专题02 全等三角形（5大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题02 全等三角形 全等三角形的性质 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，点在线段上，若，，则的长为 ． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知的三边长为x，2，6，的三边长为5，6，y，若与全等，则 ． 全等三角形的判定 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，求证：． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，，，求证：． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，与交于点，为的中点，，，，． (1)证明：． (2)若，求的长． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，点在线段上，，，．求证：． 5．（22-23八年级上·福建泉州·期中）如图，，，．求证：． 用HL证明全等 1．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，点、、、在同一条直线上， ，，，．求证：． 3．（23-24八年级上·福建厦门湖里·期中）如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，且AB＝CD． (1)△ABF与△CDE全等吗？为什么？ (2)求证：EG＝FG． 添加条件使三角形全等 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在和中，，请你添加一个适当的条件，使，添加的条件是： ．（写出一个即可） 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，已知，当添加条件 时，可由“角边角”判定．    4．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图， ，请添加一个条件 ，可判定． 角平分线的性质与判定 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）中，为角平分线，，则线段的长为（   ） A．9 B．11 C．12 D．15 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分，，且，则点P到的距离为 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，若，则点E到的距离为 ． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，为的平分线，于，于，若，，则的面积为 ． 5．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF． （1）求证：CF=EB． （2）若AF=2，EB=1，求AB的长． 6．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，，点分别在边上，，与互为补角，连接． (1)求证：平分； (2)求证：． 正方形网格中的全等问题 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是(　　) A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 3．（23-24八年级上·厦门·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 4．（23-24八年级上·福建福州·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 倍长中线模型 1．（23-24八年级上·福建莆田·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线， ∴ 在和中， ∴（依据一） ∴， 在中，（依据二） ∴． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______________________________________________； 依据2：______________________________________________． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，则的取值范围是_____________； 任务三：如图，中，，D为中点， 求证：． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使．连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图2，若，，试求出的中线的长的取值范围． 【理解与感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，与均为等腰直角三角形，．试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    3．（23-24八年级上·福建南平·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．    【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围： (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 一线三等角模型 1．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 ． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，点A，B，D在同一条直线上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．连接CE，试判断△CBE的形状，并说明理由． 4．（23-24八年级上·福建莆田·期中）在△ABC中，，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE （2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？ （3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？ 截长补短问题 1．（23-24八年级上·福建宁德·期中）在四边形中，，点E在DC上，AE平分，BE平分 （1）判定△AEB的形状，并说明理由. （2）求证： 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．    全等三角形中的动点问题 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，已知正方形边长为，动点M从点C出发，沿着射线的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线的方向运动，连结， （1）若动点M和P都以每秒的速度运动，问t为何值时和全等？ （2）若动点P的速度是每秒，动点M的速度是每秒问t为何值时和全等？ 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，点D为的中点， ，，． (1)若点P 在线段上以的速度从点B 向终点C 运动，同时点Q 在线段上从点 C 向终点 A运动． ①若点 Q 的速度与点 P 的速度相等，经 1 s 后， 请说明 ； ②若点Q的速度与点P 的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使； (2)若点P以的速度从点B 向点C运动，同时点Q以的速度从点C向点A 运动，它们都依次沿的三边运动，则经过多长时间，点 Q 第一次在 的哪条边上追上点P？ 3．（23-24八年级上·福建莆田·期中）在平面直角坐标系中，点，，在轴负半轴上取点，使，作，直线交的延长线于点． (1)根据题意，可求得__________； (2)求证：； (3)动点从出发沿路线运动速度为每秒1单位，到点处停止运动；动点从出发沿运动速度为每秒3个单位，到点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作于点，于点．问两动点运动多长时间与全等？ ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形 全等三角形的性质 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，由全等的性质，得,，由三角形内角和定理，得，于是，. 【详解】解：∵， ∴,. ∵, ∴. ∴. ∴. 故选：A． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果． 【详解】解：，，， ，． 由三角形外角的性质可得， ． ． ，， ． 故选：B． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，点在线段上，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知的三边长为x，2，6，的三边长为5，6，y，若与全等，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．根据全等三角形对应边相等解答即可求出． 