24.3 正多边形与圆（分层作业）-【上好课】九年级数学上册同步高效课堂（人教版）

24.3 正多边形与圆 分层作业 基础训练 1．（23-24九年级上·青海海东·期末）若正六边形的边长为，则下列说法中正确的是（    ） A．中心角是 B．半径为 C．边心距为 D．面积为 2．（23-24九年级上·云南昭通·期中）正六边形绕着它的中心旋转，若旋转后的正六边形能与自身重合，则旋转角最小是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，一个蜜蜂的蜂巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）同圆的外切正方形和内接正三角形的边长之比是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·云南保山·期末）魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长，进而可用来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（    ）    A．0.5 B．1 C．3 D．3.2 6．（23-24九年级上·湖北·周测）如图，若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的比值为（    ）    A． B． C．2 D．3 7．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）正三角形的半径为，则此三角形的面积为 ． 8．（2023·贵州·模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图②，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为 ． 9．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图摆放的两个正六边形的顶点，，，在图上．若，则该圆的半径为 ． 10．（2023·湖南·中考真题）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．    11．（2023·河北保定·一模）如图，在正六边形中，，O为的中点，以O为圆心，为半径作，M为上一动点，设点M到正六边形上的点的距离为d． （1） ． （2）当面积最小时，点M到的距离为 ，d的最大值为 ． 12．（2018·陕西·一模）如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 13．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积． 14．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 15．（21-22九年级上·全国·课后作业）完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 1 6 能力提升 16．（2023·河南·模拟预测）2024年春节期间，河南多地大范围降雪． 如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形 ）的图形，放在平面直角坐标系中，若 与 轴垂直，顶点 的坐标为 ，则顶点 的坐标为 （    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·山东滨州·期中）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为的面积为，则（    ） A．2 B．1 C． D． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形内接于，E为的中点，直线交于点F，如果的半径为，则点O到的距离（    ） A． B． C．1 D． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知正六边形中，G，H分别是和的中点，P是上的动点，连接，，则的值最小时，与的夹角（锐角）度数为 （   ）度．    A． B．60 C． D．  20．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．若存在一个边长为4的正方形被两个半径为r的等圆所覆盖，此时r的最小值为 ；若存在一个边长为4的正方形被三个半径为r的等圆所覆盖，此时r的最小值为 ． 21．（23-24九年级上·天津河西·期中）如图，一个圆形纸片的圆心O与一个正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点的距离的最小值为 ． 22．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动，若⊙O的周长为，，则周长的最小值是 ．    23．（2023·浙江温州·三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由24片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正二十四边形顶点，正八边形顶点与圆心O共线，正二十四边形顶点，与正八边形顶点，共线，则的值为 ；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点，，…，逆时针同速旋转．圆心O绕旋转后的对应点为，以此类推，当落在上时，若米，则的值为 米．        24．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．    (1)若，则正方形的面积为　 　； (2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16 ①求的值； ②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比． 25．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    26．（21-22九年级上·吉林白山·期末）如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动． （1）求图①中的度数 （2）图②中的度数是______，图③中的度数是______； （3）若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______． 拔高拓展 27．（2023·河北沧州·模拟预测）某数学小组在一个半径为2的圆形场地上做探究实践活动．    （1）如图1，小组将圆形场地分为12等份．机器人从一个点到另外一个点均是直线行走． ①机器人从点走到点的路程为 ； ②机器人从点到点走了两条不同的路线．路线1：；路线2：，路线1的长记为，路线2的长记为，则 ；（填“>”“<”或“=”） （2）如图2，机器人从出发，沿与半径夹角为的方向行走，走到场地边缘后，再沿与夹角为的方向折向行走至，…按照这样的方式，机器人走到时第一次超过，且，则 ． 28．