高二数学期中考试模拟卷01-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

高二数学期中考试模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章、第二章、椭圆。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 2．已知，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A．3 B．1 C．5 D．7 3．已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 4．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．6 5．已知直线经过点且斜率大于0，若圆的圆心与直线上一动点之间距离的最小值为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．现有一段底面周长为厘米和高为12厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到达点，另一只从沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到达点，则此时线段长（单位：厘米）为（    ） A． B． C．6 D．12 7．椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 10．椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（    ） A．椭圆C的焦距为2 B．的周长为8 C．椭圆C的离心率为 D．的面积为 11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，，若，，共面，则 ． 13．已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是 . 14．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆是“黄金椭圆”，则 ．若“黄金粗圆”的两个焦点分别为，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 16．（15分） 如图所示，在四面体中，平面是的中点，是的中点,点在线段上，且. (1)求证：平面. (2)若，求二面角的正弦值. 17．（15分） 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲.若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，E为AB中点，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为. (1)若，AD足够长，机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？ (2)若机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，应如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？ 18．（17分） 已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于A，B两点. (1)求椭圆E的方程； (2)若AB的中点坐标为，求直线l的方程； (3)若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形. 19．（17分） 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量. (1)指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由； (2)证明：直线在曲面上； (3)若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值. 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(1)求证：平面. (2)若，求二面角的正弦值. 【解析】（1） 方法一：如图，取中点，因是中点， 且， 取的四等分点，使， 又，则，且 ， 四边形为平行四边形， ,又平面，且平面， 平面. 方法二： 如图，连接并延长交于，连接， 在中，过点作交于点, 因为是的中点，则， 又是的中点，则，得 在中，因，故， 又平面平面， 平面. （2） 由，知. 以为坐标原点，过点与平行的直线为轴， 分别以所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系. 又，得， 则. 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，即； 设平面BCM的一个法向量为， 则，即，取，得 因为， 设二面角的平面角为，则, 所以二面角的正弦值为. 17．（15分） 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲.若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，E为AB中点，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为. (1)若，AD足够长，机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？ (2)若机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，应如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？ 【解析】（1）根据题意，在中，可得， 由正弦定理得：，可得， 因为为锐角，所以， 所以应在矩形区域内，按照与夹角为的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功. （2）以所在直线为轴，中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 设，根据题意，可得，所以， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的上半圆在矩形区域内的部分， 所以，当米时，能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲． 18．（17分） 已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于A，B两点. (1)求椭圆E的方程； (2)若AB的中点坐标为，求直线l的方程； (3)若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形. 【解析】（1）由题得， 将代入得： ， 椭圆E的方程为. （2）设，则， 且， 两式相减得：，可得， l方程为，即. （3）由得： ，且， ， ∴， 又直线的斜率存在，AF与RQ不平行， ∴四边形ARQF为梯形. 19．（17分） 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量. (1)指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由； (2)证明：直线在曲面上； (3)若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为， 已知曲面的方程为， 当时，平面截曲面所得交线上的点满足， 即， 也即在平面上到原点距离为定值1， 从而平面截曲面所得交线是平面上，以原点为圆心，1为半径的圆. （2）设是直线上任意一点， 由，均为直线的方向向量，有， 从而存在实数，使得，即， 则，解得， 所以点的坐标为， 于是， 因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上. （3）直线在曲面上，且过点， 设是直线上任意一点，直线的方向向量为， 由，均为直线的方向向量，有， 从而存在实数，使得，即， 则，解得， 所以点的坐标为， ∵在曲面上，∴， 整理得， 由题意，对任意的，有恒成立， ∴，且， ∴，或， 不妨取，则，或， ∴，或， 又直线的方向向量为， 则异面直线与所成角的余弦值均为 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$