4.1-4.2 等式与方程、一元一次方程及其解法（知识精讲+易错点拨+9个考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版新教材数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第4章《一元一次方程》】 4.1-4.2 等式与方程、一元一次方程及其解法 （知识精讲+易错点拨+9个考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：判断各式是否是方程 3 考点讲练2：列方程 4 考点讲练3：方程的解 5 考点讲练4：等式的性质 5 考点讲练5：一元一次方程的定义 6 考点讲练6：解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 7 考点讲练7：解一元一次方程（二）—去括号 8 考点讲练8：去分母 9 考点讲练9：解一元一次方程——拓展 10 中等题真题汇编练 10 培优题真题汇编练 12 新知精讲梳理 知识点01：一元一次方程的概念 1．方程： 叫做方程． 2．一元一次方程：只含有 （元），未知数的次数都是 ，这样的方程叫做一元一次方程． 知识要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个 未知数的次数为 ； ②未知数所在的式子是 ，即分母中不含未知数． 3．方程的解： 叫做这个方程的解． 4．解方程： 叫做解方程． 知识点02：等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1： ，结果仍相等． 等式的性质2： ，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数 保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点03：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的 (2)去括号：依据 ，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边， 移到方程另一边． (4)合并：逆用 ，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 (a≠0)的形式． (5)系数化为1： 得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若 相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 高频易错知识点拨 易错知识点01：等式的概念混淆 学生可能会混淆等式与方程的概念，认为它们之间没有区别。实际上，等式是表示两个量相等的数学表达式，而方程则是包含未知数的等式。 易错知识点02：等式的性质误解 对于等式的性质，特别是等式的传递性和等式的两边可以同时进行相同的运算这两点，学生可能会有误解或忽略。 易错知识点03：方程与等式的区分 学生可能难以区分方程和等式，尤其是在解决复杂问题时。方程是包含至少一个未知数的等式，而等式则不一定包含未知数。 易错知识点04：一元一次方程的定义 学生可能对一元一次方程的定义有误解，例如，他们可能认为任何包含一个未知数的方程都是一元一次方程，而实际上一元一次方程指的是只含有一个未知数且未知数的指数为1的方程。 易错知识点05：解一元一次方程的步骤 在解一元一次方程时，学生可能会忽略或错误地执行某些步骤，如移项、合并同类项、化系数为1等。 易错知识点06：移项时的符号错误 学生在移项时可能会忘记改变项的符号，这是一个常见的错误。例如，将方程中的“+x”移到等式的另一边时，应变为“-x”。 易错知识点07：合并同类项时的错误 在合并同类项时，学生可能会错误地相加或相减项，或者忽略某些项。 化系数为1时的错误：在化系数为1时，学生可能会错误地除以或乘以某个数，导致解的错误。 易错知识点08：解方程时的计算错误 在解方程的过程中，学生可能会因为计算错误（如算术错误、运算顺序错误等）而得到错误的解。 易错知识点09：对解的实际意义理解不足 学生可能只关注于数学上的解，而忽略了这个解在实际问题中的意义。例如，在解决实际问题时，得到的解可能是负数，但在实际情况下这个负数可能没有实际意义。 考点讲练1：判断各式是否是方程 【精讲题】（24-25七年级上·全国·假期作业）下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【举一反三练1】．（23-24六年级下·全国·假期作业）已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三练2】（20-21七年级·全国·假期作业）下列各式是方程的有 ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【举一反三练3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 考点讲练2：列方程 【精讲题】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（22-23七年级下·河南开封·期末）《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【举一反三练3】（21-22七年级上·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 考点讲练3：方程的解 【精讲题】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是关于的方程的解，则代数式的值为 ． 【举一反三练1】（23-24七年级上·云南德宏·期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（    ） A． B．4 C． D．2 【举一反三练2】（23-24七年级上·福建福州·期末）若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值和为 ． 【举一反三练3】（24-25七年级上·全国·单元测试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 考点讲练4：等式的性质 【精讲题】（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（       ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【举一反三练1】（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）下列等式根据等式的变形正确的有（　　） ①若，则；② 若，则；③ 若，则；④ 若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练2】．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）下面利用等式性质对等式进行变形，错误的是（       ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 【举一反三练3】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点讲练5：一元一次方程的定义 【精讲题】（23-24七年级上·河南商丘·期末）已知 是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解倍，求k的值． 【举一反三练1】（23-24七年级上·安徽·期末）下列方程属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·全国·单元测试）如果是关于的一元一次方程，试求，的值． 【举一反三练3】（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则 ． 考点讲练6：解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【精讲题】（23-24七年级上·河南商丘·期末）解方程： (1) ； (2)． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【举一反三练2】（22-23七年级上·河南郑州·期末）（1）计算： ① ② （2）解方程： ① ② 【举一反三练3】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）定义运算：，其中a、b为任意两个数， k为常数．比如： ，若，则 ． 考点讲练7：解一元一次方程（二）—去括号 【精讲题】（22-23七年级下·河南驻马店·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) 【举一反三练1】（23-24七年级上·全国·单元测试）解方程： (1) ； (2)． 【举一反三练2】（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）解方程 (1) (2) 【举一反三练3】（23-24七年级上·安徽马鞍山·期末）解下列方程 (1) ； (2)； (2) ； (4)． 考点讲练8：去分母 【精讲题】（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： 【举一反三练1】（23-24七年级上·全国·单元测试）计算或解方程： (1) ． (2)； (2) ． (4) (5) 【举一反三练2】（23-24七年级上·云南昭通·期末）解方程： (1) ； (2)． 【举一反三练3】（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）解方程： (1) (2) 考点讲练9：解一元一次方程——拓展 【精讲题】（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【举一反三练1】（22-23七年级下·四川宜宾·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·安徽六安·期末）如果，那么关于x的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练3】（2024·河北邯郸·三模）已知关于x的方程的解比方程的解大5，求这两个方程的解． 中等题真题汇编练 1．（22-23七年级下·四川宜宾·开学考试）下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，去分母得 B．方程，去括号得 C．方程，系数化为1得 D．方程，移项得 2．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）若方程是一元一次方程，则（    ） A．或 B． C． D． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知 是方程的解，则a的值是（   ） A． B．3 C． D．2 4．（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）若，则的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．3或11 5．（23-24六年级上·山东青岛·期末）解方程 (1) (2) 6．（23-24七年级上·河南郑州·期末）下面是小颖解方程的过程： 解：________，得 （第一步） 去括号，得  （第二步） 移项，得   （第三步）   合并同类项，得      （第四步） 方程两边同除以，得   （第五步） 请认真阅读上面的过程，解答下列问题： (1)以上求解步骤中，第一步进行的是_______，这一步的依据是______； (2)以上求解步骤中，第_____步开始出现错误； (3)请写出正确的解方程过程． 7．（23-24七年级下·重庆·开学考试）（1）解方程：； （2）解方程：． 8．（21-22七年级上·全国·单元测试）若关于的方程和有相同的解，则 ． 9．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 10．（23-24七年级上·全国·单元测试）小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，于是他把被污染的数字求了出来，这个被墨水污染的数字是 ． 11．（23-24七年级上·全国·单元测试）若式子 与互为相反数，则 ． 培优题真题汇编练 12．（23-24七年级上·广西梧州·期末）下列各数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级上·河南商丘·期末）某校图书馆中1张桌子安排6个座位，按照如图所示的方式将桌子拼在一起，若要安排22个座位，则需要桌子的张数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．10 14．（23-24七年级上·山东淄博·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 15．（23-24七年级上·重庆荣昌·期末）从，，三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，称为一次操作．下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是7； ②若，，，且，，中最小值为，则或9； ③给定，，三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第次操作的结果是，，，则的值为定值．其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 16．（23-24七年级上·湖北随州·期末）规定一种新运算，则的解为 ． 17．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）已知关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 18．（23-24七年级上·天津·期末）解方程： (1)； (2)． 19．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知关于的方程的解与的解互为相反数， ． 20．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 21．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于的绝对值方程只有三个解，则 ． 22．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）观察下列两个等式：，，给出定义如下： 我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为． (1)通过计算判断数对“，2”，“7，”是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，求的值； (3)若是“共生有理数对”，请判断“，”是不是“共生有理数对”？并说明理由． 23．（23-24七年级上·河南周口·期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“奇妙数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“奇妙数”． (1)判断与是否互为“奇妙数”，并说明理由； (2)若有理数与互为“奇妙数”，与互为相反数，求代数式的值； (3)对于有理数且，设的“奇妙数”为；的倒数；的“奇妙数”为；的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 24．（22-23七年级上·浙江金华·阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 　 　． ①；②；③． (2)已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． 25．