专题02 等式与不等式（七大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题02 等式与不等式（七大题型+优选提升题） 等式与不等式的性质 一、填空题 1．（22-23高一上·上海静安·期中）下列命题是正确序号 . ①若，则；     ②若，则； ③若，则；  ④若，则 2．（23-24高一上·上海普陀·期中）对于实数、、中，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则﹔ ⑥若，则﹔ ⑦若﹐则； ⑧若，，则，． 其中正确的命题是 ． 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）设为实数，则下列命题为真命题的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）若，，则的大小关系为 ． 5．（21-22高一上·上海松江·期末）设、为实数，比较两式的值的大小： （用符号或=填入划线部分）． 6．（22-23高一上·上海黄浦·期中）已知，，则的取值范围是 ． 一元一次不等式的解集、一元二次方程根与系数的关系 7．（21-22高一上·上海徐汇·期中）不等式的解为 ． 8．（23-24高一上·上海·期中）若不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 9．（20-21高一上·上海杨浦·期中）已知的解集为，则不等式的解集为 . 10．（22-23高一上·上海静安·期中）已知是方程的两根，则 ． 11．（21-22高一上·上海虹口·期中）关于的方程的两个根为素数，则 ． 12．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数n的值为 ． 13．（21-22高一上·上海浦东新·期末）已知是关于的方程的两个根，则 . 14．（20-21高一上·上海浦东新·期中）已知一元二次方程的两个实根为，且，则m= ； 15．（20-21高一上·上海嘉定·期中）关于的方程两个根同号，则的取值范围是 一元二次不等式、分式不等式的解集及应用 16．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 17．（21-22高一上·上海黄浦·期中）不等式的解集是 ． 18．（22-23高一上·上海静安·期中）关于的不等式解集为，则实数 ． 19．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 20．（21-22高二上·上海宝山·期中）设：，：，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是 . 21．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）关于的不等式的解集为，则下列说法正确的个数是（    ）个. ①；②关于的不等式的解集为；③；④关于的不等式的解集为. A．1 B．2 C．3 D．4 22．（2022秋-江苏常州-高一江苏省前黄高级中学校考期中）若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 . 平均值不等式及应用 23．（24-25高一上·上海·期中）若正实数a、b的几何平均值为，则2a与b的算术平均值的最小值为 ． 24．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知集合；；；，则（    ） A．p是的充要条件 B．p是的充要条件 C．p是的充要条件 D．以上都不对 25．（2022秋-江苏盐城-高一江苏省上冈高级中学校联考期中）设实数，，且满足，则的最小值为 26．（23-24高一上·上海·期中）已知正实数a、b满足，则的最小值为 . 27．（23-24高一上·上海松江·期中）关于x的不等式的解集是，则不等式的解集为 . 28．（23-24高一上·上海·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 29．（23-24高一上·上海·期中）已知正实数、满足，则的最大值为 ． 30．（23-24高一上·上海普陀·期中）下列命题中正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 31．（23-24高三上·上海·期中）已知，，且，则的取值范围为 . 32．（23-24高三上·上海·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 绝对值（三角)不等式 33．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 34．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 35．（23-24高一上·上海·期中）已知，则“成立”是“成立”的 条件. 36．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 . 题型06 存在性、恒成立问题 38．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ． 39．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 40．（23-24高一上·上海松江·期中）若存在，使得成立（其中），则实数的取值范围为 . 题型07 解答综合题 41．（23-24高一下·上海杨浦·期中）解下列不等式： (1) (2) 42．（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 43．（23-24高一上·上海·期中）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.    (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 44．（23-24高三上·上海·期中）已知，关于x的不等式． (1)若，且，求解该不等式； (2)若该不等式解集为，求a的取值范围． 45．（23-24高一上·上海·期中）已知，． (1)比较与的大小； (2)若，求的最小值． 46．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知关于的不等式的解集为或. (1)求的值； (2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围. 47．