13.2命题与证明（5知识点+7题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

13.2 命题与证明 课程标准 学习目标 ①通过具体实例，了解定义、 命题、定理、推论的意义。 ②结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。 ③知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式。 ④了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。 ⑤通过实例体会反证法的含义。 1.掌握命题的概念，并能分清命题的组成部分； 2．经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解； 3．理解原命题与逆命题的概念； 4．初步培养不同几何语言相互转化的能力． 知识点01 命题 ·推理的必要性：研究几何图形，如果仅限于观察、操作和实验等方法，难以使人确信结果的正确性,所以在研究几何图形的性质时,还需要进行必要的推理. ·命题的概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句（或式子）叫做命题 ·命题的分类：正确的命题叫做真命题；错误的命题叫假命题. ·关键词：“是”“不是”“大于”“小于”“如果………那么…” 【即学即练1】（23-24八年级上·安徽淮北·期末）下列语句中，属于命题的是（    ） A．作的平分线 B．同旁内角互补 C．画线段 D．你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢 【即学即练2】（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．②过一点有且只有一条直线与已知直线平行．③垂直于同一直线的两直线平行．④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 知识点02 命题的组成 ·命题的条件和结论：数学命题通常由条件（题设）和结论（题断）两部分组成,命题常写成“如果……那么……”的形式,即如果p，那么q 【即学即练3】将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式 ． ·互逆命题：将命题“如果 ｐ，那么 ｑ”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果 ｑ，那么 ｐ”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题。 【即学即练4】写出命题“如果，，那么”的逆命题： ． 【即学即练5】一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”： （1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假． ·反例:符合命题条件,但不满足命题结论的例子. 【即学即练6】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（    ） A． B． C． D． 【即学即练7】（22-23八年级上·安徽合肥·期中）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【即学即练8】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则．”是假命题的反例的是（　　　） A． B． C． D． 知识点03 定理与证明 ·定理：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据。这样的真命题叫做定理 ·证明：从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理。简称证明。 ·证明的一般步骤 第1步:分清命题的条件和结论,问题与图形有关,要根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号; 第2步:结合图形,写出已知、求证; 第3步:分析因果关系,找出证明途径， 第4步:有条理地写出证明过程(每一步推理都要有根据). ·证明符号：符号“∵”读作“因为”,符号“∴”读作“所以” ·辅助线：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线． 【即学即练9】（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 知识点04 定理的证明 ·三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°． ·推论1.直角三角形的两锐角互余． 方法：利用三角形的内角和为180°推理可得 ·推论2.有两个角互余的三角形是直角三角形． 证明过程：两个角互余→两角和90°→三角形内角和180°→第3个角为90° ·推论３.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 如图，∠ACD和∠BCG为∠ACB的外角，过点C作CF∥AB， ∴∠1=∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2=∠B(两直线平行，同位角相等)， ∴ ∠1+∠2=∠A+∠B ·推论４.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 根据三角形内角和定理推出三角形外角定理（推论3的图） 有∠ACD=∠A+∠B，则 ∠ACD>∠A(全量大于它的任一部分) ∠ACD>∠B *知识点05 反证法 ·反证法：是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法，是间接论证的方法之一。 ·反证法的一般步骤： 反设：作出与求证结论相反的假设； 归谬：将反设作为条件，并通过一系列的正确推理导出矛盾； 结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 【即学即练10】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【即学即练11】（22-23八年级上·河南周口·期末）用反证法证明命题“若，则”时，应假设 ． ·判断一个语句是否为命题的方法： (1)命题必须是一个完整的语句，且是对某一事件的陈述，包括肯定句和否定句，而疑问句、感叹句和祈使句都不是命题. (2)命题必须对某一事件作出肯定或否定的判断若满足以上两点，则是命题,否则不是命题. ·互逆命题与命题的真假 (1)互逆命题是指两个命题间的关系. (2)当一个命题是真(假)命题时，它的逆命题不一定是真(假)命题. (3)要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【题型一：判断一个命题的真假】 例1．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）有下列命题：①同位角相等；②如果，那么；③如果，那么；④无理数不可以在数轴上表示，其中是真命题的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式1-1．