（22-23七年级上·湖北荆州·期末）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第4章《一元一次方程》】 4.1-4.2 等式与方程、一元一次方程及其解法 （知识精讲+易错点拨+9个考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：判断各式是否是方程 3 考点讲练2：列方程 6 考点讲练3：方程的解 7 考点讲练4：等式的性质 9 考点讲练5：一元一次方程的定义 11 考点讲练6：解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 13 考点讲练7：解一元一次方程（二）—去括号 16 考点讲练8：去分母 20 考点讲练9：解一元一次方程——拓展 24 中等题真题汇编练 27 培优题真题汇编练 32 新知精讲梳理 知识点01：一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 知识要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点02：等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点03：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 高频易错知识点拨 易错知识点01：等式的概念混淆 学生可能会混淆等式与方程的概念，认为它们之间没有区别。实际上，等式是表示两个量相等的数学表达式，而方程则是包含未知数的等式。 易错知识点02：等式的性质误解 对于等式的性质，特别是等式的传递性和等式的两边可以同时进行相同的运算这两点，学生可能会有误解或忽略。 易错知识点03：方程与等式的区分 学生可能难以区分方程和等式，尤其是在解决复杂问题时。方程是包含至少一个未知数的等式，而等式则不一定包含未知数。 易错知识点04：一元一次方程的定义 学生可能对一元一次方程的定义有误解，例如，他们可能认为任何包含一个未知数的方程都是一元一次方程，而实际上一元一次方程指的是只含有一个未知数且未知数的指数为1的方程。 易错知识点05：解一元一次方程的步骤 在解一元一次方程时，学生可能会忽略或错误地执行某些步骤，如移项、合并同类项、化系数为1等。 易错知识点06：移项时的符号错误 学生在移项时可能会忘记改变项的符号，这是一个常见的错误。例如，将方程中的“+x”移到等式的另一边时，应变为“-x”。 易错知识点07：合并同类项时的错误 在合并同类项时，学生可能会错误地相加或相减项，或者忽略某些项。 化系数为1时的错误：在化系数为1时，学生可能会错误地除以或乘以某个数，导致解的错误。 易错知识点08：解方程时的计算错误 在解方程的过程中，学生可能会因为计算错误（如算术错误、运算顺序错误等）而得到错误的解。 易错知识点09：对解的实际意义理解不足 学生可能只关注于数学上的解，而忽略了这个解在实际问题中的意义。例如，在解决实际问题时，得到的解可能是负数，但在实际情况下这个负数可能没有实际意义。 考点讲练1：判断各式是否是方程 【精讲题】（24-25七年级上·全国·假期作业）下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【思路点拨】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 【规范解答】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 【举一反三练1】．（23-24六年级下·全国·假期作业）已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是方程的定义，根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【规范解答】解：不是等式，所以它不是方程； 是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程； 不是等式，所以它不是方程； 都具备方程的两个条件，所以都是方程． 故选：C． 【举一反三练2】（20-21七年级·全国·假期作业）下列各式是方程的有 ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【答案】②③④ 【思路点拨】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断． 【规范解答】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程； ②＋y＝5，是方程； ③x2﹣2x＝1，是方程； ④x2﹣2x＝x﹣y，是方程； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程； 故答案为：②③④． 【考点评析】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键． 【举一反三练3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【思路点拨】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【规范解答】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【考点评析】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 考点讲练2：列方程 【精讲题】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意列出方程即可． 【规范解答】解：表示“比它的多3”，可列方程为． 故选：B． 【举一反三练1】（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据条件x与5的和的3倍即为，x的少2即为，然后列出等量关系即可 【规范解答】解：由题意可得：， 故选：C 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系． 【举一反三练2】（22-23七年级下·河南开封·期末）《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【答案】B 【思路点拨】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【规范解答】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 【考点评析】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 【举一反三练3】（21-22七年级上·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）根据题意，男生人数为，也可以表示为，因此列出方程即可； （2）根据题意，售价为，现售价为，因为现售价为每件元，即可列出方程． 【规范解答】（1）解：根据题意， （2）解：根据题意， ， 【考点评析】本题考查了列一元一次方程等知识内容，正确理解并列出等价的方程是解题的关键． 考点讲练3：方程的解 【精讲题】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是关于的方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解和代数式求值，熟练掌握解一元一次方程是解决问题的关键． 先根据一元一次方程的解求出与的关系，再代入求解即可； 【规范解答】解： 是关于的方程的解， 即， ， ， 故答案为： 【举一反三练1】（23-24七年级上·云南德宏·期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【思路点拨】本题考查了方程的解，将代入求解即可． 【规范解答】解：将代入， 得：， 解得：， 故选：C． 【举一反三练2】（23-24七年级上·福建福州·期末）若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值和为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了此题考查了一元一次方程的解，先求出方程的解，根据解为整数，为整数，求出值，进行计算即可，正确的求出方程的解是解题的关键． 【规范解答】解：， ， ， ， ∵方程有非负整数解，且为整数， ∴或或， 解得：为或或， ∴的值和为， 故答案为：． 【举一反三练3】（24-25七年级上·全国·单元测试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】7 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，先根据一元一次方程解的定义是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再根据进行求解即可． 