（23-24高一上·上海·期中）已知，，. (1)求ab的最大值； (2)求的最小值； (3)若不等式对于任意及条件中的任意a、b恒成立，求实数m的取值范围. 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·开学考试）已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是 . 2．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 4．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 5．（23-24高一上·上海宝山·期中）定义：关于的不等式的解集叫的邻域.若的邻域为区间，则，时，的最小值是 . 6．（21-22高三上·上海黄浦·期中）当且仅当（其中）时，函数的图像在函数图像的下方，则的取值范围为 . 二、单选题 7．（23-24高一上·上海·期中）已知不等式恒成立，则实数不可能是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 8．（23-24高一上·上海·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，很多代数公理、定理都可以根据这一原理实现证明，也称为“无字证明”．如图，是圆的直径，点为圆心，点是线段上的一点，且．过点作垂直于的半弦，连接，过点作垂直于点，则根据该图形我们可以完成的无字证明有：（    ）    ① ② ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 三、解答题 9．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等式与不等式（七大题型+优选提升题） 等式与不等式的性质 1．（22-23高一上·上海静安·期中）下列命题是正确序号 . ①若，则；     ②若，则； ③若，则；  ④若，则 【答案】② 【分析】根据不等式的性质判断①②④，利用特殊值判断③； 【解析】解：对于①：不等式，若，解得，若，解得，故①错误； 对于②：若，显然，则，所以，故②正确； 对于③：当，，，时满足，，但是，，显然，故③错误； 对于④：因为，当时，故④错误； 故答案为：② 2．（23-24高一上·上海普陀·期中）对于实数、、中，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则﹔ ⑥若，则﹔ ⑦若﹐则； ⑧若，，则，． 其中正确的命题是 ． 【答案】②③⑥⑦⑧ 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法、作差法逐项判断，可得出结果. 【解析】对于①，取，则，①错； 对于②，若，则，由不等式的基本性质可得，②对； 对于③，若，则，，即，③对； 对于④，若，则，由不等式的基本性质可得，即，④错； 对于⑤，若，则，即，⑤错； 对于⑥，若，则，即，⑥对； 对于⑦，因为，则，， 所以，，即，⑦对； 对于⑧，若，，所以，，则，⑧对. 故答案为：②③⑥⑦⑧. 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）设为实数，则下列命题为真命题的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】结合不等式的性质举反例进行判断即可． 【解析】对于A项，显然正确； 对于B项，当时，有，故B项错误； 对于C项，当时，满足，但此时，故C项错误； 对于D项，当时，满足，但此时，故D项错误， 故选：A 4．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）若，，则的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】作差法比较大小即可. 【解析】因为，， 所以， 所以. 故答案为: . 5．（21-22高一上·上海松江·期末）设、为实数，比较两式的值的大小： （用符号或=填入划线部分）． 【答案】 【分析】利用作差比较法求得正确答案. 【解析】因为，时等号成立， 所以． 故答案为： 6．（22-23高一上·上海黄浦·期中）已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由不等式的基本性质求解即可 【解析】解：，， 则，， 故由不等式的可加性可知，， 故的取值范围是． 故答案为：． 一元一次不等式的解集、一元二次方程根与系数的关系 7．（21-22高一上·上海徐汇·期中）不等式的解为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解． 【解析】因为，所以原不等式的解为． 故答案为：． 8．（23-24高一上·上海·期中）若不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】分析可知，且方程的解为，可得出，再利用分式不等式的解法可得出不等式的解集. 【解析】因为不等式的解集为，则且方程的解为， 所以，，可得，则即为，即， 等价于，解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 9．（20-21高一上·上海杨浦·期中）已知的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分析可知是方程的解，且有，得出、的等量关系，化简不等式，即可得解. 【解析】因为的解集为，则， 所以，且，故， 不等式即为，即，解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 10．（22-23高一上·上海静安·期中）已知是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【解析】因为一元二次方程的判别式， 所以该方程有两个不相等的实数根，则有， 因此， 故答案为： 11．（21-22高一上·上海虹口·期中）关于的方程的两个根为素数，则 ． 【答案】 【分析】设关于x的方程的两根分别为，由韦达定理得，则中一个是偶数一个是奇数，从而得，进而求出参数． 【解析】设关于x的方程的两根分别为，且 则因为均为素数，所以中一个是偶数一个是奇数， 故，所以． 故答案为：． 12．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数n的值为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出关于实数n的方程，解之即可得出答案. 