重难点02 空间距离的向量求法-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

重难点02 空间距离的向量求法 1．（22-23高二上·山东菏泽·期中）在长方体中，，过A1，，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到几何体，且这个几何体的体积为10，则点D到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高二上·山东泰安·期中）如图，四棱柱的底面ABCD是正方形，O为底面中心，平面ABCD，．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A． B．平面 C．平面的一个法向量为 D．点B到直线的距离为 3．（多选题）（22-23高二上·山东泰安·期中）如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ）    A． B．点E到直线的距离为 C．直线与平面所成的角的正弦值为 D．点到平面的距离为 4．（多选题）（22-23高二上·山东青岛·期中）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面，PA=AB=2，E为棱PB的中点，F为棱BC上的动点，则下列结论正确的为（    ） A．平面平面PBC B．EF与平面ABCD所成角的最大值为 C．E到面PAC的距离为 D．AE与PC所成角的余弦值为 5．（多选题）（22-23高二上·山东烟台·期中）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点，则下列结论正确的有（    ） A．平面 B．平面平面 C．点到平面的距离为 D．二面角的正弦值为 6．（多选题）（22-23高二上·山东东营·期中）在棱长为2的正方体中，、、分别为，，的中点，则下列选项正确的是（    ）． A． B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．存在实数、使得 7．（多选题）（22-23高二上·山东烟台·期中）如图，在长方体中，，点P满足，，，，则下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，平面 C．当，时，三棱锥的体积为定值 D．当，时，与平面所成角的正切值为 8．（多选题）（22-23高二上·山东济南·期中）已知，，，，则下列说法正确的有（    ） A．与夹角的余弦为 B．的面积为 C．平面的一个法向量 D．四面体的体积为 9．（22-23高二上·山东淄博·期中）在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且，则异面直线D1E与BC所成角的正切值为 ；点G到平面D1EF的距离为 . 10．（22-23高二上·山东青岛·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则的重心到直线BN的距离为 . 11．（22-23高二上·山东临沂·期中）已知正方体的棱长为2，E为线段中点，F为线段上动点，点F到直线距离的最小值为 ． 12．（22-23高二上·山东潍坊·期中）已知正方体的棱长为2，点M是棱BC的中点，点N是棱上的一个动点，设点A，M，N确定的平面为，当点N为的中点时，平面截正方体的截面的面积为 ．点到平面的距离的最小值为 ． 13．（22-23高二上·山东泰安·期中）如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是 ． 14．（22-23高二上·山东聊城·期中）若为空间直角坐标系的原点，则以为球心，且与平面相切的球的方程是 ，切点的坐标为 ． 15．（23-24高二上·山东临沂·期中）如图，在长方体中，，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)设，求点到平面的距离． 16．（22-23高二上·山东聊城·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且．    (1)证明：面； (2)求点到平面的距离； 17．（22-23高二上·山东泰安·期中）如图，平面，，，，点M为BQ的中点． (1)求二面角的正弦值； (2)若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面MCP的距离． 18．（22-23高二上·山东德州·期中）如图，圆柱轴截面ABCD是正方形，，点E在底面圆周上，，F为垂足． (1)求证：； (2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为时，求三棱锥的体积． 19．（22-23高二上·山东烟台·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 20．（22-23高二上·山东枣庄·期中）如图，在棱长为的正四面体中，是线段的中点．在线段上，且． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 21．（22-23高二上·山东泰安·期中）如图，在三棱柱中，平面，分别为，，，的中点，，.    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 22．（22-23高二上·山东济南·期中）1.