专题02 有理数的运算（期中知识清单，19个考点梳理+题型解读+提升训练）七年级数学上学期新教材北京版

专题02 有理数的运算（19个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单1】倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若ab=1 a、b互为倒数； 若ab=-1 a、b互为负倒数. 等于本身的数汇总： 相反数等于本身的数：0 倒数等于本身的数：1，-1 绝对值等于本身的数：正数和0 平方等于本身的数：0,1 立方等于本身的数：0,1，-1. 【清单2】有理数加法的运算律： 【清单3】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 【清单4】有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 【清单5】有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .（简便运算） 【清单6】有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 【清单7】有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 【清单8】乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； （3）a2是重要的非负数，即a2 ≥0；若a2+|b|=0 a=0,b=0； （4）正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 【清单9】混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：不省过程，不跳步骤。 【清单10】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1, 整数位数=10的指数+1 【清单11】近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位. 【考点题型一】有理数加法 【例1】我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图表示的是计算的过程，按照这种方法，图表示的过程应是在计算（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查有理数的加法的应用，解题关键在于找到规律．由图可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图即可列式． 【详解】解：由图知：白色表示正数，黑色表示负数， 所以图表示的过程应是在计算， 故选：C． 【变式 1-1】（23-24七年级下·北京·期中）在四张卡片上写上4个正整数，再从这四张卡片中任选两张，将卡片上的数字相加，所得的和记为． （1）若i的最大值为4，则这4个正整数中，最大的数字可能为 ； （2）若i所有可能的值为5，6，7，8，则这4个正整数分别是 ．（写出一组即可） 【答案】 3 2、3、3、5或2、3、4、4（任填一组即可） 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）根据两个正整数相加的和最大值为4，即可得到答案； （2）分别列出两正整数相加为5，6，7，8的所有可能性，进而推出最小的两个数一定是2和3，再讨论最大的数为6，5，4即可求解． 【详解】解：（1）∵两个正整数相加的和最大值为4， ∴这两个正整数中，最大的数为3， 故答案为：3； （2）相加得5的两个正整数整数可能为：1，4或2，3； 相加得6的两个正整数可能为：1，5或2，4或3、3； 相加得7的两个正整数可能为：1，6或2，5或3、4． 相加得8的两个正整数可能为：1，7或2，6或3，5或4、4， ∵i所有可能的值为5，6，7，8，即不管怎么选取，两个正整数的和的最小值都为5， ∴最小的两个数一定是2和3， ∵和最大为8， ∴当最大的数为6时，此时，不符合题意； 当最大的数为5时，由于，则剩下的一个数要与2、3、5中的一个数的和为6，则剩下的一个数可以为1、4、3，而，此时均不符合题意，则此时剩下的数只有是3； 当最大的数为4时，则另外一个数为4，此时四个数为2、3、4、4，符合题意； 综上所述，符合题意的数为2、3、3、5或2、3、4、4， 故答案为：2、3、3、5或2、3、4、4（任填一组即可） 【变式 1-2】（23-24七年级上·北京丰台·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据加法法则，同号两数相加，取相同的符号，绝对值相加即可，计算即可； （2）根据加法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数，计算即可；． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，解题的关键是掌握有理数的加法法则． 【变式 1-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【答案】(1) (2) (3) (4)18.96 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． （1）至（6）根据加法法则计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【考点题型二】有理数加法运算律 【例2】（23-24七年级上·山西吕梁·期中）下列变形中正确使用加法交换律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据加法运算律逐一判断即可． 【详解】解：，利用的加括号法则，故选项A不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，利用的是加法的交换律，故选项C符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式 2-1】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键． 【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；     B. ，符合交换律，不符合题意； C. ，不符合结合律，符合题意；     D. ，符合结合律，不符合题意； 故选C． 【变式 2-2】（23-24七年级上·福建南平·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 【答案】②③ 【分析】根据新定义逐项进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴， 故①错误； ∵，； ∴， 故②正确； ∵，，， ∴； 故③正确； ，， 只有当时，， ∴该运算满足交换律不成立． 故④错误， 故答案为：②③ 【点睛】此题考查了新定义运算，读懂题意是解题的关键． 【变式 2-3】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）（1）计算：；         （2）计算： 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的运算律进行简单计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式 2-4】（2024七年级上·全国·专题练习）用适当方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可； （2）首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型三】有理数加法应用 【例3】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）某乡镇下设有六个村庄，村庄之间有道路相通，如图所示，图中的黑线即代表村庄间连通的道路，道路上标志的数字为该道路的长度（单位：千米），小宇要为该乡镇设计自来水管道线路，为了铺设及检修方便，所有的自来水管道均要沿着村庄间的道路铺设，且要求六个村庄都能通过管道相连． 请回答：所铺设自来水管道总长度的最小值为 千米． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法运算的应用，根据图形找到所铺设自来水管道的最短路径，再列式计算即可求解，根据图形找到所铺设自来水管道的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，所铺设自来水管道总长度的最小值为千米， 故答案为：． 【变式 3-1】（23-24八年级下·北京丰台·期末）某校初二（1）班负责学校种植园的黄瓜、茄子两块菜地，定期选派学生完成菜地的打理工作，打理内容包括A（施肥），B（除草），C（浇水）三项，要求如下： ①其中项目A，B顺序可以交换，但项目C必须放在最后完成； ②每块菜地同一时间只能有一人进行打理； ③每块菜地每项完成时间如下表： 时间（分钟）    项目 菜地 A B C 黄瓜菜地 15 12 9 茄子菜地 18 15 9 现有该班3名同学打理菜地，小明只负责项目A，小亚只负责项目B，小红只负责项目C，在不考虑其他因素的前提下，若这3人只完成黄瓜菜地的打理，则需要 分钟；若这3人完成两块菜地的打理，则最少需要 分钟． 【答案】 36 45 【分析】本题考查有理数加法在生活中的应用，根据所给规则合理安排工作顺序，即可求解． 【详解】若这3人只完成黄瓜菜地的打理，需要（分钟）； 若要需要最少时间， 小明先给黄瓜菜地施肥，同时小亚给茄子菜地除草，用时15分钟， 然后小明给茄子菜地施肥，用时18分钟， 同时小亚给黄瓜菜地除草，用时12分钟，然后小红给黄瓜菜地浇水，用时9分钟， 然后小红最后给茄子菜地浇水， ∴总用时为（分钟）． 故答案为：36，45． 