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）下列命题中，假命题是（    ）． A．2是8的立方根 B．是的一个平方根 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．是64的立方根 变式1-2．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）下列命题中，假命题是（    ） A．三角形内角和是 B．如果直线，，那么直线 C．如果，那么 D．三角形任意两边之和大于第三边 【题型二：写出命题的条件与结论】 例2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）把命题“全等三角形的对应中线相等”改写成“如果，那么”的形式： ． 变式2-1．将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式 ． 变式2-2．证明：两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直. 已知: 求证： . 【方法技巧与总结】 (1)当有一些命题的条件和结论不是十分明显时，我们可以把它改写成“如果……那么……”的形式，再找出它的条件和结论. (2)有些命题的条件和结论不止一个，此时要注意分清它们的条件和结论 【题型三：写出命题的逆命题】 例3．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ． 变式3-1．命题“若，则”的逆命题是 ． 变式3-2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 变式3-3．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列命题的逆命题正确的是（    ） A．对顶角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．全等三角形的对应角相等 【方法技巧与总结】当一个命题是真(假)命题时，它的逆命题不一定是真(假)命题 【题型四：举反例说明命题为假命题】 例4．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）证明命题“若，则”为假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 变式4-1.（22-23八年级上·安徽滁州·期末）要说明命题“若，则”是假命题，下列所列举的反例错误的是（   ） A． B． C． D． 变式4-2.判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，则可以是 ．（只填一个值即可） 【题型五：写出反证法证明中的假设】 例5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（    ） A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角大于 D．有一个内角小于 变式5-1．用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（　 　） A． B． C． D． 变式5-2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度”，第一步应假设 ． 【方法技巧与总结】反证法的第一步是假设结论不成立 【题型六：用反证法证明命题】 例6．（20-21七年级下·安徽合肥·期末）阅读下面关于“不是有理数”的证明过程，并填空： “不是有理数”，对于这一事实的证明，最早出现在亚里士多德（Aristotle）的著作中，但他声明来源于毕达哥拉斯学派．欧几里得（Euclid）在《原本》中给出了证明． 证明：假设应是有理数，由于，所以必然有两个正整数a，b， 使，① 而且a，b互质（即没有1以外的公因数）． 等式①两边平方，得 ，即． 所以________．② 上面式子的右边是偶数，所以左边也是偶数，因而b也是________， 可设（k是正整数），代入②，得 ， 即． 所以a也是偶数，这说明a，b都是偶数，不是________， 与假设相矛盾，即________有理数． 【题型七：运用定理进行证明】 例7．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【方法技巧与总结】证明的一般步骤 第1步:分清命题的条件和结论,如果问题与图形有关,要根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号; 第2步:结合图形,写出已知、求证; 第3步:分析因果关系,找出证明途径， 第4步:有条理地写出证明过程(每一步推理都要有根据) 一、选择题 1．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）下列语句是命题的有（      ） ①连接；  ②等边对等角； ③同角的余角不相等； ④作线段的垂直平分线； ⑤你来吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（     ） A．三个内角都是锐角 B．三个内角都是钝角 C．三个内角都不是锐角 D．三个内角都不是钝角 3．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）下列命题是真命题的是(   ) A．如果，那么点是的中点 B．三条线段分别为，，，如果，那么这三条线段一定能组成三角形 C．三角形的内角和等于 D．如果，那么 4．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 5．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）下列命题中是假命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直； B．两直线平行，同位角的平分线也互相平行； C．在同一平面内，若，，则； D．在同一平面内，若，，则． 二、填空题 6．（23-24八年级上·安徽·期末）“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 7.“等边对等角”的逆命题是 ． 8．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）写出命题“如果，，那么”的逆命题： ． 9.已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设 ． 三、解答题 10.一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”： （1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假． 11．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 12．（19-20八年级下·陕西渭南·期中）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角． 求证：∠1＝∠A+∠B．