4.1 指数（六大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

4．1 指数 课程标准 学习目标 1、理解n次方根、n次根式的概念． 2、能正确运用根式运算性质化简、求值． 3、体会分类讨论思想、符号化思想的作用． 1、数学抽象：根式的概念，分数指数幂的概念的掌握 2、逻辑推理：根式概念与方根概念二者之间的关系 3、数字运算：掌握有理数指数幂的运算性质，并能运 用性质进行计算和化简 4、直观想象：让学生感受由特殊到一般的数学思想方法 5、数学建模：通过对实际问题的探究过程，感受应用 数学解決问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化的思想在数学中的应用． 知识点01 整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习） 知识点02 根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 【即学即练2】（2023·河北石家庄·高一校考阶段练习）若，则 . 知识点03 分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 【即学即练3】（2023·江苏·高一专题练习）化简的值为 . 知识点04 有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点诠释： （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 【即学即练4】（2023·江苏·高一专题练习）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 题型一：由根式的意义求范围 【典例1-1】（2024·高一·全国·单元测试）若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是（    ） A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．x∈R 【方法技巧与总结】 使根式有意义 【变式1-1】（2024·高一·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·全国·课后作业）当有意义时，化简的结果是（    ） A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·高一·全国·课后作业）若有意义，则的取值范围是 . 题型二：利用根式的性质化简或求值 【典例2-1】（2024·高一·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 【方法技巧与总结】 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 【变式2-1】（2024·高一·上海·阶段练习）已知，化简： ． 【变式2-2】（2024·高一·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式2-4】（2024·高一·新疆乌鲁木齐·阶段练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】（2024·高一·江苏·单元测试）有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 题型三：有限制条件的根式的化简 【典例3-1】（2024·高一·浙江温州·阶段练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）化简下列各式． （1）＝ ； （2）＝ . 【变式3-2】（2024·高一·全国·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式3-3】（2024·高一·海南·期中）化简下列各式： （1）； （2）. 【变式3-4】（2024·高一·全国·课后作业）化简. 【变式3-5】（2024·高一·全国·课后作业）若代数式＋有意义，化简＋2. 题型四：根式与指数幂的互化 【典例4-1】（2024·高一·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂． 【变式4-1】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【变式4-3】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式4-4】（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值 【典例5-1】（2024·高一·天津·期中）（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【典例5-2】（2024·高三·全国·专题练习）计算： 【方法技巧与总结】 根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数． 【变式5-1】（2024·高一·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式5-2】（2024·高一·上海·课堂例题）化简下列各式（其中，）： (1)； (2)． 【变式5-3】（2024·高一·江苏·假期作业）计算下列各式． (1)； (2). 【变式5-4】（2024·高一·全国·课后作业）化简或求值： (1)； (2)； (3)； (4)（且）. 题型六：整体代换法求分数指数幂 【典例6-1】（2024·高一·全国·课后作业）（1）若，求的值； （2）已知，求的值． 【典例6-2】（2024·高一·全国·课后作业）化简，求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求值． 【方法技巧与总结】 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 【变式6-1】（2024·高一·湖南益阳·阶段练习）（1）计算： （2）已知，求下列各式的值： ① ；       ②；       ③. 【变式6-2】（2024·高一·上海·课堂例题）设，且．求的值． 【变式6-3】（2024·高三·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数满足，则的值为（    ） A．14 B．16 C．12 D．18 【变式6-4】（多选题）（2024·高一·福建厦门·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-5】（多选题）（2024·高一·江苏南京·期中）已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-6】（2024·高一·全国·课后作业）已知方程的两根为，（）. (1)求的值； (2)求的值. 【变式6-7】（2024·高一·全国·课后作业）已知（），求的值. 【变式6-8】（2024·高一·西藏山南·期中）若，求的值． 1．（2024·高三·广东江门·阶段练习）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 2．（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·高一·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·全国·随堂练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·全国·随堂练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D．7 6．（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知，下列各式中正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024·高一·吉林长春·阶段练习）下列各式中成立的是 A． B． C． D． 8．（2024·高一·全国·课后作业）已知，则的值是 A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高一·江苏宿迁·期中）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2024·高一·黑龙江牡丹江·期末）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 11．