【变式 3-2】（23-24九年级下·北京·阶段练习）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需七道工序，加工要求如下：①工序须在工序A完成后进行，工序须在工序都完成后进行，工序须在工序都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是 分钟． 【答案】28 【分析】本题考查有理数的运算，结合题意进行正确的推理是解题的关键． 【详解】解：假设这两名学生为甲，乙， 工序、须在工序完成后进行，工序须在工序、都完成后进行，且工序，都需要9分钟完成， 甲学生做工序，乙学生做工序，需要9分钟， 然后甲学生做工序，同时乙学生做工序， 乙学生工序完成后接着做工序， 此时需要9分钟， 最后甲学生做工序，乙学生同时做工序， 此时需要10分钟， 则（分钟）， 即若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要28分钟． 故答案为：28． 【变式 3-3】（18-19七年级上·福建厦门·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，约定向东记为正，向西记为负（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你帮忙确定地相对于地的位置； (2)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)地在地的东边千米； (2)升油． 【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向； （2）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案． 【详解】（1）∵， 答：地在地的东边千米； （2）这一天走的总路程为：千米， 应耗油（升）， 故还需补充的油量为：（升）， 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充升油． 【点睛】此题考查了正数和负数，掌握有理数的加法运算是解题关键． 【考点题型四】有理数减法 【例4】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）下列计算中，错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数减法运算法则直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，故A选项符合题意， ，故B选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，故D选项不符合题意， 故选：A； 【点睛】本题考查有理数减法运算法则，解题的关键是熟练掌握法则． 【变式 4-1】（22-23七年级上·北京东城·期中）下面是小明和小乐在学习有理数运算后的一段对话． 请你完成下面的运算，并填写运算过程中的依据解 解： （依据：___________________________） （依据：___________________________） = ． 【答案】；减去一个数等于加上这个数的相反数；5；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；． 【分析】先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，然后再利用“异号的两个有理数的加法法则”进行计算，即可得解． 【详解】解： （依据：减去一个数等于加上这个数的相反数） （依据：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值） ； 故答案为：；减去一个数等于加上这个数的相反数；5；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；． 【点睛】此题考查了有理数的减法运算与加法运算，熟练掌握有理数加法与减法的运算法则是解答此题的关键． 【变式 4-2】（22-23七年级上·北京房山·期中）计算：． 【答案】26 【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的减法法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式 4-3】（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】本题考查了有理数的减法．先根据有理数的减法法则，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【考点题型五】有理数减法应用 【例5】（21-22七年级上·广东广州·期中）某市某天的最高气温为5℃，最低气温为﹣6℃，那么这天的最高气温比最低气温高（　　） A．﹣11℃ B．﹣6℃ C．11℃ D．6℃ 【答案】C 【分析】根据有理数的减法法则列式计算即可． 【详解】解：5﹣（﹣6）， ＝5+6， ＝11（℃）， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 【变式 5-1】（23-24七年级上·北京石景山·期末）以河岸边步行道的平面为基准，河面高，河岸上地面高，则地面比河面高（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数减法的应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：， 即地面比河面高, 故选：C． 【变式 -1】（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示： 志愿者 可参与值守时间段1 可参与值守时间段2 甲 乙 丙 丁 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最最长为（    ）小时．（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查简单的极端原理，关键是理解清楚每个人至少参加一个时间段的值守，同一时间值守的人不能超过两个的含义． 【详解】要使时间最长，即每人尽量都参加两次值守，且同一时间值守的人不能超过两个， 时间段，同时有三个人值守，不符合题意，去掉时间段最短的丁， 最长时间． 故选B． 【变式 5-2】（23-24七年级上·北京东城·期中）如果将点B先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度后，这时点B表示的数是，则点B最初在数轴上表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用数轴上的点表示数，有理数的加减法，解题的关键是根据移动的方向和距离，反向列式计算即可． 【详解】解：， ∴点B最初在数轴上表示的数为， 故答案为：． 【变式 -1】（22-23七年级上·北京通州·期中）我们给出如下规定，如果两个有理数的和是8，那么称这两个有理数互为“吉祥数”． (1)下列各数对①5和3；②和13；③和46中，互为“吉祥数”的数对有 ．（只填写序号） (2)若一个有理数的“吉祥数”是，求这个有理数； (3)在数轴上，点A到原点O的距离是8，请直接写出点A表示的数的“吉祥数”． 【答案】(1)①② (2)11 (3)0或16 【分析】（1）分别求和计算，然后根据“吉祥数”的概念求解即可； （2）根据“吉祥数”的概念列式求解； （3）首先得到点A表示的数为或，然后根据“吉祥数”的概念求解即可． 【详解】（1）①，故5和3互为“吉祥数”； ②，故和13互为“吉祥数”； ③，故和46不互为“吉祥数”； 综上所述，互为“吉祥数”的数对有①②， 故答案为：①②； （2）根据题意得， ∴， ∴这个有理数为11； （3）∵点A到原点O的距离是8 ∴点A表示的数为或 当A表示的数为8时，8的“吉祥数”为； 当A表示的数为时，的“吉祥数”为； 综上所述，点A表示的数的“吉祥数”为0或16． 【点睛】此题考查了有理数的加减法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． 【变式 5-3】（23-24七年级上·北京东城·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达村，然后向东骑行到达村，最后回到邮局． 如图，以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示画出数轴．    (1)村离A村有多远； (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)数轴见详解，C村离A村有6千米远 (2)18千米 【分析】本题考查了数轴及有理数的加法运算，根据题目信息，理解数量关系并画出数轴是解题的关键． （1）画出数轴，然后根据题意标注点、、即可； （2）列出算式计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得数轴如图所示：    ∴（千米）． 答：村离村有6千米． （2）解：（千米）． 答：邮递员一共骑行了18千米． 【考点题型六】有理数加减混合运算 【例6】（23-24七年级上·北京顺义·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数加法和减法运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式 6-1】（23-24七年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，先化为省略加号的和的形式，再计算即可． 【详解】解： ． 【变式 6-2】（23-24七年级上·北京大兴·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减，根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可，熟练掌握有理数的加减运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式 6-3】（23-24七年级上·北京·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，把互为相反数的两个数，分母相同的两个数先加，再计算即可，掌握加法的运算律是解本题的关键． 