第十三章 轴对称（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第13章 轴对称（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．传统佳节“春节”临近，剪纸民俗魅力四射，对称现象无处不在.观察下面的四幅剪纸，其中不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解． 【详解】解：A、有1条对称轴，是轴对称图形； B、有1条对称轴，是轴对称图形； C、没有对称轴，不是轴对称图形； D、有1条对称轴，是轴对称图形. 故选：C. 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．如图所示的图形是轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点．若∠A＝50°，∠B＝70°，则∠D＋∠E的度数为（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质求解即可． 【详解】解：∵该图形为轴对称图形，且点A与点D，点B和点E是对应点， ∴∠A=∠D=50°，∠B=∠E=70° ∴∠D+∠E=50°+70°=120°． 故答案选：C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 3．已知点A（a，2）和点B（5，b）关于y轴对称，则a+b的值是（      ） A． B． C．7 D．-7 【答案】A 【详解】由题点A（a，2）和点B（5，b）关于y轴对称，知a=-5,b=2,a+b=-3. 试题分析：两点关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标相等,由题a=-5,b=2,a+b=-3. 考点：点关于y轴对称. 4．如图，在中，，，，点是边上的动点，则的长不可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用垂线段最短分析最小不能小于；利用含度角的直角三角形的性质得出，可知最大不能大于． 【详解】解：根据垂线段最短，可知的长不可小于； 在中，，，， ， 的长不能大于． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质和含度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含度角的直角三角形的性质得出． 5．下列命题中，逆命题是假命题的是（        ） A．全等三角形的对应边相等 B．等腰三角形的两底角相等 C．对顶角相等 D．等边三角形的每个角都等于60° 【答案】C 【分析】先分别写出四个命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定方法，等腰三角形的判定与性质，对顶角的定义，等边三角形的判定与性质判断四个逆命题的真假即可． 【详解】解：A、“全等三角形的对应边相等”的逆命题为“对应边相等的三角形全等”， 此逆命题为真命题，不符合题意； B、“等腰三角形的两底角相等”的逆命题为“两底角相等的三角形为等腰三角形”， 此逆命题为真命题，不符合题意； C、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”， 此逆命题为假命题，符合题意； D、“等边三角形的每个角都等于60°”的逆命题为“每个角都等于的三角形为等边三角形”， 此逆命题为真命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠DAE的度数为(　 　) A．30° B．40° C．60° D．80° 【答案】C 【分析】先根据三角形外角性质，用∠C表示出∠AED，再根据等边对等角和三角形内角和定理，列出等式即可求出∠C的度数，再求∠DAE． 【详解】解：设∠C=x， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C=x， ∴∠AED=x+10° ∵AD=DE， ∴∠DAE=∠AED=x+10° 根据三角形的内角和定理，得x+x+(20°+x+10°)=180° 解得x=50°， ∴∠DAE=50°+10°=60° 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，求出∠C的度数是解答本题的关键． 7．如图，△ABC中，AB=AC, ∠C=30°，AB的垂直平分线交BC于E,则下列结论正确的是（   ） A．BE=CE B．BE=CE C．BE= CE D．不能确定 【答案】A 【分析】连接AE，根据垂直平分线的性质得到AE=BE，则∠B=∠BAE=30°，进而得到△ACE为直角三角形，然后根据30°所对应的直角边等于斜边的一半即可得到答案. 【详解】解：如图连接AE， ∵△ABC中，AB=AC，∠C=30°， ∴∠B=∠C=30°， 又∵AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于D、E， ∴AE=BE， ∴∠B=∠BAE=30°， ∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°， ∴∠EAC=180°-∠C-∠AEC=90°， ∴△ACE为直角三角形， 则AE=BE=CE. 故选A. 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，含30度的直角三角形，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 8．如图，在中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于（    ） A．19° B．20° C．24° D．25° 【答案】B 【分析】根据垂直平分线和等腰三角形性质，得；根据三角形外角性质，得；根据轴对称的性质，得，，；根据补角的性质计算得，根据三角形内角和的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】∵BD的垂直平分线交AB于点E， ∴ ∴ ∴ ∵将沿AD折叠，点C恰好与点E重合， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称、三角形内角和、三角形外角、补角、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、三角形内角和、三角形外角的性质，从而完成求解． 9．如图，在四边形中，，M，N分别是上的动点．当的周长最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点A关于的对称点，关于的对称点，连接与的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：作点A关于的对称点，关于的对称点，则：． ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最短， 连接与的交点即为所求的点M、N，如图： ∵， ∴三点共线，三点共线， ， 由轴对称的性质得： 故选：B． 10．如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则． 正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ，故②不正确； ， ，故③正确； ， ， ， 为的中点， ， 为线段的垂直平分线， ，故④正确， 所以，正确结论的序号是：①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键． 二、填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，在△ABC中，AB=AC，若∠B＝70°，则∠C的度数为 ． 【答案】 【分析】直接根据等边对等角的性质写出结果即可． 【详解】∵在△ABC中，AB=AC， ∴∠B＝∠C＝70°，（等边对等角） 故答案为：． 【点睛】本题考查等边对等角的基本性质，理解并熟记基本性质是解题关键． 12．如图，小明家位于学校P的南偏东方向的M处，小明从家向正北方向走500米后到达位于学校的北偏东的图书馆N处，则图书馆N处与学校P的距离为 米． 【答案】500 【分析】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理．根据方向角的定义即可求得，则在中利用内角和定理求得的度数，证明三角形是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：由题意得，米， ∴，， ∴， ∴， ∴米， ∴图书馆N处与学校P的距离为500米． 