专题03 二次函数的图象和性质【六大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题03 二次函数的图象和性质【六大题型】 确定抛物线的顶点与坐标轴 1．（2023•西城区校级期中）二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 2．（2023•东城区校级期中）抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的顶点坐标是（　　） A．（2，6） B．（﹣2，6） C．（2，﹣6） D．（﹣2，﹣6） 3．（2023•西城区校级期中）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 4．（2023•朝阳区校级期中）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是 　 　． 5．（2023•昌平区校级期中）二次函数y4x+5的图象的对称轴是直线x＝　 　． 6．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a是常数），则该函数图象的对称轴是直线x＝　 　． 待定系数法求二次函数解析式 7．（2023•门头沟区校级期中）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 8．（2023•房山区校级期中）已知抛物线yx2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（1，0），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 9．（2023•朝阳区校级期中）小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 该二次函数的解析式是 　 　． 10．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是 　 　． 11．（2023•西城区校级期中）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）． （1）求b、c的值； （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 12．（2023•海淀区校级期中）根据下列条件，分别求二次函数的表达式 （1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）； （2）已知图象经过点（3，0），（2，﹣3），并以直线x＝0为对称轴． 二次函数图象与系数的关系 13．（2023•朝阳区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＞0，b＜0，c＞0 14．（2023•东城区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（　　） A．a＜0 B．c＞0 C． D．a+b+c＜0 15．（2023•朝阳区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac③a+b+c＜0；④2a+b+c＝0，其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 16．（2023•丰台区校级期中）已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列5个结论，其中正确的结论有（　　） ①abc＜0 ②3a+c＞0 ③4a+2b+c＜0 ④2a+b＝0 ⑤b2＞4ac A．2 B．3 C．4 D．5 17．（2023•西城区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的有 　 　． ①abc＞0；②a+b+c＝2；③b＞2a；④b＞1． 18．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0；②a+b+c＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣b＝0；⑤8a+c＜0． 其中正确结论的序号为 　 　． 二次函数图象上点的坐标特征 19．（2023•朝阳区校级期中）若点M（1，2）、N（5，2）在抛物线y＝（x﹣h）2+k上，则h的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 20．（2023•西城区校级期中）抛物线y＝3（x﹣1）2+5与y轴交点的坐标为（　　） A．（1，5） B．（0，5） C．（1，8） D．（0，8） 21．（2023•西城区校级期中）已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣4，y3）在抛物线y＝2x2+8x﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 22．（2023•通州区期中统考）点（﹣2，y1），（3，y2）为抛物线y＝﹣x2+2x﹣n上两点，则y1　 　y2．（用“＜”或“＞”号连接） 23．（2023•东城区校级期中）已知点A（5，y1）和B（n，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上．若y1＞y2，则符合条件的整数n的个数为 　 　． 24．（2023•东城区校级期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q（m，y2）是抛物线的两点，且y1＜y2，则m的取值范围是 　 　． 二次函数图象与几何变换 25．（2023•西城区校级期中）将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x﹣1）2+3 C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2﹣3 26．（2023•西城区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　） A．向左平移8个单位 B．向右平移8个单位 C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位 27．（2023•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，3），B（3，3），将抛物线y＝﹣x2+1向上平移m个单位，使得平移后的抛物线与线段AB有公共点，则m的取值范围为（　　） A．m≥3 B．3≤m≤11 C．3≤m≤11或m＝2 D．2≤m≤11 28．