重难点06 椭圆中的定点、定值、定直线问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

重难点06 椭圆中的定点、定值、定直线问题 1．（23-24高二上·山东·期中）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：    步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕. 现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、. （i）求证：为定值； （ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标. 2．（22-23高二上·山东淄博·期中）阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）.试结合，上述事实现象完成下列问题： (1)有一椭圆型台球桌，长轴长为，短轴长为.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值； (2)过点的直线（直线斜率不为）与焦点在轴，且长轴长为，短轴长为的椭圆交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在，请说明理由； (3)结论:椭图上任点处的切线的方程为.在直线上任一点向（2）中的椭圆引切线，切点分别为，.求证:直线恒过定点. 3．（22-23高二上·山东淄博·期中）已知轨迹上任一点与定点的距离和到定直线的距离的比为. (1)求轨迹的方程，并说明轨迹表示什么图形？ (2)设点，过点且斜率为的动直线与轨迹交于两点，直线分别交圆于异于点的点，设直线的斜率为，直线的斜率分别为. ①求证：为定值； ②问：直线是否过一定点，若过，请求出定点；若不过，请说明理由. 4．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点在椭圆上，且， ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 5．（22-23高二上·山东临沂·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，A，B是上关于原点对称的两个动点，当垂直于x轴时，的周长为． (1)求的方程； (2)已知的离心率，直线与交于点M（异于点A），直线与交于点N（异于点B），证明：直线MN过定点． 6．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知O为坐标原点，椭圆C：上顶点为A，右顶点为B，离心率，圆O：与直线AB相切． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若D，E，F为椭圆C上的三个动点，直线EF，DE，DF的斜率分别为． （i）若EF的中点为，求直线EF的方程； （ii）若，证明：直线EF过定点． 7．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于两点. （ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值； （ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值. 8．（23-24高二上·山东日照·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形． (1)求C的标准方程； (2)M，N为C上且在x轴上方的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 9．（22-23高二上·山东德州·期中）已知椭圆C：的右焦点为，点Q为椭圆C上任意一点，且的最小值为． (1)求椭圆的C标准方程； (2)设椭圆：，过点Q作椭圆C的切线交椭圆于M，N两点，求证：（O为原点）的面积为定值，并求出此定值． （注：在椭圆C：上一点的切线方程为） 10．（22-23高二上·山东日照·期中）如图，已知椭圆的左、右顶点为、，又、与椭圆短轴的一个端点组成的三角形面积为.圆的圆心为椭圆的左顶点.    (1)求椭圆的方程； (2)当圆半径时，过椭圆外一点垂直于轴的圆的切线为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线分别交于、两点，求的最小值； (3)圆A与椭圆交于点、.点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点.求证：为定值. 11．（22-23高二上·山东济南·期中）已知椭圆（）的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程 (2)分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和，与交于，与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点 ①求证：； ②求证：定值. 12．（22-23高二上·山东滨州·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦点为，，点，. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，且点不在坐标轴上，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：为定值，并求出该定值. 13．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，过焦点作垂直于长轴的直线交椭圆于、，． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 14．（22-23高二上·山东东营·期中）已知的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A、B两点，直线与x轴相交于点H，过点A作，垂足为D． (1)求椭圆C的标准方程； (2)①求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围； ②证明直线BD过定点E，并求出点E的坐标． 15．（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知轨迹上任一点与定点的距离和到定直线的距离的比为， (1)求轨迹的方程，并说明轨迹表示什么图形？ (2)设过点且斜率为的动直线与轨迹交于，两点，且点，直线，分别交圆于异于点的点，，设直线的斜率为，问是否存在实数，使得，若存在求出值，若不存在请说明理由． 16．（22-23高二上·山东潍坊·期中）如图，已知圆，点是圆内一个定点，是圆上任意-一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，连接，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程; (2)若、是曲线上关于原点对称的两个点，点是曲线.上任意-一点(不同于点、)，当直线、的斜率都存在时，记它们的斜率分别为、，求证:的为定值. 17．（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知圆，圆心为点，点是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点在圆上运动. （l）求动点的轨迹的方程; （2）若为曲线上任意一点，|的最大值; （3）经过点且斜率为的直线交曲线于两点在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标：若不存在，说明理由. 18．（23-24高二上·山东·期中）已知椭圆过点．过点的直线交直线于点，交于两点． (1)求的方程； (2)是否存在实数使得?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知椭圆E的左、右焦点分别为，，点M在椭圆E上，，的周长为，面积为． (1)求椭圆E的方程． (2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与椭圆E交于C，D两点（不同于左右顶点），记直线AC的斜率为，直线BD的斜率为，问是否存在实常数，使得，恒成立？若成立，求出的值，若不成立，说明理由． 20．（22-23高二上·山东菏泽·期中）如图，已知动圆过点，且与圆内切于点，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于、两点，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 21．（22-23高二上·山东·期中）已知椭圆： 的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，若的最大值是5，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交轴于点，且，，试分析是否为定值，若是，请求出这个定值；否则，请说明理由． 22．（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知曲线且 (1)若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围； (2)当时，过C的右焦点且斜率为k的直线l交曲线C于点A、B（A，B异于顶点），交直线于P.过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于点E，直线BQ交x轴于D，求证：. 23．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知圆，，点P是圆A上的动点，线段的中垂线交于点Q． (1)求动点Q的轨迹方程． (2)若点，，过点B的直线与点Q的轨迹交于点S，N，且直线、的斜率，存在，求证：为常数． 24．（22-23高二上·山东济宁·期中）椭圆：过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，． （1）求椭圆的方程； （2）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，，试证明：． 25．（22-23高二上·山东济南·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值?若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由. 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(1)求的方程； (2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、. （i）求证：为定值； （ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标. 【解析】（1）由题意可知，， 故点的轨迹是以，为焦点，且长轴长的椭圆， 焦距，所以， 因此轨迹方程为. （2）证明：（i）设，，， 由题可知，如下图所示： 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值. （ii）设直线的方程为，，， 由，得， 所以. 由（i）可知，， 即， 化简得，解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点. 2．（22-23高二上·山东淄博·期中）阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）.试结合，上述事实现象完成下列问题： (1)有一椭圆型台球桌，长轴长为，短轴长为.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值； (2)过点的直线（直线斜率不为）与焦点在轴，且长轴长为，短轴长为的椭圆交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在，请说明理由； (3)结论:椭图上任点处的切线的方程为.在直线上任一点向（2）中的椭圆引切线，切点分别为，.求证:直线恒过定点. 【解析】（1）由已知，，，∴，，， 不妨假设桌球放置于椭圆左焦点处， ①若桌球击出后，经过球桌边缘反射的位置位于椭圆长轴的右端点， 则第一次返回到左焦点处时，； ②若桌球击出后，经过球桌边缘反射的位置位于椭圆长轴的左端点， 则第一次返回到左焦点处时，； ③若桌球击出后，经过球桌边缘反射的位置位于除椭圆长轴两个端点外的任意一点处， 则第一次返回到左焦点处时，， 综上所述，的值为或或. （2）焦点在轴，且长轴长为，短轴长为的椭圆的标准方程为：， 设过点的直线（直线斜率不为）的方程为：， 则消去，化简得， 设，，则，， ∴当时，是与无关的定值， ∴存在定点，使为定值或定点，使为定值. （3）设，，， 则过所引椭圆切线分别为：：，：， ∵在与上，∴， 即点，的坐标满足方程，点，在直线上， ∴直线的方程为，恒过定点. 3．