【规范解答】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：7． 考点讲练4：等式的性质 【精讲题】（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（       ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【答案】D 【思路点拨】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【规范解答】解：、如果，则或，原选项变形错误，不符合题意； 、如果，当时，则，原选项变形错误，不符合题意； 、如果，当时，则，原选项变形错误，不符合题意； 、如果，则，原选项变形正确，符合题意； 故选：． 【举一反三练1】（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）下列等式根据等式的变形正确的有（　　） ①若，则；② 若，则；③ 若，则；④ 若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查等式的基本性质，根据等式的基本性质，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：若，则；故①正确； 若，且，则；故②错误； 若，则，故；故③正确； 若，因为，故；故④正确； 故选C． 【举一反三练2】．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）下面利用等式性质对等式进行变形，错误的是（       ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【思路点拨】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：①等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．根据等式的性质逐个判断即可． 【规范解答】解：A、若，则，正确，不符合题意； B、，则，前提是，选项错误，符合题意； C、若，则，正确，不符合题意； D、若，则，正确，不符合题意； 故选：B． 【举一反三练3】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【思路点拨】本题考查了等式的性质，等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；等式两边都成一或除以同一个不为0的数，结果仍是等式．据此进行解答即可． 【规范解答】解：A、若，则，变形正确，不符合题意； B、若，则，变形正确，不符合题意； C、若，则，变形正确，不符合题意； D、若，当时，无意义，变形错误，符合题意； 故选：D． 考点讲练5：一元一次方程的定义 【精讲题】（23-24七年级上·河南商丘·期末）已知 是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解倍，求k的值． 【答案】(1)a的值是3，方程的解是 (2)k的值是 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解，一元一次方程的定义和绝对值等知识点，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，，求出，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可； （2）先解出，带入即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：，， 且， ， 将代入方程得：，解得：， 答：a的值是3，方程的解是； （2）由题意得：， 将代入方程得：， 解得：， 答：k的值是． 【举一反三练1】（23-24七年级上·安徽·期末）下列方程属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可求解，熟记：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【规范解答】A．不是一元一次方程，不符合题意； B．是一元一次方程，符合题意； C．不是一元一次方程，不符合题意； D．不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 【举一反三练2】（23-24七年级上·全国·单元测试）如果是关于的一元一次方程，试求，的值． 【答案】，或 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，解含绝对值的方程，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可得出，，再求解即可． 【规范解答】解：是关于的一元一次方程， ，， 解得：，或． 【举一反三练3】（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的定义和绝对值，正确掌握一元一次方程的定义和绝对值的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，得到和，解之即可得到答案． 【规范解答】解：根据题意得： ， 解得或， 因为， 所以， 综上可知：． 故答案为：1． 考点讲练6：解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【精讲题】（23-24七年级上·河南商丘·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案． 【规范解答】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，再由“兄弟方程”的定义得到关于x的方程：的解为，据此把代入方程中求出m的值即可； （2）根据“兄弟方程”的定义得到另一个解为，进而得到或，解方程即可； （3）解方程得，解方程得，根据“兄弟方程”的定义得到，解方程即可． 【规范解答】（1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为6， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得． 【举一反三练2】（22-23七年级上·河南郑州·期末）（1）计算： ① ② （2）解方程： ① ② 【答案】 （1）①44；② （2）①；② 【思路点拨】本题考查有理数混合运算，解一元一次方程，熟练掌握有理和混合运算法则与顺序、解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）①先计算除法与乘法，再计算加法即可； ②先计算乘方并计算绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． （2）①按移项，合并同类项，系数化1的步骤求解即可； ②按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤求解即可． 【规范解答】（1）①解：原式 ； ②解：原式 ． （2）①解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； ②解： 去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 【举一反三练3】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）定义运算：，其中a、b为任意两个数， k为常数．比如： ，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了有理数的四则混合运算和解一元一次方程，根据得到方程，解方程得到，再计算即可． 