【详解】解： ； 【变式 6-4】（23-24七年级上·北京·期末） 【答案】6 【分析】本题主要考查有理数加减法，根据加法交换律和结合律进行计算即可 【详解】解： =3 =6． 【变式 6-5】（21-22七年级上·北京·开学考试） 【答案】25 【分析】根据有理数的运算法则即可求解． 【详解】 = = =25． 【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知有理数的简便运算法则． 【考点题型七】有理数加减中的混合运算 【例7】（23-24七年级上·北京东城·期中）为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，；根据这种运算，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，根据新定义运算计算即可求解，理解有理数的新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故选：． 【变式 7-1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）食品店一周内各天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负，单位：元）：，，，，，，．则该店这一周的盈亏情况是（    ） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用有理数的加法求出已知各数的和即可求出一周总的盈亏情况． 【详解】解：， 该食品店这一周的盈亏情况是盈285元， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了正数和负数及有理数加法在实际生活中的应用，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则． 【变式 7-2】（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）阅读下面材料，并完成问题： 我们把不超过数的最大整数称为的整数部分，记作，把称为的小数部分，记作，则．如：，，； (1)_________，_________； (2)若，的值为_____________； (3)，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）按新定义计算即可求解； （2）由得，，并将此代入可得，从而可得，再由，求出，分类讨论．①当时，②当时，即可求解； （3）将代入得，整理得，由，可得，将代入 整理得，只有当时，才成立，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． 因为是整数部分， 所以： ①当时， 可求得， 则； ②当时， ， 综上所述，的值为或， 故答案为：或； （3）解：因为， 所以， 整理得：， 因为， 所以， 所以， 所以 整理得：， 所以范围内， 只有当时， 才成立， 所以解得：； 故的值为． 【点睛】本题考查新定义计算，一元一次方程，理解新定义，能将所求问题转化为一元一次方程及求出是解题的关键． 【变式 7-3】（23-24七年级上·北京大兴·期中）某种粮大户共有5块小麦实验地，每块实验地今年的收成与去年相比情况如下（增产为正，减产为负）（单位：）：．请通过计算，说明今年的小麦总产量与去年相比是增产了还是减产了． 【答案】今年的小麦总产量与去年相比增产了44 【分析】本题考查了有理数加减的实际应用，正负数的意义，将所给数据相加，根据增产为正，减产为负可得答案． 【详解】解：（）， 答：今年的小麦总产量与去年相比增产了44． 【变式 7-4】（22-23七年级上·北京东城·期中）如图为北京市地铁1号线地图的一部分，某天，济嘉同学参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：．    (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)请说明济嘉同学本次志愿活动向东最远到哪站？ (3)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次济嘉同学志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 【答案】(1)西单站； (2)大望路站； (3)． 【分析】（1）求出这些数的和，再根据和的符号和绝对值大小判断A站所在的位置； （2）分别计算前1个、前2个、前3个、…、前8个数的和，然后由和的符号是正数，且绝对值最大数来确定向东最远的站点； （3）计算所有站数的绝对值的和，再乘以1.2即可． 【详解】（1）解：， A站是西单站； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 表示向东最远的站是：大望路站； （3）解： ； （千米） 这次济嘉同学志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是千米． 【点睛】此题考查了正数与负数的意义、有理数的混合运算，正确理解绝对值、正负数的意义是解答此题的关键． 【考点题型八】有理数乘法 【例8】（2024·北京门头沟·一模）数轴上的两点所表示的数分别为a，b，且满足，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法、有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则、有理数的加法法则进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴a，b同号， ∵， ∴， 故选：B． 【变式 8-1】（2024·北京门头沟·二模）数轴上的三点A、B、C所表示的数分别为a、b、c且满足，，则原点在（    ） A．点A左侧 B．点A点B之间（不含点A点B） C．点B点C之间（不含点B点C） D．点C右侧 【答案】C 【分析】此题考查了数轴，有理数的加法运算，乘法运算的含义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．根据，，，可得，异号，从而得到原点的位置，即可得解． 【详解】解：由图可知，，而，， ∴， ∴原点在点B点C之间； 故选C 【变式 8-2】（23-24七年级上·北京东城·期中）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a，b在数轴上的位置可直接判断A；根据在数轴上的位置结合加法和乘法法则可判断B和C；根据绝对值的意义可判断D． 【详解】解：A．∵由数轴可知，故不正确； B．∵，∴，故不正确； C．∵，∴，故不正确； D．由数轴可知，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，以及有理数的加法和乘法法则，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【变式 8-3】（23-24七年级上·北京朝阳·阶段练习）四个互不相等的整数和为零，积为9，求这四个数中最大的整数值为 ． 【答案】3 【分析】根据有理数的加法运算法则判断出这四个数是两对相反数，再根据有理数的乘法运算列式即可判断出最大的数． 【详解】解：四个互不相等的整数和为零， 这四个数是相对相反数， 它们的积为9， ， 这四个数中最大的整数值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了有理数的乘法、有理数的加法、相反数的定义，熟记运算法则是解题的关键． 【变式 8-4】（21-22七年级上·北京通州·期末）如图，在数轴上有一点A，将点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为 ． 【答案】/-0.5 【分析】根据数轴、结合题意设的值为，分情况列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的值为，则的值为，的值为， 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，符合题意， 故答案是：． 【点睛】本题考查的是有理数的乘法、一元一次方程、数轴，解题的关键是掌握有理数的乘法法则、灵活运用分类讨论思想解决． 【变式 8-5】（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）四个互不相等的整数、、、，使，则 ． 【答案】 【分析】根据，四个互不相等的整数、、、，使，可以求得、、、的值，然后求出它们的和即可． 【详解】解：，四个互不相等的整数、、、，使， 不妨设，，，， 解得，，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出、、、的值． 【变式 8-6】（23-24七年级上·北京朝阳·期中）我们学习过了有理数的五种运算和研究运算的方法，现在定义了一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，请观察下列各式，回答问题：； ； ； ． (1)请你仿照上面各式的形式，再写出一个不同的式子：________； (2)补全定义内容：_______；（用含、的代数式表示） (3)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)不成立，理由见详解 【分析】（1）根据材料提示，正数、负数都已经有计算方法，用零表示其计算过程即可求解； （2）根据材料提示，有理数的混合运算法则即可求解； （3）根据计算法则进行有理数的运算即可求证． 