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2 命题与证明 课程标准 学习目标 ①通过具体实例，了解定义、 命题、定理、推论的意义。 ②结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。 ③知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式。 ④了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。 ⑤通过实例体会反证法的含义。 1.掌握命题的概念，并能分清命题的组成部分； 2．经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解； 3．理解原命题与逆命题的概念； 4．初步培养不同几何语言相互转化的能力． 知识点01 命题 ·推理的必要性：研究几何图形，如果仅限于观察、操作和实验等方法，难以使人确信结果的正确性,所以在研究几何图形的性质时,还需要进行必要的推理. ·命题的概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句（或式子）叫做命题 ·命题的分类：正确的命题叫做真命题；错误的命题叫假命题. ·关键词：“是”“不是”“大于”“小于”“如果………那么…” 【即学即练1】（23-24八年级上·安徽淮北·期末）下列语句中，属于命题的是（    ） A．作的平分线 B．同旁内角互补 C．画线段 D．你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢 【答案】B 【分析】本题考查命题概念，命题由题设和结论组成，是能判断真假的陈述句，根据命题概念逐项验证即可得到答案，熟记命题概念是解决问题的关键． 【详解】解：A作的平分线，不是陈述句，不是命题，不符合题意； B、同旁内角互补，是命题，符合题意； C、画线段，不是陈述句，不是命题，不符合题意； D、你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢，不是陈述句，不是命题，不符合题意； 故选：B． 【即学即练2】（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．②过一点有且只有一条直线与已知直线平行．③垂直于同一直线的两直线平行．④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、点到直线的距离、判断命题真假、平行公理的应用 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质和判定，点到直线的距离，逐一进行判断即可． 【详解】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等；故①是真命题； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②是假命题； 同一平面内垂直于同一直线的两直线平行，故③是假命题； 直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离；故④是假命题； 故选B． 知识点02 命题的组成 ·命题的条件和结论：数学命题通常由条件（题设）和结论（题断）两部分组成,命题常写成“如果……那么……”的形式,即如果p，那么q 【即学即练3】将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式 ． 【答案】如果两个三角形全等，那么它们的周长相等 【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解． 【详解】解：将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…，那么…”的形式： 如果两个三角形全等，那么它们的周长相等， 故答案为：如果两个三角形全等，那么它们的周长相等． 【点睛】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论是解题的关键． ·互逆命题：将命题“如果 ｐ，那么 ｑ”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果 ｑ，那么 ｐ”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题。 【即学即练4】写出命题“如果，，那么”的逆命题： ． 【答案】如果，那么， 【分析】本题考查根据原命题写逆命题，将原命题的结论改为条件，条件改为结论即可得出逆命题． 【详解】解：“如果，，那么”的逆命题：如果，那么，， 故答案为：如果，那么，． 【即学即练5】一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”： （1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假． 【答案】（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题． 【分析】（1）首先判断出命题的条件和结论，然后改写成“如果……那么……”的形式即可； （2）首先根据逆命题的定义求解，然后判定逆命题是否正确即可． 【详解】解：（1）∵原命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， ∴命题“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． （2）“对顶角相等”的逆命题是：“相等的角是对顶角”， ∵相等的角不一定是对顶角， ∴它是假命题． 【点睛】此题考查了逆命题的概念以及真假命题的判断，解题的关键是熟练掌握逆命题的概念以及真假命题的定义． ·反例:符合命题条件,但不满足命题结论的例子. 【即学即练6】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了假命题中的举反例问题，同时也考查了绝对值的知识，得出当时，，是解答本题的关键．当时，不成立，据此作答即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 即“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是， 故选：B． 【即学即练7】（22-23八年级上·安徽合肥·期中）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，进行判断即可． 【详解】A、等腰三角形三条高线的交点不一定不在三角形的外部，不符合题意； B、直角三角形的三条高线的交点在直角顶点处，不在三角形的外部，不符合题意； C、锐角三角形的三条高线的交点在三角形的内部，不符合题意； D、钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查反例法证明命题是假命题．熟练掌握钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，是解题的关键． 【即学即练8】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则．”是假命题的反例的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证；判断一个命题是假问题，只需举出一个反例即可．