精品解析：上海市上海大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学测试数学试题

上海市上大附中2025届高三上学期开学测试 一.填空题(本大题共 2题，满分54分，第1~ 6题每题4份，第7~12题每题5分) 1. 已知集合，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的并集运算求解. 【详解】因为集合， 所以. 故答案为：. 2. 若某圆锥高为3 ， 其侧面积与底面积之比为， 则该圆锥的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可列出关于圆锥底面半径和母线的方程组，解方程组即可求得底面半径和母线，从而可求圆锥的体积. 【详解】设此圆锥的底面半径为，母线长为，则， 因为圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，扇形的半径是圆锥母线长，所以，，又侧面积与底面积之比为， 所以，所以，结合可解得，， 所以该圆锥的体积. 故答案为： 3. 若函数为偶函数， 且当时，， 则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用偶函数的定义即可求解. 【详解】当时，，所以， 又因为为偶函数，所以． 故答案为：. 4. 在的二项展开式中，含项的系数是___________ 【答案】80 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】的二项展开式中，含项的是， 故含项系数是， 故答案为：80 5. 已知复数在复平面内对应的点是A， 其共轭复数在复平面内对应的点是是坐标原点， 若A在第一象限， 且， 则________. 【答案】 【解析】 【分析】设点A坐标，根据共轭复数的概念得B坐标，再由得A横纵坐标的关系式，根据复数的除法运算求值即可. 【详解】设，则由共轭复数的概念可得：， 由得：， 因为，所以，故， 故. 故答案为：. 6. 设a＞0,b＞0． 若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行，所以且．又，为正数，所以（），即取值范围是． 考点：方程组的思想以及基本不等式的应用． 7. 已知实数的平均数为4，则这四个数的中位数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平均数及中位数的概念计算即可. 【详解】由题意可知， 若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，此时中位数是； 若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，此时，不符合题意； 若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，同上，不符合题意； 若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，则有； 若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，同上； 若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，可知； 此时中位数是； 综上所述这四个数的中位数的取值范围是. 故答案为：. 8. 已知曲线上有一点，则过点的切线的斜率为______． 【答案】4或1 【解析】 【分析】根据导数的几何意义直接求解即可. 【详解】设，则， 设切点为，则切线方程为， 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点P的切线的斜率为4或1. 故答案为：4或1 9. 如图，为了测量某湿地，两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点，，．从点测得，从点测得，，从点测得．若测得，（单位：百米），则，两点的距离为 ____________. 【答案】3（百米） 【解析】 【分析】根据题意，在中，分析角边关系可得，在中，由正弦定理可得的值，然后在中，利用余弦定理可得答案． 【详解】根据题意，在中，，，， 则，则， 在中，，，， 则， 则有，变形可得， 在中，，，， 则， 则； 故答案为：3（百米） 10. 已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上严格增函数的有序数对的个数是______ 【答案】24 【解析】 【分析】满足各个函数在上严格增函数的参数的取值均为，由于且互不相等，可分情况进行分类讨论，再利用分类加法计数原理计算可得结果. 【详解】由题意可知，满足指数函数且， 对数函数且的取值只有4个，分别为； 而使它们在上严格增函数的取值都只有两个，分别是； 而满足幂函数的的取值有6个（全部）， 使得幂函数在上是严格增函数的取值有4个，即； 由于且互不相等，有三种情况： 第一种：指数函数，对数函数在上是严格增函数， 而幂函数不满足，共有种； 第二种：指数函数，幂函数在上是严格增函数， 而对数函数不满足，共有种； 第三种：对数函数，幂函数在上是严格增函数， 而指数函数不满足，共有种； 第四种：三个函数在上都是严格增函数，共有种； 利用分类加法计数原理可得共有种； 故答案为：24 11. 已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】由数列满足，对任意都有，可建立关于的不等式组，然后结合对任意都有，利用数列单调性即可求解. 【详解】因为数列满足，对任意都有， 所以，即，解得； 又对任意都有，则对于任意恒成立， 即对于任意恒成立，故； 综上可知，实数的取值范围是. 故答案为： 12. 如图，设点为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有________个. 【答案】 【解析】 【分析】根据分类计数原理求解即可． 【详解】符合条件的点有两类：一，六条棱的中点；二，四个面的中心； 集合中有且只有个元素，符合条件的点有个． 故答案为： 二．选择题（本大题共4题，13、14题每题4分，15、16每题5分，共18分） 13. 