第十三章 轴对称（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第13章 轴对称（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一、以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在已知中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 4．已知等腰三角形的两边a，b的长是方程组的解，则这个三角形的周长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．8或10 5．如图，直线，等边的两个顶点A，B分别在直线l和m上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，点D在的延长线上，，，则（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 7．如图，△ABC中，∠A＝∠ABE，CD平分∠BCE，且CD⊥BE于点D，AC＝5，BC＝3，则DE的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 8．如图，在中，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线，分别交，于点P，D，连接．若点P到，的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 12．如图，将一张长方形纸片沿着折叠，使点 D落在边上的点F处．若，则 ． 13．如图，在等边中，D，E分别是，上的点，且，与相交于点P，则的度数是 ． 14．如图，一条笔直的公路经过处和公园，现要进一步开发景区，经测量，景区位于处的北偏东方向上、位于公园的北偏东方向上，且，则公园与景区的距离为 ．    15．如图，中，，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则 度．    16．如图，中，，，P为外一点，，，点Q为上一点，连接交于D，若，，则 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，已知点D、E在的边上，且，．求证：． 18．（8分）如图，在中，，为边的中点，于点，于点，．求证：是等边三角形． 19．（8分）在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，． (1)作关于y轴对称的图形； (2)写出顶点坐标； (3)如果与全等，则请直接写出点D坐标． 20．（8分）如图，中，∠ABC与∠ACB 的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E， （1）求证：DE=BD+CE； （2）若AB=5cm，AC=4cm，求△ADE的周长． 21．（8分）如图，在中，，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 22．（10分）阅读材料：如图1，已知中，，请用尺规作图在AB边上求作点P，使得． 小明提出想法：如图2，假设点P为所求作的点，连接CP，此时有，因为，所以，从而得到：． 由此想法得到如下作图方法：如图2，以点B为圆心，BC为半径画弧，该弧与AB相交于点P，则点P即为所作的点． 根据以上材料，完成下面两个问题： (1)请你类比上述作图方法，在图3中，用尺规作图在AB边上作点，使得； (2)按以上要求作出P，Q两点，当直角边长度发生变化时，求证：． 23．（10分）如图，等边△ABC的边长为10cm，点D从点C出发沿CA向点A运动，点E从点B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D，E都以1cm/s的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，点D运动到点A后两点同时停止运动． （1）当△ADE是直角三角形时，求D，E两点运动的时间； （2）求证：在运动过程中，点P始终是线段DE的中点． 24．（12分）如图，已知，垂直平分线段，平分，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求； (3)试探索线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 25．（14分）【数学思考】 （1）在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点B作的平行线，交的长线于点E，发现DE的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点D，E在边上，，过点E作，交的角平分线于点F，试判断EF与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交BA的延长线于点G，若，，则的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 轴对称（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质；根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是， 故选：A． 2．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一、以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 3．如图，在已知中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵不一定成立， ∴故C错误，符合题意，A、B、D正确，不符合题意． 故选：C． 4．已知等腰三角形的两边a，b的长是方程组的解，则这个三角形的周长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．8或10 【答案】C 【分析】求出方程组的解得到x与y的值，确定出等腰三角形三边，求出周长即可． 【详解】解：方程组，得， 若4为腰，三边长为4，4，2，周长为4+4+2＝10； 若2为腰，三边长为2，2，4，不能构成三角形． 故选C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．如图，直线，等边的两个顶点A，B分别在直线l和m上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，等边三角形的性质，根据平行线的性质及等边三角形的性质求解即可．掌握平行线的性质，等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 6．如图，在中，，，点D在的延长线上，，，则（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】过C点作于E，由等腰三角形的性质可得，利用含角的直角三角形的性质可求解的长，即可求得的长，然后根据即可求解． 