【规范解答】解：由， 解得， ∴， 故答案为： 考点讲练7：解一元一次方程（二）—去括号 【精讲题】（22-23七年级下·河南驻马店·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程． （1）按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的顺序进行解答即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的顺序进行解答即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的顺序进行解答即可； 【规范解答】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． 【举一反三练1】（23-24七年级上·全国·单元测试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）去括号，然后移项合并，最后系数化为1即可； （2）先去分母，然后去括号，移项合并，最后系数化为1即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， 解得，． 【举一反三练2】（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）先去括号，再加减即可得； （2）先将小数化成整数，再去分母，然后去括号，计算加减即可得． 【规范解答】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ，即， ， ， ， ， ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·安徽马鞍山·期末）解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】此题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握．解一元一次方程的基本思路是：通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程“转化”为（a为常数）的形式． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （4）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【规范解答】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 方程可变形为， 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：． 考点讲练8：去分母 【精讲题】（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： 【答案】 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可解决． 【规范解答】解：， 原方程化为：， 去分母，得：， 去括号得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得． 【举一反三练1】（23-24七年级上·全国·单元测试）计算或解方程： (1)． (2)； (3)． (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）根据去括号，合并同类项，即可求解； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减，即可求解； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减，即可求解； （4）根据合并同类项，化系数为1，即可求解； （5）根据去分母，去括号，合并同类项，化系数为1，即可求解． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）， ， ， ， ； （3）， ， ， ； （4）解：， ， ， ； （5）解：， ， ， ， ， ． 【举一反三练2】（23-24七年级上·云南昭通·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤成为解题的关键． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 【举一反三练3】（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程， （1）移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； 掌握解方程的步骤是解题的关键． 【规范解答】（1）解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 考点讲练9：解一元一次方程——拓展 【精讲题】（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于的方程，再求解； （3）由关于的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵关于的方程与方程是“美好方程” ∴， ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为，其中一个解为， ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于的一元一次方程的解为： ∴关于的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 【举一反三练1】（22-23七年级下·四川宜宾·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解，根据第一个方程的解是得出关于的一元一次方程中，再求出即可． 【规范解答】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程中， 解得：， 即关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·安徽六安·期末）如果，那么关于x的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，将代入方程求解即可． 【规范解答】解：当时，方程为， 解得， 故选：A． 【举一反三练3】（2024·河北邯郸·三模）已知关于x的方程的解比方程的解大5，求这两个方程的解． 【答案】方程的解为，方程的解为 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解的定义． 首先由方程，用表示，然后由第二个方程，再用表示，此时两个的值相差5，可得方程求出的值，进而即可求得方程的解． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：． 由， 解得：， 关于的方程的解比方程的解大5， ， 解得， ， ， 这两个方程的解为和． 中等题真题汇编练 一、中等 1．（22-23七年级下·四川宜宾·开学考试）下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，去分母得 B．方程，去括号得 C．方程，系数化为1得 D．方程，移项得 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．根据等式的性质，逐项判断即可． 【规范解答】解：方程，去分母得， 选项A符合题意； 方程，去括号得， 选项B不符合题意； 方程，系数化为1得， 选项C不符合题意； 方程，移项得， 选项D不符合题意． 故选：A． 2．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）若方程是一元一次方程，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的定义．根据只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程列出关于的方程求解即可得出答案． 【规范解答】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， 解得：． 故选：C． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知 是方程的解，则a的值是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【思路点拨】本题考查方程的解，掌握使方程左右两边相等的未知数值叫方程的解是解题的关键． 