反例要满足命题的条件，不符合命题的结论． 【详解】解： A．，这个例子与命题的条件，结论一致，故该选项错误； B．，这个例子既不符合命题的条件，也不符合命题的结论，故该选项错误； C．，这个命题符合反例的要求，故该选项正确； D．，这个例子与命题的条件，结论一致，故该选项错误； 故选C． 知识点03 定理与证明 ·定理：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据。这样的真命题叫做定理 ·证明：从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理。简称证明。 ·证明的一般步骤 第1步:分清命题的条件和结论,问题与图形有关,要根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号; 第2步:结合图形,写出已知、求证; 第3步:分析因果关系,找出证明途径， 第4步:有条理地写出证明过程(每一步推理都要有根据). ·证明符号：符号“∵”读作“因为”,符号“∴”读作“所以” ·辅助线：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线． 【即学即练9】（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【知识点】判断是否为互逆命题、判断命题真假、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 知识点04 定理的证明 ·三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°． ·推论1.直角三角形的两锐角互余． 方法：利用三角形的内角和为180°推理可得 ·推论2.有两个角互余的三角形是直角三角形． 证明过程：两个角互余→两角和90°→三角形内角和180°→第3个角为90° ·推论３.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 如图，∠ACD和∠BCG为∠ACB的外角，过点C作CF∥AB， ∴∠1=∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2=∠B(两直线平行，同位角相等)， ∴ ∠1+∠2=∠A+∠B ·推论４.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 根据三角形内角和定理推出三角形外角定理（推论3的图） 有∠ACD=∠A+∠B，则 ∠ACD>∠A(全量大于它的任一部分) ∠ACD>∠B *知识点05 反证法 ·反证法：是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法，是间接论证的方法之一。 ·反证法的一般步骤： 反设：作出与求证结论相反的假设； 归谬：将反设作为条件，并通过一系列的正确推理导出矛盾； 结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 【即学即练10】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法的步骤，首先需假设原命题的反面成立即第一步为③；进而得到，进而得到，这与“三角形内角和等于”相矛盾，则假设不成立，据此可得答案． 【详解】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②， 故选D． 【即学即练11】（22-23八年级上·河南周口·期末）用反证法证明命题“若，则”时，应假设 ． 【答案】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：用反证法证明“若，则”时，应假设． 故答案为： 【点睛】本题考查了反证法的概念，理解反证法的概念是解题的关键． ·判断一个语句是否为命题的方法： (1)命题必须是一个完整的语句，且是对某一事件的陈述，包括肯定句和否定句，而疑问句、感叹句和祈使句都不是命题. (2)命题必须对某一事件作出肯定或否定的判断若满足以上两点，则是命题,否则不是命题. ·互逆命题与命题的真假 (1)互逆命题是指两个命题间的关系. (2)当一个命题是真(假)命题时，它的逆命题不一定是真(假)命题. (3)要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【题型一：判断一个命题的真假】 例1．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）有下列命题：①同位角相等；②如果，那么；③如果，那么；④无理数不可以在数轴上表示，其中是真命题的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【知识点】两直线平行同位角相等、不等式的性质、实数与数轴、判断命题真假 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．利用平行线公理的推论、平行线的性质及判定方法、实数的性质及不等式的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②如果，，那么，正确，是真命题，符合题意； ③如果，且，那么，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④无理数可以在数轴上表示，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 真命题有1个， 故选：D 变式1-1．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）下列命题中，假命题是（    ）． A．2是8的立方根 B．是的一个平方根 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．是64的立方根 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、求一个数的算术平方根、判断命题真假、平方根概念理解 【分析】本题考查算术平方根，平方根，立方根的概念，假命题的判断．根据算术平方根，平方根，立方根的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、 2是8的立方根，正确，该选项为真命题； B、 是的一个平方根，正确，该选项为真命题； C、0的平方根与算术平方根都是0，正确，该选项为真命题； D、是64的立方根，错误，应该是：4是64的立方根，该选项为假命题． 故选：D． 变式1-2．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）下列命题中，假命题是（    ） A．三角形内角和是 B．如果直线，，那么直线 C．如果，那么 D．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形三边关系的应用、平行公理的应用、判断命题真假 【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据三角形内角和定理即可判断A；根据平行公理即可判断B；根据乘方的计算法则即可判断C；根据三角形三边的关系即可判断D． 