A，B两点之间距离为7（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，那么A，B两点表示的数分别是 ， ． 操作二： （2）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a互为相反数，那么a的值是 ； 操作三： （3）A，B是数轴上的两点，点A表示的数是a，折叠纸面，使表示的点与表示1的点重合，A，B两点也重合，若B点表示的数的绝对值是2，则a的值是 ； 【答案】（1），，；（2）2或；（3）或0 【分析】本题考查数轴和折叠、平移问题，确定折叠点表示的数是解答的关键． （1）根据折叠性质得到折叠点表示的数为，进而根据数轴上两点间的距离可求解； （2）分点A向左移动和向右移动两种情况，结合相反数的定义求解即可； （3）先得到折叠点表示的数为，分点B表示的数为2和两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵折叠纸面，使表示的点与表示1的点重合， ∴折叠点表示的数为， ∴折叠后与表示3的点重合的数为，； ∵数轴上A，B两点之间距离为7（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合， ∴点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，，； （2）当点A向左平移时，有，则； 当点A向右移动时，有，则， 综上，a的值是2或， 故答案为：2或； （3）由题意，折叠点表示的数为， ∵B点表示的数的绝对值是2， ∴当B点表示的数是2时，点A表示的数是； 当B点表示的数是时，点A表示的数是， 综上，a的值是或0， 故答案为：或0 类型五、数轴最值问题 1．是数轴上一点表示的数，则的最小值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，分情况根据绝对值的意义进行化简，即可求出结果． 【详解】解：当时， ， 代数式的值随x的增大而减小， 当时， ， 当时， ， 代数式的值随x的增大而增大，当时，代数式的值为5， 则的最小值是5， 故选：C． 2．如果是有理数，则的最小值为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】要使的值最小，即的值最小，根据绝对值的非负性可得的最小值为0，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：要使的值最小，即的值最小， ， 的最小值为0， 的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值非负性的应用，熟练掌握此知识点，准确进行计算是解此题的关键． 3．若表示一个有理数，则的最小值是 ． 【答案】11 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义．可看作是数轴上表示x的点到4、、三点的距离之和，当时，有最小值，把代入即可得到结论． 【详解】解：根据点在数轴上的位置可知，当时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：． 4．已知m是有理数，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】该题主要考查了绝对值的意义以及化简绝对值，解题的关键是进行分类讨论． 根据绝对值最小的数是0，分别令四个绝对值为0，从而求得m的四个值，分别将这四个值代入代数式求值，比较得不难求得其最小值． 【详解】解：∵绝对值最小的数是0， ∴分别当等于0时，有最小值． ∴m的值分别为2，4，6，8． ∵①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ∴的最小值是8． 故答案为：8． 5．我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示3的点与的点之间的距离表示为 ； (2)的最小值是 ，此时的值为 ； (3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值． 【答案】(1)4 (2)3，0 (3)或 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为4． （2）根据绝对值的几何意义，得出的最小值； （3）画出数轴，分两种情况进行讨论：当或时，的最小值是4.5． 【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为． （2）解：根据绝对值的几何意义可得，当时，的最小值是3， 故答案为：3，． （3）解：由图可得， 只有当或时，的最小值是4.5， ∴当的最小值是4.5时，或． 6．阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是．问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． （2）若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； （3）当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； （4）求的最小值是 ． 实际应用： （5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： （6）若数a，b满足，求的最小值为 ． 【答案】（1），（2）（3）（4）（5）（6） 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①由两点间距离直接求解即可； ②由两点间距离直接求解即可； （2）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算便可； （3）由题意两点距离的意义进行解答； （4）当取2时代数式的值最小，据此计算便可； （5）取最中间点便可； （6）在，范围内，解方程便可． 【详解】解：（1）①数轴上表示2与5两点之间的距离为； 故答案为：3； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是， 故答案为：； （2）， ； （3）表示数的点与表示数1和2的点的距离之和， 当位于1与2之间时，其距离之和最小， 取最小值时，相应的数的取值范围是， 故答案为：； （4）当时，取最小值为：， 故答案为：2； （5）点选在居民家．