直接把代入方程，得到关于a的方程求解即可． 【规范解答】解：把代入方程，得 ， 解得：， 故选：A． 4．（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）若，则的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．3或11 【答案】C 【思路点拨】根据绝对值的意义，去掉绝对值后，解方程即可. 本题考查了绝对值方程，一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键. 【规范解答】解：， 故或， 解得或. 故选C. 5．（23-24六年级上·山东青岛·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查一元一次方程的解法； （1）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． 【规范解答】（1） 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化1得： （2） 整理得： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化1得： 6．（23-24七年级上·河南郑州·期末）下面是小颖解方程的过程： 解：________，得 （第一步） 去括号，得  （第二步） 移项，得   （第三步）   合并同类项，得      （第四步） 方程两边同除以，得   （第五步） 请认真阅读上面的过程，解答下列问题： (1)以上求解步骤中，第一步进行的是_______，这一步的依据是______； (2)以上求解步骤中，第_____步开始出现错误； (3)请写出正确的解方程过程． 【答案】(1)去分母；等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式 (2)三 (3)，过程见解析 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的基本性质解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【规范解答】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式 故答案为：去分母；等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式； （2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误； 故答案为：三； （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 7．（23-24七年级下·重庆·开学考试）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【规范解答】解：（1）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1得，； （2）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1得，． 8．（21-22七年级上·全国·单元测试）若关于的方程和有相同的解，则 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了方程的解的定义，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 解方程，把方程的解代入即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值． 【规范解答】解：解方程得：， 把代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 9．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 【答案】2或3或4或7 【思路点拨】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【规范解答】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于的方程的解为正整数， 为正整数， 或或或 或或或． 故答案为：2或3或4或7 10．（23-24七年级上·全国·单元测试）小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，于是他把被污染的数字求了出来，这个被墨水污染的数字是 ． 【答案】 【思路点拨】本题重点考查了一元一次方程的解法以及方程的解的意义，本题的关键是掌握一元一次方程的基本解法．知道方程的解，根据方程的解的意义，把方程的解代入到原方程中，从而得到一个新的方程，再求解即可． 【规范解答】解：是方程的解， ， 解得：， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·全国·单元测试）若式子 与互为相反数，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了互为相反数的性质，解一元一次方程，熟练掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键．利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【规范解答】解：根据题意得： 故答案为：2． 培优题真题汇编练 12．（23-24七年级上·广西梧州·期末）下列各数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解，能正确根据等式的基本性质进行变形是解题的关键； 根据解方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【规范解答】 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化成1，得：． 故选：C． 13．（23-24七年级上·河南商丘·期末）某校图书馆中1张桌子安排6个座位，按照如图所示的方式将桌子拼在一起，若要安排22个座位，则需要桌子的张数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．10 【答案】A 【思路点拨】本题考查了图形的变化类，解一元一次方程；先计算有1、2、3张桌子时的人数，找到规律，再用方程计算求解． 【规范解答】解：一张桌子可以安排（人）， 2张桌子可以安排（人）， 3张桌子可以安排（人）， ……， n张桌子可以安排人， ∴， 解得：， 故选：A． 14．（23-24七年级上·山东淄博·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【思路点拨】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．先把方程转化为．由题意，可知，再由求y即可． 【规范解答】解：把方程转化为， 对比一元一次方程可知， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， ∴， 故选：D 15．（23-24七年级上·重庆荣昌·期末）从，，三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，称为一次操作．下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是7； ②若，，，且，，中最小值为，则或9； ③给定，，三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第次操作的结果是，，，则的值为定值．其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【思路点拨】本题考查数字变化的规律，能根据所给计算方式发现规律是解题的关键．根据题中所给计算方式，依次进行计算即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 因为，，， 所以，，， 则， 所以，，三个数中最大的数是7； 故①正确． 因为，，， 所以，，． 又因为，，中最小值为， 若， 解得， 此时，，且，故符合题意． 