【详解】解：过C点作于E，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质\含30°角的直角三角形的性质等知识点，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 7．如图，△ABC中，∠A＝∠ABE，CD平分∠BCE，且CD⊥BE于点D，AC＝5，BC＝3，则DE的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】由∠A＝∠ABE，CD平分∠BCE，CD⊥BE，即可得到，，，再由，即可得到． 【详解】解：∵△ABC中，∠A＝∠ABE，CD平分∠BCE，CD⊥BE， ∴，，， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的性质． 8．如图，在中，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线，分别交，于点P，D，连接．若点P到，的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图知垂直平分，证出；由P到，的距离相等得出平分，再根据内角和求出，进而求出结论． 【详解】解：由作图知：垂直平分， ， ， 到，的距离相等，，， 平分， ， ， 在中，， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图、等腰三角形性质、直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及角平分线的判定，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 9．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、格点问题等知识点，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形，然后统计即可解答． 【详解】解：如图:根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形如下： 以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个． 故选C． 10．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， 则， ， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：C． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查钟表的镜面对称问题，属于左右对称，数字的镜面对称数字是，据此即可求解． 【详解】解：此刻的实际时间应该是， 故答案为： 12．如图，将一张长方形纸片沿着折叠，使点 D落在边上的点F处．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先由折叠的性质得到，，再由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，在等边中，D，E分别是，上的点，且，与相交于点P，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质．先证明可得，从而可得答案． 【详解】解：∵在等边中，，，， ∴， ∴， 而， ∴． 故答案为：． 14．如图，一条笔直的公路经过处和公园，现要进一步开发景区，经测量，景区位于处的北偏东方向上、位于公园的北偏东方向上，且，则公园与景区的距离为 ．    【答案】/16千米 【分析】本题考查了方向角问题，等角对等边；根据题意可得：，，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，即可解答 【详解】解：如图：      由题意得：，， 是的一个外角， ， ， 公园与景区的距离为 故答案为：． 15．如图，中，，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则 度．    【答案】 【分析】设，由折叠知，根据三角形内角和定理，,得．于是． 【详解】解：设，由折叠知 ∵， ∴. ∵ ∴,得． ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称折叠的性质、三角形内角和定理；理解轴对称的性质是解题的关键． 16．如图，中，，，P为外一点，，，点Q为上一点，连接交于D，若，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等知识．延长到，使得，连接交于．设，则．先证明，得到，，，得到，，进而证明，根据证明，即可求出． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接交于．设，则． ∵，， ∴， ∵，，， ， ，，， ∴， ， ， ∵， ， ∵， ， ， ， ． 故答案为：4． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，已知点D、E在的边上，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由，∠ADC＋∠ADB＝180°，∠AEB＋∠AEC＝180°，证得∠ADB＝∠AEC，AD＝AE，又由得到△ABD≌△ACE（SAS），即可得到结论． 【详解】解：∵，∠ADC＋∠ADB＝180°，∠AEB＋∠AEC＝180°， ∴△ADE是等腰三角形，∠ADB＝∠AEC， ∴ AD＝AE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴ ∠1＝∠2． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 18．（8分）如图，在中，，为边的中点，于点，于点，．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】由线段中点的性质得出，进而可利用“”证明，得出，进而可证，再结合，即得出是等边三角形． 【详解】证明：∵为的中点， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查线段中点的性质，三角形全等的判定和性质，等角对等边，等边三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 19．（8分）在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，． (1)作关于y轴对称的图形； (2)写出顶点坐标； (3)如果与全等，则请直接写出点D坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，全等三角形的判定： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据全等三角形的判定定理结合网格的特点求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于y轴对称，，， ∴，． （3）解：如图所示，点即为所求． 20．（8分）如图，中，∠ABC与∠ACB 的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E， （1）求证：DE=BD+CE； （2）若AB=5cm，AC=4cm，求△ADE的周长． 