【详解】解：因为与全等，的三边长为x，2，6，的三边长为5，6，y， ∴， ∴所， 故答案为：7． 全等三角形的判定 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先根据，证明，再根据“”证明，得出即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，继而可得出． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，与交于点，为的中点，，，，． (1)证明：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．明确三角形全等的判定条件是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，．则．进而可证． （2）由，，可得，．由为的中点，可得，进而可得的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∴． ∵，，， ∴． （2）解：∵，， ∴，． ∵为的中点， ∴， ∴． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，点在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定方法，根据平行线的性质可得，再利用即可证明，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 5．（22-23八年级上·福建泉州·期中）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质，得出，再根据证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的证明，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 用HL证明全等 1．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，点、、、在同一条直线上， ，，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先由，得，再结合，，，则通过“”证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·福建厦门湖里·期中）如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，且AB＝CD． (1)△ABF与△CDE全等吗？为什么？ (2)求证：EG＝FG． 【答案】(1)△ABF与△CDE全等，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）由垂直的定义得出∠AFB＝∠CED＝90°，求出AF＝CE，由HL证明Rt△ABF≌Rt△CDE即可； （2）由全等三角形的性质得出BF＝DE，证明△DEG≌△BFG（AAS），即可得出EG＝FG． 【详解】（1）解：△ABF与△CDE全等， 理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB＝∠CED＝90°， ∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE， 在Rt△ABF和Rt△CDE中，， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）； （2）证明：∵Rt△ABF≌Rt△CDE， ∴BF＝DE， 在△DEG和△BFG中，， ∴△DEG≌△BFG（AAS）， ∴EG＝FG． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直的定义；熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 添加条件使三角形全等 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：已知，且， 当添加，根据能判断，选项A不符合题意； 当添加，根据能判断，选项B不符合题意； 当添加，根据能判断，选项D不符合题意； 如果添加，不能根据判断，选项C符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在和中，，请你添加一个适当的条件，使，添加的条件是： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加合适的条件证明三角形全等，根据判断两个直角三角形全等，即可．掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当添加条件为时，根据，即可得到； 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，已知，当添加条件 时，可由“角边角”判定．    【答案】/ 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，用“角边角”证明两个三角形全等，已知条件给出一组边相等和一组对应角相等，进而添加一组角相等即可，理解“角边角”定理是解题的关键． 【详解】解：依题意可知，应添加， ∵在和中， ， ∴（）， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图， ，请添加一个条件 ，可判定． 【答案】（答案不唯一） 【分析】添加条件，可根据证明全等． 【详解】解：添加条件：， 则在和中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，添加一个条件使两个三角形全等，全等三角形的判定方法有：． 角平分线的性质与判定 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）中，为角平分线，，则线段的长为（   ） A．9 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 在上截取，连接，证明，再证明即可求解． 【详解】在上截取，连接，如图 ∵为角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴，，即， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分，，且，则点P到的距离为 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，先过点P作，由角平分线的性质得出，因为，且，所以，即可作答． 【详解】解：如图：过点P作， ∵平分，，， ∴， ∵，且， ∴， ∴则点P到的距离为4， 故答案为：4． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，若，则点E到的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点E作与点F，由三角形的高线可得出，再根据角平分线的性质定理即可得出． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴， 即点E到的距离为5， 故答案为：5． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，为的平分线，于，于，若，，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据角平分线的性质定理得到，即可求出面积． 【详解】解：∵为的平分线，于，于， ∴， ∴， 故答案为：12． 5．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF． （1）求证：CF=EB． （2）若AF=2，EB=1，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）4 【分析】（1）由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DE=DC，再由BD=DF，利用HL得到三角形FCD与三角形BDF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用AAS得到三角形ACD与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AE，由AB=AE+EB，等量代换即可得证． 【详解】解：（1）证明：∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB， ∴ DC=DE， ∵ BD=DF， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）， ∴CF=EB； （2）由（1）知CF=EB=1， ∴AC=AF+FC=3， 又∵∠C=∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，AD=AD， ∴△ACD≌△AED(AAS) ∴AC=AE=3， ∴AB=AE+EB=3+1=4． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 6．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，，点分别在边上，，与互为补角，连接． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）过点作于点，根据全等三角形的判定和性质定理以及平分线的性质即可得到结论； （）证明，再根据性质可得，最后由线段和差即可． 【详解】（1）如图，证明：过点作于点 ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分 （2）由（）得：，，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 正方形网格中的全等问题 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查以网格为背景的全等三角形的判定和性质，根据网格特征可利用判定，有，则，在正方形中即可知答案． 【详解】解：如图， 在和中， ∴， ∴， 则， 故选A 故选：A． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 3．（23-24八年级上·厦门·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【答案】B 【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2． 【详解】 ∵在△ABC和△DBE中 ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴∠3=∠ACB， ∵∠ACB+∠1=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵∠2=45° ∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°， 故选B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等． 4．（23-24八年级上·福建福州·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． 倍长中线模型 1．（23-24八年级上·福建莆田·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线， ∴ 在和中， ∴（依据一） ∴， 在中，（依据二） ∴． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______________________________________________； 依据2：______________________________________________． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，则的取值范围是_____________； 任务三：如图，中，，D为中点， 求证：． 【答案】任务一：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）；三角形两边的和大于第三边；任务二： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法： 任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可；依据2：根据三角形三边关系判断； 任务二：可根据任务一的方法直接证明即可； 任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系，可得，即可． 【详解】解：任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边． 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）；三角形两边的和大于第三边． 任务二：由任务一得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 任务三：如图，延长至F，使，连接， 由任务一得：∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使．连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图2，若，，试求出的中线的长的取值范围． 【理解与感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，与均为等腰直角三角形，．试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    【答案】（1）见解析；（2）；（3），．见解析 【分析】（1）根据即可求证； （2）设，延长至点，使，连接．证，在中利用三角形的三边关系即可求解； （3）延长至点，使得，连接，延长交于点．证、即可求解． 【详解】解：（1）是的中线， ． 在和中， ． （2）如图：设，延长至点，使，连接．    是的中线， ． 在和中， ， ， ，． 在中，， 即， ， 即． （3），． 证明：如图，延长至点，使得，连接，延长交于点．    是的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ∴， ． ， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ， ． ， ． ， ． 综上，可得，． 【点睛】本题考查了全等三角形的常见模型―倍长中线模型，熟记模型的构成条件、求证过程及结论是解题关键． 3．（23-24八年级上·福建南平·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．    【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围： (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法； （1）延长使得，连接，先证明得到，在中，根据三角形三边关系即可求解； （2）由（1）中即可求解； （3）延长使得，连接，同（1）可得，进而判断出，进而证明，即可求解． 【详解】（1）解：延长使得，连接，如图2， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：； 由（1）得：， ∴，， ∴； （3）解：； 延长使得，连接，如图，    由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 一线三等角模型 1．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 ． 【答案】（﹣2，3） 【分析】作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，先证明△AOD≌△COE，因为C（3，2），所以OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，再根据点A在第二象限求出点A的坐标． 【详解】解：如图， 作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC， ∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD， 在△AOD和△COE中， ， △AOD≌△COE（AAS）， ∵C（3，2）， ∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2， ∵点A在第二象限， ∴A（﹣2，3）， 故答案为：（﹣2，3）． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判断和性质、图形与坐标等，正确做出辅助线是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，点A，B，D在同一条直线上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．连接CE，试判断△CBE的形状，并说明理由． 【答案】△CBE是等腰直角三角形，理由见解析． 【分析】证明△ABC≌△DEB即可． 【详解】△CBE是等腰直角三角形． 理由如下： ∵∠D=90° ∴∠DEB+∠DBE=90°， ∵∠ABC=∠DEB， ∴∠ABC+∠DBE=90°． ∴∠CBE=180°－(∠ABC+∠DBE)=90°． 在△ABC和△DEB中， ． ∴△ABC≌△DEB(AAS)． ∴BC=EB． ∴△BCE是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，这个题是典型的一线三垂直模型，根据已知条件证明全等是解题的关键． 4．（23-24八年级上·福建莆田·期中）在△ABC中，，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE （2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？ （3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？ 【答案】（1）见解析；（2）DE= AD-BE，理由见解析；（3）DE= BE -AD，理由见解析． 【分析】（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD． （2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE-CD=AD-BE． （3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE-AD．证明的方法与（2）相同． 【详解】解：（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴AD=CE，CD=BE， ∵DC+CE=DE， ∴DE= AD+BE． （2）DE、AD、BE等量关系是DE= AD-BE．