重难点03 空间中的最值与范围问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

重难点03 空间中的最值与范围问题 1．（23-24高二上·山东济宁·期中）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）（23-24高二上·山东烟台·期中）已知平行六面体的棱长都为2，，，O为底面ABCD中心，则下列结论正确的有（    ） A． B．与所成角的余弦值为 C．平面ABCD D．已知N为上一点，则最小值为 4．（多选题）（23-24高二上·山东临沂·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（    ） A．当时，三棱锥A-PCE的体积 B．当时，EP∥平面 C．当，平面CEP时 D．的最小值为 5．（多选题）（23-24高二上·山东泰安·期中）已知正方体的棱长为1，M为侧面上的动点，N为侧面上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则M的轨迹长度为 B．若，则M到直线的距离的最小值为 C．若，则，且直线平面 D．若，则与平面所成角正弦的最小值为 6．（多选题）（22-23高二上·山东青岛·期中）如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．该几何体外接球的体积为 C．若为中点，则平面 D．的最小值为 7．（多选题）（22-23高二上·山东·期中）在正方体中，点在线段上运动，则（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．直线与平面所成的角可以为 D．直线与直线所成的角最小值为 8．（多选题）（23-24高二上·山东·期中）在棱长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，点分别为线段与线段上一点，则（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．点到直线的距离为 C．当平面时， D．的最小值为 9．（多选题）（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边）且，下列说法错误的是（    ） A．当E，F运动时，存在点E，F使得 B．当E，F运动时，存在点E，F使得 C．当E运动时，二面角最小值为 D．当E，F运动时，二面角的余弦值为定值． 10．（多选题）（22-23高二上·山东青岛·期中）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面，PA=AB=2，E为棱PB的中点，F为棱BC上的动点，则下列结论正确的为（    ） A．平面平面PBC B．EF与平面ABCD所成角的最大值为 C．E到面PAC的距离为 D．AE与PC所成角的余弦值为 11．（多选题）（23-24高二上·山东日照·期中）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ）    A．当P在侧面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的取值范围是 12．（多选题）（22-23高二上·山东济宁·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（    ） A．几何体的外接球半径 B．平面 C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为 D．面与底面所成角正弦值的取值范围为 13．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图，在直三棱柱中，，、分别是线段、上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是三棱柱的顶点，则长的最小值为 . 14．（22-23高二上·山东临沂·期中）已知正方体的棱长为2，E为线段中点，F为线段上动点，点F到直线距离的最小值为 ． 15．（22-23高二上·山东泰安·期中）如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是 ． 16．（22-23高二上·山东潍坊·期中）已知正方体的棱长为2，点M是棱BC的中点，点N是棱上的一个动点，设点A，M，N确定的平面为，当点N为的中点时，平面截正方体的截面的面积为 ．点到平面的距离的最小值为 ． 17．（22-23高二上·山东济南·期中）已知，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为 . 18．（22-23高二上·山东烟台·期中）在如图所示的几何体中，与为全等的等腰直角三角形，，四边形为正方形，且，．已知平面平面． (1)求证：； (2)已知，为上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19．（22-23高二上·山东枣庄·期中）如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点的平面与棱交于点． (1)证明：四边形为矩形； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值． 20．（22-23高二上·山东潍坊·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角. (1)求证：平面； (2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 21．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）．    (1)若为的中点，证明：． (2)设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 22．（23-24高二上·山东潍坊·期中）边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且.    (1)证明：平面平面； (2)设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围. 23．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图所示，正方体的棱长为3，动点在底面正方形内，且与两个定点，的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)求动点到平面的距离的取值范围． 24．（22-23高二上·山东济南·期中）如图，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，. (1)求证：； (2)点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，求的取值范围. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点03 空间中的最值与范围问题 1．