才能使这2023户居民到点的距离总和最小； 故答案为：； （6）， 当，时，， ， 若数，满足，的最小值为， 故答案为：． 类型六、销售打折问题 1．某商家有600件成本元的商品，现将商品分成两部分，分别采取两种销售方案： 方案一： 将其中200件商品交给某直播团队直播带货，商品售价定为成本的2倍再降5元，并用当天销售额的作为整个直播团队的费用，结果当晚所有200件商品全部销售完毕． 方案二： 将剩下400件的商品打折销售，售价定为成本的倍，第一次打八折，售出100件；第二次在第一次基础上再打八折，剩下商品被一抢而空． (1)用含的代数式表示方案一中直播团队的费用为________元； (2)用含的代数式表示方案二的总销售额； (3)用含的代数式表示商家两种方案销售后的总盈利．（总盈利＝总销售额−总成本） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出方案一中直播团队的费用即可； （2）根据题意得出方案二的总销售额即可； （3）根据题意得出两种方案销售后的总盈利即可． 【详解】（1）解：方案一中直播团队的费用为元， 故答案为：； （2）解：（元）； （3）解：商家两种方案销售后的总盈利为：元． 【点睛】此题考查列代数式，解题的关键是根据题意得出代数式求解． 2．某家具商场销售某品牌餐桌、餐椅的信息如下表： 餐桌 餐椅 进价（元/张） 150 40 售价（元/张） 270 70 利润（元/张） 120 该商场购进了一批餐桌和餐椅，总数量为200张．现计划将一半的餐桌配成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套，售价为500元）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，设购进餐桌x张． （1）填空：______． （2）若，请求出餐桌、餐椅按计划销售完的总利润． （3）受疫情影响，该商场拟停业休整，为了清除库存，该商场对配成套的餐桌用了如下表的折扣方式促销，零售的桌、餐椅不打折； 一次性购买的餐桌套数 不超过15套的部分 超过15套的部分 折扣数 9折 8折 小王开的中餐厅刚好需要一批餐桌、餐椅，他购买了该商场所有配成套的餐桌椅，请求出商场卖完这批一批餐桌和餐椅的总利润（用含x的代数式表示）． 【答案】（1）；（2），8600元；（3）当x≤30时， 元；当x>30时 元． 【分析】（1）利用餐椅的售价减进价即可， （2）先设x张餐桌，套卖，其余零售，每套利润×+零售餐桌利润×+餐椅利润×剩余餐椅数， （3）当x≤30时，求出餐桌椅的利润+零售餐桌、椅子的利润；当x>30时，求出15套餐桌椅的利润+超过15套的部分餐桌套数的利润+零售餐桌、椅子的利润． 【详解】（1）； （2）， =    ， = ， 当x=40时，总利润=8600元； （3）15×2=30， 当x≤30时，， =， =元， 当x>30时，， =， =元． 【点睛】本题考查了整式加减的应用，涉及打折销售利润问题，掌握利润的计算法，会根据条件选择恰当的方法列出代数式是解题关键． 3．某商场销售一种西装和领带，西装每套定价500元，领带每条定价100元．元旦甲、乙两商家促销打折 甲商场：买一套西装送一条领带； 乙商场：西装和领带都按定价的付款． 现某客户要购买西装10套，领带条． （1）若该客户去甲商场购买，需付款多少元？（用含的代数式表示）若该客户去乙商场购买，需付款多少元？（用含的代数式表示） （2）若等于20，通过计算说明此时去哪家商场买更合算？ （3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 【答案】（1）甲商场需付款为元；乙商场需付款为元；（2）到甲商场购买较为合算；（3）先到甲商场购买10套西装获赠送10条领带，再到乙商场购买10条领带．则需付款元． 【分析】（1）根据题意即可分别用x表示出甲、乙两商场购买所需的钱数； （2）把分别代入（1）中代数式，然后比较大小即可判断； （3）根据题意，可先到甲商场购买10套西装获赠送10条领带，再到乙商场购买10条领带，然后计算出总付款即可. 【详解】（1）甲商场需付款：元； 乙商场需付款：元； （2）当时，甲商场需付费为：（元， 乙商场需付费为：（元， ， ∴到甲商场购买较为合算； （3）先到甲商场购买10套西装获赠送10条领带，再到乙商场购买10条领带． 则需付款（元． 【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义，掌握实际问题中各个量之间的关系是解决此题的关键. 4．月日，东方甄选吉林专场正式开播，上百款吉林好物在抖音直播间迅速热卖，包括朝鲜族辣白菜，皓月牛肉，冻梨，大米等．开播小时，成交订单超过万单．直播间号链接为皓月牛肉，每单为元；号链接为辣白菜，每单为元；号链接为牛肉辣白菜组合，每单元． (1)某单位食堂打算购买牛肉单，辣白菜单，若在号和号链接购买，由于订单量大，辣白菜和牛肉可以打折，那么需付款______ 元；若在号和号链接购买，由于组合装已经优惠，故辣白菜和牛肉不再打折，那么需付款______ 元用含的代数式表示． (2)在（1）的条件下，如果购买牛肉单，辣白菜单，通过计算说明怎样购买最合算． 【答案】(1) ， (2)应在号链接和号链接购买 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，关键是根据题意正确列代数式． （1）根据题意列代数式； （2）将辣白菜分别代入两个方案，进行比较． 【详解】（1）解：由题意得：在号和号链接购买：（元）， 在号和号链接购买：（元）， 故答案为： ， ； （2）解：将代入（元）， 将代入（元）， ， 应在号链接和号链接购买． 5．川维中学附近有一商店销售一种笔记本和一种签字笔．笔记本的单价是元，签字笔的单价是2元．商店决定在“双十一”开展促销活动，提供了2种促销方案． 方案一：买一本笔记本送一支签字笔 方案二：笔记本和签字笔都按定价的付款 说明：两种方案可以同时选择． 现在一个学生要到该商店购买本笔记本，签字笔x支() (1)分别用含有x的代数式表示单独选择方案一和方案二所需要的费用． (2)若时，通过计算，说明选择方案一划算，还是选择方案二划算． (3)当时，你能给出一种更为省钱的方案吗？