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边，分别交于点，．设等边的面积为，通过证明可得，则． (1)【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边，分别交于点，．若正方形的面积为，请用含的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）． (2)【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积 (3)【猜想结论】如图4，为正边形……的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请用含、的式子表示正边形……的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.3 正多边形与圆 分层作业 基础训练 1．（23-24九年级上·青海海东·期末）若正六边形的边长为，则下列说法中正确的是（    ） A．中心角是 B．半径为 C．边心距为 D．面积为 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质以及直角三角形的边角关系是解题的关键．根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系分别计算出，，以及正六边形的面积即可． 【详解】解：连接、，过点作，垂足为， 中心角，因此选项A不符合题意； ，， 是正三角形， ，， 因此半径，选项B符合题意； 在中，，， ，即边心距为，因此选项C不符合题意； ， 因此选项D不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·云南昭通·期中）正六边形绕着它的中心旋转，若旋转后的正六边形能与自身重合，则旋转角最小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、正多边形的性质．根据旋转角（对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角）及旋转对称图形的定义结合图形特点，即可解题． 【详解】解：， 正六边形绕着它的中心最少旋转能与自身重合， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，一个蜜蜂的蜂巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质，连接交于点，根据正六边形的对角线相互平分和已知条件，即可求得正六边形的边长． 【详解】解：如图，连接交于点： 为正六边形， ，， 为等边三角形， 对角线的长约为， ， 故选：C． 4．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）同圆的外切正方形和内接正三角形的边长之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正多边形和圆．首先根据圆内接正三角形的性质以及正方形的性质得出的长，进而得出圆的内接正三角形的边长． 【详解】解：如图所示：连接，过点，作于点， 故 四边形是正方形，切于点，是的内接正三角形， 设圆的外切正方形的边长为， 则，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正三角形的边长为：， ∴． 故选：A． 5．（23-24九年级上·云南保山·期末）魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长，进而可用来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（    ）    A．0.5 B．1 C．3 D．3.2 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形和圆，连接、，根据正六边形的性质得到，得到是等边三角形，得到，根据题意计算即可．掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接、，    ∵六边形是正六边形， ∴，又， ∴是等边三角形， ∴， 正六边形的周长圆的直径， 故选：C． 6．（23-24九年级上·湖北·周测）如图，若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的比值为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】连接，根据已知得点O为正方形的中心，从而可求可求出，再根据切线的性质得，从而得，，进而证为等腰直角三角形得，然后再利用勾股定理求出，据此即可得出答案． 【详解】解：连接，如图：    ∵点O是正方形内切圆和外接圆的圆心， ∴点O为正方形的中心， ∴， 又∵正方形的内切圆与切于点E，且， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形与圆，切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是确定点O为正方形的中心，并求出中心角，进而利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求出的长． 7．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）正三角形的半径为，则此三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练运用数形结合的数学思想是解题的关键； 先画出相应的图形，然后连接、，过点作于，根据等腰三角形性质得出，求出，根据勾股定理求出，即可求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图，是的内接正三角形，连接、，过点作于，    由题意可知， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（2023·贵州·模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图②，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，连接，，、交于点，先求出，，进而证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：连接，，、交于点，如图所示， 六边形是正六边形，的长约为， ，， ∴是等边三角形， ∴ 约为， 故答案为：4． 9．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图摆放的两个正六边形的顶点，，，在图上．若，则该圆的半径为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是正多边形和垂径定理，由正六边形的性质可得，再根据勾股定理可得答案，正确作出图形及辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，设圆的圆心为点，即点为正六边形边的中点，连接，过作于点， ∴， ∵正六边形的每个内角都为， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的半径为， 故答案为：． 