【详解】解：A、三角形内角和是，原命题是真命题，不符合题意； B、如果直线，，那么直线，原命题是真命题，不符合题意； C、如果，那么不一定成立，例如满足，但不满足，原命题是假命题，符合题意； D、三角形任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，不符合题意； 故选：C． 【题型二：写出命题的条件与结论】 例2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）把命题“全等三角形的对应中线相等”改写成“如果，那么”的形式： ． 【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等 【分析】本题考查命题，涉及命题的改写，熟记命题的概念，分清命题的条件与结论是解决问题的关键． 【详解】解：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等， 故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等． 变式2-1．将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式 ． 【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半 【分析】由题意将命题的条件改成如果的内容，将命题的结论改为那么的内容进行分析即可． 【详解】解：将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式为：如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半． 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半． 【点睛】本题主要考查命题与定理，理解“如果…那么…”的意义并找到命题的条件和结论是解题的关键． 变式2-2．证明：两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直. 已知: 求证： . 【答案】见解析. 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算、写出一个命题的已知、求证及证明过程、两直线平行同旁内角互补 【分析】根据题意画出图形，写出已知与求证，证明过程为：由AB与CD平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠BEF+∠EFD=180°，再由EG与FG为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到∠GEF+∠EFG=90°，根据三角形的内角和定理即可得∠EGF=90°，结论得证． 【详解】已知：直线AB∥CD，直接EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF，∠EFD的平分线交于G点. 求证：EG⊥FG 【方法技巧与总结】 (1)当有一些命题的条件和结论不是十分明显时，我们可以把它改写成“如果……那么……”的形式，再找出它的条件和结论. (2)有些命题的条件和结论不止一个，此时要注意分清它们的条件和结论 【题型三：写出命题的逆命题】 例3．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ． 【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，据此求解即可． 【详解】解；命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形， 故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形。 变式3-1．命题“若，则”的逆命题是 ． 【答案】若，则 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题的逆命题．熟练掌握逆命题与命题的关系是解题的关键． 根据逆命题的定义进行作答即可． 【详解】解：由题意知，命题“若，则”的逆命题是若，则， 故答案为：若，则． 变式3-2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】本题考查了原命题与逆命题，判定命题真假：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题． 根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题，进而利用真假命题判断即可． 【详解】解：命题“互为相反数的两个数的和为0”的题设是“两个数互为相反数”，结论是“和为0”，故其逆命题是和为0的两个数互为相反数， 逆命题是真命题； 故答案为：真． 变式3-3．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列命题的逆命题正确的是（    ） A．对顶角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．全等三角形的对应角相等 【答案】C 【知识点】实数的性质、写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】此题主要考查逆命题的判断，熟练掌握概念，即可得解.首先将各个选项的逆命题，再判定是否成立即可. 【详解】解：A选项逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，逆命题不成立； B选项逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，逆命题不成立； C选项逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，逆命题成立； D选项逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，逆命题不成立. 故选：C. 【方法技巧与总结】当一个命题是真(假)命题时，它的逆命题不一定是真(假)命题 【题型四：举反例说明命题为假命题】 例4．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）证明命题“若，则”为假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、有理数大小比较、举反例、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查命题与定理．如：当时，满足，但不能得到．解题的关键是掌握：判断一件事情的语句，叫做命题．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【详解】解：当时，得：， 满足，但此时，不能得到， ∴说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是． 故选：D． 变式4-1.（22-23八年级上·安徽滁州·期末）要说明命题“若，则”是假命题，下列所列举的反例错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出a满足，但不满足即可． 【详解】解：“若，则”是假命题， 当．因为，，能说明命题是假命题，选项A列举反例正确． 