理由如下： ∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠EBC+∠ECB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECB+∠ACE=90°， ∴∠ACD=∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=EC-CD=AD-BE． 故答案是：DE= AD-BE． （3）DE、AD、BE等量关系是DE= BE-AD，理由如下： ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90° ∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠CED=90°， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△ACD和△CBE中， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD． 故答案是：DE= BE -AD． 【点睛】本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质、余角的性质等知识点，解题的关键是利用全等三角形对应线段相等，将有关线段进行转化． 截长补短问题 1．（23-24八年级上·福建宁德·期中）在四边形中，，点E在DC上，AE平分，BE平分 （1）判定△AEB的形状，并说明理由. （2）求证： 【答案】（1）△AEB为直角三角形，理由见解析；（2）见解析. 【分析】（1）根据平行线性质得出∠DAB+∠ABC=180°，由角平分线得出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，可得∠EAB+∠ABE=90°，根据三角形内角和定理求出∠AEB=90°，即可得出答案； （2）在AB上截取线段AF=AD，连接EF，构建全等三角形△ADE≌△AFE（SAS）、△BFE≌△BCE（AAS），根据全等三角形的对应边相等得到BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代换即可得证 【详解】（1）解：△AEB为直角三角形，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC=180°， ∵AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC， ∴∠EAB=∠DAB,∠EBA=∠ABC， ∴∠EAB+∠ABE=×180°=90°， ∴∠AEB=180°−90°=90°, ∴△AEB为直角三角形； (2)证明：如图，在边AB上截取线段AF=AD，连接EF， ∵AE平分∠BAD， ∴∠FAE=∠DAE， 在△ADE和△AFE中, ， ∴△ADE≌△AFE(SAS)， ∴∠AED=∠AEF， ∵AE⊥BE， ∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°， ∴∠BEC=∠BEF， 又∵在△BFE与△BCE中, ∴△BFE≌△BCE(AAS)， ∴BF=BC， ∵AB=AF+BF， ∴AB=AD+BC. 【点睛】本题考查全等三角形的综合问题，是“截长补短”模型的典型题目，熟练掌握此模型辅助线的作法，构造全等三角形是解决本题的关键. 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析，或，理由见解析 【分析】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定； （2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论； （3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答． 【详解】（1）证明：于点，于点，， ，，， ． 在和中 ， ． （2）解：．理由如下： 由（1）知，，则 ∴ ∴ （3）解：结论：或． 理由：设与的交点为， 当离点近时，结论为； 当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）． 当离点近时，如图：    同（1）可证明， ，． ， ． 当离点近时，如图：        同理，得． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：延长到G，使得，连接，    在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）；理由如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 全等三角形中的动点问题 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，已知正方形边长为，动点M从点C出发，沿着射线的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线的方向运动，连结， （1）若动点M和P都以每秒的速度运动，问t为何值时和全等？ （2）若动点P的速度是每秒，动点M的速度是每秒问t为何值时和全等？ 【答案】（1）t=1；（2）t=或t= 【分析】（1）根据△DCP与△BCM全等，列出关于t的方程，解之即可； （2）分当点P在点C左侧和当点P在点C右侧，两种情况，根据PC=CM，列方程求解即可． 【详解】解：（1）要使△DCP与△BCM全等， 则PC=CM， 由题意得：2t=4-2t， 解得：t=1； （2）当点P在点C左侧时， 则△DCP≌△BCM， ∴PC=CM， ∴4-3t=1.5t， 解得：t=； 当点P在点C右侧时， 则△DCP≌△BCM， ∴CP=CM， ∴3t-4=1.5t， 解得：t=， 综上：当t=或t=时，△DCP与△BCM全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是抓住全等三角形的条件，得到相等线段，列出方程，注意分类讨论． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，点D为的中点， ，，． (1)若点P 在线段上以的速度从点B 向终点C 运动，同时点Q 在线段上从点 C 向终点 A运动． ①若点 Q 的速度与点 P 的速度相等，经 1 s 后， 请说明 ； ②若点Q的速度与点P 的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使； (2)若点P以的速度从点B 向点C运动，同时点Q以的速度从点C向点A 运动，它们都依次沿的三边运动，则经过多长时间，点 Q 第一次在 的哪条边上追上点P？ 【答案】(1)① 见解析；② (2)经过10s，点 Q第一次在 边上追上点 P 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用路程=速度时间公式，能够分析出追及相遇的问题中得路程关系． （1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边长，根据判定两个三角形全等即可； ②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度即可； （2）根据题意结合图形分析发现：由于点的速度快，且在点的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点多走等腰三角形的两个腰长即可． 【详解】（1）① ∵，， ∴ ． ∵点 D 为 的中点， ∴ ∵， ∴． 在和 中， ， ∴． ② 设点 Q 的运动时间为t ，运动速度为 ． ∵， ∴，． ∴ ∴ （2）设经过x 后，点Q第一次追上点P． 由题意，得． 解得． ∴点 P 运动的路程为． ∵， ∴此时点 P 在边上， ∴经过10 ，点 Q第一次在边上追上点 P． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期中）在平面直角坐标系中，点，，在轴负半轴上取点，使，作，直线交的延长线于点． (1)根据题意，可求得__________； (2)求证：； (3)动点从出发沿路线运动速度为每秒1单位，到点处停止运动；动点从出发沿运动速度为每秒3个单位，到点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作于点，于点．问两动点运动多长时间与全等？ 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)当两动点运动时间为、、10秒时，与全等 【分析】（1）根据，，即可求得的长； （2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得，由可得，从而证明，即可得； （3）设运动的时间为秒，证明与全等，根据三角形全等的性质分三种情况讨论：①当点、分别在轴、轴上时，②当点、都在轴上时，③当点在轴上，在轴上时，若二者都没有提前停止，当点运动到点提前停止时，根据时，列出一元一次方程解方程求解即可 【详解】（1）点， 故答案为： （2）证明：如图1中， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 在与中， ∴. ∴. （3）设运动的时间为秒，当时， 分三种情况讨论： ①当点、分别在轴、轴上时， 当时 在与中 则得： ， 解得（秒）， ②当点、都在轴上时，同理可得, 则得： ， 解得（秒）， ③当点在轴上，在轴上时，同理可得，若二者都没有提前停止，则得： ， 解得（秒）不合题意； 当点运动到点提前停止时， 有，解得（秒）， 综上所述：当两动点运动时间为、、10秒时，与全等. 【点睛】本题考查了坐标与图形，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$