10．（2023·湖南·中考真题）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．    【答案】10 【分析】先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ∵正五边形的一个外角， ∴， ∴， ∴共需要正五边形的个数（个）， 故答案为：10．    【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法． 11．（2023·河北保定·一模）如图，在正六边形中，，O为的中点，以O为圆心，为半径作，M为上一动点，设点M到正六边形上的点的距离为d． （1） ． （2）当面积最小时，点M到的距离为 ，d的最大值为 ． 【答案】 4 / 【分析】（1）连接，可得是等边三角形，即可； （2）当垂直平分时，面积最小，设的延长线交于点N，连接，根据勾股定理求出的长，即可；根据题意得当点M在线段上时，d最大，即可． 【详解】解：（1）连接， 在正六边形中，，， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：4 （2）如图1，当垂直平分时，面积最小，设的延长线交于点N，连接． ∴，，， ∴， ∴， 即此时M到的距离为． 如图2，当点M在线段上时，d最大，． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆的性质是解题的关键． 12．（2018·陕西·一模）如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 13．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积． 【答案】边心距，边长为，周长是，面积是． 【分析】连接，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，进而求得；再根据勾股定理求出，即可求出，进而求得周长和面积． 【详解】解：如图：连接，延长交于D， ∵正外接圆是， ∴， ∴边心距， 由勾股定理得：， ∴三角形边长为，， ∴的周长是； 的面积是． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出的长是解题的关键． 14．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，， (2)不存在一个正边形，使其中的，理由见解析 【分析】（1）根据正多边形的内角，内角和以及三角形内角和定理进行计算即可； （2）根据（1）中的计算方法得出，代入计算即可． 【详解】（1）解：正三角形中的度数是正三角形的内角度数，即， 正方形中的度数为，即， 正五边形中的度数为，即， 正六边形中的度数为，即， 正边形中的度数为，即， 当时，即， 解得， 故答案为：，，，，； （2）由（1）得，正边形中， 当时，即， 解得不是整数， 所以不存在一个正边形，使其中的． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，多边形内角和的计算方法是正确解答的前提，得出是解决问题的关键． 15．（21-22九年级上·全国·课后作业）完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 1 6 【答案】填表见解析． 【分析】首先根据题意画出图形，然后利用勾股定理等知识进行逐一求解即可． 【详解】解：如图（1）所示：中心角，内角∠A=60° ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴周长为：，面积为； 如图（2）所示：中心角， 内角∠A=90° 由题意可得△BOC和△OBE都是等腰直角三角形， ∵边心距为1 ∴， ∴边长为2，半径为 ， ∴周长为8，面积为4； 如图（3）所示：内角为120°，中心角， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOM=30°，AM=BM， ∴AO=2AM ∵边心距为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴半径为2，边长为2， ∴周长为12，面积， 故答案为： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 1 6 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 能力提升 16．（2023·河南·模拟预测）2024年春节期间，河南多地大范围降雪． 如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形 ）的图形，放在平面直角坐标系中，若 与 轴垂直，顶点 的坐标为 ，则顶点 的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题重点考查图形与坐标、正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．设正六边形的中心为点，连接、、，连接 交 与点，则 ．利用正多边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等可求，，证明轴，结合点A的坐标即可求解． 【详解】解∶设正六边形的中心为点，连接、、，连接 交 与点，则 ． 正六边形 的边长为4， ，，， ，，， ， ， ． ，， 是等边三角形， ， 又轴， 轴， ． 故选∶D． 17．（23-24九年级上·山东滨州·期中）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为的面积为，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，三角形的面积，全等三角形的判定，关键是由正六边形的性质证明．连接、、、，由正六边形的性质得到、、、、、把圆六等分，推出，得到、是等边三角形，由证明，得到的面积的面积，同理：的面积的面积，的面积的面积，因此的面积的面积的面积的面积，即可得到答案． 【详解】解：连接、、、， 六边形是的内接正六边形， 、、、、、把圆六等分， ， ， 、是等边三角形， ，， ， 的面积的面积， 同理：的面积的面积，的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， ， ． 故选：A． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形内接于，E为的中点，直线交于点F，如果的半径为，则点O到的距离（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握相关性质定理，是解题的关键．