（2023•西城区校级期中）已知抛物线y＝x2﹣1，直线l：x＝a，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G．如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点P（m，n）在G上，则a的取值范围是（　　） A． B．或 C． D． 29．（2023•西城区校级期中）将抛物线y＝x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是　 　． 30．（2023•朝阳区校级期中）已知二次函数y1＝x2+2x﹣4的图象如图所示，将此函数图象向右平移3个单位得抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为 　 　． 二次函数的区间最值 31．（2023•西城区校级期中）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　） A． B．或 C．2或 D．2或或 32．（2023•朝阳区校级期中）在关于n的函数S＝an2+bn中，n为自然数，当n＝9时，S＜0；当n＝10时，S＞0．则当S的值最小时，n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 33．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　） A． B． C．或 D．或 34．（2023•西城区校级期中）若二次函数y＝x2+2x﹣3（0≤x≤3）的最小值为　 　，最大值为　 　． 35．（2023•东城区校级期中）当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为　 　． 36．（2023•朝阳区校级期中）已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是　 　． 37．（2023•海淀区校级期中）已知f（x）＝ax2+bx满足：f（x﹣1）＝f（3﹣x），且方程f（x）＝2x有两相等的实数根． （1）求f（x）在区间[0，3]上的最大值． （2）是否存在实数m、n，使得f（x）在区间[m，n]上的最小值为4m，最大值为4n？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由． 38．（2023•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标； （2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值； （3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数的图象和性质【六大题型】 确定抛物线的顶点与坐标轴 1．（2023•西城区校级期中）二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3， ∴二次函数图象的顶点坐标是（2，3）． 答案：A． 2．（2023•东城区校级期中）抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的顶点坐标是（　　） A．（2，6） B．（﹣2，6） C．（2，﹣6） D．（﹣2，﹣6） 解：∵y＝﹣5（x+2）2﹣6是抛物线解析式的顶点式， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣6）． 答案：D． 3．（2023•西城区校级期中）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1． 答案：B． 4．（2023•朝阳区校级期中）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是 　（1，2）　． 解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2是抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为（1，2）． 答案：（1，2）． 5．（2023•昌平区校级期中）二次函数y4x+5的图象的对称轴是直线x＝　﹣4　． 解：∵y4x+5， ∴对称轴为x＝﹣4， 答案：﹣4． 6．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a是常数），则该函数图象的对称轴是直线x＝　2　． 解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a是常数）， ∴该函数的对称轴是直线x2， 答案：2． 待定系数法求二次函数解析式 7．（2023•门头沟区校级期中）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴a， ∵顶点为（﹣2，1）， ∴抛物线解析式为y（x+2）2+1． 答案：C． 8．（2023•房山区校级期中）已知抛物线yx2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（1，0），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 解：将A（0，3），B（1，0）两点代入抛物线yx2+bx+c中，得 ，解得 即yx2x+3．答案：D． 9．（2023•朝阳区校级期中）小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 该二次函数的解析式是 　y＝（x﹣3）2﹣4（或y＝x2﹣6x+5）　． 解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为（3，﹣4）， 设二次函数的表达式为y＝a（x﹣3）2﹣4（a≠0）， 将（1，0）代入得4a﹣4＝0， 解得a＝1， ∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣3）2﹣4（或y＝x2﹣6x+5）． 10．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是 　y＝x2﹣4x+3　． 解：根据题意得， 解得． ∴二次函数的解析式是y＝x2﹣4x+3． 11．（2023•西城区校级期中）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）． （1）求b、c的值； （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）， ∴， 解得； （2）∵该二次函数为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1． ∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2； 12．