（多选题）（2024·高一·四川南充·阶段练习）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 12．（多选题）（2024·高一·甘肃兰州·期中）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·高一·江苏南通·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 14．（2024·高一·全国·课后作业）若，则 . 15．（2024·高一·江苏南京·竞赛），求 ． 16．（2024·高一·山东青岛·期中）计算： ．（保留小数点后两位） 17．（2024·高一·重庆·期中）计算求值 (1) (2)若，且，求代数式的值. 18．（2024·高一·江西萍乡·期中）计算下列各式 (1)； (2)已知，求下列各式的值： ①； ②． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4．1 指数 课程标准 学习目标 1、理解n次方根、n次根式的概念． 2、能正确运用根式运算性质化简、求值． 3、体会分类讨论思想、符号化思想的作用． 1、数学抽象：根式的概念，分数指数幂的概念的掌握 2、逻辑推理：根式概念与方根概念二者之间的关系 3、数字运算：掌握有理数指数幂的运算性质，并能运 用性质进行计算和化简 4、直观想象：让学生感受由特殊到一般的数学思想方法 5、数学建模：通过对实际问题的探究过程，感受应用 数学解決问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化的思想在数学中的应用． 知识点01 整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习） 【答案】3． 【解析】． 知识点02 根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 【即学即练2】（2023·河北石家庄·高一校考阶段练习）若，则 . 【答案】 【解析】因为，所以. 故答案为： 知识点03 分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 【即学即练3】（2023·江苏·高一专题练习）化简的值为 . 【答案】 【解析】原式=    . 故答案为:. 知识点04 有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点诠释： （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 【即学即练4】（2023·江苏·高一专题练习）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【解析】（1） ． （2）∵，， ∴原式 ． 题型一：由根式的意义求范围 【典例1-1】（2024·高一·全国·单元测试）若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】由题意可知， 且． 故选：B 【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是（    ） A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．x∈R 【答案】C 【解析】由题意知，所以2≤x≤3. 故选：C． 【方法技巧与总结】 使根式有意义 【变式1-1】（2024·高一·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【解析】直接根据开偶次方根，被开方数大于等于0，0的0次幂无意义.要使原式有意义，则解得且. 故选：A. 【变式1-2】（2024·高一·全国·课后作业）当有意义时，化简的结果是（    ） A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 【答案】C 【解析】因为有意义，可得，即， 又由 故选：C. 【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，则有，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【变式1-4】（2024·高一·全国·课后作业）若有意义，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为有意义， 所以， 解得且， 所以的取值范围为. 故答案为：. 题型二：利用根式的性质化简或求值 【典例2-1】（2024·高一·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 【典例2-2】（2024·高一·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 【答案】D 【解析】当为奇数时，； 当为偶数时，. 故选：D 【方法技巧与总结】 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 【变式2-1】（2024·高一·上海·阶段练习）已知，化简： ． 【答案】 【解析】因为，所以. 故答案为：0 【变式2-2】（2024·高一·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，，即， 所以. 故选：B 【变式2-3】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为，所以. 故选：C 【变式2-4】（2024·高一·新疆乌鲁木齐·阶段练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，即 ， ， . 故选：A . 【变式2-5】（2024·高一·江苏·单元测试）有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】① 正确；② ，② 错误；③ ，③ 错误；④ ，若，则，若，则，故④ 错误． 故选：A 题型三：有限制条件的根式的化简 【典例3-1】（2024·高一·浙江温州·阶段练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 【典例3-2】（2024·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项，且，故，A错误； B选项，且，故，B错误； C选项，，C错误； D选项，且，故，D正确. 故选：D 【方法技巧与总结】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）化简下列各式． （1）＝ ； （2）＝ . 【答案】 【解析】（1）. （2）由题意，首先，即，从而， ，， 所以原式. 故答案为：； 【变式3-2】（2024·高一·全国·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【解析】（1）由题意得； （2） （3） （4）由于，则，故； （5）. 【变式3-3】（2024·高一·海南·期中）化简下列各式： （1）； （2）. 【解析】（1）； （2）当时，； 当时，. 综上所述，. 【变式3-4】（2024·高一·全国·课后作业）化简. 【解析】， 原式. 【变式3-5】（2024·高一·全国·课后作业）若代数式＋有意义，化简＋2. 【解析】由＋有意义，则即≤x≤2. 故＋2＝＋2 ＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3. 题型四：根式与指数幂的互化 【典例4-1】（2024·高一·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 【典例4-2】（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD． 【方法技巧与总结】 （1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂． 【变式4-1】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对A：，错； 对B：，错； 对C：，对； 对D：，对. 