【解析】一元二次方程的两个实根分别为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 13．（21-22高一上·上海浦东新·期末）已知是关于的方程的两个根，则 . 【答案】4 【分析】由条件可得，，然后利用算出答案即可. 【解析】因为是关于的方程的两个根， 所以，，所以 故答案为：4 14．（20-21高一上·上海浦东新·期中）已知一元二次方程的两个实根为，且，则m= ； 【答案】或 【分析】先利用韦达定理得到，再由求解. 【解析】因为一元二次方程的两个实根为， 所以， 因为， 所以，即， 解得或， 故答案为：或 15．（20-21高一上·上海嘉定·期中）关于的方程两个根同号，则的取值范围是 【答案】 【分析】利用计算即可. 【解析】 故答案为： 一元二次不等式、分式不等式的解集及应用 16．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式的求解步骤，可得答案. 【解析】不等式，等价于，则，解得， 所以该不等式的解集为. 故答案为：. 17．（21-22高一上·上海黄浦·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】直接利用不等式组的解法的应用求解即可. 【解析】不等式整理得，解得， 则不等式的解集是. 故答案为：. 18．（22-23高一上·上海静安·期中）关于的不等式解集为，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据韦达定理即可求解. 【解析】由题可知，是方程的两根， 根据韦达定理可知：，解得：， 所以. 故答案为：1 19．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用判别式法求解. 【解析】解：因为关于x的一元二次不等式的解集为空集， 所以，对恒成立， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为， 故答案为： 20．（21-22高二上·上海宝山·期中）设：，：，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题知：，再结合是的充分非必要条件，即求. 【解析】由，解得； ∵是的充分非必要条件，又：， ∴或， ∴. 故答案为：. 21．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）关于的不等式的解集为，则下列说法正确的个数是（    ）个. ①；②关于的不等式的解集为；③；④关于的不等式的解集为. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据解一元二次不等式的规则，得出三者之间的关系，进而判断每一个说法的正误，得出本题结果. 【解析】解：因为关于的不等式的解集为， 所以且和是的解，所以说法①正确； 由韦达定理得，，解得， 所以即为，故，所以说法②错误； ，所以说法③正确； 不等式即为， 即，解得， 所以不等式的解集为，所以说法④正确. 故选：C. 22．（2022秋-江苏常州-高一江苏省前黄高级中学校考期中）若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果. 【解析】由，可得， 由题意当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，为，则， 此时，与矛盾； 当时，即，不等式的解集为，不符合题意； 当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，可能为，或， 当为时，则，且，无解， 当整数解为时，，且， 解得； 综上知，实数的取值范围是. 故答案为： 平均值不等式及应用 23．（24-25高一上·上海·期中）若正实数a、b的几何平均值为，则2a与b的算术平均值的最小值为 ． 【答案】8 【分析】根据几何平均数求出，再利用基本不等式“积定，和最小”求解． 【解析】因为，所以 又因为，，所以,当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：8. 24．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知集合；；；，则（    ） A．p是的充要条件 B．p是的充要条件 C．p是的充要条件 D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据基本不等式和重要不等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】对于A，当时，有（当且仅当时等号成立）， 所以，即，即； 当时，满足，但， 所以p是的充分不必要条件，故A错误. 对于B，当时，有（当且仅当时等号成立）； 当时，满足时，但， 所以p是的充分不必要条件，故B错误； 对于C，当时，有（当且仅当时等号成立）， 即，即； 当时，满足，但， 所以p是的充分不必要条件，故C错误. 故选：D. 25．（2022秋-江苏盐城-高一江苏省上冈高级中学校联考期中）设实数，，且满足，则的最小值为 【答案】 【分析】由已知等式可得，将所求式子化为，利用基本不等式可求得结果. 【解析】由得：， ， ，，，， （当且仅当，时取等号）， . 故答案为：. 26．（23-24高一上·上海·期中）已知正实数a、b满足，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】利用基本不等式求最小值． 【解析】由已知，当且仅当，即时等号成立， 故答案为：2. 27．（23-24高一上·上海松江·期中）关于x的不等式的解集是，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由题意可得，且，可得，由此求得不等式的解集． 【解析】关于不等式的解集为， ，且， 可得，则不等式，即， 即，求得， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 28．（23-24高一上·上海·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由基本不等式求出最小值. 【解析】正实数满足，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 29．（23-24高一上·上海·期中）已知正实数、满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【解析】因为正实数、满足，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 30．