（2023•海淀区校级期中）根据下列条件，分别求二次函数的表达式 （1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）； （2）已知图象经过点（3，0），（2，﹣3），并以直线x＝0为对称轴． 解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣8， 把（0，﹣6）代入得：﹣6＝a﹣8，即a＝2， 则二次函数解析式为y＝2（x+1）2﹣8＝2x2+4x﹣6； （2）根据题意设抛物线解析式为y＝ax2+c， 把（3，0）与（2，﹣3）代入得：， 解得：a，c， 则抛物线解析式为yx2． 二次函数图象与系数的关系 13．（2023•朝阳区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＞0，b＜0，c＞0 解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴a与b异号， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， 答案：D． 14．（2023•东城区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（　　） A．a＜0 B．c＞0 C． D．a+b+c＜0 解：根据函数图象可知a＜0，c＞0，， 将x＝1代入y＝ax2+bx+c得y＝a+b+c， 由图象知，此时a+b+c＞0． 答案：D． 15．（2023•朝阳区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac③a+b+c＜0；④2a+b+c＝0，其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 解：①由图象可知：0， ∴ab＜0，故①正确； ②由抛物线与x轴的图象可知： Δ＞0， ∴b2＞4ac，故②正确； ③由图象可知：x＝1，y＜0， ∴a+b+c＜0，故③正确； ④∵1， ∴b＝﹣2a， 令x＝﹣1，y＞0， ∴2a+b+c＝c＜0，故④错误 答案：C． 16．（2023•丰台区校级期中）已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列5个结论，其中正确的结论有（　　） ①abc＜0 ②3a+c＞0 ③4a+2b+c＜0 ④2a+b＝0 ⑤b2＞4ac A．2 B．3 C．4 D．5 解：①由抛物线的对称轴可知：0， ∴ab＜0， ∵抛物线与y轴的交点可知：c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②∵1， ∴b＝﹣2a， ∴由图可知x＝﹣1，y＜0， ∴y＝a﹣b+c ＝a+2a+c ＝3a+c＜0，故②错误； ③由（﹣1，0）关于直线x＝1对称点为（3，0）， （0，0）关于直线x＝1对称点为（2，0）， ∴x＝2，y＞0， ∴y＝4a+2b+c＞0，故③错误； ④由②可知：2a+b＝0，故④正确 ⑤由图象可知：Δ＞0， ∴b2﹣4ac＞0，故⑤正确； 答案：B． 17．（2023•西城区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的有 　②④　． ①abc＞0；②a+b+c＝2；③b＞2a；④b＞1． 解：①∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∵对称轴为x0， ∴a、b同号，即b＞0， ∴abc＜0， 故①错误，不符合题意； ②当x＝1时，函数值为2， ∴a+b+c＝2； 故②正确，符合题意； ③∵对称轴直线x1，a＞0， ∴2a＞b， 故③错误，不符合题意； ④当x＝﹣1时，函数值＜0， 即a﹣b+c＜0，（1） 又∵a+b+c＝2， 将a+c＝2﹣b代入（1）， 2﹣2b＜0， ∴b＞1 故④正确，符合题意； 综上所述，其中正确的结论是②④； 答案：②④． 18．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0；②a+b+c＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣b＝0；⑤8a+c＜0． 其中正确结论的序号为 　①②⑤　． 解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为x＝1＞0，a、b异号，故b＞0，与y轴交点在正半轴，c＞0， ∴abc＜0，故①正确； 当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故②正确； ∵抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为3，则与x轴的另一个交点为﹣1， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故③错误； ∵x1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故④错误； ∵2a+b＝0，a﹣b+c＝0， ∴3a+c＝0， ∵5a＜0， ∴8a+c＜0；故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①②⑤共3个， 答案：①②⑤． 二次函数图象上点的坐标特征 19．（2023•朝阳区校级期中）若点M（1，2）、N（5，2）在抛物线y＝（x﹣h）2+k上，则h的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 解：∵点M（1，2）、N（5，2）在抛物线y＝（x﹣h）2+k上， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝h3， 答案：B． 20．（2023•西城区校级期中）抛物线y＝3（x﹣1）2+5与y轴交点的坐标为（　　） A．（1，5） B．（0，5） C．（1，8） D．（0，8） 解： 令x＝0，代入抛物线得：y＝3×（0﹣1）2+5＝8 所以，与y轴交点的坐标为：（0，8） 答案：D． 21．（2023•西城区校级期中）已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣4，y3）在抛物线y＝2x2+8x﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 解：∵y＝2x2+8x﹣1＝2（x+2）2﹣9， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣2， ∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣4，y3），在抛物线y＝2（x+2）2﹣9上，而点C（﹣4，y3）到对称轴的距离最远，B（﹣2，y2）在对称轴上， ∴y2＜y1＜y3． 