【详解】（1）解：根据题意可得，，或， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据材料提示可得，， 故答案为：． （3）解：不成立，理由如下， ∵，， 当时，，与题目中矛盾， ∴当时，不成立． 【点睛】本题主要考查有理数运算的规律题，理解题目定义新运算的运算法则，掌握有理数的运算方法是解题的关键． 【变式 8-7】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1.62 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟记运算法则是解题的关键，计算时要注意运算符号的处理． （1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式 ． 【变式 8-8】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查有理数的乘法，熟知有理数乘法运算法则是解答的关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【考点题型九】有理数乘法运算律 【例9】（23-24七年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律． 【详解】解： ． 【变式 9-1】（23-24七年级上·北京朝阳·期末）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数乘法的分配律，熟练掌握有理数乘法的分配律的运算法则是解答本题的关键． 【详解】 ． 【变式 9-2】（23-24七年级上·北京丰台·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【变式 -1】（23-24七年级上·北京大兴·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，原式逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式 9-3】（22-23七年级上·北京大兴·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据乘法分配律的逆运算进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，注意运算律的运用，使运算过程得到简化． 【变式 9-4】（22-23七年级上·北京顺义·阶段练习）计算题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)30 (2)3 (3) (4) 【分析】（1）根据有理数加减计算法则求解即可； （2）根据有理数加减计算法则求解即可； （3）根据有理数乘法结合律求解即可； （4）根据有理数乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数乘法运算律，熟知相关计算法则是解题的关键． 【考点题型十】有理数乘法应用 【例10】（22-23七年级上·北京西城·期中）高度每增加1千米，气温就下降，现在地面气温是，那么离地面高度为7千米的高空的气温是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题意正确列出算式是解题的关键． 先根据题意列出算式，然后再根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 则离地面高度为7千米的高空的气温是． 故选：C． 【变式 10-1】（22-23六年级上·北京·期末）小昕爷爷去年在银行里存入50000元，存定期两年，年利率是2.70%，到期时可以得到利息 元． 【答案】 【分析】到期时，利息＝存入银行的钱数×年利率×2．根据题意，列出相应的式子． 【详解】解：（元） 答：到期时可以取得元． 【点睛】本题主要考查了存钱利息，根据题意列出相应的式子是解题的关键． 【变式 10-2】（2021·北京大兴·一模）某区域进行“环境改造，植树绿化”活动．若该区域种植树苗2000株，树苗的成活率为，则成活的树苗大约有 株． 【答案】1900 【分析】利用2000乘以成活率为即可得出答案； 【详解】解：2000×=1900（株）； 所以成活的树苗大约有1900株． 故答案为：1900 【点睛】本题考查了有理数的乘法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式 10-3】（2024·北京西城·二模）在某次比赛中，5位选手进入决赛环节，决赛赛制为单循环形式（每两位选手之间都赛一场）．每位选手胜一场得3分．负一场得0分，平局得1分．已知这次比赛最终结果没有并列第一名，获得第一名的选手的成绩记为（分），则的最小值为 ；当获得第一名的选手的成绩恰好为最小值时，决赛环节的平局总数至少为 场． 【答案】 6 4 【分析】本题考查规律型，数字的变化类，根据比赛要求求出总的场次，即可得出所有选手的得分总和的范围，再分析出每名选手的比赛场次，根据题意分析出没有并列第一名，且需要求第一名选手成绩的最小值，此条件下，可得有一名选手至少赢一场，就可与其他选手拉开差距，且此时第一名的成绩也可以尽可能的小，进行计算即可的出结论﹒ 【详解】解：已知5名选手，两两之间只比赛一场， 则共比赛场次为： (场)， 因为胜场得分3分，负一场得分0分，若平局，则两位选手各得1分， 因此10场全为胜场时，所有选手的总分最高为： (分) ， 10场全为平局时，所有选手的总分最少为： (分)， 因为没有并列第一名，且需要求第一名选手成绩的最小值， 所以当10场中9平1胜时，即有一名选手赢一场，就可与其他选手拉开差距， 此时所有选手的总分为：（分）， 此条件下可得第一名的成绩为： (分)， 则m的最小值为6； 当10场中9胜1平时，所有选手总分为：（分）， 当10场中8胜2平时，所有选手总分为：（分）， 当10场中7胜3平时，所有选手总分为：（分）， …… 依次类推，可知：所有选手的总分越大时，平局的场次越少， 即在第一名为6分时，总分越大时，平局得场次就越小， 当第一名为6分，其余四位选手均为5分时，所有选手此时的总分最大， 且为：（分）， 当10场中6胜4平时，所有选手总分为：（分）， 故平局是数最少为4场， 故答案为：6，4． 【变式 10-4】（2024·北京·三模）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【答案】 ② 1040 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， ∴经济损失最少的是②， 故答案为：②； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1040． 【考点题型十一】倒数 【例11】（17-18七年级·北京门头沟·期末）的倒数是（　　） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义即可求解，解题的关键是熟知负数的倒数还是负数． 【详解】解：的倒数为． 故选：B． 【变式 11-1】（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 ． 【答案】1 【分析】互为相反数的两个数相加为0，互为倒数的两数积为1，即可求解． 【详解】解：依题意得：，， 所以． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相反数和倒数的特性，是常考的知识点． 【变式 11-2】（21-22七年级上·北京·期中）已知与互为相反数，与互为倒数，，的值是 ． 【答案】－1 【分析】利用相反数、倒数的性质，以及绝对值的代数意义分别求出对应的值，代入原式计算即可得出正确答案． 【详解】解：与互为相反数，与互为倒数，， ，，， 则代入原式有：， 故答案为：－1． 【点睛】本题考查了相反数、倒数的性质和绝对值的意义，熟练掌握以上性质是解答此类题的关键． 【变式 11-3】（21-22七年级上·北京·期中）如图，在数轴上的倒数所对应的点是 ． 【答案】C 【分析】先求得的倒数，再在数轴上找对应点． 【详解】解：的倒数是，B代表的数是，C代表的数是， 故填：C． 【点睛】本题考查用数轴表示有理数，属于基础题型． 【变式 11-4】（21-22七年级上·北京·期末）小明在学习“倒数”一节的相关知识时发现：若5＞2，则＜．于是，他归纳出关于倒数的一个结论：对于任意两个非零有理数a，b，若a＞b，则＜．同学们，你们认为小明发现的结论 （填“正确”或“错误”），理由是： ． 【答案】 错误 当两个非零有理数异号时，若，则 【分析】讨论两个非零有理数异号时，与的大小关系即可得出结论． 【详解】解：小明发现的结论错误， 理由是：当两个非零有理数异号时，不妨设， 的倒数为，的倒数为， 则有， 故答案为：错误；当两个非零有理数异号时，若，则． 【点睛】本题考查了倒数、有理数的大小比较，熟练掌握倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）是解题关键． 【考点题型十二】有理数除法 【例12】（22-23七年级上·北京房山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】原式利用除法法则变形，计算即可求出值． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则． 【变式 12-1】（14-15七年级上·湖北孝感·阶段练习）两个非零有理数的和为零，则它们的商是(   ) A．0 B． C．1 D．不能确定 【答案】B 【分析】设这两个数分别为a，b（a≠0，b≠0），根据相反数定义求得a=-b，再根据除法法则计算即可． 【详解】解：设这两个数分别为a，b（a≠0，b≠0）， 由题意得，a+b=0，则a=-b， ∴a÷b=（-b）÷b=-1， 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的除法计算，相反数的定义，熟记相反数的定义及除法计算法则是解题的关键． 