（23-24高二上·山东济宁·期中）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正方体的外接球的球心为，球的半径为， 则，可得，所以， 又 ， 当为正方体某个面的中心时，取最小值； 当与正方体的顶点重合时，取最大值. 则，所以. 故选：A. 2．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则，故， 又，则，所以. 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以. 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值. 所以. 故选：A. 3．（多选题）（23-24高二上·山东烟台·期中）已知平行六面体的棱长都为2，，，O为底面ABCD中心，则下列结论正确的有（    ） A． B．与所成角的余弦值为 C．平面ABCD D．已知N为上一点，则最小值为 【答案】BCD 【解析】设，如下图： 对于A：因为， 所以， 所以，故A错误； 对于B：， 所以， 所以， 所以， 所以与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C：因为，所以为等腰直角三角形， 所以，， 因为，且， 所以均为边长为的等边三角形，所以， 所以，所以为等腰直角三角形， 又因为为底面的中心，所以为中点，所以且， 所以，所以， 又因为，平面，所以平面，故C正确； 对于D：将平面与平面展开成一个平面，如下图所示： 当且仅当三点共线时有最小值， 此时，所以， 所以，所以， 所以的最小值为，故D正确； 故选：BCD. 4．（多选题）（23-24高二上·山东临沂·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（    ） A．当时，三棱锥A-PCE的体积 B．当时，EP∥平面 C．当，平面CEP时 D．的最小值为 【答案】BD 【解析】对于A，当时，则，故点到平面的距离为,所以,故A错误， 对于B，在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，,0,， 所以，则点,,， ，，，而， 显然，即是平面的一个法向量， 而，因此平行于平面，即直线与平面平行，B正确； 对于C，取的中点，连接，，，如图， 因为为边的中点，则，当平面时，平面， 连接，连接，连接，显然平面平面， 因此，，平面，平面，则平面， 即有，而， 所以，C错误． 对于D，， 于是，当且仅当时取等号，D正确； 故选：BD 5．（多选题）（23-24高二上·山东泰安·期中）已知正方体的棱长为1，M为侧面上的动点，N为侧面上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则M的轨迹长度为 B．若，则M到直线的距离的最小值为 C．若，则，且直线平面 D．若，则与平面所成角正弦的最小值为 【答案】AC 【解析】对于A，因为，所以在以为球心，为半径的球上. 又为侧面上的点，所以在球被平面截得的交线上. 因为，平面，，，所以， 所以，为以点为圆心，为半径的圆上，如图1，则M的轨迹长度为，故A正确 对于B，如图1，，则，到直线的距离的最小值为，故B错误； 对于C，如图2，连结. 因为平面，平面，所以. 又，平面，平面，， 所以，平面. 又平面，所以. 同理可得，. 又平面，平面，， 所以，平面. 又，平面，所以直线平面，故C正确； 对于D，以点为坐标原点，分别以为轴的正方向， 如图3建立空间直角坐标系，则，，，，，，. 因为，设，，. 设是平面的一个法向量， 则，即， 取，则，是平面的一个法向量. 则， 又，当时，有最小值1， 所以，，即， 所以，与平面所成角正弦的最大值为，故D错误； 故选：AC. 6．（多选题）（22-23高二上·山东青岛·期中）如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．该几何体外接球的体积为 C．若为中点，则平面 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】由题意以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得，，，，，， 对于A选项：有，，由，可得即，所以A选项正确； 对于B选项：由球的截面性质可知，球心在过正方形的中心的垂面上，即为矩形的对角线的交点， 则该球的半径， 即该几何体外接球的体积，所以B选项错误； 对于C选项：若为中点，则， 即，，， 设平面的法向量为， 由，令，可得， 即，可得， 又平面，则平面，所以C选项正确； 对于D选项：由三角形是等腰直角三角形，可设（）， 则， 又，则当时，取得最小值，所以D选项正确． 故选：ACD. 7．（多选题）（22-23高二上·山东·期中）在正方体中，点在线段上运动，则（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．直线与平面所成的角可以为 D．直线与直线所成的角最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，，可得平面， 平面，所以成立，故A正确； 对于B，由正方体知ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1， 又平面ACD1，AD⊂平面ACD1，则BC1∥平面ACD1， 所以直线BC1上任意一点到平面ACD1的距离都相等， 又由等体积法，且底面面积不变， 故三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故B正确； 对于C，如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1， 则，设，由得 ，，又易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则 ， 因为在上递减， 所以， 所以，故C错误； 对于D，由A中的求解过程可知，BC1∥AD1， 所以直线与直线所成的角即BC1和DP所成的角， 当点P与点B或C1重合时，所成的角最小值为，故D正确； 故选：ABD． 8．（多选题）（23-24高二上·山东·期中）在棱长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，点分别为线段与线段上一点，则（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．点到直线的距离为 C．当平面时， D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】如图所示， 以为坐标原点，分别为建立空间直角坐标系，可得 ， 所以 对于A：，所以A正确； 对于B：，所以B错误； 对于C： ， 因为//平面，所以，即，所以C正确； 对于D：设，其中， 则，， 解得， 所以 ， 所以当时，D正确， 故选：ACD 9．（多选题）（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边）且，下列说法错误的是（    ） A．当E，F运动时，存在点E，F使得 B．