精品解析：四川省合江县马街中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

高2022级高三上期第一学月学考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根号内大于等于，真数大于，计算即可得. 【详解】由题意得，解得， 故其定义域为. 故选：C. 2. 已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由条件确定结合中的元素，由此可得集合的子集个数. 【详解】因为，， 所以， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出两个命题，得到递推关系，最后得到充分性和必要性即可. 【详解】由，解得，由，解得， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C 4. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可先得，再根据诱导公式计算即可. 【详解】由正弦函数的定义可知， 再利用诱导公式知. 故选：B 5. 都是复数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 则 【答案】C 【解析】 【分析】举反例即可判断A，设，计算出和即可判断B，设，，分别计算和即可判断C，虚数不能比较大小，即可判断D 【详解】对于A，当时，，但，故A错误， 对于B，设，显然，，故B错误， 对于C，设， 所以， 所以 ， 又 所以，故C正确 对于D选项，若，则虚数不能比较大小，故D错误， 故选：C 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数在上单调递减，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】当时，， 因为和都是减函数，所以在上单调递减， 当时，，要使其在上单调递减，则， 所以，解得，故D正确. 故选：D. 7. 2023年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小Y哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒1瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在远小于365时，近似地，，其中．如果要保证直播间至少两个人的生日在同一天的概率不小于，那么来到直播间的人数最少应该为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】设人数为，根据古典概型概率公式求出“至少有两个人在同一天生日”的概率，再进行化简计算即可. 【详解】设直播间进来了个人，则这个人生日的可能性有种，这个人中任意两个人都不在同一天生日的可能结果种数为， 设“这个人中任意两个不是同一天生日”，根据古典概型概率公式可得， 则其对立事件“这个人中至少有两个人的生日在同一天”的概率为. 由题意：，从而，得，化简得，即，故. 故选：C. 8. 函数在区间上所有零点的和等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据在的零点，转化为的图象和函数的图象在交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线对称，且在上有8个交点，即可求出. 【详解】因为， 令，则， 则函数的零点就是函数的图象和函数的图象在交点的横坐标， 可得和的函数图象都关于直线对称， 则交点也关于直线对称，画出两个函数的图象，如图所示. 观察图象可知，函数的图象和函数的图象在上有8个交点， 即有8个零点，且关于直线对称， 故所有零点的和为. 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用特征值判断A，根据不等式的性质判断B，利用基本不等式判断C，根据对勾函数的性质判断D. 【详解】对于A，当时，故A错误； 对于B，若，则，即，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，显然， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为， 令，则，令， 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以， 所以 ，当且仅当时取等号，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可根据周期公式判断A，根据整体法判断B，根据函数图象的平移判断C，根据弦切互化以及二倍角公式即可求解D. 【详解】， 对于A，的周期为，A正确， 对于B，当，则，故B错误， 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到，故C正确， 对于D，，则， 故， 故，D正确， 故选：ACD 11. 关于函数，，下列说法正确的是（ ） A. 对任意的， B. 对任意的， C. 函数的最小值为 D. 若存在使得不等式成立，则实数a的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：构造函数，利用导数的性质进行判断即可； B：利用特殊值法，进行判断即可； C：利用导数的性质进行判断即可； D：利用转化法，根据特称命题与它的否命题的真假关系，结合构造函数法、导数进行判断即可. 【详解】A：设， ，当时，单调递增， 当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，即，所以有，即，所以本选项正确； B： ，，显然，所以本选项不正确； C：由， 设当时，，所以函数单调递增， 所以当时，， 因此当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数有最小值，最小值为，因此本选项正确； D：命题：存在使得不等式成立， 它的否命题为：，不等式恒成立， ， 构造函数，， 当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，函数有最小值， 最小值为：， ， 当时，而，所以， 当时，要想恒成立，只需恒成立 当，， 也成立， 即成立，也就是成立， 构造新函数， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，函数有最大值，即，要想不等式恒成立， 只需， 当时，，而的值域为全体实数集，显然不可能恒成立， 因此当时，对于，不等式恒成立， 因此当时，存在使得不等式成立，所以实数a的最大值为， 因此本选项结论正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数的性质，结合存在性和任意性的定义是解题的关键. 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，则在处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求函数定义域，再用导数几何意义求出切线斜率，之后求出点坐标，点斜式解出切线方程并化为直线的一般式即可. 【详解】由题意知：，， ，则切线斜率， 又，所以， 所以在点处的切线方程为：， 即. 故答案为：. 13. 已知函数，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式可知，函数为奇函数，有，计算即可. 【详解】，令，函数定义域为R， ∵，∴为奇函数，∴． 则，． 故答案为：-10 14. 已知二次函数，且，若不等式恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】本道题利用换元法，将题目所求式子转化成二元线性规划问题，结合数形思想，计算斜率范围，得到z的范围，即可． 【详解】结合题意,建立不等式组,得到,处理该不等式得到 令,建立新不等式组得到,绘制可行域,得到 可行域是画虚线位置,处理目标函数 转化成直线可得,因而该直线过定点,因此该直线斜率介于1号和2号直线之间,,设该直线与曲线的切点为,斜率为,得到方程为 ,过定点,代入,解得,因而,解得 A的坐标为,因而PA的斜率为,得到,解得 ,综上所述,z的范围为 【点睛】本道题考查了线性规划以及过曲线切线斜率计算方法，难度较大． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线的对称轴； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先化简的解析式，再根据对称轴公式即可求解； (2)先代入函数求出，再根据同角三角函数的关系求出，再根据即可求解. 【小问1详解】 ， ， ， 由， 得曲线的对称轴为； 【小问2详解】 由题意可得， 即， 又， 则， 即， 所以， 故 . 