试写出购买的方法，计算所需费用是多少元？ 【答案】(1)； (2)方案一划算 (3)故先按方案一购买个笔记本，再按方案二购买个笔记本总费用为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列方程是解题的关键． （1）根据两种方案，利用笔记本的费用+签字笔的费用列代数式； （2）当时，分别求解两方案的费用，即可求解； （3）根据可列出更为省钱的方案，列式计算可求解． 【详解】（1）解：按方案一购买∶(元)； 按方案二购买∶(元) （2）把代入（1）问中两式，得 方案一： 方案二∶ ， 按照方案一购买划算； （3）先按方案一购买个笔记本，再按方案二购买个笔记本总费用为： 故先按方案一购买个笔记本，再按方案二购买个笔记本总费用为． 6．某文具店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，售价为每支12元．每天的销售数量以20支为标准，每天售出超出20支的部分记为正，不足20支的部分记为负．该文具店记录了5天该钢笔的销售情况，如下表所示． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 每天售出的数量（支） 0 (1)在这5天中，第一天售出该种钢笔 支，销售数量最多的一天比销售数量最少的一天多售出钢笔 支； (2)求该文具店这5天出售这种钢笔的总利润； (3)该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案： 方案一：若购买数量不超过5支，每支12元；若超过5支，则超过部分每支降价4元； 方案二：每支均打七五折销售． 在促销期间，王老师在该文具店购买10支该种钢笔作为奖品，通过计算说明应选择上述两种促销方案中的哪种方式购买更省钱． 【答案】(1)18；12 (2)该文具店这5天出售这种钢笔的总利润为624元； (3)应选择方案二购买更省钱． 【分析】（1）认真读懂题意，列列算式求值即可； （2）按照题目给出的两种方案和数值，列数式求值比较即可； （3）当购买10支时，用两种方案求出费用，再作比较判断即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： 在这5天中，第一天售出该种钢笔（支）， 销售数量最多的一天比销售数量最少的一天多售出钢笔支数：（支）， 故答案为：18；12； （2）解：（元）， ∴该文具店这5天出售这种钢笔的总利润为624元； （3）解：方案一：（元）； 方案二：（元）； 当时， 方案一，（元）， 方案二，（元）， ∵， ∴应选择方案二购买更省钱． 【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是读懂题意，能根据题意列出正确的数式和代数式． 类型七、代数式的新定义 1．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对，中，是“相伴有理数对”的是 ___________； (2)若是“相伴有理数对”，求x的值； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和有理数的混合运算，理解题意掌握去括号法则和合并同类项法则以及有理数的混合运算法则是解题的关键，应用了整体代入的数学思想． （1）根据题干条件，代数计算，符合“相伴有理数对”的定义，即为答案； （2）根据“相伴有理数对”的定义，代数化简计算，即可作答． （3）先根据“相伴有理数对”的定义，得，再代入，化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，∵数对， ∴，故不是“相伴有理数对”； ∵数对 ∴，故是“相伴有理数对”； 故答案为： （2）解：∵是“相伴有理数对”， ∴ 解得； （3）解：∵是“相伴有理数对”， ∴， 故． 2．定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)4与______是关于6的实验数；代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 【答案】(1)2， (2)a与b是关于6的实验数，理由见解析 (3)d的值为 【分析】本题考查整式的加减应用，理解题意，正确列出式子计算是解题的关键． （1）根据题中给出的定义计算即可； （2）计算的值，如果和等于6，则a与b是关于6的实验数，否则不是； （3）由题意得出，把c的值代入计算即可求出d的值． 【详解】（1）解：， ∴4与2是关于6的实验数； ， ∴与是关于6的实验数， 故答案为：2；； （2）解：a与b是关于6的实验数，理由： ， ∴a与b是关于6的实验数； （3）解：由题意得，， ， ． 3．定义：若一对有理数满足，则称为“完美有理数对”，如：有理数对满足，则称为“完美有理数对”． (1)数对中是“完美有理数对”的是______； (2)某学习小组发现：如果为“完美有理数对”，那么也为“完美有理数对”．请判断该结论是否正确，并说明理由； (3)若一对有理数为“完美有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2)该结论正确，理由见解析 (3)2020 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的四则混合计算，代数式求值等等，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据“完美有理数对”的定义计算并判断即可； （2）根据“完美有理数对”的定义得到，再计算出，，由此即可得到结论； （3）根据“完美有理数对”的定义得到，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴数对不是“完美有理数对”； ， ∴， ∴数对是“完美有理数对”； 故答案为：； （2）解：该结论正确，理由如下： ∵数对为“完美有理数对”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴数对也为“完美有理数对”； （3）解：∵数对为“完美有理数对”， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“方差有理数对”，记为，如：都是“方差有理数对”． (1)分别判断与是否“方差有理数对”，并说明理由； (2)若是“方差有理数对”，求的值． 