故答案为：500． 13．如图，，点在边上．若1=26°，则 = °， = °． 【答案】 77 26 【分析】根据，得到，可知△ACE为等腰三角形，根据1=26°，可求出的度数；∠AEB为△ACE的外角，故可知其度数，，已知∠AED的度数，即可求出的度数． 【详解】∵ ∴ ∴∠C=∠AEC= 【点睛】本题考查三角形全等，则对应边相等；根据已知角，求未知角． 14．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外点A1的位置，若∠1+∠2=240°，则∠A= °． 【答案】30 【分析】根据平角的性质得到因为∠1+∠2=240°，得到再由图形翻折变换的性质得到根据三角形的内角和即可得出结论． 【详解】∵ ∠1+∠2=240° ∴ 根据折叠的性质可得： ∴∠A 故答案为30. 【点睛】考查三角形的内角和定理， 翻折变换（折叠问题），掌握折叠的性质是解题的关键. 15．已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC，过点F作FG⊥AB于点G，当点G与点D重合时，AD的长是 ． 【答案】8 【分析】设BD＝x，根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，由垂直的定义得到∠BDF＝∠DEA＝∠EFC＝90°，再解直角三角形即可得到结论. 【详解】如图，设BD＝x． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB， ∴∠BDF＝∠DEA＝∠EFC＝90°， ∴BF＝2x， ∴CF＝12﹣2x， ∴CE＝2CF＝24﹣4x， ∴AE＝12﹣CE＝4x﹣12， ∴AD＝2AE＝8x﹣24， ∵AD+BD＝AB， ∴8x﹣24+x＝12， ∴x＝4， ∴AD＝8x﹣24＝32﹣24＝8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 16．如图，直线，直线与，分别交于点E，F，点M是射线上不与端点重合的一个动点，沿着折叠后，顶点E落在点N处．当，且时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】 分两种情况：①当点在平行线、之间时，根据，可得，，设，则，由折叠可得，根据平行线的性质即可得到结论；②当点在的下方时，根据，可得，，设，则，由折叠可得 根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：①当点在平行线、之间时，如图所示： ∵，则，， 设，则， 由折叠可得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ②当点在的下方时，如图所示： ∵，则，， 设，则， 由折叠可得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述：的度数为或． 故填：或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及折叠性质，熟练掌握两直线平行同旁内角互补的性质是解此题的关键． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．已知：如图，相交于点． 求证：是等腰三角形．    【答案】见解析 【分析】由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：证明：在和中， ， ， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 18．如图，在中，，分别为，边的垂直平分线，连接，．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，分别为，边的垂直平分线， ，， ，，， ， ， ， ． 19．如图，在，． (1)请用尺规作图：过点A作，垂足为点D（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，若，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． （1）利用过直线外一点作直线的垂线画出即可； （2）利用同角的余角相等即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）证明：， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 20．如图，分别以的边，向外作等边和等边，与相交于点．    (1)求证：； (2)请求出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，得到，根据全等三角形的判定与性质即可得到结论； （2）根据角的和差和对顶角的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，设与交于点，    ∵，， ∴， 即：， ∵， ∴． 21．如图． (1)在网格中画出关于轴对称的． (2)写出关于轴对称的的各顶点坐标． (3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)见解析 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，对称最短路径的作图方法，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）先确定点的位置，然后连接各点即可求解； （2）根据题意，分别写出点的坐标，再根据点关于轴对称的点的特点，即可求出的坐标； （3）根据对称求最短路径的方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变， ∴，，，如图所示，连接，    ∴即为所求图形． （2）解：由（1）可知，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴，，． （3）解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，则与轴交于点， ∴根据对称可得，， ∴， ∵点两点之间线段最短， ∴最短，即的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求点的位置． 22．如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)若设的长为x，则_________，____________． (2)当时，求的长； (3)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质并结合题意即可得出答案； （2）求出是直角三角形，再由含角的直角三角形的性质得出，建立方程计算即可得出答案； （3）过点作的平行线交于，证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， 设的长为x，则，， ∴； （2）解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由如下： 如图，过点作的平行线交于， ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23．（1）如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断，，之间的等量关系 ； （2）问题探究：如图，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）由可证，根据性质可得，即可得结论； （）延长交的延长线于点，证明，然后根据性质和线段和差即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（），理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴； （），理由如下： 如图，延长交的延长线于点， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．【概念理解】 我们定义：在一个三角形中，如果其中一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”． 如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． 【简单应用】 在中，，问：是不是“完美三角形”？请说明理由． 