连接，根据垂径定理得出，结合正方形的性质推出，根据勾股定理求出，则，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，，列出方程求出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵E为的中点， ∴， ∵正方形内接于， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即， ∴， 根据勾股定理可得：， 设，则， 根据勾股定理可得：，， ∴， 解得：， 即， ∴， 故选：A． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知正六边形中，G，H分别是和的中点，P是上的动点，连接，，则的值最小时，与的夹角（锐角）度数为 （   ）度．    A． B．60 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最短问题，属于中考常考题型． 如图，连接，，交于点，连接．首先证明当点P与点重合时，的值最小，利用等腰三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，交于点，连接．    ∵正六边形中，G，H分别是和的中点， 是正六边形的对称轴， ， ， ， ∴当点P与点重合时，的值最小， ，， ， ， ， 故答案为：B． 20．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．若存在一个边长为4的正方形被两个半径为r的等圆所覆盖，此时r的最小值为 ；若存在一个边长为4的正方形被三个半径为r的等圆所覆盖，此时r的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】把正方形分成两个相等的矩形，分别以两个矩形的对角线的中点为圆心、对角线的一半为半径作圆，此时这两个矩形分别内接于两圆半径最小，再根据正方形和矩形的性质可得，，再由等腰三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可；把正方形分成三个相等的矩形，分别以三个矩形的对角线的中点为圆心、对角线的一半为半径作圆，此时这三个矩形分别内接于两圆半径最小，再根据正方形的性质可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，正方形被、所覆盖，点E是的中点，过点M作于点F， ∵正方形的边长为4， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，， 在中，， ∴r的最小值为， 如图，正方形被、、所覆盖，点G、M、H是、的三等分点， ∵正方形的边长为4， ∴， 在中，， ∴， ∴r的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查正方形与圆、正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，利用圆的内接正方形进行计算求出半径的最小值是解题的关键． 21．（23-24九年级上·天津河西·期中）如图，一个圆形纸片的圆心O与一个正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，由三角形三边关系分析可得当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为，以此即可求解． 【详解】解：如图，点B为上一点，点D为正方形上一点，连接， 由三角形三边关系可得，， ∵是圆的半径，为定值，当点D在A时，取得最小值， ∴当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为， 由题意可得，AC=4，OB=4， ∵点O为正方形的中心， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题，利用三角形三边关系分析得出当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值是解题关键． 22．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动，若⊙O的周长为，，则周长的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】过点作，令；可推出四边形为平行四边形，有；根据可知当时，周长有最小值. 【详解】解：过点作，令    ∵⊙O的周长为， ∴⊙O的半径为 ∴ ∵且 ∴四边形为平行四边形 ∴ 由正方形的对称性可得： ∴ ∴ 故：当时，周长有最小值 此时： ∴周长的最小值是 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当时，周长有最小值是解题关键． 23．（2023·浙江温州·三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由24片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正二十四边形顶点，正八边形顶点与圆心O共线，正二十四边形顶点，与正八边形顶点，共线，则的值为 ；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点，，…，逆时针同速旋转．圆心O绕旋转后的对应点为，以此类推，当落在上时，若米，则的值为 米．        【答案】 / 【分析】如图：过O作,连接，运用正多边形的性质说明,,进而得到、，然后代入计算即可；如图：由题意可得,，，运用勾股定理可求得，再运用计算即可． 【详解】解：如图：过O作,连接， ∴，, ∵， ∴,, ∴， ∴,, ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴, ∴．    由题意可知：,，， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为，．    【点睛】本题主要考查了正多边形的性质、勾股定理、垂径定理等知识点，理解题意、正确计算是解答本题的关键． 24．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．    (1)若，则正方形的面积为　 　； (2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16 ①求的值； ②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比． 【答案】(1)16 (2)①；② 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）连接，根据正方形和圆的性质得出，然后根据勾股定理求解即可； （2）①连接，，设，分别在、中，利用勾股定理关键关于x的方程求解即可； ②连接，，，先证明共线，然后求出，最后根据正方形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接，   四边形是正方形， ， 解得：， 正方形的边长为4， 正方形的面积为16． （2）解：①连接，，   四边形是正方形，且其面积为16， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得（舍） ， ． ②连接，，，    ，且， ，， 又 ， ， 共线， ， ． 25．