当E，F运动时，存在点E，F使得 C．当E运动时，二面角最小值为 D．当E，F运动时，二面角的余弦值为定值． 【答案】ABD 【解析】 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 对于A，则， 由于，设 则， 则， 所以E，F运动时，不存在点E，F使得，A错误; 对B，若，则四点共面， 与与是异面直线矛盾，B错误; 对C，设平面的法向量为. 又, ,令，可得， 平面的法向量可取为， 故， 因为，所以函数在单调递减， 所以， 所以， 所以当时，有最大值为， 设二面角的平面角为， 所以有最大值为， 即二面角的最小值为，C正确; 对于D，连接， 平面即为平面,平面即为平面， 取平面的法向量为. 设平面的法向量为， ，令，则， 设二面角的平面角为， 则， 观察可知二面角的平面角为为锐角，所以，D错误； 故选:ABD. 10．（多选题）（22-23高二上·山东青岛·期中）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面，PA=AB=2，E为棱PB的中点，F为棱BC上的动点，则下列结论正确的为（    ） A．平面平面PBC B．EF与平面ABCD所成角的最大值为 C．E到面PAC的距离为 D．AE与PC所成角的余弦值为 【答案】CD 【解析】取的中点，连接， 因为底面ABCD为菱形，， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以两两垂直，所以以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 因为E为棱PB的中点，所以， 设（）， 对于A，设平面的法向量为，平面的法向量为， 因为，， 所以，， 令，， 则，， 若平面平面PBC，则，解得不合题意，所以A错误， 对于B，平面的一个法向量为，， 设EF与平面ABCD所成角为，则 ， 因为，所以， 因为，所以大于，所以B错误， 对于C，设平面的法向量为，， 则，令，则， ， 所以E到面PAC的距离为，所以C正确， 对于D，设AE与PC所成角为， ，， 所以，所以D正确， 故选：CD 11．（多选题）（23-24高二上·山东日照·期中）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ）    A．当P在侧面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的取值范围是 【答案】AC 【解析】对于,因为平面平面， 所以当P在侧面上运动时，点到平面的距离不变， 而正方形的面积不变，所以当P在侧面上运动时， 四棱锥的体积不变，故正确； 对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 设，则， 设与所成角为， 则， ，当时，； 当时, ， 则，综上，. 所以当在线段上运动时，与所成角的取值范围是，故错误； 对于，因为直线与平面所成角为， 若点在平面和平面内， 最大，不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，作平面, 因为,所以 因为所以所以 点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一圆， 所以点的轨迹长度为 所以点的轨迹总长度为故正确； 对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，, 则， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 则， 因为平面,所以， 即， 所以， 当时，等号成立，故错误. 故选： 12．（多选题）（22-23高二上·山东济宁·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（    ） A．几何体的外接球半径 B．平面 C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为 D．面与底面所成角正弦值的取值范围为 【答案】BCD 【解析】对于A，因为几何体关于正方体的中心对称，其外接球与正方体的外接球相同，半径为，故A错误； 对于B，在正方体中，且，故为平行四边形，所以，而平面，平面，故平面， 同理可证平面，又因为，平面， 所以平面平面，因为平面， 所以平面，故B正确； 对于C，由平面，平面，可得，即， 由于，则异面直线与所成的角为，其正弦值为， 在中，易得，所以， 所以异面直线与所成角的正弦值的取值范围为，故C正确； 对于D，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则有，，设， 则，所以， 设平面的法向量，则，即， 令，则，故， 由题意知，取平面的一个法向量， 则， 则面与底面所成角正弦值为， 由于，故当时取最小值， 则取到最小值， 当或时取最大值12，则取到最大值， 所以面与底面所成角正弦值的取值范围为，故D正确， 故选：BCD. 13．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图，在直三棱柱中，，、分别是线段、上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是三棱柱的顶点，则长的最小值为 . 【答案】/ 【解析】如图，由已知，，两两互相垂直， 以点A为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系， 可得，，，， 设，，， ，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，， 因为平面，所以, , 又， ，可得， ，， ， 当时，取最小值，最小值为. 故答案为: . 14．（22-23高二上·山东临沂·期中）已知正方体的棱长为2，E为线段中点，F为线段上动点，点F到直线距离的最小值为 ． 【答案】 【解析】以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，设， 作，为垂足，则点F到直线距离为， 设，则有，，， ，2，，，，，， ，，， 因此， 化简得，当时，即时，此时， 有最小值，最小值． 故答案为：． 15．（22-23高二上·山东泰安·期中）如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线、的公垂线的长度，即为所求.由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度. 如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则点、、、， 所以，，，， 设向量满足，， 由题意可得，解得，取，则，， 可得， 因此，. 故答案为：. 16．（22-23高二上·山东潍坊·期中）已知正方体的棱长为2，点M是棱BC的中点，点N是棱上的一个动点，设点A，M，N确定的平面为，当点N为的中点时，平面截正方体的截面的面积为 ．点到平面的距离的最小值为 ． 