【变式 12-2】（23-24七年级上·北京东城·期中）已知，，且，则的值等于（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用绝对值的意义，以及，求出与的值，即可求出所求式子的值；此题主要考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：， 或 则 故选：B． 【变式 12-3】（23-24七年级上·重庆大渡口·阶段练习）若x，y同号，则值为（    ） A．3或1 B．或0 C．3或 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义以及性质，解题的关键是熟练掌握基本概念，根据绝对值的定义以及性质分两种情况讨论，即可解决问题． 【详解】解：∵x，y同号， ，，或，， ①当，时，，，， ∴原式 ②当．时，，，， ∴原式， 故选：C． 【变式 12-4】（17-18七年级上·北京东城·阶段练习）若，则下列成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的加法与除法法则判断即可． 【详解】解：∵a+b＜0，0， ∴a与b同号，且同时为负数， 则a＜0，b＜0， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的除法，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式 12-5】（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）从中任取2个数，所得积的最大值记为a，所得商的最小值记为b，则的值为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了有理数的乘除法，有理数的大小比较，根据有理数的乘法与有理数的大小比较求出a、b的值，然后相除即可得解． 【详解】解：∵最大值， 最小值， ． 故答案为：． 【考点题型十三】有理数除法的应用 【例13】（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）数轴上原点右边厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴上原点左边18厘米处的点表示的有理数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，根据题意先求出1厘米在数轴上表示个单位长度，进而求出原点左边18厘米处的点与原点的距离，再根据原点左边的数是负数即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上原点右边厘米处的点表示的有理数是32， ∴1厘米在数轴上表示个单位长度， ∴数轴上原点左边18厘米处的点表示的有理数是， 故答案为：． 【变式 13-1】（20-21七年级上·吉林长春·阶段练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番，用下列方法解答了这个问题． 小明的解答：原式的倒数为，所以． (1)请你判断小明的解答是否正确，若正确，请你运用小明的解法解答下面的问题；若不正确，请说明理由． (2)计算：． 【答案】(1)正确 (2) 【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可； （2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】（1）解：正确， 理由为：一个数的倒数的倒数等于原数； （2）解：原式的倒数为 ， 则． 【点睛】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式 13-2】（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）我们知道，正整数按照能否被整除可以分成两类：正奇数和正偶数．小浩受此启发，按照一个正整数被除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被除余数为，则这个正整数属于类，例如等：如果一个正整数被除余数为，则这个正整数属于类，例如等：如果一个正整数被整除，则这个正整数属于类，例如等． (1)属于　 　类（填或）； (2)①从类数中任取两个数，则它们的和属于　 　类（填或）； ②从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，把它们都加起来，则最后的结果属于　 　类（填或）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）计算，根据计算结果即可求解； （2）①从类数中任取两个数进行计算，即可求解；②从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，把它们的余数相加，再除以，根据余数判断即可求解． 【详解】（1）解：， ∴被除余数为，属于类， 故答案为：． （2）解：①从类数中任取两个数，如：，，被除余数为，则它们的和属于类； ②从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，把它们的余数相加，得，， ∴余数为，属于类， 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答． 【考点题型十四】有理数的乘方 【例14】（22-23七年级上·北京·期中）式子表示(    ) A．乘 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加 【答案】B 【分析】根据乘方的含义：表示个相乘，即可解答． 【详解】解：，表示个相乘． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，充分理解乘方的含义即可，难度不大． 【变式 14-1】（23-24七年级上·北京丰台·期中）式子可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了乘法以及乘方的意义，理解乘方的意义是解题的关键． 【变式 14-2】（22-23七年级下·北京朝阳·期末）下列各组运算中，运算后结果相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方的法则计算即可． 【详解】解：、，，运算后结果不相等，故本选项不符合题意； B、，，运算后结相等，故本选项符合题意； C、，，运算后结果不相等，故本选项不符合题意； D、，，运算后结果不相等，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟记法则是解题的关键． 【变式 14-3】（21-22七年级上·北京海淀·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为的木棍，第天截取后木棍剩余的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘方，分别求出第一天、第二天、第三天木棍剩余的长度，即可找到规律求解，掌握有理数乘方的意义找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意，第一天截取后木棍剩余的长度为； 第二天截取后木棍剩余的长度为； 第三天截取后木棍剩余的长度为； ∴第天截取后木棍剩余的长度是， 故选：． 【变式 14-4】（21-22七年级上·北京西城·期中）定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法：①；②；③若，则；④；正确的序号有（　　） A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】由新定义可得：，利用新定义逐一计算判断，从而可得答案． 【详解】解：根据新定义可得： ，故①不符合题意； ，故②符合题意； ∵， ∴， 解得：，故③符合题意； ∵， ， ∴，故④符合题意， 综上所述，正确的序号有②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查的新定义运算，有理数的乘方运算的含义，正确理解新定义，运用新定义解决问题是解本题的关键． 【变式 14-5】（23-24七年级下·北京昌平·期末）若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，将原式变形求出x和y的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6 【考点题型十五】有理数乘除混合运算 【例15】（22-23七年级上·北京大兴·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是熟记有理数混合运算的顺序，运算法则与运算定律． 先确定符号，再根据有理数乘除混合运算法则进行计算． 【详解】解： ． 【变式 15-1】（23-24七年级上·北京顺义·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除法“先将除法运算转化成乘法运算并确定符号，再按顺序计算”可以解答本题． 【详解】解： ． 【变式 15-2】（23-24七年级上·北京丰台·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的乘除运算法则计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键． 【变式 15-3】（23-24七年级上·北京朝阳·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． 【变式 15-4】（23-24七年级上·北京·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 按照从左到右的顺序进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 【考点题型十六】有理数四则混合运算 【例16】（23-24七年级上·北京丰台·期末）计算：. 