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点，且BM⊥PD. (1)证明：CD⊥面PAD； (2)求点M到平面PAC的距离； (3)求二面角的余弦值. 23．（22-23高二上·山东泰安·期中）已知空间中的三点，，，设，. （1）若与互相垂直，求的值； （2）求点到直线的距离. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02 空间距离的向量求法 1．（22-23高二上·山东菏泽·期中）在长方体中，，过A1，，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到几何体，且这个几何体的体积为10，则点D到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以，可得， 如下图，构建为x、y、z轴的空间直角坐标系， 所以、、，则，， 若是面的一个法向量，则，令，则， 又，故D到平面的距离为. 故选：D 2．（多选题）（22-23高二上·山东泰安·期中）如图，四棱柱的底面ABCD是正方形，O为底面中心，平面ABCD，．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A． B．平面 C．平面的一个法向量为 D．点B到直线的距离为 【答案】BCD 【解析】依题意, 是正方形, ,与的交点为原点,, 在给定的空间直角坐标系中, , 而, 则点,,故错误; ,, 设平面的法向量, 则, 令,得,故正确; ,即平面,故正确; ,,, 到的距离,故正确 故选: 3．（多选题）（22-23高二上·山东泰安·期中）如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ）    A． B．点E到直线的距离为 C．直线与平面所成的角的正弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【解析】如图以点为原点，建立空间直角坐标系， 则， ， 则，所以，故A正确； ，则， 所以， 所以点E到直线的距离为，故B错误； 因为平面，所以即为平面的一条法向量， 则直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确； 设平面的法向量为， 则有，可取， 则点到平面的距离为，故D错误. 故选：AC. 4．（多选题）（22-23高二上·山东青岛·期中）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面，PA=AB=2，E为棱PB的中点，F为棱BC上的动点，则下列结论正确的为（    ） A．平面平面PBC B．EF与平面ABCD所成角的最大值为 C．E到面PAC的距离为 D．AE与PC所成角的余弦值为 【答案】CD 【解析】取的中点，连接， 因为底面ABCD为菱形，， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以两两垂直，所以以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 因为E为棱PB的中点，所以， 设（）， 对于A，设平面的法向量为，平面的法向量为， 因为，， 所以，， 令，， 则，， 若平面平面PBC，则，解得不合题意，所以A错误， 对于B，平面的一个法向量为，， 设EF与平面ABCD所成角为，则 ， 因为，所以， 因为，所以大于，所以B错误， 对于C，设平面的法向量为，， 则，令，则， ， 所以E到面PAC的距离为，所以C正确， 对于D，设AE与PC所成角为， ，， 所以，所以D正确， 故选：CD 5．（多选题）（22-23高二上·山东烟台·期中）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点，则下列结论正确的有（    ） A．平面 B．平面平面 C．点到平面的距离为 D．二面角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】取的中点为，连接， 因为为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 取为，连接所以，且， 又因为是等腰直角三角形，所以， 且平面，且， 所以平面，所以为平面与平面的夹角， 又因为，所以平面，且平面，所以， ，而，所以，故B错误； 以为原点，所在直线为轴，在平面内，作平面， 建立如图所示空间直角坐标系， 则 因为 所以， 所以， 所以 设平面的法向量为， 则有即，令 则， 所以，所以点到平面的距离为， 故C正确； 设平面的法向量为， 则有即，令则， 所以， 设二面角的大小为，则， 所以.故D正确. 故选:ACD. 6．（多选题）（22-23高二上·山东东营·期中）在棱长为2的正方体中，、、分别为，，的中点，则下列选项正确的是（    ）． A． B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．存在实数、使得 【答案】ABD 【解析】如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系 则，，，，，，，，，， 对于A，，所以，则，故A正确； 对于B，，，所以， 因此，直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，又，设平面的法向量为， 则，令，则，又， 则点到平面的距离， 又中，，则， 所以， 故，故C错误； 对于D，因为，，所以，则，则四点共面， 又，，所以，则共面， 即存在实数、使得，故D正确； 故选：ABD． 7．