答案：D． 22．（2023•通州区期中统考）点（﹣2，y1），（3，y2）为抛物线y＝﹣x2+2x﹣n上两点，则y1　＜　y2．（用“＜”或“＞”号连接） 解：由题意可得， 抛物线y＝﹣x2+2x﹣n的对称轴为：直线， ∴（﹣2，y1）的对称点为：（4，y1）， ∵﹣1＜0，1＜3＜4， ∴y1＜y2， 答案：＜． 23．（2023•东城区校级期中）已知点A（5，y1）和B（n，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上．若y1＞y2，则符合条件的整数n的个数为 　7　． 解：∵y＝x2﹣2x+m， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴点A（5，y1）关于直线x＝1的对称点为（﹣3，y1），当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵点A（5，y1），B（n，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上．且y1＞y2， ∴﹣3＜n＜5，则n＝﹣2，﹣1，0，1，2，3，4 则符合条件的整数n的个数为7， 答案：7． 24．（2023•东城区校级期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q（m，y2）是抛物线的两点，且y1＜y2，则m的取值范围是 　m＜1或m＞5　． 解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点， ∴该抛物线的对称轴为直线x3，函数图象开口向上， ∴点P（5，y1）关于直线x＝3的对称点为（1，y1）， ∵y1＜y2， ∴m＜1或m＞5， 答案：m＜1或m＞5 二次函数图象与几何变换 25．（2023•西城区校级期中）将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x﹣1）2+3 C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2﹣3 解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0）， ∴平移后抛物线的顶点为（1，3）， ∴新抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+3， 答案：B． 26．（2023•西城区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　） A．向左平移8个单位 B．向右平移8个单位 C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位 解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）． y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）． 所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5）， 答案：D． 27．（2023•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，3），B（3，3），将抛物线y＝﹣x2+1向上平移m个单位，使得平移后的抛物线与线段AB有公共点，则m的取值范围为（　　） A．m≥3 B．3≤m≤11 C．3≤m≤11或m＝2 D．2≤m≤11 解：将抛物线y＝﹣x2+1向上平移m个单位后的解析式为y＝﹣x2+1+m， ∴抛物线顶点坐标为（0，1+m）， 当顶点落在线段AB上时，1+m＝3， 解得m＝2， 当抛物线向上移动，经过点B（3，3）时，3＝﹣9+1+m， 解得m＝11， 当抛物线经过点A（﹣1，3）时，3＝﹣1+1+m， 解得m＝3， ∴当2≤m≤11时，函数图象与线段AB有公共点． 答案：D． 28．（2023•西城区校级期中）已知抛物线y＝x2﹣1，直线l：x＝a，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G．如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点P（m，n）在G上，则a的取值范围是（　　） A． B．或 C． D． 解：把y＝1代入y＝x2﹣1得，1＝x2﹣1，解得x＝±， 由图象可知直线l：x＝a，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G．如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点P（m，n）在G上，则a的取值范围是a． 答案：A． 29．（2023•西城区校级期中）将抛物线y＝x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是　y＝﹣x2﹣1　． 解：根据题意，﹣y＝（﹣x）2+1，得到y＝﹣x2﹣1．故旋转后的抛物线解析式是y＝﹣x2﹣1． 30．（2023•朝阳区校级期中）已知二次函数y1＝x2+2x﹣4的图象如图所示，将此函数图象向右平移3个单位得抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为 　15　． 解：由题意知，y1＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5，则顶点坐标是（﹣1，﹣5）． 所以，阴影部分的面积为：3×5＝15． 答案：15． 二次函数的区间最值 31．（2023•西城区校级期中）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　） A． B．或 C．2或 D．2或或 解：二次函数的对称轴为直线x＝m， ①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值， 此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4， 解得m，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在； ②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值， 此时，m2+1＝4， 解得m，m（舍去）； ③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值， 此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4， 解得m＝2， 综上所述，m的值为2或． 答案：C． 32．