（23-24高一上·上海普陀·期中）下列命题中正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】D 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【解析】对于A选项，当时，， 当且仅当，即当时，等号成立，A错； 对于B选项，因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 但，等号不成立，C错； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值是，D对. 故选：D. 31．（23-24高三上·上海·期中）已知，，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用重要不等式即可求出，从而得出结果. 【解析】因为，当且仅当时取等号， 所以， 故答案为：. 32．（23-24高三上·上海·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】36 【分析】将原式转化变形，利用基本不等式求解得结果. 【解析】，，， ，当且仅当即，时等号成立， 所以原式的最小值为36. 故答案为：36. 绝对值（三角)不等式 33．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】去绝对值即可，注意绝对值非负，解出即可. 【解析】 故答案为： 34．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分类讨论去掉绝对值符号即可得解. 【解析】当时，原不等式可化为，解得，又，； 当时，原不等式可化为，不等式成立； 当时，原不等式可化为，解得，又，； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 35．（23-24高一上·上海·期中）已知，则“成立”是“成立”的 条件. 【答案】充要 【分析】先证充分性，由求出的取值范围，再根据的取值范围化简即可，再证必要性,根据绝对值的性质可知． 【解析】充分性：若，则， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若，则， ， 所以“成立”是“成立”的充要条件. 故答案为：充要 36．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段去绝对值符号，再解一元二次不等式即得. 【解析】当时，不等式化为，解得或，因此或； 当时，原不等式化为，即，解得，因此， 所以原不等式的解集是. 故选：A 37．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求解含绝对值的不等式，再结合恰有3个整数解可得不等式组，解不等式组可得答案. 【解析】因为，所以，即， 由于不等式恰有3个整数解，则这三个整数解分别是2，3，4， 所以，解得， 故答案为：. 题型06 存在性、恒成立问题 38．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可. 【解析】结合题意知．即解得， 所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 39．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为，再利用基本不等式求的最小值可得答案. 【解析】不等式恒成立，即， 因为正实数满足，所以 ， 当且仅当即，时等号成立， 则实数的取值范围. 故答案为：. 40．（23-24高一上·上海松江·期中）若存在，使得成立（其中），则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】考虑，，三种情况，代入计算得到答案. 【解析】当时，，即，恒成立，故； 当时，，即，即，不成立； 当时，，即，解得，不成立； 综上所述：. 故答案为：. 题型07 解答综合题 41．（23-24高一下·上海杨浦·期中）解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接去绝对值符号解一元一次不等式即可； （2）移项化简分式不等式计算即可. 【解析】（1）由， 整理得，即； （2）由， 整理得，即. 42．（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）根据基本不等式可得证； （2）根据基本不等式“1”的妙用可得最值及取等条件. 【解析】（1）由， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由， 则， 当且仅当，即时等号成立． 43．（23-24高一上·上海·期中）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.    (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 【答案】(1)， (2)当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 【分析】（1）表达出单个矩形栏目的长度，进而求出y关于x的表达式，x的取值范围； （2）由基本不等式求出总面积最小值. 【解析】（1）单个矩形栏目的长度为， ， （2）由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 44．（23-24高三上·上海·期中）已知，关于x的不等式． (1)若，且，求解该不等式； (2)若该不等式解集为，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，由得，由得则，化简不等式，解出即可； （2）根据题意知，的解集为，的解集为，结合韦达定理及，解出即可. 【解析】（1）因为，且，故， 又，故则， 所以不等式可化为， 即，解得或 故不等式的解集为 （2）若不等式的解集为， 则的解集为,即在上恒成立， 故， 且的解集为，即是方程的两根， 则， 由， 得， 解得，又， 故a的取值范围为 45．（23-24高一上·上海·期中）已知，． (1)比较与的大小； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用作差法可得出与的大小关系； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解析】（1）解： . 