【答案】9 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算法则即可解题． 【详解】解： 【变式 16-1】（23-24七年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数四则混合运算法则，准确计算． 【详解】解： ． 【变式 16-2】（23-24七年级上·北京丰台·期中）计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法，后算减法，即可求解． 【详解】解： ． 【变式 16-3】（23-24七年级上·北京·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算．先计算平方和括号里面的乘法，再算加减，最后算括号外面的即可． 【详解】解： ． 【考点题型十七】含乘方的有理数混合运算 【例17】（23-24七年级下·北京·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)27 (2)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算， (1)按照先乘除，再算加减的顺序计算即可． (2)按照先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里的顺序计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． 【变式 17-1】（23-24七年级下·北京海淀·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方，再算加减即可； 【详解】解： ； 【变式 17-2】（23-24七年级上·北京东城·期中）计算 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．先算乘方和乘法，再算除法，后算加法即可． 【详解】解：原式 ． 【变式 17-3】（23-24七年级上·北京丰台·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．先算乘方，再算括号，后算乘法，最后算加法． 【详解】解：原式 【考点题型十八】科学记数法 【例18】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故选：D． 【变式 18-1】（2024·北京·三模）2024年5月3日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞行任务.6月2号早上嫦娥六号在月球背面的南极﹣艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约384000000千米，将384000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：， 故选B． 【变式 18-2】（2024·北京·中考真题）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】， 故选D． 【考点题型十九】近似数 【例19】（11-12七年级上·湖南岳阳·期末）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到十分位） D．0.0502（精确到0.0001） 【答案】C 【分析】本题考查四舍五入的近似法则，根据四舍五入近似的法则判断：对于精确到的数位的后一位四舍五入，是解决问题的关键． 【详解】解：A、精确到0.1为0.1，本选项正确，不符合题意； B、精确到百分位为0.05，本选项正确，不符合题意； C、精确到十分位为0.1，本选项不正确，符合题意； D、精确到0.0001为0.0502，本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式 19-1】（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）亿是用四舍五入法取近似值后得到的近似数，那么这个数值（   ） A．精确到亿位 B．精确到百分位 C．精确到千万位 D．精确到百万位 【答案】D 【分析】由于一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，因为亿，结合精确度的表示方法即可解答， 【详解】解：还原数据得：，是百万位， 近似数亿精确到百万位． 故选：． 【点睛】本题主要考查了近似数的相关知识，解题的关键是要看四舍五入到哪一位． 【变式 19-2】（22-23七年级上·北京西城·期中）下列说法正确的是（    ） A．和的精确度相同 B．万精确到 C．精确到千分位 D．用科学记数法表示为 【答案】C 【分析】根据精确度的定义判断A；把万化成，所在数位便为精确数位，从而判断B；根据精确度判断C；根据科学记数法判断D． 【详解】A．精确到十分位，精确到百分位，再者精确度不相同，选项不符合题意； B．因万，所以万精确到千位，选项不符合题意； C．精确到千分位，选项符合题意； D．用科学记数法表示为，选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了科学记数法表示较大的数，较小的数，以及近似数与有效数字，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【变式 19-3】（23-24七年级上·北京·期中）用四舍五入法把2.3681精确到0.01所得到的近似数为 ． 【答案】2.37 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键． 根据近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：用四舍五入法把把2.3681精确到0.01，所得到的近似数为2.37． 故答案为：2.37． 【变式 19-4】（23-24七年级上·北京大兴·期末）圆周率是数学美的象征，它的无限不循环小数形式引发了人们对数学的好奇和探索．圆周率，用四舍五入法把精确到百分位，得到的近似值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数和有效数字，根据题意，将千分位的数字四舍五入即可得出答案，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【详解】解：用四舍五入法把精确到百分位，得到的近似值是， 故答案为：． 【变式 19-5】（19-20七年级上·浙江台州·期中）近似数8.25万的精确到 位． 【答案】百 【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，据此求解即可． 【详解】解：8.25万中，5在百位上，则精确到了百位． 故答案为：百． 【点睛】本题考查了精确度，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．理解精确度的意义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的运算（19个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单1】倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若ab=1 a、b互为倒数； 若ab=-1 a、b互为负倒数. 等于本身的数汇总： 相反数等于本身的数：0 倒数等于本身的数：1，-1 绝对值等于本身的数：正数和0 平方等于本身的数：0,1 立方等于本身的数：0,1，-1. 【清单2】有理数加法的运算律： 【清单3】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 【清单4】有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 【清单5】有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .（简便运算） 【清单6】有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 【清单7】有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 【清单8】乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； （3）a2是重要的非负数，即a2 ≥0；若a2+|b|=0 a=0,b=0； （4）正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 【清单9】混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：不省过程，不跳步骤。 【清单10】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1, 整数位数=10的指数+1 【清单11】近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位. 【考点题型一】有理数加法 【例1】我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图表示的是计算的过程，按照这种方法，图表示的过程应是在计算（　　） A． B． C． D． 【变式 1-1】（23-24七年级下·北京·期中）在四张卡片上写上4个正整数，再从这四张卡片中任选两张，将卡片上的数字相加，所得的和记为． （1）若i的最大值为4，则这4个正整数中，最大的数字可能为 ； （2）若i所有可能的值为5，6，7，8，则这4个正整数分别是 ．（写出一组即可） 【变式 1-2】（23-24七年级上·北京丰台·期中）计算： (1)； (2)． 【变式 1-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【考点题型二】有理数加法运算律 【例2】（23-24七年级上·山西吕梁·期中）下列变形中正确使用加法交换律的是（   ） A． B． C． D． 