重难点04 立体几何中的动点与存在性问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

重难点04 立体几何中的动点与存在性问题 1．（多选题）（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边）且，下列说法错误的是（    ） A．当E，F运动时，存在点E，F使得 B．当E，F运动时，存在点E，F使得 C．当E运动时，二面角最小值为 D．当E，F运动时，二面角的余弦值为定值． 2．（多选题）（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，且以为圆心、为半径的圆分别交，于，两点，点是劣弧上的动点，其中，则（    ） A．弧上存在点，使得与所成的角为 B．弧上存在点，使得平面 C．当时，动线段形成的曲面面积为 D．当时，以点为球心，为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为 3．（多选题）（22-23高二上·山东青岛·期中）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面，PA=AB=2，E为棱PB的中点，F为棱BC上的动点，则下列结论正确的为（    ） A．平面平面PBC B．EF与平面ABCD所成角的最大值为 C．E到面PAC的距离为 D．AE与PC所成角的余弦值为 4．（多选题）（22-23高二上·山东青岛·期中）如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．该几何体外接球的体积为 C．若为中点，则平面 D．的最小值为 5．（22-23高二上·山东临沂·期中）已知正方体的棱长为2，E为线段中点，F为线段上动点，点F到直线距离的最小值为 ． 6．（22-23高二上·山东潍坊·期中）如图， 已知矩形 中，，，为的中点， 将 沿折起， 使得平面平面． (1)求证：平面平面； (2)若点是线段上的一动点，且，当二面角 的余弦值为时， 求的值． 7．（22-23高二上·山东青岛·期中）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，为正三角形，E，F分别是PC，PB上的动点． (1)求证：； (2)若，，求三棱锥的外接球体积； (3)若E，F分别是PC，PB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围． 8．（22-23高二上·山东·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，与平面所成角为30°，为上一点且． (1)证明：； (2)设平面与平面的交线为，在上取点使，为线段上一动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值． 9．（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，在矩形中，，，E为线段中点，现将沿折起，使得点D到点P位置，且． (1)求证：平面平面； (2)已知点M是线段上的动点（不与点P，C重合），若使平面与平面的夹角为，试确定点M的位置． 10．（22-23高二上·山东枣庄·期中）如图，在四棱锥中，面．，四边形满足，，，点为中点，点为边上的动点 （Ⅰ）求证：平面． （Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由． 11．（22-23高二上·山东潍坊·期中）如图，几何体为圆柱的一半，四边形为圆柱的轴截面，点为圆弧上异于，的点，点为线段上的动点. （1）求证：； （2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 12．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，． (1)求证平面ACF (2)在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为？若存在，求出线段PH的长 13．（22-23高二上·山东淄博·期中）如图所示，在四棱柱中，侧棱⊥底面，,，，，为棱的中点，是的中点. (1)求证：∥平面； (2)求证：⊥平面； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求，若不存在，请说明理由. 14．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. (1)求证：平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 15．（22-23高二下·山东·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 16．（22-23高二上·山东聊城·期中）如图所示，在三棱柱中，平面，，，是的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（22-23高二上·山东青岛·期中）如图，在几何体中，四边形为菱形，为等边三角形，，，平面平面. （1）证明：在线段上存在点，使得平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若平面，求线段的长度. 21．（22-23高二上·山东威海·期中）如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且． (1)求证：面； (2)求二面角的正弦值； (3)设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 22．（22-23高二上·山东·期中）如图1，梯形中，，过A，B分别作，垂足分别E，F，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体，如图2． (1)若，证明：平面； (2)若，线段上是否存在一点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 23．（22-23高二上·山东泰安·期中）在四棱锥中，底面为长方形， 平面，其中，，且线段上存在点，使得. (1)求的取值范围； (2)当时，线段上满足的点有两个，分别记为，求平面与平面夹角的大小. 