【答案】(1)是；不是 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、整式的加减—化简求值、等式的性质． （1）根据题目中给出的定义即可判断； （2）根据题目中给出的定义列出等式求出，由，再代入即可求解． 【详解】（1）解：数对是“方差有理数对”， ，， ， 数对是“方差有理数对”， 数对不是“方差有理数对”， ，， ， 数对不是“方差有理数对”； （2）解：由题意的，即， ； 原式． 5．定义：若（n为常数），则称a与b是关于数n的“平衡数”．例如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”． (1)若a与的“平衡数”是0，则a= ； (2)若a与b是关于3的“平衡数”，则与是关于哪个数的“平衡数”？请通过计算说明； (3)已知，（k为常数），且无论k为何值时，a与b始终是关于数n的“平衡数”，求n的值． 【答案】(1)2 (2)与是关于的“平衡数”，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义以及整式的加减混合运算， （1）根据“平衡数”进行列式作答即可； （2）根据a与b是关于3的“平衡数”，列出有关a和b的式子； （3）根据“平衡数”，且结合，，列式得，因为无论k为何值时，a与b始终是关于数n的“平衡数”，所以，则，即可作答； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，因为a与的“平衡数”是0， 所以， 解得； （2）解：与是关于的“平衡数”，理由如下： 因为a与b是关于3的“平衡数”， 所以， 则， 所以与是关于的“平衡数”， （3）解：因为，， 所以 ， 因为无论k为何值时，a与b始终是关于数n的“平衡数”， 所以， 则， 那么， 即． 6．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为()．如：数对，都是“共生有理数对”． (1)在数对中，“共生有理数对”是__________. (2)若是“共生有理数对”，则__________“共生有理数对”，并说明理由：（填“是”或“不是”) (3)是否存在“共生有理数对”，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据共生有理数对的定义判断即可； （2）根据共生有理数对的定义对变形即可判断； （3）根据共生有理数对的定义得到非负数为负的情况，从而可求解． 【详解】（1）解：， ， 不是共生有理数对； ，， ， 是共生有理数对； 故答案为：； （2）解：是共生有理数对， ， ， 是共生有理数对； 故答案为：是； （3）解：假设存在共生有理数对， ， ， 上式中左边是非负数，右边是负数，显然不成立， 所以不存在共生有理数对． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、整式的加减运算，共生有理数对的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 类型八、代数式的递增、减的变化规律 1．根据下表，回答问题： x … －2 －1 0 1 2 … －2x＋5 … 9 7 5 3 a … 2x＋8 … 4 6 8 10 b … 【初步感知】 （1）a＝ ；b＝ ； 【归纳规律】 （2）随着x值的变化，两个代数式的值变化规律是什么? 【问题解决】 （3）比较－2x＋5与2x＋8的大小； （4）请写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值减小5，当x＝0时， 代数式的值为－7. 【答案】（1）1，12；（2）x每增加1，的值减少2，的值增加2；（3）当时，两式相等；当时，－2x＋52x＋8；当时，－2x＋52x＋8；（4） 【分析】（1）将x=2分别代入“－2x＋5”“2x＋8”即可求出a、b的值； （2）当x每增加1时，①-2x+5这一行数据依次是：9、7、5、3，,观察此行数据依次减少的量即可得出结论；②这一行数据依次是：4、6、8、10，观察此行数据依次增加的量即可得出结论. （3）分类讨论：①－2x＋5=2x＋8时算出x的值；②－2x＋5＞2x＋8时算出x的取值范围；③－2x＋5＜2x＋8时算出x的取值范围. （4）根据当x每增加1时，“－2x＋5”此式的值依次减少2，“2x＋8”此式的值依次增加2，可以看出系数与式子值的关系，所以“要求x的值每增加1，代数式的值减小5”，则x的系数为-5，当x=0时，式子的值是7，所以常数项是7，以此解决即可. 【详解】（1）1，12； （2）x每增加1，的值减少2，的值增加2； （3）当时，两式相等； 当时，－2x＋52x＋8； 当时，－2x＋52x＋8； （4） 【点睛】本题考查了代入法求式子的值，数据规律探索，判断代数式的大小，解决本题的关键是观察每行数据，找到数据与数据之间存在的增减关系. 2．根据表格，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … (1)【初步感知】______；______； (2)【归纳规律】表中－2x＋5的值的变化规律是：x的值每增加1时，的值就减少______．类似地，请写出的值的变化规律：______． (3)【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小5，且当时，代数式的值为． 【答案】(1)1；14 (2)2；x的值每增加1时，的值就增加3． (3)－5x＋6 【分析】本题考查了代数式的值和一元一次方程． （1）把分别代入式子即可求解； （2）观察表格中数值的变化规律即可解答； （3）根据x的值每增加1，代数式的值就减小5，可设这个式子为，又由当时，代数式的值为，即可求得n的值，从而得到代数式． 【详解】（1）当时， ， ， 即，． 故答案为：1，14 （2）根据表中的值为9，7，5，3，1，可得x每增加1，的值就减少2； 根据表中的值为2，5，8，11，14，可得x每增加1，的值就增加3． 故答案为：2；x的值每增加1时，的值就增加3． （3）∵x的值每增加1，代数式的值就减小5， ∴设这个式子为， ∵当时，代数式的值为， ∴， 解得， ∴这个代数式为． 3．