专题02 一元二次方程的应用【五大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题02 一元二次方程的应用【五大题型】 变化率问题 1．（2023•西城区校级期中）城市生活垃圾产生量大、堆存量高等问题已成为无法忽视的“城市病”．近年来，各地区、各部门不断加大城市生活垃圾无害化处理工作力度，我国城市生活垃圾无害化处理能力快速提升．城市生活垃圾无害化处理方式主要包括填埋、焚烧和堆肥等．数据显示，2021年中国城市生活垃圾无害化量达2.48亿吨，分析师预测，到2023年底，中国城市生活垃圾无害化量将进一步增长至2.66亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（　　） A．2.48（1+x）＝2.66 B．2.48（1+2x）＝2.66 C．2.48（1+x）2＝2.66 D．2.48（1﹣x）2＝2.66 2．（2023•西城区校级期中）某厂家2023年1～5月份的某种产品产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442 3．（2023•通州区校级期中）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是（　　） A．5000（1+x）2＝4050 B．4050（1+x）2＝5000 C．5000（1﹣x）2＝4050 D．4050（1﹣x）2＝5000 4．（2023•海淀区期中统考）小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下： 观鸟记录年度总结 2020年：观测鸟类150种 2021年：观测鸟类 2022年：观测鸟类216种 设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．2×150x＝216 B．150x2＝216 C．150+150x2＝216 D．150（1+x）2＝216 5．（2022•西城区校级期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，2018年某款新能源车销售量为15万辆，销售量逐年增加，到2020年销售量为21.6万辆，则这款新能源汽车销售量的年平均增长率是 　 　． 6．（2023•昌平区校级期中）我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品价格．某种药品经过两次降价，由每盒50元调至32元．则平均每次降价的百分率为　 　． 7．（2023•东城区校级期中）某食品公司深耕餐饮供应链领域，以自主技术研发创新当做打造核心竞争力的关键手段，对研发投入不遗余力地进行投资．2021年的研发投资为500万元，2023年的研发投资为720万元，求该食品公司研发投资的年平均增长率． 8．（2023•西城区校级期中）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x． （1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 　 　万元； （2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x． 几何图形问题 9．（2023•东城区期中统考）如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），如果设平行于围墙的一边为x米，那么可列方程（　　） A．x（10﹣x）＝15 B． C． D． 10．（2023•东城区校级期中）某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、11m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为96m2．设小道的宽为x m，根据题意可列方程为（　　） A．（18﹣2x）（11﹣x）＝96 B．2x2＝96 C．（18﹣x）（11﹣2x）＝96 D．（18﹣2x）（11﹣2x）＝96 11．（2023•海淀区校级期中）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为　 　． 12．（2023•西城区校级期中）某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行雨道，如图所示，阴影部分为雨道，其余部分种植花卉，同样宽度的雨道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，设雨道的宽为x米，根据题意可列方程为　 ． 13．（2023•密云区期中统考）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为33米，宽为20米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为510平方米．求车道的宽度（单位：米）． 14．（2023•海淀区校级期中）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由． 15．（2023•朝阳区校级期中）学校计划利用一片空地建一个长方形电动车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米，在与墙平行的一面开一个2米宽的门．已知现有的木板材料可新建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． （1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为 　 　米； （2）为了方便学生通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到66.5平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 16．（2023•朝阳区校级期中）如图，有一块长为21m、宽为10m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米． （1）如果两块绿地的面积之和为90m2，求人行通道的宽度； （2）能否改变人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3：5，请说明理由． 商品销售问题 17．（2023•丰台区校级期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：若这种衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．现在要使得盈利达到1050元，问则应降价多少元？若设这种衬衫每件降价x元，则可列出方程为（　　） A．40×20+x•2x＝1050 B．（40﹣x）（20+2x）＝1050 C．（40+x）（20+2x）＝1050 D．（40﹣x）（20+2+x）＝1050 18．（2023•昌平区校级期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价 　 　． 19．（2023•海淀区校级期中）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）单价每降低1元，则平均每天的销售可增加 　 　千克． （2）每千克核桃应降价多少元？ （3）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 20．（2023•海淀区校级期中）某文创店准备以6元的单价购进1200个纪念品进行售卖．如果第一周定价为10元，可以售卖出400个；第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但文创店为了增加销量，决定适当降价销售（根据调查，单价每降低1元，可多售出100个，售价不得低于进价）．