【答案】 / 【解析】（1）当是的中点时， 连接，由于， 所以四点共面，所以平面即平面， 根据正方体的性质可知，四边形是等腰梯形， ， 所以等腰梯形的高为， 所以截面面积为. （2）当是棱上任意一点时，建立空间直角坐标系如下图所示， ， 设，， 设平面的法向量为， 则，故可设， ， 所以到平面的距离为， ， 所以当，时，到平面的距离取得最小值为. 故答案为：； 17．（22-23高二上·山东济南·期中）已知，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为 . 【答案】 【解析】设，，，点在直线上运动，存在实数，使得， ，，，1，，得到，，． ． 当且仅当时，取得最小值． 此时． 故答案为： 18．（22-23高二上·山东烟台·期中）在如图所示的几何体中，与为全等的等腰直角三角形，，四边形为正方形，且，．已知平面平面． (1)求证：； (2)已知，为上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【解析】（1）证明：因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以； （2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 由（1）知，可设， 所以，，． 设平面的一个法向量， 则，可取， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 19．（22-23高二上·山东枣庄·期中）如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点的平面与棱交于点． (1)证明：四边形为矩形； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值． 【解析】（1）取中点为，连接，． 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面． 因为平面，且平面平面，所以． 因为在三棱柱中，平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以四边形为平行四边形． 在△中，因为，是的中点，所以． 由题可知平面，所以，， 因为，所以平面， 所以，所以四边形为矩形． （2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，，在中，，，所以， 所以，，，，则，． 因为，所以，即． 因为，所以．设平面的法向量为， 则即所以 令，则，，所以． 设与平面所成角为， 则 ， 当且仅当，即时等号成立． 故与平面所成角的正弦值最大为． 20．（22-23高二上·山东潍坊·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角. (1)求证：平面； (2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【解析】（1）连接，由题设知四边形为菱形，， 分别为中点，； 又为中点，， 因为二面角为直二面角， 即平面平面，平面平面平面 平面，又平面； 又平面平面. （2）， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面 平面， 则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 设，则， ； 由（1）知：平面平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，则； ， 令，则； ， 即锐二面角的余弦值的取值范围为. 21．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）．    (1)若为的中点，证明：． (2)设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【解析】（1）证明：分别取，的中点，，连接 由直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，可知， 且平面平面，故; 以为坐标原点，以所在直线为周，建立空间直角坐标系如图所示， 因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，为的中点， 所以，，，，， 故，，则， 所以，即． （2）设，则点，所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 故， 又平面的一个法向量为， 所以， 因为，则，所以， 故的取值范围为． 22．（23-24高二上·山东潍坊·期中）边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且.    (1)证明：平面平面； (2)设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围. 【解析】（1）在正方形中， ∵面面面，面面， ∴面， ∵面,∴， ∵在以为直径的半圆上，∴， 又∵面，面， 又面， ∴面面， （2）∵，∴ 又∵为二面角的平面角， ∴，同理. 在梯形中，. 取的中点，以为轴正半轴，以平行于的方向为轴正半轴，以平面内垂直于的方向为轴正半轴，建立如图空间直角坐标系： 则，设，， 则， 设平面的法向量为 则， 令，则， 设直线和平面所成角为， 则， 设， 则， 令， 当时，， 当时，， 令，任意， ， 因为，所以，，， 所以，所以在上为减函数， 故，所以， 所以， 所以， 所以直线和平面所成角的正弦值的取值范围. 23．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图所示，正方体的棱长为3，动点在底面正方形内，且与两个定点，的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)求动点到平面的距离的取值范围． 【解析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图， 设， 由，得 化简得， 即， 故曲线C是以为圆心，2为半径的圆在正方形内一段圆弧． （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量， 则，令，则，，故， 由（1）可设，其中, 则， 设到平面的距离为， 则， 由（1）可令，其中， 则， 因为，所以， 即，所以， 故. 24．（22-23高二上·山东济南·期中）如图，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，. (1)求证：； (2)点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【解析】（1）证明：由已知可得四边形是等腰梯形， 过作，垂足为，则， 在中，， 则，可得， 在中，由余弦定理可得， ， 则，， 又平面，平面， ， ，，平面， 平面， 又为矩形， ，则平面， 而平面， ； （2）平面，且， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，设， 则，又， 设平面的法向量为， 由， 取，得， 又， ， ，， 则. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$