【变式 2-1】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式 2-2】（23-24七年级上·福建南平·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 【变式 2-3】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）（1）计算：；         （2）计算： 【变式 2-4】（2024七年级上·全国·专题练习）用适当方法计算： (1) (2) 【考点题型三】有理数加法应用 【例3】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）某乡镇下设有六个村庄，村庄之间有道路相通，如图所示，图中的黑线即代表村庄间连通的道路，道路上标志的数字为该道路的长度（单位：千米），小宇要为该乡镇设计自来水管道线路，为了铺设及检修方便，所有的自来水管道均要沿着村庄间的道路铺设，且要求六个村庄都能通过管道相连． 请回答：所铺设自来水管道总长度的最小值为 千米． 【变式 3-1】（23-24八年级下·北京丰台·期末）某校初二（1）班负责学校种植园的黄瓜、茄子两块菜地，定期选派学生完成菜地的打理工作，打理内容包括A（施肥），B（除草），C（浇水）三项，要求如下： ①其中项目A，B顺序可以交换，但项目C必须放在最后完成； ②每块菜地同一时间只能有一人进行打理； ③每块菜地每项完成时间如下表： 时间（分钟）    项目 菜地 A B C 黄瓜菜地 15 12 9 茄子菜地 18 15 9 现有该班3名同学打理菜地，小明只负责项目A，小亚只负责项目B，小红只负责项目C，在不考虑其他因素的前提下，若这3人只完成黄瓜菜地的打理，则需要 分钟；若这3人完成两块菜地的打理，则最少需要 分钟． 【变式 3-2】（23-24九年级下·北京·阶段练习）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需七道工序，加工要求如下：①工序须在工序A完成后进行，工序须在工序都完成后进行，工序须在工序都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是 分钟． 【变式 3-3】（18-19七年级上·福建厦门·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，约定向东记为正，向西记为负（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你帮忙确定地相对于地的位置； (2)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【考点题型四】有理数减法 【例4】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）下列计算中，错误的是(   ) A． B． C． D． 【变式 4-1】（22-23七年级上·北京东城·期中）下面是小明和小乐在学习有理数运算后的一段对话． 请你完成下面的运算，并填写运算过程中的依据解 解： （依据：___________________________） （依据：___________________________） = ． 【变式 4-2】（22-23七年级上·北京房山·期中）计算：． 【变式 4-3】（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2)； (3)． 【考点题型五】有理数减法应用 【例5】（21-22七年级上·广东广州·期中）某市某天的最高气温为5℃，最低气温为﹣6℃，那么这天的最高气温比最低气温高（　　） A．﹣11℃ B．﹣6℃ C．11℃ D．6℃ 【变式 5-1】（23-24七年级上·北京石景山·期末）以河岸边步行道的平面为基准，河面高，河岸上地面高，则地面比河面高（    ） A． B． C． D． 【变式 -1】（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示： 志愿者 可参与值守时间段1 可参与值守时间段2 甲 乙 丙 丁 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最最长为（    ）小时．（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式 5-2】（23-24七年级上·北京东城·期中）如果将点B先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度后，这时点B表示的数是，则点B最初在数轴上表示的数为 ． 【变式 -1】（22-23七年级上·北京通州·期中）我们给出如下规定，如果两个有理数的和是8，那么称这两个有理数互为“吉祥数”． (1)下列各数对①5和3；②和13；③和46中，互为“吉祥数”的数对有 ．（只填写序号） (2)若一个有理数的“吉祥数”是，求这个有理数； (3)在数轴上，点A到原点O的距离是8，请直接写出点A表示的数的“吉祥数”． 【变式 5-3】（23-24七年级上·北京东城·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达村，然后向东骑行到达村，最后回到邮局． 如图，以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示画出数轴．    (1)村离A村有多远； (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 【考点题型六】有理数加减混合运算 【例6】（23-24七年级上·北京顺义·期末）计算：． 【变式 6-1】（23-24七年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【变式 6-2】（23-24七年级上·北京大兴·期末）计算：． 【变式 6-3】（23-24七年级上·北京·期末）计算：． 【变式 6-4】（23-24七年级上·北京·期末） 【变式 6-5】（21-22七年级上·北京·开学考试） 【考点题型七】有理数加减中的混合运算 【例7】（23-24七年级上·北京东城·期中）为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，；根据这种运算，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【变式 7-1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）食品店一周内各天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负，单位：元）：，，，，，，．则该店这一周的盈亏情况是（    ） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．无法确定 【变式 7-2】（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）阅读下面材料，并完成问题： 我们把不超过数的最大整数称为的整数部分，记作，把称为的小数部分，记作，则．如：，，； (1)_________，_________； (2)若，的值为_____________； (3)，求的值． 【变式 7-3】（23-24七年级上·北京大兴·期中）某种粮大户共有5块小麦实验地，每块实验地今年的收成与去年相比情况如下（增产为正，减产为负）（单位：）：．请通过计算，说明今年的小麦总产量与去年相比是增产了还是减产了． 【变式 7-4】（22-23七年级上·北京东城·期中）如图为北京市地铁1号线地图的一部分，某天，济嘉同学参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：．    (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)请说明济嘉同学本次志愿活动向东最远到哪站？ (3)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次济嘉同学志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 【考点题型八】有理数乘法 【例8】（2024·北京门头沟·一模）数轴上的两点所表示的数分别为a，b，且满足，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式 8-1】（2024·北京门头沟·二模）数轴上的三点A、B、C所表示的数分别为a、b、c且满足，，则原点在（    ） A．点A左侧 B．点A点B之间（不含点A点B） C．点B点C之间（不含点B点C） D．点C右侧 【变式 8-2】（23-24七年级上·北京东城·期中）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【变式 8-3】（23-24七年级上·北京朝阳·阶段练习）四个互不相等的整数和为零，积为9，求这四个数中最大的整数值为 ． 【变式 8-4】（21-22七年级上·北京通州·期末）如图，在数轴上有一点A，将点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为 ． 【变式 8-5】（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）四个互不相等的整数、、、，使，则 ． 