第二周按照降低的价格销售后，文创店在第三周对剩余纪念品进行清仓处理，最终以每个4元的价格全部售出．如果这批纪念品共获利2500元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ 21．（2023•东城区校级期中）诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售 　 　件，每件盈利 　 　元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 22．（2023•丰台区校级期中）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为40万元，若每台设备售价为45万元时，平均每月能售出300台；根据市场调研发现：这种设备的售价每提高0.5万元，其销售量就将减少5台．根据相关规定，此设备的销售单价不低于45万元，且获利不高于30%．如果该公司想实现每月2500万元的利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 相互问题 23．（2023•海淀区校级期中）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10 C．x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝10 24．（2023•西城区校级期中）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，设全组共有x名学生，则x满足的方程是（　　） A． B．x（x+1）＝132 C． D．x（x﹣1）＝132 25．（2023•西城区校级期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C．x（x+1）＝15 D．x（x﹣1）＝15 26．（2023•东城区校级期中）参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为 　 　． 27．（2023•东城区校级期中）随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2256张照片，若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为 　 　． 28．（2023•西城区校级期中）参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得　 　． 传播问题 29．（2023•海淀区校级期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 30．（2023•西城区校级期中）为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 31．（2023•朝阳区校级期中）某种新型病毒具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x的值为 　 　． 32．（2023•西城区校级期中）某种植物的主干长出若干个分支，每个枝干又长出同样个数的小分支，主干、枝干、小分支的总数是241，每个枝干长出小分支的个数是 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的应用【五大题型】 变化率问题 1．（2023•西城区校级期中）城市生活垃圾产生量大、堆存量高等问题已成为无法忽视的“城市病”．近年来，各地区、各部门不断加大城市生活垃圾无害化处理工作力度，我国城市生活垃圾无害化处理能力快速提升．城市生活垃圾无害化处理方式主要包括填埋、焚烧和堆肥等．数据显示，2021年中国城市生活垃圾无害化量达2.48亿吨，分析师预测，到2023年底，中国城市生活垃圾无害化量将进一步增长至2.66亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（　　） A．2.48（1+x）＝2.66 B．2.48（1+2x）＝2.66 C．2.48（1+x）2＝2.66 D．2.48（1﹣x）2＝2.66 解：根据题意得：2.48（1+x）2＝2.66． 答案：C． 2．（2023•西城区校级期中）某厂家2023年1～5月份的某种产品产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442 解：设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461， 答案：B． 3．（2023•通州区校级期中）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是（　　） A．5000（1+x）2＝4050 B．4050（1+x）2＝5000 C．5000（1﹣x）2＝4050 D．4050（1﹣x）2＝5000 解：设这种药品成本的年平均下降率是x，根据题意得： 5000（1﹣x）2＝4050， 答案：C． 4．（2023•海淀区期中统考）小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下： 观鸟记录年度总结 2020年：观测鸟类150种 2021年：观测鸟类 2022年：观测鸟类216种 设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．2×150x＝216 B．150x2＝216 C．150+150x2＝216 D．150（1+x）2＝216 解：由题意得：150（1+x）2＝216． 答案：D． 5．（2022•西城区校级期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，2018年某款新能源车销售量为15万辆，销售量逐年增加，到2020年销售量为21.6万辆，则这款新能源汽车销售量的年平均增长率是 　20%　． 解：设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为x， 依题意得：15（1+x）2＝21.6， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴这款新能源汽车销售量的年平均增长率为20%． 答案：20%． 6．（2023•昌平区校级期中）我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品价格．某种药品经过两次降价，由每盒50元调至32元．则平均每次降价的百分率为　20%　． 解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得出： 50（1﹣x）2＝32． 变形为：1﹣x＝±0.8， 解得：x1＝1.8（舍去），x2＝0.2， 答案：0.2＝20%． 7．（2023•东城区校级期中）某食品公司深耕餐饮供应链领域，以自主技术研发创新当做打造核心竞争力的关键手段，对研发投入不遗余力地进行投资．2021年的研发投资为500万元，2023年的研发投资为720万元，求该食品公司研发投资的年平均增长率． 解：设平均每年投资增长的百分率是x． 由题意得500（1+x）2＝720， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去）． 答：这两年投资的年平均增长率为20%． 8．（2023•西城区校级期中）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x． （1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 　2.6（1+x）2　万元； （2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x． 