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … m 1 3 … … 7 5 3 1 n … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：_______， ______； 【归纳规律】 （2）表中代数式值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加2；类似地，代数式值的变化规律是：x的值每增加1，值就_____； 【计算验证】 （3）当x的值从a增加到时，猜想代数式的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 【答案】（1），；（2）减少2；（3）减少6，见解析 【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减； （1）把代入可求出m，把代入可求出n； （2）根据表中数据可知x的值每增加1，值就减少2； （3）分别求出和时代数式的值，相减即可得到答案． 【详解】解：（1）当时，； 当时，， 故答案为：，； （2）由表中数据可知，x的值每增加1，值就减少2， 故答案为：减少2； （3）代数式的值会减少6； 证明：当时，； 当时，； ∵， ∴代数式的值减少6． 4．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题； (1)根据表中信息可知：______；______． (2)表中的值的变化规律：的值每增加，的值就增加2． 类似地，的值的变化规律：的值每增加，值就______． (3)①若一个含的多项式满足：的值每增加1，多项式的值就减小5，且当时，多项式的值为8．则这个多项式为______． ②当的值从增加到时，试通过计算说明关于的代数式（为一次项的系数，且）的变化规律． 【答案】(1)； (2)减小 (3)①；②见解析 【分析】本题考查的是代数式的值，掌握求解代数式的值的方法是解本题的关键； （1）把与分别代入两个代数式进行计算即可； （2）根据表格数据即可求解． （3）①依题意，的系数为，设这个多项式为，将代入，得出，即可求解； ②当，x的值从增加到时，关于x的代数式的值增加k，当，x的值从增加到时，关于x的代数式的值减少（或减少)． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 故答案为：，；． （2）的值的变化规律：的值每增加，值就减小， 故答案为：减小． （3）解：①依题意，的系数为，设这个多项式为， 当时， ∴这个多项式为； ② ∴当，x的值从增加到时，关于x的代数式的值增加k， 当，x的值从增加到时，关于x的代数式的值减少（或减少)． 5．代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： 0 1 2 0 0 3 1 4 7 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：______；______； 【归纳规律】 （2）表中的值随着的变化而变化的规律是：的值每增加1，的值就减少1．类似的，的值随着的变化而变的规律是：______； （3）观察表格．下列说法正确的有______（填序号）： ①当时，    ②当时， ③当时，    ④时， 【应用迁移】 （4）已知代数式与（为常数且），若无论取何值，的值始终小于的值，试分别写出与与的关系______． 【答案】（1），（2）的值每增加1，的值就增加3（3）①④（4） 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，列代数式，代数式求值， （1）根据表中的规律进行求解即可； （2）根据的变化规律进行描述即可； （3）结合表格进行分析即可得出结果； （4）无论x取何值，的值始终小于的值，即，合并同类项后可得：，结合代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化的规律即可求解． 【详解】解：（1）当时， ， ， 当时， ， ； 故答案为：，； （2）的值随着的变化而变的规律是：的值每增加1，的值就增加3； 故答案为：的值每增加1，的值就增加3； （3）观察表格， ①当时，，故①正确，    ②当时，，故②错误， ③当时，，故③错误， ④时，，故④正确， 正确的是：①④； 故答案为：①④； （4）， 无论x取何值，的值始终小于的值， 即， ， ． 故答案为：． 6．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： … … … … … … (1)根据表中信息可知：_____；______； (2)表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加2；类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______； (3)当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（k为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 【答案】(1)， (2)减少1 (3)当，x的值从a增加到时，关于x的代数式的值增加k，当，x的值从a增加到时，关于x的代数式的值减少（或减少)，证明见解析 【分析】本题考查的是代数式的值，掌握求解代数式的值的方法是解本题的关键； （1）把与分别代入两个代数式进行计算即可； （2）分别计算当与时，代数式的值，再作差即可； （3）分别计算当与时，代数式的值，再作差并结合的符号作答即可． 【详解】（1）解：当时， ， 当时， ． 故答案为：，； （2）∵， ∴x的值每增加1，的值就减小1； （3）∵， ∴当，x的值从a增加到时，关于x的代数式的值增加k， 当，x的值从a增加到时，关于x的代数式的值减少（或减少)． 类型九、数轴动点求t——定值、无关问题 1．