同理可得选项B、C列举反例正确； 当．因为，，故不能说明“若，则”是假命题，故选项D列举反例错误． 综上所述：列举的反例错误的是D， 故选D． 【点睛】本题考查了命题与定义：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 变式4-2.判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，则可以是 ．（只填一个值即可） 【答案】-2（答案不唯一） 【分析】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题． 【详解】当时，符合条件， 但， ∴命题“如果，那么”是假命题, 同样当时，也可以判断命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：-2（也可以是-3等，答案不唯一）． 【点睛】本题考查了举反例判断假命题，只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键． 【题型五：写出反证法证明中的假设】 例5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（    ） A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角大于 D．有一个内角小于 【答案】A 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，应假设这个三角形中每一个内角都小于， 故选：A． 变式5-1．用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立即结论的反面成立进行解答即可． 【详解】解：用反证法证明，“在中，、对边是a、b，若，则”， 第一步要假设， 故选：B． 【点睛】本题考查反证法的应用，熟练掌握反证法的一般步骤，理解假设结论不成立即结论的反面成立是解题的关键． 变式5-2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度”，第一步应假设 ． 【答案】三角形的三个内角都小于 【知识点】三角形内角和定理的应用、反证法证明中的假设 【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接填空即可；此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤是解题的关键． 【详解】解：∵用反证法证明三角形中至少有一个角不小于， 第一步应假设结论不成立， 即三角形的三个内角都小于. 故答案为：三角形的三个内角都小于. 【方法技巧与总结】反证法的第一步是假设结论不成立 【题型六：用反证法证明命题】 例6．（20-21七年级下·安徽合肥·期末）阅读下面关于“不是有理数”的证明过程，并填空： “不是有理数”，对于这一事实的证明，最早出现在亚里士多德（Aristotle）的著作中，但他声明来源于毕达哥拉斯学派．欧几里得（Euclid）在《原本》中给出了证明． 证明：假设应是有理数，由于，所以必然有两个正整数a，b， 使，① 而且a，b互质（即没有1以外的公因数）． 等式①两边平方，得 ，即． 所以________．② 上面式子的右边是偶数，所以左边也是偶数，因而b也是________， 可设（k是正整数），代入②，得 ， 即． 所以a也是偶数，这说明a，b都是偶数，不是________， 与假设相矛盾，即________有理数． 【答案】；偶数；互质的两个数；不是 【知识点】用反证法证明命题 【分析】根据被除数等于商乘以除数可得；其它几问根据奇数、偶数、互质数的概念和反证法的要求填写即可． 【详解】解： 故答案为： ∵是偶数，∴也是偶数． 故答案为：偶数 ∵a、b都是偶数，∴a、b不是互质数． 故答案为：互质数 ∵假设“是有理数，”，在假设的基础上，经过推理得出的结论“a、b不是互质数”与“a、b是互质数”相矛盾， ∴假设“是有理数”不成立． ∴不是有理数． 故答案为：不是 【点睛】本题考查了反证法的知识点，熟知反证法的步骤和方法是解题的基础，等式的恒等变形、奇数、偶数和互质数的概念的理解和运用是解题的关键． 【题型七：运用定理进行证明】 例7．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、同(等)角的余(补)角相等的应用、根据给出的论断组命题并证明、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 【方法技巧与总结】证明的一般步骤 第1步:分清命题的条件和结论,如果问题与图形有关,要根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号; 第2步:结合图形,写出已知、求证; 第3步:分析因果关系,找出证明途径， 第4步:有条理地写出证明过程(每一步推理都要有根据) 一、选择题 1．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）下列语句是命题的有（      ） ①连接；  ②等边对等角； ③同角的余角不相等； ④作线段的垂直平分线； ⑤你来吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，据此逐一判断即可． 【详解】解：①连接，不是命题； ②等边对等角，是命题； ③同角的余角不相等，是命题； ④作线段的垂直平分线，不是命题； ⑤你来吗？不是命题； ∴命题有2个， 故选：B． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（     ） A．三个内角都是锐角 B．三个内角都是钝角 C．三个内角都不是锐角 D．三个内角都不是钝角 【答案】C 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可． 【详解】解：用反证法证明“一个三角形中至少有一个内角是锐角”，应先假设三个内角都不是锐角． 故选：C． 3．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）下列命题是真命题的是(   ) A．如果，那么点是的中点 B．三条线段分别为，，，如果，那么这三条线段一定能组成三角形 C．三角形的内角和等于 D．如果，那么 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、构成三角形的条件、线段中点的有关计算、判断命题真假 【分析】该题主要考查了真、假命题及其判断问题；根据线段的中点，三角形的三边关系，三角形内角和定理，绝对值的意义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、 如果点在线段上，且，那么点是的中点，故该选项是假命题，不符合题意； B、三条线段分别为，，，当，，时，满足，但不能构成三角形；如果，那么这三条线段一定能组成三角形，故该选项是假命题，不符合题意； C、 三角形的内角和等于，故该选项是真命题，符合题意； D、如果，那么或，故该选项是假命题，不符合题意； 故选：C． 4．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【知识点】已知证明过程填写理论依据 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 5．