故选：CD 【变式4-2】（2024·高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 【变式4-3】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BC 【解析】对于A，（），故A错误； 对于B，（），故B正确； 对于C，（），故C正确； 对于D，，而无意义，故D错误. 故选：BC 【变式4-4】（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】根据根式和分式指数幂的关系进行转化即可.对于A，，左边，右边，故A错误； 对于B，，当时，，故B错误； 对于C，由分式指数幂可得，则，故C正确； 对于D，，故D错误. ∴不正确的是A、B、D. 故选：ABD. 题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值 【典例5-1】（2024·高一·天津·期中）（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【解析】（1） ； （2） ； （3）. 【典例5-2】（2024·高三·全国·专题练习）计算： 【解析】原式. 【方法技巧与总结】 根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数． 【变式5-1】（2024·高一·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【变式5-2】（2024·高一·上海·课堂例题）化简下列各式（其中，）： (1)； (2)． 【解析】（1）（其中，） ； （2）（其中，） 【变式5-3】（2024·高一·江苏·假期作业）计算下列各式． (1)； (2). 【解析】（1）原式. （2）原式 . 【变式5-4】（2024·高一·全国·课后作业）化简或求值： (1)； (2)； (3)； (4)（且）. 【解析】（1）原式=. （2） =21. （3） . （4）. 题型六：整体代换法求分数指数幂 【典例6-1】（2024·高一·全国·课后作业）（1）若，求的值； （2）已知，求的值． 【解析】（1）， 则． （2）， 且, ． 【典例6-2】（2024·高一·全国·课后作业）化简，求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求值． 【解析】（1）依题意，可知，则， 所以． （2）因为，两边平方后得 所以 （3），两边平方可得，所以． ． 所以= 【方法技巧与总结】 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 【变式6-1】（2024·高一·湖南益阳·阶段练习）（1）计算： （2）已知，求下列各式的值： ① ；       ②；       ③. 【解析】（1）. （2）①因为，所以， 又，所以. ②因为，所以，所以. ③因为，且， 所以，所以. 【变式6-2】（2024·高一·上海·课堂例题）设，且．求的值． 【解析】因为，且， 所以 . 【变式6-3】（2024·高三·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数满足，则的值为（    ） A．14 B．16 C．12 D．18 【答案】A 【解析】因为， 所以. 故选：A. 【变式6-4】（多选题）（2024·高一·福建厦门·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，所以， 对于A选项，由，可得，故A项错误； 对于B选项，，故B项正确； 对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确； 对于D选项，因故D项正确. 故选：BCD. 【变式6-5】（多选题）（2024·高一·江苏南京·期中）已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】,，，故选项A正确; ，，故选项B错误; ,，故选项C正确; ,且 ，，，故选项D正确. 故选：ACD 【变式6-6】（2024·高一·全国·课后作业）已知方程的两根为，（）. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）依题意，， 由，得 . （2）由（1）知，. 【变式6-7】（2024·高一·全国·课后作业）已知（），求的值. 【解析】因为，所以， 所以， 所以 ， 所以. 【变式6-8】（2024·高一·西藏山南·期中）若，求的值． 【解析】， 则． 1．（2024·高三·广东江门·阶段练习）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为，，所以. 故选：B. 2．（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 3．（2024·高一·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 4．（2024·高一·全国·随堂练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为. 故选：D. 5．（2024·高一·全国·随堂练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【解析】由， 因，故， 即得，. 故选：A. 6．（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知，下列各式中正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①,正确； ②，正确； ③因为可知，，， 所以，故错误； ④，正确. 故选：C 7．（2024·高一·吉林长春·阶段练习）下列各式中成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A中应为； B中等式左侧为正数，右侧为负数； C，x＝y＝1时不成立错误． D中正确； 故选：D． 8．（2024·高一·全国·课后作业）已知，则的值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知， ， 由于，故，则原式. 故选B. 9．（多选题）（2024·高一·江苏宿迁·期中）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由，则，， 即，，两式相乘得， 所以，有，A选项正确，B选项错误； 由，有， 则， C选项错误，D选项正确. 故选：AD 10．（多选题）（2024·高一·黑龙江牡丹江·期末）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】CD 【解析】由得：，解得，即， 由于，，当且仅当（即）时取得等号. 故选：CD. 11．（多选题）（2024·高一·四川南充·阶段练习）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【解析】因为，又， 所以， 故， 又， 所以或， 故选：BD 12．（多选题）（2024·高一·甘肃兰州·期中）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意知，即，即， 故或， 则 ， 故选：AC 13．（2024·高一·江苏南通·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】9 【解析】，可得，又，所以， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为： 14．（2024·高一·全国·课后作业）若，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以 所以，， 所以. 故答案为：. 15．（2024·高一·江苏南京·竞赛），求 ． 【答案】 【解析】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 16．（2024·高一·山东青岛·期中）计算： ．（保留小数点后两位） 【答案】0.13 【解析】由题意，， 因为， 所以， 又，所以， 所以，所以 故答案为：0.13. 17．（2024·高一·重庆·期中）计算求值 (1) (2)若，且，求代数式的值. 【解析】（1）. （2）当，时，. 18．（2024·高一·江西萍乡·期中）计算下列各式 (1)； (2)已知，求下列各式的值： ①； ②． 【解析】（1）原式； （2）①∵， ∴， 又由得， ∴， 所以； ②（法一） ， （法二） ， 而 ， ∴， 又由得， ∴， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$