已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：，为正整数． (1)判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． (2)设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动秒． ①当时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A，B在数轴上所对应的数互为相反数，见解析 (2)①见解析；②当或时，的值与无关 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）利用绝对值的非负性即可求解； （2）①运动t秒后点在数轴上所表示的数为，由可得点在数轴上所表示的数为0，进一步可推出，即可求解；②分类讨论当点位于点的右侧时和当点位于点的左侧时两种情况即可求解． 【详解】（1）解：点A，B在数轴上所对应的数互为相反数．理由如下： ， ，，， ，，， 点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． （2）解：①运动t秒后点在数轴上所表示的数为． 由（1）可知点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． ， 点在数轴上所表示的数为0， ，即， ， ∵， ． ②点C从原点出发，运动秒后，点在数轴上表示的数为， ，． 当点位于点的右侧时，， ． 当，即时，的值与无关． 当点位于点的左侧时，， ． 当，即时，的值与无关． 综上所述，当或时，的值与无关． 2．如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．    (1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ； (2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示） ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度． 【答案】(1)， (2)①点M对应的数为：，点N对应的数为：；②的长度与无关，长度为 【分析】本题是数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）①由题意可得、的长度，从而由点、对应的数即可求出点、对应的数；②根据题意可得点对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断． 【详解】（1）解：点对应的数为，， 点对应的数为：， 又， 点对应的数为：， 故答案为：，； （2）①由动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，则，， 又，， ，， 点对应的数为：，点对应的数为：； ②的长度与无关，理由如下： 由于， 点对应的数为：， 则， 即的长度与无关，长度为． 3．在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且（a+2）2+|b﹣4|＝0，记AB＝|a﹣b|． （1）求AB的值； （2）如图，点P、Q分别从点A、B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，当BQ＝2BP时，P点对应的数是多少？ （3）在（2）的条件下，点M从原点与P、Q点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（1＜x＜2），若在运动过程中，2MP—MQ的值与运动的时间t无关，求x的值． 【答案】（1）6；（2）1；（3） 【分析】（1）由（a+2）2+|b﹣4|＝0，得a＝—2，b＝4，即可求解； （2）设P运动t秒时，BQ＝2BP，①当0≤t＜6时，BP＝6−t，BQ＝2t，得2t＝2（6−t），②当t≥6时，BQ＝2BP不成立； （3）点P、M、Q向运动t秒后，分别表示的数是：−2＋t，xt，4＋2t，得MP＝xt−（−2＋t），MQ＝4＋2t−xt，表示出2MP−MQ＝2[xt−（−2＋t）]−（2＋2t−xt）＝（3x−4）t，由当2MP−MQ的值与运动时间t无关时，得3x−4＝0，解方程即可． 【详解】解：（1）∵（a+2）2+|b﹣4|＝0， ∴a＝﹣2，b＝4， ∴AB＝|﹣2﹣4|＝6； （2）设P运动t秒时，BQ＝2BP， ①当0≤t＜6时，BP＝6﹣t，BQ＝2t， 2t＝2（6﹣t）， 解得t＝3， 点P对应的数是﹣2+1×3＝1； ②当t≥6时，BQ＝2BP不成立， 综上，点P对应的数是1； （3）点P、M、Q向运动t秒后，分别表示的数是：﹣2+t，xt，4+2t， ∴MP＝xt﹣（﹣2+t），MQ＝4+2t﹣xt， ∴2MP﹣MQ＝2[xt﹣（﹣2+t）]﹣（2+2t﹣xt）＝（3x﹣4）t， ∵当2MP﹣MQ的值与运动时间t无关时， ∴3x﹣4＝0， 解得：． 【点睛】本题考查了数轴表示数的方法和意义，掌握数轴上两点之间的距离与这两点所表示的数之间的关系式解决问题的关键． 4．若点在数轴上对应的数分别为，其中是最小的正整数，满足，请回答问题： (1)请直接写出的值； (2)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)存在；当时，为定值；当时，为定值． 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性可求出的值； （2）设点表示的数为，分在之间、在点左边、在之间、在点右边四种情况考虑，由利用两点间的距离公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）表示出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分①当，即时，②当时，进行讨论，分别表示出，再根据是定值，确定出的值即可． 【详解】（1）解：， ，， ，, 是最小的正整数, ． （2）解：设点表示的数为， ， ①在之间， ， ， ； ②在左边， ， ， ； ③在之间， ， ， （舍去）； ④在的右边， ， ， （舍去）； 综上所述，或 点对应的数为：或； （3）解：存在， 运动时间为， 由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ①当，即时， ， ， ， 为定值， ， ， ； ②当时， ， ， ， 为定值， ， ， ； 综上所述，存在常数，使得为定值；当时，为定值；当时，为定值． 【点睛】本题考查了绝对值与偶次方的非负性，数轴上两点间的距离的表示，熟练掌握两点间的距离的表示方法是解答本题的关键．