在下列函数中，值域为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断，利用对数函数性质和基本不等式确定偶函数的值域． 【详解】ACD三个选项中函数定义域是， 函数的定义域是，，为偶函数，由对数函数性质知其值域为，B符合； ，因此是奇函数，A不符； ，因此是偶函数，但，当且仅当时取等号，因此函数值域不是，C不符； ，是奇函数，D不符. 故选：B ． 14. 双曲线和双曲线具有相同的（ ） A. 焦点 B. 顶点 C. 渐近线 D. 离心率 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算出两双曲线的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程与离心率即可得. 【详解】双曲线的焦点坐标为、左右顶点坐标为、 渐近线方程为、离心率为； 双曲线的焦点坐标为、上下顶点坐标为、 渐近线方程为、离心率为； 故其离心率相同. 故选：D. 15. 张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（ ） A. 28码 B. 29.5码 C. 32.5码 D. 34码 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求得尺码的总个数，再利用等差数列的前项和公式求得总尺码，继而得到缺货尺寸的总码数，进一步计算即可. 【详解】设第一个尺码为，公差为， 则， 则， 当时，， 故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为 码， 所有缺货尺码的和为码， 又因为缺货的一个尺寸为码， 则另外一个缺货尺寸码， 故选：C. 16. 在正方体中，点分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有则（ ） A. ①②均正确 B. ①②均不正确 C. ①正确，②不正确 D. ①不正确，②正确 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的线面关系证明平面，来验证命题①；求证平面，来验证命题②即可得结论. 【详解】对于①，如图，连接 在正方体中，有正方形，所以， 又，所以四边形为平行四边形，故确定唯一的平面， 又平面，平面，所以 又平面，所以平面 因为平面，所以对任意点，都有，只有与重合才符合题意,与不为端点矛盾，故对任意点，不存在点，使得，故①不正确； 对于②，如图，连接交于，连接 由①得平面，又，所以四边形为平行四边形，所以，则平面， 因为平面，所以 又因正方形，所以，又平面，平面，所以, 因为平面，所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面，又平面，所以 于是当点与重合时，存在点，对任意的，均有，故②正确. 故选：D. 三．解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 已知 （1）若是第一象限角，求值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再利用平方关系和商关系可求的值. （2）先利用诱导公式化简，再利用齐次式和正切值可得答案. 【小问1详解】 因为 . 若是第一象限角，则，， 且，解得，故. 【小问2详解】 . 18. 如图，在正四棱锥中，点为的中点. （1）若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）正四棱锥的各棱长均为2，求直线与底面所成角的大小. 【答案】（1）相交，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得且，从而得到四边形是梯形，即可得解； （2）依题意可得点到平面的距离为正四棱锥高的一半，求出棱锥的高与，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 由、分别为侧棱、的中点， 所以且， 又且，故且， 所以四边形是梯形，因此直线与相交. 【小问2详解】 由为的中点，得点到平面的距离为正四棱锥高的一半， 设，连接，则平面， 由正四棱锥的各棱长均为，所以， 则 即正四面体的高为， 所以点到平面的距离为，又， 设直线与底面所成角为，则， 故直线与底面所成角的大小为. 19. 已知甲组数据的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分(仅一位小数)为叶，例如第一个数据为5.3 （1）求：甲组数据的平均值、方差、中位数； （2）乙组数据为，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值为，方差为，求：乙组数据的平均值和方差，写出必要的计算步骤. 参考公式：平均值，方差 【答案】（1），，； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图求平均值，再由方差与均值的关系求，将茎叶图中的数据从小到大排列确定中位数M. （2）由甲乙平均数及（1）的结果列方程求乙组数据的平均值，再由方差与均值的关系列方程组求出，进而求方差. 【小问1详解】 ， ∴， 由茎叶图知：数据从小到大排列为 ∴. 【小问2详解】 由题意，， 又， 因此. 20. 已知椭圆长轴长是短轴长的两倍，且过点． （1）求椭圆的方程． （2）若点，点为椭圆上的任意一点，求的最大值与最小值． （3）设椭圆的下顶点为点，若不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，的横坐标之积是2，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）最小值是，最大值是3 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定的条件，列出关于的方程，求出即可得到椭圆方程； （2）设，由得：，再根据两点间的距离公式及点在椭圆上，转化为二次函数的最值问题求解即可； （3）设直线的方程为，，求出M，N两点的横坐标，再联立与的方程，通过韦达定理运算求解，即可求出的值，从而可得直线的定点坐标． 