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    【答案】（1）①见解析；②；（2），证明见解析；（3），证明见解析；（4）； 【分析】（1）①利用垂直平分线定义即可作出正方形；②利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到结论； （2）根据题意过点C作交于E，利用圆周角定理得到，再判定，证明出和是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形三边关系即可； （3）根据题意过点B，作，在上截取，连接，再证明，再利用含的直角三角形三边关系即可得到本题答案； （4）根据题意以为边，作正方形，连接，设，则，，再分别在和和中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】 解：（1）①如图所示，作直径的垂直平分线交于点A，C，则四边形是正方形；    ②如图所示，    ， 故答案为：． （2），证明如下： 如图，过点C作交于E，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（ASA）， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 如图所示，过点C作交于F，    同理可得是等腰直角三角形，， ∴，； （3）， 如图，过点B，作，在上截取，连接，    ∵，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （4）如图，以为边，作正方形，连接，， 根据（1）可得P在上，则，    ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， 在 中，， ∴， 解得 （负值舍去）， ∴， ∴矩形的面积为． 【点睛】本题考查角平分线定义及画法，圆周角定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，含的直角三角形三边关系．掌握圆周角定理是关键． 26．（21-22九年级上·吉林白山·期末）如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动． （1）求图①中的度数 （2）图②中的度数是______，图③中的度数是______； （3）若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______． 【答案】（1）120°；（2）90°，72°；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质、旋转的性质，求出，即可求出答案； （2）与（1）同理，可求，根据正方形和正五边形的内角度数，即可求出答案； （3）与（1）（2）同理，∠APB为所在多边形的外角度数，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵是正三角形， ∴， ∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， ∴， ∴， ∴； （2）由图②，四边形ABCD是正方形，则与（1）同理， ， ∴； 由图③，正五边形ABCDE中，与（1）同理， ∴， ∴； 故答案为：90°；72°； （3）由（1）可知，∠APB为所在正多边形的外角度数，故在图n中，有∠APB=； 故答案为：； 【点睛】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数． 拔高拓展 27．（2023·河北沧州·模拟预测）某数学小组在一个半径为2的圆形场地上做探究实践活动．    （1）如图1，小组将圆形场地分为12等份．机器人从一个点到另外一个点均是直线行走． ①机器人从点走到点的路程为 ； ②机器人从点到点走了两条不同的路线．路线1：；路线2：，路线1的长记为，路线2的长记为，则 ；（填“>”“<”或“=”） （2）如图2，机器人从出发，沿与半径夹角为的方向行走，走到场地边缘后，再沿与夹角为的方向折向行走至，…按照这样的方式，机器人走到时第一次超过，且，则 ． 【答案】 > 【分析】(1) ①根据中心角为，结合从点走到点其路径对的圆心角为，根据半径为2计算即可． ②根据中心角为，得到继而判定都是等边三角形，，得到；根据，得到为圆的直径，根据中心角为，得到，， 得到即，比较大小即可． （2）设多边形的中心角为，当转到时，,，根据，求得，再计算即可． 【详解】(1) ①∵中心角为， ∴从点走到点其路径对的圆心角为， ∵， ∴， 故答案为：． ②根据中心角为， ∴， ∴都是等边三角形， ∴， ∴； ∵ ∴， ∴为圆的直径， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）设多边形的中心角为，当转到时，,， ∵， ∴， 解得， ∵半径相等， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心角的计算，等边三角形的判定和性质，勾股定理，无理数的估算，等腰三角形的性质，熟练掌握中心角的计算是解题的关键． 28．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边，分别交于点，．设等边的面积为，通过证明可得，则． (1)【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边，分别交于点，．若正方形的面积为，请用含的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）． (2)【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积 (3)【猜想结论】如图4，为正边形……的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请用含、的式子表示正边形……的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过证明可得，则． （2）通过证明可得，则． （3）通过证明可得，则 【详解】（1）解：如图2， ∵为正方形的中心角， ∴，， ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点 ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）如图3， ∵为正六边形的中心角， ∴，， ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点 ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵四边形面积为， ∴正六边形的面积为． （3）如图4， ∵为正多边形的中心角， ∴，， ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正多边形的边分别交于点 ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵四边形面积为， ∴正多边形的面积为． 【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$