注意分类讨论思想的运用． 5．解答题 【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为 （1）在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有，则的中点N所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点，则我们有五等分点公式：点M对应的数为______． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，存在定值，为 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）先由非负数的性质求出，进而可得的中点N所对应的数； （2）首先依题意求出点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：，然后根据的中点所对应的数为10，得，由此解出t即可； （3）①依题意可得出M对应的数；②由（2）可知：点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：，再求出点E所表示的数为，点F所表示的数为，进而求出，，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ， 点N是的中点， 的中点N所对应的数为：， 故答案为：； （2）由题意可得，点P表示的数为，点Q表示的数为． ， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为10； （3）①根据题意：五等分点公式：点M对应的数为：； ②由题意，得点E表示的数为，点F所表示的数为 ， ， 当时，，不是定值 当时，，是定值 当时，，不是定值 ∴当时，存在定值，为． 6．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．正确的表示数轴上两点之间的距离是解题的关键． （1）由，可知在之间，则，，即，计算求解即可； （2）由题意知，，即，计算求解即可； （3）由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，根据，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在之间，则，， ∴， 解得，， ∴x的值为1． （2）解：由题意知，， ∵， ∴，即，或， 解得或． （3）解：的值不会随着t的变化而变化； 由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2． 类型十、数轴动点求t——新定义问题 1．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是______；写出【N，M】美好点H所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)，或 (2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【分析】本题考查数轴上两点间的距离及数轴动点问题、点是[，]的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． （1）根据美好点的定义，结合图2，直观考查点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据没好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）根据美好点的定义，，，，只有点符合条件， 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离2倍的点，点的右侧不存在满足条件的点，点和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：，或； （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当为[，]的美好点，点在，之间，如图1， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第二种情况，当为[，]的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第三种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第四种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第五种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第六种情况，为[，]的美好点，点在，左侧，如图6， 当时，，因此秒； 第七种情况，为[，]的美好点，点在左侧， 当时，，因此秒， 第八种情况， 为[，]的美好点，点在右侧， 当时，，因此秒， 综上所述，的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 2．数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 【答案】(1)C2 (2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为 【分析】（1）分别求出点C1，C2，C3到两点间的距离，再进行验证即可； （2）①分类讨论点在之间和点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的“关联点”、点为点的“关联点”、点为点的“关联点”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点C1不是点A，B的“关联点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“关联点” ∵ ∴点不是点A，B的“关联点” 故答案为： （2）解：解：设点P在数轴上表示的数为 ①（i）当点在之间时， 若，则 解得： 若，则 解得： （ii）当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为，； ②（i）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： （ii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 或,即： 解得： （iii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进行分类讨论是解题关键． 