24．（22-23高二上·山东济南·期中）四棱锥的底面是梯形，，，平面，，，M为线段的中点 (1)求二面角的余弦值 (2)线段上是否存在一点N，使平面？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 25．（22-23高二上·山东烟台·期中）如图，边长为的菱形中，，分别为的中点，沿将折起，使得平面平面． (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角最大？若存在，求的长度，若不存在，说明理由． 26．（22-23高二上·山东德州·期中）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D是棱BC的中点． (1)求证：平面； (2)在棱上AC是否存在点M，其中，使得平面与平面所成角的大小为60°，若存在，求出；若不存在，说明理由． 27．（22-23高二上·山东青岛·期中）在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，平面平面ABCD，，E为PA中点. (1)求证：平面PBC； (2)已知平面PAD与平面PBC的交线为，在上是否存在点N，使二面角的正弦值为？若存在，请求出PN的长；若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 立体几何中的动点与存在性问题 1．（多选题）（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边）且，下列说法错误的是（    ） A．当E，F运动时，存在点E，F使得 B．当E，F运动时，存在点E，F使得 C．当E运动时，二面角最小值为 D．当E，F运动时，二面角的余弦值为定值． 【答案】ABD 【解析】 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 对于A，则， 由于，设 则， 则， 所以E，F运动时，不存在点E，F使得，A错误; 对B，若，则四点共面， 与与是异面直线矛盾，B错误; 对C，设平面的法向量为. 又, ,令，可得， 平面的法向量可取为， 故， 因为，所以函数在单调递减， 所以， 所以， 所以当时，有最大值为， 设二面角的平面角为， 所以有最大值为， 即二面角的最小值为，C正确; 对于D，连接， 平面即为平面,平面即为平面， 取平面的法向量为. 设平面的法向量为， ，令，则， 设二面角的平面角为， 则， 观察可知二面角的平面角为为锐角，所以，D错误； 故选:ABD. 2．（多选题）（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，且以为圆心、为半径的圆分别交，于，两点，点是劣弧上的动点，其中，则（    ） A．弧上存在点，使得与所成的角为 B．弧上存在点，使得平面 C．当时，动线段形成的曲面面积为 D．当时，以点为球心，为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为 【答案】ACD 【解析】以为原点，以方向为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 对于A：设时满足条件，所以， 所以， 所以， 所以，即为中点时满足条件，故A正确； 对于B：在平面中，的延长线始终与相交， 由此可知平面一定不成立，故B错误； 对于C：由题意可知，动线段形成的曲面为圆锥侧面的， 因为， 所以曲面的面积为，故C正确； 对于D：将四棱锥的侧面展开，设球与的交点为，连接，如下图所示： 因为球的半径，所以， 所以，所以， 又因为， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，所以为等腰直角三角形， 由对称性可知：，所以， 所以为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为，故D正确； 故选：ACD. 3．（多选题）（22-23高二上·山东青岛·期中）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面，PA=AB=2，E为棱PB的中点，F为棱BC上的动点，则下列结论正确的为（    ） A．平面平面PBC B．EF与平面ABCD所成角的最大值为 C．E到面PAC的距离为 D．AE与PC所成角的余弦值为 【答案】CD 【解析】取的中点，连接， 因为底面ABCD为菱形，， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以两两垂直，所以以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 因为E为棱PB的中点，所以， 设（）， 对于A，设平面的法向量为，平面的法向量为， 因为，， 所以，， 令，， 则，， 若平面平面PBC，则，解得不合题意，所以A错误， 对于B，平面的一个法向量为，， 设EF与平面ABCD所成角为，则 ， 因为，所以， 因为，所以大于，所以B错误， 对于C，设平面的法向量为，， 则，令，则， ， 所以E到面PAC的距离为，所以C正确， 对于D，设AE与PC所成角为， ，， 所以，所以D正确， 故选：CD 4．（多选题）（22-23高二上·山东青岛·期中）如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．该几何体外接球的体积为 C．若为中点，则平面 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】由题意以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得，，，，，， 对于A选项：有，，由，可得即，所以A选项正确； 对于B选项：由球的截面性质可知，球心在过正方形的中心的垂面上，即为矩形的对角线的交点， 则该球的半径， 即该几何体外接球的体积，所以B选项错误； 对于C选项：若为中点，则， 即，，， 设平面的法向量为， 由，令，可得， 即，可得， 又平面，则平面，所以C选项正确； 对于D选项：由三角形是等腰直角三角形，可设（）， 则， 又，则当时，取得最小值，所以D选项正确． 故选：ACD. 5．（22-23高二上·山东临沂·期中）已知正方体的棱长为2，E为线段中点，F为线段上动点，点F到直线距离的最小值为 ． 