【变式训练】 如图1所示，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）． （1）________，_______（选填“是”或“不是”）“完美三角形”； （2）如果，那么________（选填“是”或“不是”）“完美三角形”． 【应用拓展】 如图2所示，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，若，是“完美三角形”，求的度数． 【答案】简单应用：是“完美三角形”，理由见解析；变式训练：（1）；是；（2）不是；应用拓展：或 【分析】简单应用：根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再根据“完美三角形”的概念判断即可； 变式训练： （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“完美三角形”的概念判断； （2）利用三角形外角的性质求出的度数，再根据“和谐三角形”的概念证明即可； 拓展应用：根据平角的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【详解】解：简单应用：是“完美三角形”，理由如下： ∵在中，， ∴， ∴， ∴是“完美三角形”； 变式训练：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为“完美三角形”， 故答案为：；是； （2）∵，，， ∴，， ∴不是“完美三角形”； 应用拓展：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“完美三角形”， ∴或， ∵， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义，“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 25．等腰，，，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求B点的坐标； (3)如图3，点，Q，A两点均在x轴上，且，分别以为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，，连接交y轴于P点，的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变，8 【分析】（1）根据同角的余角相等得出结论即可； （2）先过点作轴于，再判定，求得，，进而得出，即可得到点的坐标； （3）先过作，交轴于，再，得出，，然后判定，得出，即可求得(定值)． 【详解】（1）解：如图1，，， ， ； （2）如图2，过点作轴于，则，    在和中， ， ， ，， ， 又点在第三象限， ； （3）的长度不会发生改变． 理由：如图3，过作，交轴于，则，    等腰、等腰， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， (定值)， 即的长度始终是9． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 轴对称（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．传统佳节“春节”临近，剪纸民俗魅力四射，对称现象无处不在.观察下面的四幅剪纸，其中不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的图形是轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点．若∠A＝50°，∠B＝70°，则∠D＋∠E的度数为（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 3．已知点A（a，2）和点B（5，b）关于y轴对称，则a+b的值是（      ） A． B． C．7 D．-7 4．如图，在中，，，，点是边上的动点，则的长不可能是（    ）    A． B． C． D． 5．下列命题中，逆命题是假命题的是（        ） A．全等三角形的对应边相等 B．等腰三角形的两底角相等 C．对顶角相等 D．等边三角形的每个角都等于60° 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠DAE的度数为(　 　) A．30° B．40° C．60° D．80° 7．如图，△ABC中，AB=AC, ∠C=30°，AB的垂直平分线交BC于E,则下列结论正确的是（   ） A．BE=CE B．BE=CE C．BE= CE D．不能确定 8．如图，在中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于（    ） A．19° B．20° C．24° D．25° 9．如图，在四边形中，，M，N分别是上的动点．当的周长最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则． 正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，在△ABC中，AB=AC，若∠B＝70°，则∠C的度数为 ． 12．如图，小明家位于学校P的南偏东方向的M处，小明从家向正北方向走500米后到达位于学校的北偏东的图书馆N处，则图书馆N处与学校P的距离为 米． 13．如图，，点在边上．若1=26°，则 = °， = °． 14．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外点A1的位置，若∠1+∠2=240°，则∠A= °． 15．已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC，过点F作FG⊥AB于点G，当点G与点D重合时，AD的长是 ． 16．如图，直线，直线与，分别交于点E，F，点M是射线上不与端点重合的一个动点，沿着折叠后，顶点E落在点N处．当，且时，的度数为 ． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．已知：如图，相交于点． 求证：是等腰三角形．    18．如图，在中，，分别为，边的垂直平分线，连接，．若，求的度数． 19．如图，在，． (1)请用尺规作图：过点A作，垂足为点D（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，若，则______． 20．如图，分别以的边，向外作等边和等边，与相交于点．    (1)求证：； (2)请求出的度数． 21．如图． (1)在网格中画出关于轴对称的． (2)写出关于轴对称的的各顶点坐标． (3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹） 22．如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)若设的长为x，则_________，____________． (2)当时，求的长； (3)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 23．（1）如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断，，之间的等量关系 ； （2）问题探究：如图，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 24．【概念理解】 我们定义：在一个三角形中，如果其中一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”． 如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． 【简单应用】 在中，，问：是不是“完美三角形”？请说明理由． 【变式训练】 如图1所示，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）． （1）________，_______（选填“是”或“不是”）“完美三角形”； （2）如果，那么________（选填“是”或“不是”）“完美三角形”． 【应用拓展】 如图2所示，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，若，是“完美三角形”，求的度数． 25．等腰，，，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求B点的坐标； (3)如图3，点，Q，A两点均在x轴上，且，分别以为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，，连接交y轴于P点，的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$