解：（1）由题意，得 第3年的可变成本为：2.6（1+x）2， 答案：2.6（1+x）2； （2）由题意，得 4+2.6（1+x）2＝7.146， 解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）． 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%． 几何图形问题 9．（2023•东城区期中统考）如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），如果设平行于围墙的一边为x米，那么可列方程（　　） A．x（10﹣x）＝15 B． C． D． 解：根据题意列方程得：． 答案：B． 10．（2023•东城区校级期中）某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、11m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为96m2．设小道的宽为x m，根据题意可列方程为（　　） A．（18﹣2x）（11﹣x）＝96 B．2x2＝96 C．（18﹣x）（11﹣2x）＝96 D．（18﹣2x）（11﹣2x）＝96 解：∵小道的宽为x米， ∴种植菜园的部分可合成长为（18﹣2x）米，宽为（11﹣x）米的长方形． 依题意得：（18﹣2x）（11﹣x）＝96． 答案：A． 11．（2023•海淀区校级期中）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为　2m　． 解：利用平移，原图可转化为下图，设道路宽为x米， 根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）＝540 整理得：x2﹣52x+100＝0 解得：x1＝50（舍去），x2＝2 答案：2 12．（2023•西城区校级期中）某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行雨道，如图所示，阴影部分为雨道，其余部分种植花卉，同样宽度的雨道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，设雨道的宽为x米，根据题意可列方程为 　（20﹣2x）（18﹣x）＝306　． 解：∵花园长20米，宽18米，且雨道的宽为x米， ∴种植花卉的部分可合成长为（20﹣2x）米，宽为（18﹣x）米的矩形． 根据题意得：（20﹣2x）（18﹣x）＝306． 答案：（20﹣2x）（18﹣x）＝306． 13．（2023•密云区期中统考）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为33米，宽为20米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为510平方米．求车道的宽度（单位：米）． 解：设车道的宽度为x米，则停车位可合成长为（33﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形， 根据题意得：（33﹣x）（20﹣x）＝510， 整理得：x2﹣53x+150＝0， 解得：x1＝3，x2＝50（不符合题意，舍去）． 答：车道的宽度为3米． 14．（2023•海淀区校级期中）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由． 解：（1）设AD的长为x 米，则AB＝27﹣3x，根据题意，得x（27﹣3x）＝54， 整理，得x2﹣9x+18＝0， 解得x1＝3，x2＝6 ∵墙的最大可用长度为12米， ∴27﹣3x≤12， ∴x≥5， ∴x＝6，即AD的长为6米； （2）不能围成面积为90平方米的花圃． 理由：假设存在符合条件的长方形，设AD的长为y米， 于是有（27﹣3y）•y＝90， 整理得y2﹣9y+30＝0， ∵Δ＝（﹣9）2﹣4×1×30＝﹣39＜0， ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为90平方米的花圃． 15．（2023•朝阳区校级期中）学校计划利用一片空地建一个长方形电动车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米，在与墙平行的一面开一个2米宽的门．已知现有的木板材料可新建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． （1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为 　10　米； （2）为了方便学生通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到66.5平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 解：（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米， 根据题意得：26﹣2x+2≤8． 解得：x≥10， 答：长方形车棚与墙垂直的一面至少10米； 答案：10． （2）设小路的宽为a米，根据题意得， （8﹣2a）（10﹣a）＝66.5， 整理得：4a2﹣56a+27＝0， 解得：（舍去），， 答：小路的宽为米． 16．（2023•朝阳区校级期中）如图，有一块长为21m、宽为10m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米． （1）如果两块绿地的面积之和为90m2，求人行通道的宽度； （2）能否改变人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3：5，请说明理由． 解：（1）设人行通道的宽度为x米， 则两块矩形绿地的长为（21﹣3x）（米）， 宽为（10﹣2x）（米）， 根据题意得：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90， 解得：x1＝10（舍去），x2＝2， 答：人行通道的宽度为2米； （2）设人行通道的宽为y米时，每块绿地的宽与长之比等于3：5， 根据题意得：（10﹣2y）：3：5， 解得：y， ∵3， ∴不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3：5． 商品销售问题 17．（2023•丰台区校级期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：若这种衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．现在要使得盈利达到1050元，问则应降价多少元？若设这种衬衫每件降价x元，则可列出方程为（　　） A．40×20+x•2x＝1050 B．（40﹣x）（20+2x）＝1050 C．（40+x）（20+2x）＝1050 D．（40﹣x）（20+2+x）＝1050 解：若设这种衬衫每件降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件， 根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1050． 答案：B． 18．（2023•昌平区校级期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价 　20元　． 解：设商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价x元， （40﹣x）（20+2x）＝1200， 解得，x1＝10，x2＝20， 即商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价10元或20元， ∵要扩大销售量，增加盈利， ∴降价20元， 答案：20元． 19．（2023•海淀区校级期中）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）单价每降低1元，则平均每天的销售可增加 　10　千克． （2）每千克核桃应降价多少元？ （3）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 解：（1）由“单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克”知，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加 10千克． 答案：10； （2）设每千克核桃应降价x元， 依题意得：． 整理得：x2﹣10x+24＝0． ∴x1＝4，x2＝6． 答：每千克核桃应降价4元或6元； （3）由（1）可知每千克核桃应降价4元或6元． 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元， 则售价为60﹣6＝54（元）． 设按原售价y折出售，则． ∴y＝9． 答：该店应按原售价的九折出售． 20．（2023•海淀区校级期中）某文创店准备以6元的单价购进1200个纪念品进行售卖．如果第一周定价为10元，可以售卖出400个；第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但文创店为了增加销量，决定适当降价销售（根据调查，单价每降低1元，可多售出100个，售价不得低于进价）．第二周按照降低的价格销售后，文创店在第三周对剩余纪念品进行清仓处理，最终以每个4元的价格全部售出．如果这批纪念品共获利2500元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ 解：第二周单价降低x元后，这周销售的销量为（400+100x）件，由题意得出： 400×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（400+100x）+（4﹣6）[（1200﹣400）﹣（400+100x）]＝2500， 即1600+（4﹣x）（400+100x）﹣2（400﹣100x）＝2500， 整理得：x2﹣2x+1＝0， 解得：x1＝x2＝1， 则10﹣1＝9（元）． 答：第二周每个纪念品的销售价格为9元． 21．（2023•东城区校级期中）诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售 　（20+2x）　件，每件盈利 　（40﹣x）　元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元， 答案：（20+2x），（40﹣x）； （2）根据题意，得：（20+2x）（40﹣x）＝1200， 解得：x1＝20，x2＝10， ∵要扩大销售量， ∴x＝20， 答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元； （3）不能，理由如下： （20+2x）（40﹣x）＝2000， 整理，得：x2﹣30x+600＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×600＝﹣1500＜0， ∴此方程无实数根， 故不可能做到平均每天盈利2000元． 22．（2023•丰台区校级期中）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为40万元，若每台设备售价为45万元时，平均每月能售出300台；根据市场调研发现：这种设备的售价每提高0.5万元，其销售量就将减少5台．根据相关规定，此设备的销售单价不低于45万元，且获利不高于30%．如果该公司想实现每月2500万元的利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 解：设该设备的销售单价为x万元． 由题意列方程，得， 整理，得x2﹣115x+3250＝0 解这个方程，得x1＝50，x2＝65， ∵获利不高于30% ∴ ∴x≤52， ∵x≥45， ∴x＝65不合题意，舍去． ∴x＝50 答：该设备的销售单价为50万元． 相互问题 23．（2023•海淀区校级期中）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10 C．x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝10 解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）（次）； 依题意，可列方程为：10． 答案：A． 24．（2023•西城区校级期中）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，设全组共有x名学生，则x满足的方程是（　　） A． B．x（x+1）＝132 C． D．x（x﹣1）＝132 解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件， 那么x名同学共赠：x（x﹣1）件， 所以，x（x﹣1）＝132． 答案：D． 25．（2023•西城区校级期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C．x（x+1）＝15 D．x（x﹣1）＝15 解：设应邀请x个球队参加比赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝15． 答案：A． 26．（2023•东城区校级期中）参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为 　x（x﹣1）＝90　． 解：根据题意得：x（x﹣1）＝90． 答案：x（x﹣1）＝90． 27．（2023•东城区校级期中）随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2256张照片，若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为 　x（x﹣1）＝2256　． 解：若该班有x名同学，那么每名学生送照片（x﹣1）张，全班应该送照片x（x﹣1）张， 则可列方程为x（x﹣1）＝2256． 答案：x（x﹣1）＝2256． 28．（2023•西城区校级期中）参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得　x（x﹣1）＝45　． 解：由题意列方程得， x（x﹣1）＝45． 答案：x（x﹣1）＝45． 传播问题 29．（2023•海淀区校级期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 解：设这种植物主干长出x个枝干，则枝干上共长出x2个小分支， 依题意，得：1+x+x2＝43， 解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6． 答案：C． 30．（2023•西城区校级期中）为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 解：依题意，得：1+n+n2＝111， 解得：n1＝10，n2＝﹣11． 答案：B． 31．（2023•朝阳区校级期中）某种新型病毒具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x的值为 　14　． 解：由题意得：（x+1）2＝225， 解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合题意舍去）， 答案：14． 32．（2023•西城区校级期中）某种植物的主干长出若干个分支，每个枝干又长出同样个数的小分支，主干、枝干、小分支的总数是241，每个枝干长出小分支的个数是 　15　． 解：设每个枝干长出小分支的个数是x， 依题意得：1+x+x2＝241， 整理得：x2+x﹣240＝0， 解得：x1＝15，x2＝﹣16（不符合题意，舍去）， ∴每个枝干长出小分支的个数是15． 答案：15． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$