【答案】 【解析】以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，设， 作，为垂足，则点F到直线距离为， 设，则有，，， ，2，，，，，， ，，， 因此， 化简得，当时，即时，此时， 有最小值，最小值． 故答案为：． 6．（22-23高二上·山东潍坊·期中）如图， 已知矩形 中，，，为的中点， 将 沿折起， 使得平面平面． (1)求证：平面平面； (2)若点是线段上的一动点，且，当二面角 的余弦值为时， 求的值． 【解析】（1）证明：因为在矩形中，，，为的中点， 所以， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以，平面平面. （2）取中点，连接， ，为的中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 过点在平面内作的垂线，交于点， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示空间直角坐标系， 则、、、， 易知平面的一个法向量为， 因为且，所以， ，． 设平面的一个法向量为，则， 即，取，得． 所以，因为，解得. 7．（22-23高二上·山东青岛·期中）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，为正三角形，E，F分别是PC，PB上的动点． (1)求证：； (2)若，，求三棱锥的外接球体积； (3)若E，F分别是PC，PB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围． 【解析】（1）因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，所以, 又平面平面ABC, 且平面平面ABC,平面ABC, 所以平面,平面, 所以. （2） 以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为轴，轴，过C 且垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以， , 因为的外接圆为圆, 所以设三棱锥的外接球球心为, 则有,即， 解得，所以球心为， 所以球的半径, 所以外接球的体积 . （3） 由E，F分别是PC，PB的中点，所以BC//EF， 由（1）知，所以， 所以在中，就是异面直线AF与BC所成的角, 因为异面直线AF与BC所成角的正切值为, 所以 , 又EF平面AEF,BC平面AEF,所以BC平面AEF， 又BC平面ABC，平面EFA平面ABC=l,所以BCl, 所以在平面ABC中，过点A作BC 的平行线即为直线l, 以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为轴，轴，过C 且垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系，设AC=2. 因为△PAC为正三角形，所以AE=，从而EF=2， 由已知E，F分别是PC,PB的中点，所以BC=2EF=4, 则 , 所以, 因为BCl，所以可设，平面AEF的一个法向量为， 则 ,取，得, 又,设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角为. 8．（22-23高二上·山东·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，与平面所成角为30°，为上一点且． (1)证明：； (2)设平面与平面的交线为，在上取点使，为线段上一动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值． 【解析】（1）∵四边形为矩形，则， 又∵平面，平面， ∴， ，平面， ∴平面， 平面，则， ∵，且，平面， ∴平面， 平面，则． （2）∵平面，则为与平面所成角， ∴， 又∵，则， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ∵，且， ∴， 令，则， ∴，， 设是平面的一个法向量，则， 取，则，即， 平面的一个法向量为， ∴， ∵，则当时，的最大值为， 即平面与平面夹角的余弦值的最大值为， ∴平面与平面夹角的正弦值的最小值为. 9．（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，在矩形中，，，E为线段中点，现将沿折起，使得点D到点P位置，且． (1)求证：平面平面； (2)已知点M是线段上的动点（不与点P，C重合），若使平面与平面的夹角为，试确定点M的位置． 【解析】（1）∵E为中点，， ， 又，四边形为矩形， ， ， ． 又，，AP，平面， 平面， 又平面， 平面平面． （2）过点E作平面，以E为坐标原点，以，，所在直线 分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，，． ，，， 设，， 则， 设是平面的一个法向量，则 即， 取，则， ． 又为平面的一个法向量， ， ∵平面与平面的夹角为， ，解得， 点M为线段的中点． 10．（22-23高二上·山东枣庄·期中）如图，在四棱锥中，面．，四边形满足，，，点为中点，点为边上的动点 （Ⅰ）求证：平面． （Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由． 【解析】（Ⅰ）因为平面，所以，，又，所以，，两两垂直．以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示． 则，，， 点为中点，故 故， 又， 所以 所以，，为共面向量，平面， 所以平面． （Ⅱ）设， 依题意可知平面的法向量为，， 设平面的法向量为，则， 令，则． 因为二面角的余弦值为， 所以， 即，解得或． 所以存在点符合题意， 当或时，二面角的余弦值为． 11．