若， 解得， 此时，，故不符合题意． 若， 解得， 此时，，且，故符合题意． 所以或9． 故②正确． 由题知， ； ； ， 依次类推，； 所以的值为定值． 故③正确． 故选：A 16．（23-24七年级上·湖北随州·期末）规定一种新运算，则的解为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次方程、新运算法则等知识点，掌握一元一次方程的解法成为解题的关键． 先根据新运算法则化简方程，然后再解一元一次方程即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：4． 17．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）已知关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查解一元一次方程的拓展，掌握解一元一次方程的一般步骤和换元法是解题的关键．令，则可化为，从而得到，继而得解． 【规范解答】解：令， 则可化为， ∵关于x的一元一次方程 的解为， ∴的解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 18．（23-24七年级上·天津·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【规范解答】（1）解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 19．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知关于的方程的解与的解互为相反数， ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查解一元一次方程，先求出两个方程的解，再根据两个方程的解互为相反数，列出关于的方程，进行求解即可． 【规范解答】解：解方程，得：， 解方程， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 已知两方程的解互为相反数， ， ， ， ． 20．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解方程可得，由“美好方程”的定义可得方程的解为，将方程变形为，可得，据此即可求解，利用同解方程的意义解答是解题的关键． 【规范解答】解：解方程得，， ∵方程与是“美好方程”， ∴方程的解为， 将方程变形为， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于的绝对值方程只有三个解，则 ． 【答案】 【思路点拨】首先根据绝对值的意义得到或，解方程得到或或或，当时，方程只有两个解，不符合题意，则，由方程只有三个解得到，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：∵ ∴或， ∴或， ∴或或或， ∴或或或， 当时，则，即此时方程只有两个解，不符合题意； ∴， ∴， ∵关于的绝对值方程只有三个解， ∴， ∴ 故答案为：． 【考点评析】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，正确理解绝对值的意义是关键． 22．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）观察下列两个等式：，，给出定义如下： 我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为． (1)通过计算判断数对“，2”，“7，”是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，求的值； (3)若是“共生有理数对”，请判断“，”是不是“共生有理数对”？并说明理由． 【答案】(1)“，”是“共生有理数对”；“，”不是“共生有理数对” (2) (3)是，理由见解析 【思路点拨】本题考查有理数的四则运算、“共生有理数对”的定义及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据“共生有理数对”的定义判断即可； （2）根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题； （3）根据“共生有理数对”的定义判断即可； 【规范解答】（1）解：由题意得：，， ， 故“，”不是“共生有理数对”； ，， ， ∴“，”是“共生有理数对”； （2）解：由题意可知，， 解得：； （3）解：是，理由如下： ， ， 是“共生有理数对”， ， ，   ∴ “，”是“共生有理数对”． 23．（23-24七年级上·河南周口·期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“奇妙数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“奇妙数”． (1)判断与是否互为“奇妙数”，并说明理由； (2)若有理数与互为“奇妙数”，与互为相反数，求代数式的值； (3)对于有理数且，设的“奇妙数”为；的倒数；的“奇妙数”为；的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题考查有理数的运算，代数式求值，数字类规律探究，掌握“奇妙数”的定义，是解题的关键． （1）根据“奇妙数”的定义，进行判断即可； （2）根据“奇妙数”的定义，得到，相反数的定义，得到，将代数式化简后，整体代入法求值即可； （3）先求出前几个数，得到这组数6个为一组进行循环，进而求出的值即可． 【规范解答】（1）解：是，理由如下： ∵，， ∴； 故与互为“奇妙数”； （2）∵与互为“奇妙数”，与互为相反数， ∴，， ∴ ； （3）当，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴这组数6个为一组进行循环， ∵， ∴． 24．（22-23七年级上·浙江金华·阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 　 　． ①；②；③． (2)已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． 【答案】(1)② (2) (3)32 【思路点拨】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案； （3）根据和解方程得出方程的解与，再整体代入代数式求值即可． 【规范解答】（1）解：①＝的解是， ∵， ∴①不是“和解方程”； ②的解是， ∵， ∴②是“和解方程”； ③的解是， ∵， ∴③不是“和解方程”； 故答案为：②． （2）∵， ∴， ∴， ∵即是“和解方程”， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴，（①式） ∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴，（②式）， 由①-②得：， ∴ ． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的解的应用，新定义运算，求解代数式的值，正确理解新定义再建立新的方程求解是解题的关键． 25．（22-23七年级上·湖北荆州·期末）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 【答案】(1)3 (2) (3)4，6，18 【思路点拨】（1）先求出的解，再将方程的解代入，求出的值即可； （2）由得，，利用整体思想，将代入，求出的值即可； （3）求出方程的解，根据方程是“立信方程”得到方程的解为整数，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：，解得：， ∵的解也是关于的方程的解， ∴，解得：； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∵关于的方程的解也是“立信方程”的解， ∴， ∴，解得：； （3），解得：， ∵是“立信方程”， ∴是整数， ∴或， 解得：或或（不合题意，舍去）或， ∴符合要求的正整数的值为． 【考点评析】本题考查方程的解，解一元一次方程．理解并掌握方程的解的定义，“立信方程”的定义，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$