因为，，则. 当时，，此时，； 当时，，此时，. 综上所述，当时，；当时，. （2）解：因为，，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 46．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知关于的不等式的解集为或. (1)求的值； (2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）得到为方程的两个根，由韦达定理求出答案； （2）在（1）的基础上，利用基本不等式“1”的妙用得到，只需，求出答案. 【解析】（1）由题意得为方程的两个根， 则，解得； （2）由（1）得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 要想恒成立，只需，解得， 故实数的取值范围是. 47．（23-24高一上·上海·期中）已知，，. (1)求ab的最大值； (2)求的最小值； (3)若不等式对于任意及条件中的任意a、b恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可； （2）根据基本不等式中“1”的整体代换计算即可； （3）由绝对值的三角不等式可得，再结合（2）将问题转化为即可. 【解析】（1）因为，，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为； （2）， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为； （3）由（2）得，即为， 又因， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·开学考试）已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由得，由基本不等式进而可得. 【解析】因，是正实数及，可知， 可得，得，得， 因，是正实数，故，得，当且仅当时等号成立， 故，故， 故，故， 故答案为： 2．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先若满足不等式恒成立，即，利用绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求的取值范围. 【解析】， 若满足不等式对于任意实数x恒成立， 即 ，即或 ， 解得：. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由函数定义域解不等式即可得，对在不同区间内的取值进行分类讨论即可求得不等式的解集. 【解析】根据题意可知，解得； 当时，易知，满足题意； 当时，，所以，符合题意； 当时，当时，，原不等式成立； 当时，，若要满足题意只需，解得，所以可得； 综上可知，原不等式的解集为. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由条件知与同解，再对分类讨论，结合二次函数的图象和性质求出实数的取值范围. 【解析】由，解得或， 由条件知与同解， 当时，显然不符合条件； 所以，或，即，或， 解得或，即. 所以的取值范围为. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海宝山·期中）定义：关于的不等式的解集叫的邻域.若的邻域为区间，则，时，的最小值是 . 【答案】 【分析】根据新定义，可得的解集，进而可得，再巧用“1”的代换，构建积定式，再利用基本不等式即可解决. 【解析】因为的邻域为区间， 所以的解集 可得， 解得：， 又解集为， 所以，即， 又，，即， , 当且仅当时即时取得等号， 则，时，的最小值是， 故答案为：. 6．（21-22高三上·上海黄浦·期中）当且仅当（其中）时，函数的图像在函数图像的下方，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】取，得到时，与相切，然后时，得到，然后根据的范围，进一步求得，最后进行计算即可. 【解析】取,则，当时， 所以可知与相切 当时，可得 所以或（舍，因为为此值时，当时图象不在图象下方） 由，当时， 令， 设两根分别为， 所以 当时， 令 所以 所以 又，所以 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对的取值以及分别用来表示. 二、单选题 7．（23-24高一上·上海·期中）已知不等式恒成立，则实数不可能是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】分类讨论出绝对值不等式的最值即可求解. 【解析】原式 时，原式恒成立 由于 当且仅当时，取得最小值8，即，则 时，原式恒成立 绝对值内用代替有 当且仅当时，取得最大值8，即，则 故 故选：D. 8．（23-24高一上·上海·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，很多代数公理、定理都可以根据这一原理实现证明，也称为“无字证明”．如图，是圆的直径，点为圆心，点是线段上的一点，且．过点作垂直于的半弦，连接，过点作垂直于点，则根据该图形我们可以完成的无字证明有：（    ）    ① ② ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据给定条件结合圆的有关性质、直角三角形射影定理用m，n表示出相关线段长即可判断作答. 【解析】在给定的图中没有表示的几何量，即①③不能根据给定图形完成无字证明； 对于②，，，由直角三角形射影定理得， 则，由于圆上任意弦的长度不大于直径，即， 于是得，即，②能完成无字证明； 对于④，因，，由直角三角形射影定理得， ，又，那么， ④能完成无字证明. 故选：D 三、解答题 9．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)时，取得最小值． 【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值； （2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件． （3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得． 【解析】（1）因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. （3）令，，由得， ， 又，所以， 构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$