【变式 8-6】（23-24七年级上·北京朝阳·期中）我们学习过了有理数的五种运算和研究运算的方法，现在定义了一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，请观察下列各式，回答问题：； ； ； ． (1)请你仿照上面各式的形式，再写出一个不同的式子：________； (2)补全定义内容：_______；（用含、的代数式表示） (3)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 【变式 8-7】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式 8-8】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型九】有理数乘法运算律 【例9】（23-24七年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【变式 9-1】（23-24七年级上·北京朝阳·期末）计算：． 【变式 9-2】（23-24七年级上·北京丰台·期中）计算： 【变式 -1】（23-24七年级上·北京大兴·期中）计算：． 【变式 9-3】（22-23七年级上·北京大兴·期中）计算：． 【变式 9-4】（22-23七年级上·北京顺义·阶段练习）计算题． (1) (2) (3) (4) 【考点题型十】有理数乘法应用 【例10】（22-23七年级上·北京西城·期中）高度每增加1千米，气温就下降，现在地面气温是，那么离地面高度为7千米的高空的气温是（    ）． A． B． C． D． 【变式 10-1】（22-23六年级上·北京·期末）小昕爷爷去年在银行里存入50000元，存定期两年，年利率是2.70%，到期时可以得到利息 元． 【变式 10-2】（2021·北京大兴·一模）某区域进行“环境改造，植树绿化”活动．若该区域种植树苗2000株，树苗的成活率为，则成活的树苗大约有 株． 【变式 10-3】（2024·北京西城·二模）在某次比赛中，5位选手进入决赛环节，决赛赛制为单循环形式（每两位选手之间都赛一场）．每位选手胜一场得3分．负一场得0分，平局得1分．已知这次比赛最终结果没有并列第一名，获得第一名的选手的成绩记为（分），则的最小值为 ；当获得第一名的选手的成绩恰好为最小值时，决赛环节的平局总数至少为 场． 【变式 10-4】（2024·北京·三模）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【考点题型十一】倒数 【例11】（17-18七年级·北京门头沟·期末）的倒数是（　　） A．8 B． C． D． 【变式 11-1】（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 ． 【变式 11-2】（21-22七年级上·北京·期中）已知与互为相反数，与互为倒数，，的值是 ． 【变式 11-3】（21-22七年级上·北京·期中）如图，在数轴上的倒数所对应的点是 ． 【变式 11-4】（21-22七年级上·北京·期末）小明在学习“倒数”一节的相关知识时发现：若5＞2，则＜．于是，他归纳出关于倒数的一个结论：对于任意两个非零有理数a，b，若a＞b，则＜．同学们，你们认为小明发现的结论 （填“正确”或“错误”），理由是： ． 【考点题型十二】有理数除法 【例12】（22-23七年级上·北京房山·期中）计算： ． 【变式 12-1】（14-15七年级上·湖北孝感·阶段练习）两个非零有理数的和为零，则它们的商是(   ) A．0 B． C．1 D．不能确定 【变式 12-2】（23-24七年级上·北京东城·期中）已知，，且，则的值等于（    ） A．8 B． C．2 D． 【变式 12-3】（23-24七年级上·重庆大渡口·阶段练习）若x，y同号，则值为（    ） A．3或1 B．或0 C．3或 D．或1 【变式 12-4】（17-18七年级上·北京东城·阶段练习）若，则下列成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式 12-5】（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）从中任取2个数，所得积的最大值记为a，所得商的最小值记为b，则的值为 ． 【考点题型十三】有理数除法的应用 【例13】（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）数轴上原点右边厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴上原点左边18厘米处的点表示的有理数是 ． 【变式 13-1】（20-21七年级上·吉林长春·阶段练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番，用下列方法解答了这个问题． 小明的解答：原式的倒数为，所以． (1)请你判断小明的解答是否正确，若正确，请你运用小明的解法解答下面的问题；若不正确，请说明理由． (2)计算：． 【变式 13-2】（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）我们知道，正整数按照能否被整除可以分成两类：正奇数和正偶数．小浩受此启发，按照一个正整数被除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被除余数为，则这个正整数属于类，例如等：如果一个正整数被除余数为，则这个正整数属于类，例如等：如果一个正整数被整除，则这个正整数属于类，例如等． (1)属于　 　类（填或）； (2)①从类数中任取两个数，则它们的和属于　 　类（填或）； ②从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，把它们都加起来，则最后的结果属于　 　类（填或）． 【考点题型十四】有理数的乘方 【例14】（22-23七年级上·北京·期中）式子表示(    ) A．乘 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加 【变式 14-1】（23-24七年级上·北京丰台·期中）式子可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式 14-2】（22-23七年级下·北京朝阳·期末）下列各组运算中，运算后结果相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式 14-3】（21-22七年级上·北京海淀·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为的木棍，第天截取后木棍剩余的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式 14-4】（21-22七年级上·北京西城·期中）定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法：①；②；③若，则；④；正确的序号有（　　） A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【变式 14-5】（23-24七年级下·北京昌平·期末）若，，则 ． 【考点题型十五】有理数乘除混合运算 【例15】（22-23七年级上·北京大兴·期中）计算：． 【变式 15-1】（23-24七年级上·北京顺义·期末）计算：． 【变式 15-2】（23-24七年级上·北京丰台·期中）计算：． 【变式 15-3】（23-24七年级上·北京朝阳·期中）计算：． 【变式 15-4】（23-24七年级上·北京·期中）计算：． 【考点题型十六】有理数四则混合运算 【例16】（23-24七年级上·北京丰台·期末）计算：. 【变式 16-1】（23-24七年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【变式 16-2】（23-24七年级上·北京丰台·期中）计算：． 【变式 16-3】（23-24七年级上·北京·期中）计算：． 【考点题型十七】含乘方的有理数混合运算 【例17】（23-24七年级下·北京·开学考试）计算： (1)； (2)． 【变式 17-1】（23-24七年级下·北京海淀·开学考试）计算：． 【变式 17-2】（23-24七年级上·北京东城·期中）计算 【变式 17-3】（23-24七年级上·北京丰台·期末）计算：． 【考点题型十八】科学记数法 【例18】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式 18-1】（2024·北京·三模）2024年5月3日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞行任务.6月2号早上嫦娥六号在月球背面的南极﹣艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约384000000千米，将384000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式 18-2】（2024·北京·中考真题）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十九】近似数 【例19】（11-12七年级上·湖南岳阳·期末）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到十分位） D．0.0502（精确到0.0001） 【变式 19-1】（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）亿是用四舍五入法取近似值后得到的近似数，那么这个数值（   ） A．精确到亿位 B．精确到百分位 C．精确到千万位 D．精确到百万位 【变式 19-2】（22-23七年级上·北京西城·期中）下列说法正确的是（    ） A．和的精确度相同 B．万精确到 C．精确到千分位 D．用科学记数法表示为 【变式 19-3】（23-24七年级上·北京·期中）用四舍五入法把2.3681精确到0.01所得到的近似数为 ． 【变式 19-4】（23-24七年级上·北京大兴·期末）圆周率是数学美的象征，它的无限不循环小数形式引发了人们对数学的好奇和探索．圆周率，用四舍五入法把精确到百分位，得到的近似值是 ． 【变式 19-5】（19-20七年级上·浙江台州·期中）近似数8.25万的精确到 位． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$