（22-23高二上·山东淄博·期中）已知轨迹上任一点与定点的距离和到定直线的距离的比为. (1)求轨迹的方程，并说明轨迹表示什么图形？ (2)设点，过点且斜率为的动直线与轨迹交于两点，直线分别交圆于异于点的点，设直线的斜率为，直线的斜率分别为. ①求证：为定值； ②问：直线是否过一定点，若过，请求出定点；若不过，请说明理由. 【解析】（1）设是点到定直线的距离， 由题意，动点的轨迹就是集合， 则， 化简得，即， 所以轨迹是长轴长､短轴长分别为的椭圆； （2）①设直线的方程为， 与联立得，， 设，则， 所以 ； ②设直线的方程为， 与联立得，， 设，则， 所以 ， 由题意知，即， 所以，此时， 所以直线的方程为， 故直线恒过定点. 4．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点在椭圆上，且， ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 【解析】（1）由题意可得：， 解得：， 故椭圆方程为：. （2）①设点. 因为，，即 由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程为， 联立，消去并整理得：， 根据，代入整理可得： ， 将代入，得， 整理得：，解得或， 因为时直线恒过定点，不合题意，舍去， 所以，直线恒过定点. ②由①知，直线的方程为：， 点到直线的距离， 联立，消去并整理得：， ， 所以的面积， 令，则，， ， 因为，所以时面积最大，最大值为. 5．（22-23高二上·山东临沂·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，A，B是上关于原点对称的两个动点，当垂直于x轴时，的周长为． (1)求的方程； (2)已知的离心率，直线与交于点M（异于点A），直线与交于点N（异于点B），证明：直线MN过定点． 【解析】（1）由题意可知：， 又因为A，B是上关于原点对称的两个动点，所以， 则的周长为， 因为，即， 又因为，所以或， 故的方程为或. （2）由题，的方程为， 当A，B为椭圆的左右顶点时，直线与轴重合； 当A，B为椭圆的上下顶点时，则，所以直线的方程为，与椭圆方程联立可得点， 同理可得点，此时直线的方程为； 当A，B不是顶点时，设直线的方程为，， 由，整理可得：，， ， 设直线的方程为，其中，，， 由，整理可得：，， 所以 设直线的方程为，其中，，， 由，整理可得：，， 所以， 所以，整理可得：， 所以， 因为 ， 则， 整理可得：， 将代入上式可得： ，也即， 因为，所以，所以直线的方程为，恒过定点， 综上：直线恒过定点. 6．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知O为坐标原点，椭圆C：上顶点为A，右顶点为B，离心率，圆O：与直线AB相切． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若D，E，F为椭圆C上的三个动点，直线EF，DE，DF的斜率分别为． （i）若EF的中点为，求直线EF的方程； （ii）若，证明：直线EF过定点． 【解析】（1）由题意，直线AB的方程为：，即为， 因为圆O与直线AB相切，所以，① 设椭圆的半焦距为c，因为，，所以② 由①②得：，，所以椭圆C的标准方程为：． （2）设，，， 由题知：，， 两式作差得：， 整理得：， 所以此时直线EF的方程为：； 设直线DE：，设直线DF：， 将代入， 得：， 所以，， 因此． 又因为，且同理可得：， 可得， 设直线EF的方程为：，将代入， 得：， 得，所以， 所以直线EF过定点． 7．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于两点. （ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值； （ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值. 【解析】（1）由题意知：，， 又，则以为圆心且过的圆的半径为， 故，所以椭圆的标准方程为：. （2）（ⅰ）设直线的方程为：， 将代入得：， 所以且， 故. 又， 点到直线的距离， 所以， 等号当仅当时取，即当时，的面积取最大值为. （ⅱ）显然直线的斜率一定存在， 设直线的方程为：，， 由（ⅰ）知： 所以， 所以， 解得，，直线过定点或， 所以D在以OZ为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于， 所以存在定点或，使得为定值. 8．（23-24高二上·山东日照·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形． (1)求C的标准方程； (2)M，N为C上且在x轴上方的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，因为四边形是面积为8的正方形， 所以有且，解得，故， 所以椭圆的标准方程为； （2）由已知，则， 设，因为， 所以． 又因为，所以， 所以 ． 即． 设，的方程分别为：，， 设，， 则， 所以， 因此， 同理可得：，因此，， 所以． 所以为定值，定值为． 9．（22-23高二上·山东德州·期中）已知椭圆C：的右焦点为，点Q为椭圆C上任意一点，且的最小值为． (1)求椭圆的C标准方程； (2)设椭圆：，过点Q作椭圆C的切线交椭圆于M，N两点，求证：（O为原点）的面积为定值，并求出此定值． （注：在椭圆C：上一点的切线方程为） 【解析】（1）设，则， 记，由于对称轴为，且，且， 故在单调递减，故当时，此时，取最小值为， 故的最小值为，故， ， 故椭圆的方程为， （2）设，则过的切线方程为：， 方程为：， 联立， 由于在椭圆上，所以 设, 当切线无斜率时，则方程为，此时或，故 此时; 设切线有斜率时，设斜率为，且 则， 故，原点到切线的距离， 故， 代入 得： ， 综上，的面积为定值10. 10．（22-23高二上·山东日照·期中）如图，已知椭圆的左、右顶点为、，又、与椭圆短轴的一个端点组成的三角形面积为.圆的圆心为椭圆的左顶点.    (1)求椭圆的方程； (2)当圆半径时，过椭圆外一点垂直于轴的圆的切线为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线分别交于、两点，求的最小值； (3)圆A与椭圆交于点、.点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点.求证：为定值. 