16. 设函数，其中． （1）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； （2）若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，根据函数的对称性知时，，故分类为和，分别得到，再根据可得； （2）“对任意的，，都有”等价于最大值与最小值之差不大于8，根据二次函数的性质对进行分类计算最大值最小值，即可. 【小问1详解】 因为， 所以在区间上单调减，在区间上单调增， 且对任意的，都有， 若，则， 在区间上单调递减，在区间上单调递增． “对任意的，都有”等价于“在区间上，”． ①当，即时，， ，得，所以； ②当，即时，，恒成立，故． 综上所述，，实数的取值范围为区间． 【小问2详解】 设函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以“对任意的，，都有”等价于“”． ①当时，，， 由，得，又，无解； ②当时，，， 由，得，因此； ③当时，，， 由，得，因此； ④当时，，， 由，得，无解， 综上所述，实数的取值范围为区间． 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若，令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，，可求解，，利用等差数列通项公式求解即可； （2）由（1）知，， ，利用等差数列求和公式求解即可； （3）由，，可知，利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则 ，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，， ， 所以； 【小问3详解】 因为，，所以， ①， ②， ①-②得 ， 所以. 18. 已知，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 【答案】（1）极小值为0，无极大值. （2） （3） 证明：，由，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 由题意，且，则，. 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证， 又，所以只需证， 即证， 令， 即， ， 由均值不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数在上单调递增. 由，可得，即， 所以， 又函数在上单调递减， 所以，即得证. 【解析】 【分析】（1）把代入函数中，并求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的极值. （2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可. （3）求出，并得函数在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对求导证明即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为，求导可得， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为0，无极大值. 【小问2详解】 方程， 当时，显然方程不成立， 所以，则， 方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点， ， 当或时，， 在区间和上单调递减， 并且时，，当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得最小值，， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，， 故的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 已知正整数，集合，，，，，，2，，．对于中的元素，，，，，，定义．令． （1）直接写出的两个元素及的元素个数； （2）已知，，，，满足对任意，都有，求的最大值； （3）证明：对任意，，，，总存在，使得． 【答案】（1），1，1，0，0，，，0，0，1，1，，20 （2）4 （3），，，共有个非空子集，记为，，2，，， 则在每分量的奇偶性下恰有2种不同的状态，由知， 由抽屉原理，存在两个不同的，，，的非空子集，， 设，，，， ，，，，有与奇偶性相同，，2，，， 令，，由于，， 令，，，，则，，， 且都为偶数，，2，，，不妨设，，，， 则为偶数， 而为奇数，故，且为奇数， 故必存在一个，3，，，使得为奇数， 又由于，1，，从而． 【解析】 【分析】（1）由题意可确定，，，，中1的个数为3，结合组合知识，即可求得答案； （2）由题意可将原问题转化为对任意，都有的元素个数最多几个，结合引理得出相应不等式，即可求出答案； （3）由题意知，，，共有个非空子集，记为，结合抽屉原理得存在两个不同的，，，的非空子集，，，，，， ，，，，有与奇偶性相同，继而推出必存在一个，3，，，使得为奇数，结合，1，，即可证明结论. 【小问1详解】 ，1，1，0，0，，，0，0，1，1，， ， 中6个分量中恰有3个1，的元素个数为． 【小问2详解】 对于的非空子集，，，， 设，，，，，2，，，这里是的第个分量， 定义，2，，，规定，0，，， 设，，，，2，，， 令，，，，，，， 我们先证明引理：，2，，，． 反证法：，2，，，，令， 设，，，，满足，其中，2，，， ，，2，，，且，， ，，这与矛盾，引理证毕， 回到原题，由引理，解得， ，1，1，0，0，，，0，0，1，1，，，1，0，0，1，， ，0，1，1，0，，符合题意， 综上，当时，的最大值为4． 【小问3详解】 略 【点睛】难点点睛：本题考查了元素与集合的关系问题，综合性较强，涉及到抽屉原理以及反证法的应用，解答时需要有较强的逻辑思维能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2022级高三上期第一学月学考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 32 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 都是复数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 则 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 2023年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小Y哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒1瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在远小于365时，近似地，，其中．如果要保证直播间至少两个人的生日在同一天的概率不小于，那么来到直播间的人数最少应该为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 8. 函数在区间上所有零点的和等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， D. 的最小值为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象 D. 若，则 11. 关于函数，，下列说法正确的是（ ） A. 对任意的， B. 对任意的， C. 函数的最小值为 D. 若存在使得不等式成立，则实数a的最大值为 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，则在处的切线方程为__________. 13. 已知函数，且，则的值为______． 14. 已知二次函数，且，若不等式恒成立，则的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线的对称轴； （2）已知，，求的值． 16. 设函数，其中． （1）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； （2）若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若，令，求数列的前项和． 18. 已知，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 19. 已知正整数，集合，，，，，，2，，．对于中的元素，，，，，，定义．令． （1）直接写出的两个元素及的元素个数； （2）已知，，，，满足对任意，都有，求的最大值； （3）证明：对任意，，，，总存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $