专题02全等三角形（3基础题型+4提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（天津专用）

专题02 全等三角形 全等三角形的概念及性质 1．（22-23八年级上·天津河西·期中）下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 2．（23-24八年级上·天津·期中）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·天津河北·期中）如图，已知，且，，则的值为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，已知，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·天津蓟州·期中）如图，已知，，且点E恰好在的延长线上，连接．下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，，，，、相交于点F，则度数为 ． 7．（21-22八年级上·天津津南·期中）如图，△ABC≌△ADE，若∠E＝70°，∠D＝30°，∠CAD＝40°，则∠BAD＝ ． 8．（22-23八年级上·天津河西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点E，且． (1)求的长； (2)求点C的坐标； (3)求的度数． 全等三角形的性质与判定的综合应用 1．（22-23八年级上·天津滨海新·期中）如图，，，则，其依据是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知为的角平分线，作于D， 则下列结论：；；；．其中一定成立的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23八年级上·天津西青·期中）如图，，，垂足分别为点A，B，．根据这些条件不能推出的结论是（    ） A． B． C．平分 D． 4．（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，在中，，平分交于，于，且，，，则的周长 ． 5．（23-24八年级上·天津·期中）如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③．其中正确结论的有 ．（只写序号） 6．（21-22八年级上·天津和平·期中）如图，，，A、D、B、F共线，且，求证：． 7．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，A、D、B、E在同一直线上，，，，求证：． 8．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若在上且，试猜想之间的数量关系，并证明． 9．（23-24八年级上·天津河东·期中）如图，，平分，点为中点，且．求证：平分． 10．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图，，，，的延长线交于点．求证： (1)； (2)． 角平分线的性质与判定的综合应用 1．（23-24七年级上·天津和平·期中）如图，点C在线段上（不与点A，B重合），在的上方分别作和，且，，，连接，交于点P，下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D．连接，则平分 2．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，若平分，，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是（    ）    A． B． C．不一定相等 D．一定不相等 3．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24八年级上·天津静海·期中）如图，在的边上取点M、N，连接，平分，平分，若，的面积是2，则点P到的距离和为 ． 5．（23-24八年级上·天津西青·期中）如图，在中，，，平分，，那么的面积是 ．      6．（23-24八年级上·天津西青·期中）如图，，，，的面积等于6，则的长为 ．    7．（22-23八年级上·天津东丽·期中）如图是的平分线，是中线，、相交于点E，于F，若，，，则的长为 ．    8．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作垂足为，且    (1)求的度数； (2)求证： 平分 (3)若，且求的面积． 9．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)试猜想与有何特殊关系，并证明； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）． 10．（22-23八年级上·天津滨海新·期中）如图，四边形中，，点为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)探究：线段、、之间的数量关系，并证明． 11．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，，，，，    (1)求证：； (2)设与相交于点F，连接，求证：平分． 12．（22-23八年级上·天津·期中）如图，于，于，若、． (1)求证： (2)求证：平分； 添加条件使三角形全等 1．（22-23八年级上·天津·期中）如图，已知，以下条件中，不能推出的是（　　） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·天津·期中）如图，，，添加下列哪一个条件仍无法证明（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·天津西青·期中）如图，若，，要证需补充一个条件 ． 4．（23-24八年级上·天津·期中）如图，在和中，如果，．添加一个条件，能保证，则可以添加的条件是 （填一个即可）    5．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，，请你再添加一个条件，使，你添加的条件是 ．    6．（22-23八年级上·天津河西·期中）如图，平分，分别是射线、射线、射线上的点，与O点都不重合，连接、，请添加一个条件_________（不必写出所有的可能条件），能使，并证明你的想法． 旋转模型与垂线模型 1．（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 2．（23-24九年级上·天津和平·期中）等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点．    (1)如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标； (2)如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：； (3)如图（3），若点在轴上，且，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连结交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 3．（20-21八年级上·天津河东·期中）如图，已知：中，，，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F． （1）当EF与斜边BC不相交时，请证明如图； （2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：； 全等三角形综合问题 1．（23-24八年级上·天津和平·期中）知，中，，A点在负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． ①如图所示，若的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为；②如图，过点作轴于则；③如图，过点作轴于则；④如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，则；⑤如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，则．上述结论正确的有（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24八年级上·天津西青·期中）如图，，，与交于点，于，于，那么图中全等三角形有（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 3．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，交于点M，交于点D，交于点N，．下列结论：①；②；③；④其中所以正确结论的序号是（    ）    A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 4．（22-23八年级上·天津·期中）如图，在中，，，为边上的中线，于，交于，过点作的垂线交于．现有下列结论：①；②；③；④为中点．其中结论正确的为(   ) A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 尺规作图—作角平分线 1．（22-23八年级上·天津·期中）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线交于点G． 如果，，的面积为12，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．24 2．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线交于点， 如果，，的面积为12，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 3．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如下图，某市有一块有三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一个小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等． (1)试在上图中确定小亭的中心位置P，请保留作图痕迹； (2)若已知，则______. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形 全等三角形的概念及性质 1．（22-23八年级上·天津河西·期中）下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形，据此判断即可． 【详解】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，熟记定义是解本题的关键． 2．（23-24八年级上·天津·期中）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握三角形内角和为是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 3．（23-24八年级上·天津河北·期中）如图，已知，且，，则的值为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 4．（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，已知，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求得，由全等三角形的性质可得，结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5．（22-23八年级上·天津蓟州·期中）如图，已知，，且点E恰好在的延长线上，连接．下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质可判定A和B选项；由全等三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，可判定C选项；根据题意得到和不一定相等，然后结合全等三角形的性质即可判断D选项． 【详解】解：∵是的外角 ∴ ∴，故A错误； ∵是的外角 ∴ ∴，故B错误； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故C正确； ∵点E恰好在的延长线上，但点B不一定是的中点 ∴和不一定相等， ∵ ∴ ∵ ∴和不一定相等，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 6．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，，，，、相交于点F，则度数为 ． 【答案】/45度 【分析】根据全等三角形的性质得到，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，又， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟知全等三角形的对应角相等是解答的关键． 7．（21-22八年级上·天津津南·期中）如图，△ABC≌△ADE，若∠E＝70°，∠D＝30°，∠CAD＝40°，则∠BAD＝ ． 【答案】40° 【分析】由全等三角形的性质可得到∠BAC=∠EAD，在△ABC中可求得∠BAC，则可求得∠EAC． 【详解】解：∵∠B=70°，∠C=30°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠EAD=∠BAC=80°， ∴∠EAC=∠EAD-∠DAC=80°-40°=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 8．（22-23八年级上·天津河西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点E，且． (1)求的长； (2)求点C的坐标； (3)求的度数． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】（1）根据点的坐标求出，，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可； （2）根据全等三角形的性质求出，结合（1）即可得解； （3）根据全等三角形的性质及直角三角形的性质求出，根据平角的定义即可得解． 【详解】（1）解：，，， ，， ， ， ； （2）解：， ， ，， 点的坐标为； （3）解：， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 全等三角形的性质与判定的综合应用 1．（22-23八年级上·天津滨海新·期中）如图，，，则，其依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，两个三角形三条对应边相等，则判断其全等依据为边边边． 【详解】解：在和中， 所以 故选：C 【点睛】本题考查三角形全等的判定，找到对应条件是解题的关键． 2．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知为的角平分线，作于D， 则下列结论：；；；．其中一定成立的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；先证得，，，则①②③成立，再由直角三角形的性质得，，当时，，则④不一定成立，即可得出结论． 【详解】∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故①②③成立， ∵， ∴，， 当时，， 故④不一定成立，一定成立的有3个， 故选：C． 3．（22-23八年级上·天津西青·期中）如图，，，垂足分别为点A，B，．根据这些条件不能推出的结论是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】根据，就可以肯定答案A可以推出，再由条件可以得到，就可以推出与，而平分无法得到论证． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案A可以推出． 又∵在与中， ，， ∴， ∴，， ∴答案B、D均可以推出． ∴只有C无法推出， 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，以及全等三角形的性质，用排除法解决选择题是常用的方法，也是解决本题的关键． 4．（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，在中，，平分交于，于，且，，，则的周长 ． 【答案】/6厘米 【分析】根据已知条件利用证明，可得，，从而得到，再根据的周长可得结果． 【详解】解：∵平分交于， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，则 ∴的周长． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·天津·期中）如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③．其中正确结论的有 ．（只写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质，利用角平分线的性质及得，进而可判断①；利用得则可判断③；利用全等三角形的性质及角的等量代换即可判断②，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：如图，作交AD的延长线于点F， 平分，于E， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 在和中， ， ， ，， 故③正确； ， ， ， 故②正确； 故答案为：①②③． 6．（21-22八年级上·天津和平·期中）如图，，，A、D、B、F共线，且，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】先根据线段的和差得出，再根据三角形全等的判定定理（定理）即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 7．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，A、D、B、E在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴． 8．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若在上且，试猜想之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理以及角的计算；根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键． （1）结合即可证出，由此即可得出，，即可求解； （2）通过角的计算得出，证出，由此即可得出； （3）结合即可证出，由此即可得出，再根据即可得出，，由（2）可知，进而得知，根据角的计算即可得出，结合即可证出，即得出，由相等的边与边之间的关系即可证出． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ，， ， ，， ， ； （2）证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ． （3）解：猜想之间的数量关系为：． 理由如下： 在和中， ， ， ． ， ． 由（2）可得：， ． ，即． ． 在和中， ， ， ． ， ． 9．（23-24八年级上·天津河东·期中）如图，，平分，点为中点，且．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论．灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图：在上截取，连接． 平分， ． 在和中， ， ． ． 是的中点， ． 又，， ， 在和中 ． ， ，即平分． 10．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图，，，，的延长线交于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由ASA证明即可； （2）连接AF，由全等三角形的性质得，再证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）如图，连接， 由（1）可知，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 角平分线的性质与判定的综合应用 1．（23-24七年级上·天津和平·期中）如图，点C在线段上（不与点A，B重合），在的上方分别作和，且，，，连接，交于点P，下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D．连接，则平分 【答案】B 【分析】先通过证明，并根据全等三角形的性质即可证明A选项不符合题意；由外角的性质及等腰三角形的定义，可证明C选项不符合题意；连接，过点C作于点G，于点H，根据角平分线判定定理证明D选项不符合题意；无法证明B选项． 【详解】解：， ， 即， ，， ， ，故A选项不符合题意； ， ∵， ，故C选项不符合题意； 如图，连接，过点C作于点G，于点H，    ， ， ， ， 平分，故D选项不符合题意； 当时，需成立，与题意矛盾，故B选项符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，若平分，，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是（    ）    A． B． C．不一定相等 D．一定不相等 【答案】C 【分析】此题重点考查角平分线的定义与性质，由平分，，得，可判断A正确，由，，得，可判断B正确，在中，斜边最长，可判断C，D． 【详解】解：平分，， ，故A正确， ， ， ，故B正确， 在中， 斜边最长， 一定不相等，故D正确，C错误． 故选：C． 3．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．根据角平分线的性质，得到，进而证明，得到，，判断①④；同角的余角相等，判断②，条件不足，无法判断③．掌握角平分线的性质，证明，是解题的关键． 【详解】解：∵，平分， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴平分，；故①，④正确； ∵， ∴；故②正确； 条件不足，无法得到，即无法得到平分，故③错误； 综上：正确的有3个； 故选C． 4．（23-24八年级上·天津静海·期中）如图，在的边上取点M、N，连接，平分，平分，若，的面积是2，则点P到的距离和为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，作于，于，于，连接，由角平分线的性质结合的面积是2可得，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，于，于，连接， ， 平分，，， ， 同理可得：， ， ，的面积是2， ， ， ， ， 即点P到的距离和为． 故答案为：4． 5．（23-24八年级上·天津西青·期中）如图，在中，，，平分，，那么的面积是 ．      【答案】/10平方厘米 【分析】作交 于点，根据角平分线的性质可得，进而求出结果． 【详解】解：作交于点，如图：    平分，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；熟练运用该定理是解题的关键． 6．（23-24八年级上·天津西青·期中）如图，，，，的面积等于6，则的长为 ．    【答案】 【分析】解：过点作于，根据三角形的面积求出长，然后根据角平分线的性质解题即可． 【详解】解：过点作于.   ，， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键． 7．（22-23八年级上·天津东丽·期中）如图是的平分线，是中线，、相交于点E，于F，若，，，则的长为 ．    【答案】2 【分析】根据题意先过点E作，设，根据，得出的面积的面积，即，进而求得x的值即可． 【详解】解：过点E作，    ∵是的平分线，于F， ∴， 设， ∵是中线，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线、中线以及三角形的面积的计算，解决问题的关键是根据△ABD的面积=20，列出方程求解．解题时注意方程思想的运用． 8．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作垂足为，且    (1)求的度数； (2)求证： 平分 (3)若，且求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用； （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点作于点，作于点，   平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． （3）解：如图，过点作于点，作于点，    由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 9．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)试猜想与有何特殊关系，并证明； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）． 【答案】(1)见解析 (2)且，理由见解析 (3)② 【分析】本题考查了常见的全等三角形模型――“手拉手模型”，熟记模型的构成条件、推理过程及结论是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）由可得，结合可得，即可得； （3）作，由可得，，即可推出，从而结论②正确；假设结论①正确，可得出，，与条件不符． 【详解】（1）证明：∵，， ， ∴ ∵ ∴ （2）解：且，理由如下： ∵， ∴， ， ， ， ， ∴ （3）解：作，如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴平分 假设①正确，即平分， 则有： ∴ 即： ∵平分， ， ， ， ， 故只有当时，①才成立； 故答案为：② 10．（22-23八年级上·天津滨海新·期中）如图，四边形中，，点为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)探究：线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可； （2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明； （3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作于， ∵，平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 11．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，，，，，    (1)求证：； (2)设与相交于点F，连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明，得出即可； （2）过点C作于点G，于点H，根据三角形全等的性质得出，，根据，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：过点C作于点G，于点H，如图所示：    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，三角形面积的计算，垂线的定义，解题的关键是根据三角形全等的判定证明． 12．（22-23八年级上·天津·期中）如图，于，于，若、． (1)求证： (2)求证：平分； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)由“”可证 (2)根据全等三角形的性质得到，又由于，于，即可得出结论． 【详解】（1） .， 在和中， ， ． （2） 于，于 平分． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 添加条件使三角形全等 1．（22-23八年级上·天津·期中）如图，已知，以下条件中，不能推出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得：，根据全等三角形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴，A选项正确，不符合题意； 又∵， ∴，B选项正确，不符合题意； 又∵， ∴，C选项正确，不符合题意； 通过、不能证明，D选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 2．（21-22八年级上·天津·期中）如图，，，添加下列哪一个条件仍无法证明（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】解：，， 添加时，根据，可证明，故A不符合题意； 添加时，，根据可证明，故B不符合题意； 添加时，没有定理，不能证明，故C符合题意； 添加，得出，根据可证明，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 3．（23-24八年级上·天津西青·期中）如图，若，，要证需补充一个条件 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 当添加时，可根据“SSS”判定； 当添加时，可根据“SAS”判定； 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24八年级上·天津·期中）如图，在和中，如果，．添加一个条件，能保证，则可以添加的条件是 （填一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，本题根据可得添加条件为，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴添加， ∴； 故答案为：（答案不唯一） 5．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，，请你再添加一个条件，使，你添加的条件是 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可. 【详解】解：由题意得，，， ∴添加条件，可以利用证明， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有. 6．（22-23八年级上·天津河西·期中）如图，平分，分别是射线、射线、射线上的点，与O点都不重合，连接、，请添加一个条件_________（不必写出所有的可能条件），能使，并证明你的想法． 【答案】，理由见解析 【分析】由平分，得，由，可知，即可根据得，可得答案． 【详解】解：，理由如下： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用． 旋转模型与垂线模型 1．（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【答案】（1）；（2），证明过程见解析；（3） 【分析】（1）根据已知条件证明即可得解； （2）根据已知条件证明即可得解； （3）根据已知条件证明即可得解； 【详解】（1）在和中， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即； 故答案是：； （2）答：； 证明：∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （3）∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键． 2．（23-24九年级上·天津和平·期中）等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点．    (1)如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标； (2)如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：； (3)如图（3），若点在轴上，且，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连结交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 【答案】(1) (2)见详解 (3)的长度不变， 【分析】（1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论； （3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故． 