高二数学期中考试模拟卷02-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

高二数学期中考试模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章、第二章、椭圆。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，且，则（ ） A． B．0 C．3 D． 2．若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 3．下列命题中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 4．如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 5．已知椭圆C：的离心率为，若椭圆C的长轴、短轴同时增加，得到离心率为的椭圆，则    （    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 6．已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆与圆，过动点分别作圆､圆的切线（分别为切点），若，则到圆距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于直线与圆，下列说法不正确的是（  ） A．过定点 B．的半径为9 C．与可能相切 D．被截得的弦长最小值为 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个 11．已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．动点的轨迹长度为 C．不存在点，使得平面 D．四面体DEFG体积的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，则 . 13．中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ． 14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 16．（15分） 已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． (3)设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 18．（17分） 已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知椭圆：，点（）与上的点之间的距离的最大值为6． (1)求点到上的点的距离的最小值； (2)过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为． ①证明：直线过定点； ②已知为坐标原点，求面积的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学期中考试模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章、第二章、椭圆。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，且，则（ ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【解析】， 由，则有，解得，则. 由，则有，解得，， 所以，故， 则. 故选：D. 2．若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得， 故圆心坐标为. 故选：A. 3．下列命题中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 【答案】C 【解析】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误； 对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为， ，有，则或，B选项错误； 对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为， 则直线l与平面所成的角为，C选项正确； 对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线， 若，则，解得，D选项错误. 故选：C. 4．如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则. 所以，又 所以. 故选：C. 5．已知椭圆C：的离心率为，若椭圆C的长轴、短轴同时增加，得到离心率为的椭圆，则    （    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 【答案】A 【解析】由题知，则． 因为，，则<，所以． 故选：A. 6．已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为， 可得. 由，两式相减得， 整理得，可得， 即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 7．已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆，可得圆心，半径， 又，所以， 所以， 因为，所以. 故选：A. 8．已知圆与圆，过动点分别作圆､圆的切线（分别为切点），若，则到圆距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题，， 因为，则，即， 化简得，即动点在直线上， 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以到圆距离的最小值是. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于直线与圆，下列说法不正确的是（  ） A．过定点 B．的半径为9 C．与可能相切 D．被截得的弦长最小值为 【答案】BC 【解析】可变形为， 由，得，所以直线过定点，故A正确； 圆的标准方程为，半径为3，故B不正确； 由，所以点在圆的内部， 所以与相交，不会相切，故C不正确； 当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小. 因为点和圆心连线的斜率为，所以，解得， 此时的方程为，因为圆心到直线的距离， 所以弦长为，故D正确. 故选：BC. 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个 【答案】BCD 【解析】由原方程可得椭圆标准方程为， ，，故A错误； 由椭圆定义可知，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确. 故选：BCD 11．已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．动点的轨迹长度为 C．不存在点，使得平面 D．四面体DEFG体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】对于A，如图，连接、， 依题意，，而平面平面，故平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值， 所以点到平面的距离为定值，故三棱维的体积为定值，故正确； 对于B，因为正方体的体积为8，故，则，而， 故， 故动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧， 故所求轨迹长度为，故B错误； 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 设为平面的法向量，则故 令，故为平面的一个法向量， 设，故， 若平面，则， 则，解得，但， 所以不存在点点，使得平面，故C正确； 对于D，因为为等腰三角形，故， 而点到平面的距离， 令，则， 则，其中， 则四面体体积的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，则 . 【答案】 【解析】已知向量，若，则，解得. 故答案为：. 13．中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ． 【答案】 【解析】由椭圆的长轴长为4，则可得，解得， 因为，由椭圆的对称性可知， 所以，解得，所以， 又椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为. 故答案为：. 14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为 ． 【答案】9 【解析】由为圆上一动点，得， 由为圆上一动点，得， 又. 因为，所以， 于是. 当共线且时取得最小值，即. 所以， 当共线时等号成立. 故答案为：9． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【解析】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 则与所成的角的余弦值为. 16．（15分） 已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 【解析】（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． (3)设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 【解析】（1）因为⊥平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面. （2）在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则，，，， 、、、. ，，， 若平面，则且，使得， 则有，解得，故. 所以直线平面. （3）由（2）可知，. 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而，， 故. 18．（17分） 已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）依题可设圆心坐标为， 则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆的标准方程为. （2） 若 是圆C上任意一点， 则表示圆上任意一点到点距离的平方， 所以的最大值为， 的最小值为： ， 所以的取值范围为： （3）假设存在定点，设， ， 则， 则，当，即，（舍去）时，为定值，     且定值为，故存在定点，且的坐标为. 19．（17分） 已知椭圆：，点（）与上的点之间的距离的最大值为6． (1)求点到上的点的距离的最小值； (2)过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为． ①证明：直线过定点； ②已知为坐标原点，求面积的取值范围． 【解析】（1）设是椭圆上一点，则，所以， 所以（）， 因为，所以当时，， ，解得或（舍去）， 所以，所以当时，． （2）①证明：由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为（）， ，，，联立直线和的方程， 得消去并化简，得， 所以， 解得，且． 又点在点的右侧，则，且，， 所以直线的方程为， 所以， 因为 ， 所以，所以直线过定点． ②由①知直线的方程为，设，则， ，将，代入， 可得，由，且， 得的取值范围为． 由消去并化简得， 则， ，． ， 原点到直线的距离为， 所以， 令，由的取值范围为，得的取值范围为． 又函数在上单调递增，所以，的值域为． 所以的取值范围是， 所以面积的取值范围为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$