3．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7． (1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　； (2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值． 【答案】(1)1，6 (2)﹣4或6 【分析】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答； （2）分两种情况，点E在点A的左侧，点E在点B的右侧． 【详解】（1）解：∵点D表示的数为﹣3， ∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1， d2（点D，线段AB）＝DB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6， 故答案为：1，6； （2）分两种情况： 当点E在点A的左侧， d2（点F，线段AB）＝BF＝3﹣（x+1）＝2﹣x， d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣2﹣x， ∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍， ∴2﹣x＝3（﹣2﹣x）， ∴x＝﹣4， 当点E在点B的右侧， d2（点F，线段AB）＝AF＝x+1﹣（﹣2）＝x+3， d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣3， ∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍， ∴3+x＝3（x﹣3）， ∴x＝6， 综上所述：x的值为﹣4或6． 【点睛】本题考查了数轴，理解题目已知给出的定义是解题的关键． 4．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数3，下列各数，，0，1所对应的点分别是，其中是点A，B的“联盟点”的是___________； (2)点A表示数，点B表示数5，P为数轴上的一个动点： ①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数． 【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】（1）根据“联盟点”的定义列出绝对值方程即可求解； （2）根据数轴上两点的距离公式以及新定义，分类讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设点表示的数为，且点是点的“联盟点”， ∴根据，0，1三个数在数A、B之间，可得或， ∴或， 当时，解得或（舍）， 当时，解得或（舍）， ∴是点的“联盟点”， 故答案为：，； （2）①设点表示的数是，点P在点A的左侧， ∴，，， ∵点是点的“联盟点”， ∴， ∴， 解得， 即点表示的数是； ②设点表示的数是，点在点的右侧， 当是点的“联盟点”时，， ∴， 解得； 当A是点，的“联盟点”时，， ∴， 解得； 当是点，的“联盟点”时，或， ∴或， 解得或； 综上所述：点表示的数为或或． 【点睛】本题考查了几何新定义，数轴上两点的距离，绝对值的意义，数形结合是解题的关键． 5．对于数轴上的两点P，Q给出如下定义，P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：P，Q两点表示的数如图1所示，因为点P表示的数是，点Q表示的数是1，所以，则．A，B两点表示的数如图2所示． (1)求A，B两点的绝对距离； (2)若C为数轴上一点，且，求点C表示的数． 【答案】(1)2 (2)点C表示的数为5或 【分析】（1）利用绝对距离的定义解题即可． （2）运用及绝对距离的定义解题即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴，， ∴或（舍去）， ∴表示的数为5或． 【点睛】本题主要考查数轴上用绝对值表示距离，能够熟练运用条件给的定义利用绝对值表示距离是解题关键． 6．阅读材料： 定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为–1，0，2，且满足，则点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)基础巩固：在A，B，C三点中，点_____________是点M，N的“倍分点”． (2)尝试应用：若数轴上点M是点A，D的“倍分点”，则点D在数轴上对应的数有_____________个． (3)灵活运用：若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点Р在点N的右侧，求此时点Р在数轴上表示的数． 【答案】(1)B (2)4 (3)①；②或24 【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案； （2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案； （3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点B是点M，N的“倍分点”． 故答案为：B． （2）解：设点D在数轴上所表示的数为x． 根据题意，得． ①当时，． ∴．解得或． ②当时，． ∴．解得或． 综上所述，点在数轴上对应的数有4个． 故答案为：4． （3）解：根据题意，得， ①当时，． ∵点Р在点N的右侧， ∴此时点Р在数轴上表示的数为． ②当时，． ∵点Р在点N的右侧， ∵此时点Р在数轴上表示的数为24． 综上所述，点Р在数轴上表示的数为或24． 【点睛】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$