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）下列命题中是假命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直； B．两直线平行，同位角的平分线也互相平行； C．在同一平面内，若，，则； D．在同一平面内，若，，则． 【答案】C 【知识点】判断命题真假、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了真假命题的判断，平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”及角平分线的定义“角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半”，即可对选项A进行判断；根据平行线的判定与性质“两直线平行，同位角相等”，“同位角相等，两直线平行”，及角平分线的定义，即可对选项B进行判断；根据平行线的判定“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”，即可对选项C进行判断；根据平行线的判定“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行”，即可对选项D进行判断． 【详解】解：A、如图，，是的角平分线，是的角平分线，，相交于点， ， ， 平分，平分， ， ， ， 故选项A是真命题，不符合题意； B、如图，，是的角平分线，是的角平分线， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 故选项B是真命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行， 若，，则， 故选项C是假命题，符合题意； D、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行， 若，，则， 故选项D是真命题，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 6．（23-24八年级上·安徽·期末）“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【知识点】倒数、写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】本题考查的是命题的逆命题，真假命题的判定，先写出命题的逆命题，再判断即可. 【详解】解：命题“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 “如果，那么，互为倒数”， 逆命题是真命题； 故答案为：真 7.“等边对等角”的逆命题是 ． 【答案】等角对等边 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题与定理，交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题． 【详解】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边； 故答案为：等角对等边． 8．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）写出命题“如果，，那么”的逆命题： ． 【答案】如果，那么， 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查根据原命题写逆命题，将原命题的结论改为条件，条件改为结论即可得出逆命题． 【详解】解：“如果，，那么”的逆命题：如果，那么，， 故答案为：如果，那么，． 9.已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设 ． 【答案】 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，的反面是． 【详解】解：已知中，， 求证：， 运用反证法证明这个结论，第一步应先假设， 故答案为：． 三、解答题 10.一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”： （1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假． 【答案】（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题． 【分析】（1）首先判断出命题的条件和结论，然后改写成“如果……那么……”的形式即可； （2）首先根据逆命题的定义求解，然后判定逆命题是否正确即可． 【详解】解：（1）∵原命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， ∴命题“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． （2）“对顶角相等”的逆命题是：“相等的角是对顶角”， ∵相等的角不一定是对顶角， ∴它是假命题． 【点睛】此题考查了逆命题的概念以及真假命题的判断，解题的关键是熟练掌握逆命题的概念以及真假命题的定义． 11．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)是题设，是结论；逆命题是：如果，那么 (2)假命题，见解析． 【知识点】写出命题的逆命题、举例说明假（真）命题、写出命题的题设与结论、判断命题真假 【分析】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）命题的题设为，“那么”后面为结论，再交换题设和结论得到原命题的逆命题； （2）命题是假命题，举出一个反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵命题“如果，那么． ∴是题设，是结论； 逆命题是：如果，那么． （2）解：命题是假命题， 反倒：，但是3不等于． 12．（19-20八年级下·陕西渭南·期中）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角． 求证：∠1＝∠A+∠B．    【答案】见解析 【知识点】用反证法证明命题、三角形内角和定理的证明 【分析】首先假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和，根据三角形的内角和等于180°，得到矛盾，所以假设不成立，进而证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【详解】已知：如图，∠1是△ABC的一个外角， 求证：∠1＝∠A+∠B， 证明：假设∠1≠∠A+∠B， 在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，如下图所示：    ∴∠A+∠B＝180°﹣∠2， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠2， ∴∠1＝∠A+∠B， 与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B． 【点睛】本题考查了反证法的运用，反证法的一般解题步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$