【小问1详解】 依题意，，故椭圆方程为：， 又椭圆过，于有，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，由得：， 因为点在椭圆上，所以， 所以 因为，所以，当时，有最小值为， 当时，有最大值为3； 【小问3详解】 由（1）知，依题意，设直线的方程为， ，直线的方程为， 令，得点的横坐标为， 同理得点的横坐标为， 由消去并整理得，， ，即， ，， 因此， ， 即，解得， 直线的方程为，过定点，所以直线过定点． 21. 已知函数（），为函数的导函数. （1）若为函数的极值点，求实数的值; （2）当有且只有两个整数满足不等式时，求实数的取值范围; （3）对任意时，任意实数，都有恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意，即可得到方程，解得，再代入检验即可； （2）依题意有且只有两个整数满足不等式，再分和两种情况讨论，分别得到不等式组，解得即可； （3）由，令利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，再根据二次函数的性质求出的最小值，即可得到，最后根据二次函数的性质计算可得； 【小问1详解】 解：因为，所以，依题意，解得或； 当时，则，所以当时，函数单调递增，当或时，函数单调递减，故函数在处取得极大值，符合题意； 当时，则， 所以当时，函数单调递增，当或时，函数单调递减，故函数在处取得极大值，符合题意； 故或 【小问2详解】 解：因为，因为有且只有两个整数满足不等式，即有且只有两个整数满足不等式， 显然， 当时，解得，即不等式的解集为，所以，解得； 当时，解得，即不等式的解集为，所以，解得； 综上可得 【小问3详解】 解：因为，令，则，令，则或，因为，所以，，所以当，和，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以函数的极小值为，又， 令， 易知，当时，函数单调递增，故，所以， 即当，时，， 又 其对应函数图象的对称轴为，所以时，， 所以，故有， 又，因为，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市上大附中2025届高三上学期开学测试 一.填空题(本大题共 2题，满分54分，第1~ 6题每题4份，第7~12题每题5分) 1 已知集合，则_________． 2. 若某圆锥高为3 ， 其侧面积与底面积之比为， 则该圆锥的体积为________. 3. 若函数为偶函数， 且当时，， 则________. 4. 在的二项展开式中，含项的系数是___________ 5. 已知复数在复平面内对应的点是A， 其共轭复数在复平面内对应的点是是坐标原点， 若A在第一象限， 且， 则________. 6. 设a＞0,b＞0． 若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是 ． 7. 已知实数的平均数为4，则这四个数的中位数的取值范围是______． 8. 已知曲线上有一点，则过点切线的斜率为______． 9 如图，为了测量某湿地，两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点，，．从点测得，从点测得，，从点测得．若测得，（单位：百米），则，两点的距离为 ____________. 10. 已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上严格增函数的有序数对的个数是______ 11. 已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数取值范围是__________ 12. 如图，设点为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有________个. 二．选择题（本大题共4题，13、14题每题4分，15、16每题5分，共18分） 13. 在下列函数中，值域为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 14. 双曲线和双曲线具有相同的（ ） A. 焦点 B. 顶点 C. 渐近线 D. 离心率 15. 张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（ ） A. 28码 B. 29.5码 C. 32.5码 D. 34码 16. 在正方体中，点分别是线段上点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有则（ ） A. ①②均正确 B. ①②均不正确 C. ①正确，②不正确 D. ①不正确，②正确 三．解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 已知 （1）若是第一象限角，求的值； （2）求的值. 18. 如图，在正四棱锥中，点为的中点. （1）若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）正四棱锥的各棱长均为2，求直线与底面所成角的大小. 19. 已知甲组数据的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分(仅一位小数)为叶，例如第一个数据为5.3 （1）求：甲组数据的平均值、方差、中位数； （2）乙组数据为，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值为，方差为，求：乙组数据的平均值和方差，写出必要的计算步骤. 参考公式：平均值，方差 20. 已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点． （1）求椭圆的方程． （2）若点，点为椭圆上的任意一点，求的最大值与最小值． （3）设椭圆的下顶点为点，若不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，的横坐标之积是2，证明：直线过定点． 21. 已知函数（），为函数的导函数. （1）若为函数的极值点，求实数的值; （2）当有且只有两个整数满足不等式时，求实数的取值范围; （3）对任意时，任意实数，都有恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$