（22-23高二上·山东潍坊·期中）如图，几何体为圆柱的一半，四边形为圆柱的轴截面，点为圆弧上异于，的点，点为线段上的动点. （1）求证：； （2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【解析】（1）证明：四边形是圆柱的轴截面， 是圆柱底面圆的直径，， 是圆柱的母线， 平面，， 又， 平面，又平面， ． （2），，， ，， 以为原点，以，及平面的过点的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，0，，，1，，，0，，，0，，，1，， ，1，，，，，，1，，，1，， 设，，，则，，，， 设平面的法向量为，，，则，即， 令可得，3，， ，， 直线与平面所成角的正弦值为， ，解得， ，3，， 由（1）可知平面， ，0，为平面的法向量， ，， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 12．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，． (1)求证平面ACF (2)在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为？若存在，求出线段PH的长 【解析】（1）连接BD交AC于M，连接FM， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴ 又平面ACF，平面ACF，∴平面ACF． （2） 设线段PB上存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为， 即CH与平面ACF所成角的正弦值为， 设，取AD中点O，连接OC，OP， ∵，∴， ∵侧面底面ABCD，侧面底面， 侧面PAD，∴底面ABCD， ∵，，，所以，， 以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面ACF的一个法向量为， 则， 令，则，， ∴平面ACF的一个法向量为， 又，∴， 又，∴， 设CH与平面ACF所成角， 则 整理得， 解得或，当时，， 当时，， 故在线段PB上存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为， 或． 13．（22-23高二上·山东淄博·期中）如图所示，在四棱柱中，侧棱⊥底面，,，，，为棱的中点，是的中点. (1)求证：∥平面； (2)求证：⊥平面； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求，若不存在，请说明理由. 【解析】（1） 由已知，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，连接，则，，，， ，，∴，∴∥， 又∵平面，平面，∴∥平面. （2）由已知，，，，， ∴，， ∴，，∴，， 又∵，平面，平面， ∴平面. （3）假设存在点，满足题意，且（），则， ，∴， ∴， 易知向量是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则 ， ∵，∴解得（舍）或， ∴线段上是否存在点满足，使得直线与平面所成角的正弦值是. 14．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. (1)求证：平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为侧棱所在直线与上下底面中心的连线所成的角为，则 ， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则. 因为； 所以，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）假设边上存在点满足条件，， 则， 设直线与平面所成角为， 由题意可得 化简得，则或（舍去）， 即存在点符合题意，此时. 15．（22-23高二下·山东·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）∵面面，面面， ∵，面，∴面， ∵面， ∴， 又，∴面， （2）取中点为，连结，， ∵， ∴， ∵， ∴， 以为原点，如图建系易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令．， 设为面的法向量，令． ，   则二面角余弦值为 故二面角正弦值为 （3）假设存在点使得∥面， 设，， 由（2）知，，，， 有∴ ∵∥面，为的法向量， ∴，即，得 综上，存在点，即当时，点即为所求． 16．（22-23高二上·山东聊城·期中）如图所示，在三棱柱中，平面，，，是的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图所示建立空间直角坐标系，则， ，，．∴，， ． 设平面的法向量为，则， 即令，则． 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （2）假设在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为， 设，．则， 设平面的法向量为， 则，即，取，则． 由（1）知平面的法向量为． 所以，即，而， 故． 故在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为，点的坐标为． 17．利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； 18．在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度h，而不必画出线面角，利用h与斜线段长的比值为线面角的正弦值，进行求角； 19．建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设是直线l的方向向量，是平面的法向量，利用公式线面角的正弦值等于，求角即可. 20．（22-23高二上·山东青岛·期中）如图，在几何体中，四边形为菱形，为等边三角形，，，平面平面. （1）证明：在线段上存在点，使得平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若平面，求线段的长度. 【解析】（1）如图所示： 取线段的中点，连接， 、均为等边三角形， ， 平面， 又平面， 平面平面 在线段存在中点，使得平面平面； （2）平面平面，平面平面， 平面， 即两两垂直， 以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量 ， ， ， ，得：， 令，则， 设平面的一个法向量， 因为， 由，得：， 令，则， 设二面角的平面角为， ， 又二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为； (3)，设，， ，则， 又平面，且平面的一个法向量为， ， ， . 