【详解】（1）解：如图1，过点C作轴于点F，    ∵轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∵点的横坐标为， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点C作交y轴于点G，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：的长度不变，理由如下： 如图3，过点C作轴于点E，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． 3．（20-21八年级上·天津河东·期中）如图，已知：中，，，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F． （1）当EF与斜边BC不相交时，请证明如图； （2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：； 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论； （2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，则BE=AF，AE=CF，就可以求出EF=BE-CF． 【详解】解：（1），， ， ，， ， 在和中， ≌， ，， ． （2），， ， ，， ， 在和中， ≌， ，， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题． 全等三角形综合问题 1．（23-24八年级上·天津和平·期中）知，中，，A点在负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． ①如图所示，若的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为；②如图，过点作轴于则；③如图，过点作轴于则；④如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，则；⑤如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，则．上述结论正确的有（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．①过点C作y轴的垂线，垂足为点D，证明，得出，即可求出点C的坐标；②和①同理可得，则，根据，即可得出；③易得，则，根据，即可得出；④易得，则；⑤根据，得出，即可推出． 【详解】解：①如图，过点C作y轴的垂线，垂足为点D， ∵的坐标是，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②和①同理可得， ∴， ∵， ∴，故②正确，符合题意； ③∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵轴平分， ∴， ∴，故④不正确，不符合题意； ⑤∵， ∴， ∴，故⑤正确，符合题意； 综上：正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 2．（23-24八年级上·天津西青·期中）如图，，，与交于点，于，于，那么图中全等三角形有（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】D 【分析】从已知条件开始，结合图形利用全等三角形的判定方法由易到难逐个寻找． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知，全等的三角形共有7对． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 3．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，交于点M，交于点D，交于点N，．下列结论：①；②；③；④其中所以正确结论的序号是（    ）    A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， ①根据已知条件可以证明在和全等，即可得； ②证明，即可判断； ③无法证明与全等； ④根据，可得 解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 【详解】解：①在和中， ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴①正确； 在和中， ， ∴， ∴ ∴④正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ∴②正确； 根据条件得不出， ∴与无法证明全等，故③错误； 综上①②④正确， 故选：A． 4．（22-23八年级上·天津·期中）如图，在中，，，为边上的中线，于，交于，过点作的垂线交于．现有下列结论：①；②；③；④为中点．其中结论正确的为(   ) A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 【答案】D 【分析】①由条件可知，可得，再结合条件即可证明； ②为边上的中线，得到，则，求得； ③，结合条件可证明，则有，可得； ④由③可得，而，故F不可能为中点． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②不正确； ∵，且D为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴F不是的中点，故④不正确； 综上可知正确的有①③． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方（和）． 尺规作图—作角平分线 1．（22-23八年级上·天津·期中）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线交于点G． 如果，，的面积为12，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】B 【分析】过点G作于点G，于点N，利用角平分线的性质定理证明，利用三角形面积公式求出可得结论． 【详解】如图，过点G作于点G，于点N， 由作图可知平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及角平分线的尺规作图，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线交于点， 如果，，的面积为12，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】由作图步骤可知为的角平分线，过作于，于，可得，结合已知条件和三角形的面积公式求得，然后即可获得答案． 【详解】解：如下图，过作于，于， 由作图步骤可知平分， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了作图−基本作图、角平分线的性质定理以及三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题． 3．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如下图，某市有一块有三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一个小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等． (1)试在上图中确定小亭的中心位置P，请保留作图痕迹； (2)若已知，则______. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，角平分线性质定理，三角形内角和定理的应用； （1）作出、的平分线，则两条平分线的交点，即为所求作的点； （2）根角平分线的定义和三角形内角和定理进行求解即可； 解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，三角形内角和定理． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求作的点， （2）解：∵， ∴， ∵、分别平分，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$