【答案】（1）见解析；（2）△ADE 的周长为9cm． 【分析】（1）由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的性质即可证得DE=BD+CE． （2）由DB=DF,EC=EF可将△ADE的周长转化为AB+AC即可． 【详解】（1）证明：∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB ∴∠ABF=∠CBF, ∠ACF=∠BCF ∵DE∥BC ∴∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠BCF ∴∠ABF=∠DFB,∠ACF=∠CFE ∴DB=DF,EC=EF ∵DE=DE+EF ∴DE=BD+CE （2）解：∵DB=DF,EC=EF ∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DF+FE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC ∵ ∴△ADE的周长=5+4=9cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质,本题利用了两直线平行内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形,等量代换的利用是解答本题的关键． 21．（8分）如图，在中，，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理． （1）利用证明即可求证； （2）根据，结合全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ，， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵ ， ， ， ， ， ． 22．（10分）阅读材料：如图1，已知中，，请用尺规作图在AB边上求作点P，使得． 小明提出想法：如图2，假设点P为所求作的点，连接CP，此时有，因为，所以，从而得到：． 由此想法得到如下作图方法：如图2，以点B为圆心，BC为半径画弧，该弧与AB相交于点P，则点P即为所作的点． 根据以上材料，完成下面两个问题： (1)请你类比上述作图方法，在图3中，用尺规作图在AB边上作点，使得； (2)按以上要求作出P，Q两点，当直角边长度发生变化时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）以点C为圆心，为半径画弧，该弧与相交于点Q，则点Q即为所作的点； （2）利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质进行计算即可得证． 【详解】（1）解：如图，点Q即为所求， ； （2）证明：如图， 由作图知：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（10分）如图，等边△ABC的边长为10cm，点D从点C出发沿CA向点A运动，点E从点B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D，E都以1cm/s的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，点D运动到点A后两点同时停止运动． （1）当△ADE是直角三角形时，求D，E两点运动的时间； （2）求证：在运动过程中，点P始终是线段DE的中点． 【答案】（1）s；（2）证明见解析 【分析】（1）经过分析当△ADE是直角三角形时，只有∠ADE=90°的情况，此时∠AED=30°．用运动时间t表示出AD和AE，根据30度直角三角形的性质构造关于t的方程即可求解； （2）过D点作DK∥AB交BC于点K，证明△DKP≌△EBP即可说明点P始终是线段DE的中点． 【详解】（1）当△ADE是直角三角形时，只有∠ADE＝90°的情况， ∵∠A＝60°， ∴∠AED＝30°， ∴AE＝2AD， 设D点运动时间为t，则E点运动时间也为t， ∴AD＝10﹣t，AE＝10+t， ∴10+t＝2（10﹣t），解得t＝， 所以当△ADE是直角三角形时，D，E两点运动的时间为秒； （2）过点D作DK∥AB交BC于点K， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝∠CDK＝∠CKD＝60°， ∴CD＝DK＝CK，∠DKP＝∠EBP＝120°， 设D、E运动时间为t秒，则CD＝BE＝t， 在△DKP和△EBP中， ∴△DKP≌△EBP（AAS）， ∴PD＝PE， 所以P始终为DE中点． 【点睛】本题主要考查了等边三角形、全等三角形的判定和性质，用运动时间t正确表示出对应线段长度是解题的关键． 24．（12分）如图，已知，垂直平分线段，平分，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求； (3)试探索线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线性质、线段垂直平分线性质及三角形内角和定理等知识，熟练运用全等三角形的判定与性质、角平分线性质、线段垂直平分线性质及三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线性质得到，根据线段垂直平分线性质得到，利用即可判定； （2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质推出，，根据三角形内角和定理推出，根据邻补角定义求解即可； （3）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：平分，于点，于点， ， 垂直平分线段， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：，理由如下： 在和中， ， ， ， ， ， ． 25．（14分）【数学思考】 （1）在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点B作的平行线，交的长线于点E，发现DE的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点D，E在边上，，过点E作，交的角平分线于点F，试判断EF与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交BA的延长线于点G，若，，则的长度． 【答案】（1）见解析   （2）；理由见解析   （3）2 【分析】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出， 均为等腰三角形，得到，，根据，根据面积求出的长即可． 【详解】解：（1）， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2）， 理由：延长到，使，连接， 在与中， ， ， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接， 同法可得：， ，， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故的长度为2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$