【解析】（1）由题意知、与椭圆短轴的一个端点组成的三角形的面积为， 又因为，则，，因此，椭圆的方程为. （2）直线，由已知、， 设直线的斜率为，则的方程为， 联立，解得，得， 设点，其中，则， 则，所以，， 所以直线的方程为，所以， ，当且仅当时等号成立. 此时线段长度的最小值是. （3）设、、， 则直线的方程为， 令，得，同理，故， 又点与点在椭圆上，故，， 得， 所以为定值. 11．（22-23高二上·山东济南·期中）已知椭圆（）的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程 (2)分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和，与交于，与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点 ①求证：； ②求证：定值. 【解析】（1）椭圆的的离心率为，所以， 椭圆过点，所以，即， 因此椭圆的标准方程为； （2）①当直线和中有一条没有斜率时，另一条的斜率为零，此时点是或者是，显然成立， 当直线存在斜率且不为零时，设为，所以直线的斜率为， 因为，坐标原点是线段的中点， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（不包括两焦点）， 综上所述：点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，因此， 显然，显然成立， ②当直线和中有一条没有斜率时，由于椭圆的对称性，不妨设直线不存在，因此直线的斜率为零， ，把时，，所以， 显然，所以定值； 当直线存在斜率且不为零时，设为，所以直线的斜率为， 直线的方程为：，于是有，设， ， ， 同理可得：， 于是定值， 综上所述：定值. 12．（22-23高二上·山东滨州·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦点为，，点，. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，且点不在坐标轴上，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：为定值，并求出该定值. 【解析】（1）因为椭圆的焦点为，， 可设椭圆的方程为.又点在椭圆上， 所以，解得，因此，椭圆的方程为. （2）设椭圆上点，则. 由于点不在坐标轴上，直线和直线存在斜率， 则直线，令，得 ，∴ ， 直线，令，得 ，∴， 所以  ， ∵，∴代入上式得 ， 故为定值. 13．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，过焦点作垂直于长轴的直线交椭圆于、，． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为， 所以，即， 由题意过焦点的通径， 所以解得，， 所以椭圆的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，因为过点，所以：， 所以，两点坐标为椭圆的上下顶点， 所以以为直径的圆的圆心为原点，半径为， 所以以为直径的圆不过椭圆的左顶点，不合题意，舍去， 当直线的斜率存在时，不妨设为， 联立直线与椭圆的方程可得， 消得， 其判别式需要满足， 即， 设，，则有，， 若以为直径的圆过椭圆的左顶点，不妨记椭圆的左顶点为，则， 则有， 又因为，， 即 ， 即， 即， 解得或， 均满足， 所以的方程为或． 14．（22-23高二上·山东东营·期中）已知的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A、B两点，直线与x轴相交于点H，过点A作，垂足为D． (1)求椭圆C的标准方程； (2)①求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围； ②证明直线BD过定点E，并求出点E的坐标． 【解析】（1）由题可知：，所以，， 故椭圆的标准方程为； （2）①由题，设直线，，， 联立，消去x，得， 因为，，， 则 所以四边形OAHB的面积， 令，∴，∴ 因为（当且仅当即时取等号），所以， 所以四边形OAHB的面积取值范围为； ②∵，，所以直线BD的斜率， 所以直线BD的方程为， 令，可得，① 由（1）可得，，∴ 化简①可得 则直线BD过定点． 15．（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知轨迹上任一点与定点的距离和到定直线的距离的比为， (1)求轨迹的方程，并说明轨迹表示什么图形？ (2)设过点且斜率为的动直线与轨迹交于，两点，且点，直线，分别交圆于异于点的点，，设直线的斜率为，问是否存在实数，使得，若存在求出值，若不存在请说明理由． 【解析】（1）设是点到定直线的距离， 由题意，动点的轨迹就是集合， 则，化简得，即． 所以轨迹是长轴、短轴分别为，4的椭圆． （2）存在实数，使得． 设，，，，直线的方程为． 直线的方程为与联立 得， 由，解得， 又，即，代入上式得 即点，同理点 所以 将，代入上式得 ， 即，所以． 16．（22-23高二上·山东潍坊·期中）如图，已知圆，点是圆内一个定点，是圆上任意-一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，连接，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程; (2)若、是曲线上关于原点对称的两个点，点是曲线.上任意-一点(不同于点、)，当直线、的斜率都存在时，记它们的斜率分别为、，求证:的为定值. 【解析】(1)解:在线段的中垂线上， ， ， 又 点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆， ，，即，， ， 曲线的方程为. (2)设曲线上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故，， 由斜率公式得， 又，， 因此，斜率之积为定值. 17．（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知圆，圆心为点，点是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点在圆上运动. （l）求动点的轨迹的方程; （2）若为曲线上任意一点，|的最大值; （3）经过点且斜率为的直线交曲线于两点在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标：若不存在，说明理由. 