21．（22-23高二上·山东威海·期中）如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且． (1)求证：面； (2)求二面角的正弦值； (3)设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由面面，则， 又且，可得：面. （2）以A为原点，面内与垂直的直线为x轴，方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知：， 由可得：，由可得：， 设平面的法向量为：，则， ∴面的一个法向量为，而是面的一个法向量， ∴，故二面角的余弦值为，则正弦值为． （3）存在这样的. 由可得：，则， 若A，E，F，G四点共面，则在面内，又面的一个法向量为， ∴，即，可得. ∴存在这样的，使得四点共面. 22．（22-23高二上·山东·期中）如图1，梯形中，，过A，B分别作，垂足分别E，F，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体，如图2． (1)若，证明：平面； (2)若，线段上是否存在一点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）依题意，四边形是正方形，且边长为2，连BE，，如图， 因，，平面，则平面，又平面，于是得， 又，，平面， 所以平面. （2）在图2中，，，，平面，则平面， 在梯形中，过点D作交于点M，则四边形DEFM为平行四边形，， 依题意，，，则有，且， 过E作交于点G，从而有两两垂直， 以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的一个法向量为，则，取得， 设，则，有，设与平面所成的角为， 于是有，解得， 所以存在点P满足条件，． 23．（22-23高二上·山东泰安·期中）在四棱锥中，底面为长方形， 平面，其中，，且线段上存在点，使得. (1)求的取值范围； (2)当时，线段上满足的点有两个，分别记为，求平面与平面夹角的大小. 【解析】（1）以为原点,以，，所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 所以. 因为，所以. 因为，所以，即. （2）当时，，解得或. 不妨取， 所以， 设平面的法向量为, 则，令，则，所以. 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以. 所以，得. 所以平面与平面的夹角为. 24．（22-23高二上·山东济南·期中）四棱锥的底面是梯形，，，平面，，，M为线段的中点 (1)求二面角的余弦值 (2)线段上是否存在一点N，使平面？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）∵面，面， ∴，，又， ∴可构建如下图示的空间直角坐标系，则， ∴，若是面的一个法向量， ∴，令，则， 显然是面的一个法向量， ∴，故锐二面角的余弦值为. （2）假设存在N使平面，，则，， ∴，由（1）是面的一个法向量， ∴，即， ∴当时平面. 25．（22-23高二上·山东烟台·期中）如图，边长为的菱形中，，分别为的中点，沿将折起，使得平面平面． (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角最大？若存在，求的长度，若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：在菱形中，，为的中点，， 平面平面，且平面平面，平面， 平面，又平面，平面平面． （2）由（1）知：两两互相垂直，则以为坐标原点，射线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，设， ，， 轴平面，平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为，则， ，当时，取得最小值，取得最大值， 又在上单调递增，当时，取得最大值， 此时，即的长度为． 26．（22-23高二上·山东德州·期中）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D是棱BC的中点． (1)求证：平面； (2)在棱上AC是否存在点M，其中，使得平面与平面所成角的大小为60°，若存在，求出；若不存在，说明理由． 【解析】（1）连接交于点, 由于四边形为矩形，所以为的中点， 又点D是棱BC的中点，故在中，是的中位线，因此, 平面， 平面,所以平面 （2）由平面ABC，可知，三棱柱为直三棱柱，且底面为直角三角形， 故以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系; 则 由得, , 设平面的法向量为，则 ，取，得， , 设平面的法向量为，则 ，取，得， 故 ， 化简得 由于 ，所以， 故棱上AC存在点M，其中，即，使得平面与平面所成角的大小为60°. 27．（22-23高二上·山东青岛·期中）在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，平面平面ABCD，，E为PA中点. (1)求证：平面PBC； (2)已知平面PAD与平面PBC的交线为，在上是否存在点N，使二面角的正弦值为？若存在，请求出PN的长；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）取的中点，连接， ∵分别为的中点，则且， 又∵且， ∴且，则为平行四边形，∴， 平面PBC，平面PBC， ∴平面PBC； （2）由题意可得：， 则，即， 取的中点，连接， ∵，则， 平面平面ABCD，平面平面，平面 ∴平面ABCD， 以为坐标原点建立空间直角坐标系，则可得： ， 设平面的法向量，则有， 令，则，即， 由（1）可得：平面PBC， 平面PAD，平面平面， ∴，则直线的方向向量可以是， 设，则， ， 设平面的法向量，则有， 令，则，即 ∵二面角的正弦值为，所以二面角的余弦值的绝对值为，则， 解得或， 当时，，此时的长为， 当，，则PN的长为. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$