（2023•朝阳区校级期中）在关于n的函数S＝an2+bn中，n为自然数，当n＝9时，S＜0；当n＝10时，S＞0．则当S的值最小时，n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解：∵函数S＝an2+bn图象经过原点， n＝9时，S＜0；当n＝10时，S＞0， ∴S＝0时，n＝0或n在9﹣10之间， 即图象对称轴在4.5﹣5之间， ∴当n＝5时，S取最小值． 答案：C． 33．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　） A． B． C．或 D．或 解：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2， ①若m＜﹣1，当x＝﹣1时，y＝1+2m＝﹣2， 解得：m； ②若m＞2，当x＝2时，y＝4﹣4m＝﹣2， 解得：m2（舍）； ③若﹣1≤m≤2，当x＝m时，y＝﹣m2＝﹣2， 解得：m或m1（舍）， ∴m的值为或， 答案：D． 34．（2023•西城区校级期中）若二次函数y＝x2+2x﹣3（0≤x≤3）的最小值为　﹣3　，最大值为　12　． 解：根据题意画出图形，由图可知，的最小值为x＝0时，y＝﹣3，最大值为x＝3时，y＝12． 35．（2023•东城区校级期中）当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为　2或﹣1　． 解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1， 解得：x1＝0，x2＝2． ∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1， ∴a＝2或a+1＝0， ∴a＝2或a＝﹣1， 答案：2或﹣1． 36．（2023•朝阳区校级期中）已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是　a≥1　． 解：函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4的图象是开口朝上且以x＝1为对称轴的抛物线， 当且仅当x＝1时，函数取最小值﹣4， ∵函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4， ∴a≥1， 答案：a≥1 37．（2023•海淀区校级期中）已知f（x）＝ax2+bx满足：f（x﹣1）＝f（3﹣x），且方程f（x）＝2x有两相等的实数根． （1）求f（x）在区间[0，3]上的最大值． （2）是否存在实数m、n，使得f（x）在区间[m，n]上的最小值为4m，最大值为4n？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵f（x）＝ax2+bx满足：f（x﹣1）＝f（3﹣x）， ∴对称轴为直线x1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∵方程f（x）＝2x有两相等的实数根， ∴ax2+bx﹣2x＝0，则Δ＝0， ∴（b﹣2）2＝0， ∴b＝2， ∴a＝﹣1， ∴f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， ∴x＝1时，f（x）有最大值1， ∴f（x）在区间[0，3]上的最大值是1； （2）不存在，理由如下， 分三种情况： a、n≤1，有：﹣m2+2m＝4m①，﹣n2+2n＝4n②，m＜n③， 解得m＝n，不合题意； b、m≥1，有：﹣m2+2m＝4n①，﹣n2+2n＝4m②，m＜n③， ①﹣②得：（n﹣m）（m+n）＝6（n﹣m），n﹣m＞0， ∴m+n＝6， 代入①解得：m＝3，n＝3； 不合题意， c、若m＜1，n＞1， ∵此时函数的最大值为1， ∴4n＝1， ∴n， 不合题意， 综上所述：不存在实数m、n，使得f（x）在区间[m，n]上的最小值为4m，最大值为4n． 38．（2023•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标； （2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值； （3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值． 解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得， y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4， ∵对称轴是直线x＝1． ∴1， ∴b＝﹣2a， ∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4， ∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）； （2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4， ∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5， ∴a＜0不合题意； ②a＞0时，抛物线开口向上， ∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离， ∴x＝﹣2时，y的值最大， ∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5， 将b＝﹣2a代入得，a＝1； （3）①t＜0时， ∵a＝1， ∴b＝﹣2a＝﹣2， ∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3， ∵m﹣n＝3， ∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1； ②t＜1时， ∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4， ∵m﹣n＝3， ∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）； ③0＜t时， y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4， m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±1（不成立）； ④t≥1时， ∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3， m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2； 综上，t的值为﹣1或2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$