【解析】（1）连接，是线段的垂直平分线： 点到两定点距离之和为定值， 点的轨迹是以两点为焦点，长轴长为的椭圆， 动点的轨迹的方程为 （2）为曲线上任意一点， ，当且仅当时，等号成立 （3）假设存在点，设，直线方程为，代入椭圆方程，得 由 由于对任意恒成立，因此 恒成立 即恒成立 恒成立，因此 综上所述，存在点满足题意 18．（23-24高二上·山东·期中）已知椭圆过点．过点的直线交直线于点，交于两点． (1)求的方程； (2)是否存在实数使得?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）将，代入椭圆的方程中得：， 解得， 所以的方程为：. （2）方法1：当直线斜率不存在时，l的方程为， AB的方程为，则， 不妨令，， 假设存在实数使得， 所以. 当直线的斜率存在时，设：，，， 联立，得， 所以，解得或， 则，， 因为的方程为：，联立， 得， 假设存在实数使得，所以 ， 综上：存在实数使得. 方法2：因为直线的斜率不为0，设：，，， ，得， 所以， 解得， 则，， 因为的方程为：，联立， 所以， 假设存在实数使得，所以 ， 综上：存在实数使得. 19．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知椭圆E的左、右焦点分别为，，点M在椭圆E上，，的周长为，面积为． (1)求椭圆E的方程． (2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与椭圆E交于C，D两点（不同于左右顶点），记直线AC的斜率为，直线BD的斜率为，问是否存在实常数，使得，恒成立？若成立，求出的值，若不成立，说明理由． 【解析】（1）依题意，得，即， 解得，所以椭圆E的方程为． （2） 依题意，可设直线l的方程为， 联立方程，化简整理，得， 易得恒成立， 设，，由韦达定理， 得，可得， 于是 ， 故存在实数，使得恒成立． 20．（22-23高二上·山东菏泽·期中）如图，已知动圆过点，且与圆内切于点，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于、两点，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）显然，圆的半径为，设圆的半径为， 由题意可得，所以，， 则动点的轨迹是、为焦点，以为长轴长的椭圆， 设椭圆的方程为，， 所以，，，故的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设点、， 联立方程组得， 所以，. . ， ， 所以. 所以； 当直线l的斜率不存在时，直线的方程为， 联立方程组，得、. 此时，，所以. 综上，存在实数使得恒成立. 21．（22-23高二上·山东·期中）已知椭圆： 的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，若的最大值是5，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交轴于点，且，，试分析是否为定值，若是，请求出这个定值；否则，请说明理由． 【解析】（1）因为的周长为，即， 且的最小值为为椭圆通径时，即， 所以， 由正弦定理可得：， 所以， 又，解得，，， 故椭圆的标准方程为； （2）由题意可得，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，消去可得，， 设，，则，设， 又，所以，，故， 同理，，，则 故 ， 所以是定值． 22．（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知曲线且 (1)若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围； (2)当时，过C的右焦点且斜率为k的直线l交曲线C于点A、B（A，B异于顶点），交直线于P.过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于点E，直线BQ交x轴于D，求证：. 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以实数m的取值范围为. （2）当时，曲线为椭圆：，右焦点为， 设直线l为，联立，整理得， 设，则， 直线l交直线于，则 所以直线的方程为，， 令，解得，则 所以直线的方程为，， 令，解得，则 ， 所以线段中点为，故. 23．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知圆，，点P是圆A上的动点，线段的中垂线交于点Q． (1)求动点Q的轨迹方程． (2)若点，，过点B的直线与点Q的轨迹交于点S，N，且直线、的斜率，存在，求证：为常数． 【解析】（1）由题可得，，． 因为Q点在线段的中垂线上，所以． 所以， 所以Q点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．设其方程为． 则，即所以Q点的轨迹方程为． （2）当的斜率不存在时，，的斜率也不存在，故不适合题意； 当的斜率存在时，设斜率为k， 则直线的方程为，代入椭圆方程得， ，即，解得， 设，，则，， 则 ， 故． 24．（22-23高二上·山东济宁·期中）椭圆：过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，． （1）求椭圆的方程； （2）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，，试证明：． 【解析】（1）∵椭圆：过点， ∴．① 又∵椭圆离心率为，∴，∴．② 联立①②得，解得，∴椭圆的方程为． （2）方法一：当直线斜率不存在时，则，∴； 当直线斜率存在时，设直线：，与椭圆交点，．联立， 消去并整理得．由于， ∴，， ∴ ， ∵，∴． 综上所述，． 方法二：当直线斜率为0时，∵，则； 当直线斜率不为0时，设直线：设与椭圆交点，， 联立，消去并整理得．由于， ∴，， ∴． ∴，综上所述，． 25．（22-23高二上·山东济南·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值?若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由. 【解析】（1）根据题意得， 解得 所以椭圆的方程为. （2）设，则. 由于以为直径的圆经过坐标原点，所以，即. 由， ，即， 由韦达定理得 ， . 代入，得， ， 原点到直线AB的距离为：. 所以 所以的面积为定值. 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