（多选题）（22-23高二上·山东烟台·期中）如图，在长方体中，，点P满足，，，，则下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，平面 C．当，时，三棱锥的体积为定值 D．当，时，与平面所成角的正切值为 【答案】BCD 【解析】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，，则，，； 对于A，设，则， 又，，不恒成立，A错误； 对于B，当时，四点共面，即平面； ，平面，平面，平面， 同理可得：平面，又，平面， 平面平面，平面，B正确； 对于C，设，则， 设，则，，，， ，； 平面，平面的一个法向量为， 点到平面的距离，又， ，即三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D，当，时，， 设，则，，，， ，， 平面，平面的一个法向量， 设与平面所成角为，则， ，即与平面所成角的正切值为，D正确. 故选：BCD. 8．（多选题）（22-23高二上·山东济南·期中）已知，，，，则下列说法正确的有（    ） A．与夹角的余弦为 B．的面积为 C．平面的一个法向量 D．四面体的体积为 【答案】ACD 【解析】A：，，则，正确； B：由A知：，错误； C：若是面的一个法向量，则，令，有，正确； D：，则到面的距离，所以四面体的体积为，正确. 故选：ACD 9．（22-23高二上·山东淄博·期中）在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且，则异面直线D1E与BC所成角的正切值为 ；点G到平面D1EF的距离为 . 【答案】 /0.5 / 【解析】以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以，, 则， 令异面直线D1E与BC所成角为，则 ，则， 所以异面直线D1E与BC所成角的正切值为. 又，， 设平面的法向量为，则令，则， 所以平面的一个法向量． 则点到平面的距离为. 故答案为： 10．（22-23高二上·山东青岛·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则的重心到直线BN的距离为 . 【答案】/ 【解析】以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，设的重心是， 则，，，即， ，， ，，， ， 则 是锐角，， 所以到直线的距离为． 故答案为：． 11．（22-23高二上·山东临沂·期中）已知正方体的棱长为2，E为线段中点，F为线段上动点，点F到直线距离的最小值为 ． 【答案】 【解析】以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，设， 作，为垂足，则点F到直线距离为， 设，则有，，， ，2，，，，，， ，，， 因此， 化简得，当时，即时，此时， 有最小值，最小值． 故答案为：． 12．（22-23高二上·山东潍坊·期中）已知正方体的棱长为2，点M是棱BC的中点，点N是棱上的一个动点，设点A，M，N确定的平面为，当点N为的中点时，平面截正方体的截面的面积为 ．点到平面的距离的最小值为 ． 【答案】 / 【解析】（1）当是的中点时， 连接，由于， 所以四点共面，所以平面即平面， 根据正方体的性质可知，四边形是等腰梯形， ， 所以等腰梯形的高为， 所以截面面积为. （2）当是棱上任意一点时，建立空间直角坐标系如下图所示， ， 设，， 设平面的法向量为， 则，故可设， ， 所以到平面的距离为， ， 所以当，时，到平面的距离取得最小值为. 故答案为：； 13．（22-23高二上·山东泰安·期中）如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线、的公垂线的长度，即为所求.由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度. 如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则点、、、， 所以，，，， 设向量满足，， 由题意可得，解得，取，则，， 可得， 因此，. 故答案为：. 14．（22-23高二上·山东聊城·期中）若为空间直角坐标系的原点，则以为球心，且与平面相切的球的方程是 ，切点的坐标为 ． 【答案】 【解析】根据题意可知，平面分别交、、轴于点、、，利用空间向量法计算出点到平面的距离，可求得球的方程，根据平面的法向量结合切点在平面上可求得切点的坐标.如下图所示： 由题意可知，平面分别交、、轴于点、、， ，， 设平面的法向量为，由，可得， 取，可得， ，所以，球的半径为， 所以，球的方程为. 设切点为，则，可设， 可知点在平面上，所以，，解得，即点. 故答案为：；. 15．（23-24高二上·山东临沂·期中）如图，在长方体中，，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)设，求点到平面的距离． 【解析】（1）在四边形中，，，即是正方形； 所以， 又平面，平面， ， 又平面，平面，， 平面； （2）由，得， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，， 当为的中点时，，，， 设平面的一个法向量为， 由，可得， 由点到平面的距离公式得， 即点到面的距离是． 16．（22-23高二上·山东聊城·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且．    (1)证明：面； (2)求点到平面的距离； 【解析】（1）∵平面，面，∴， 又∵，面，， ∴平面． （2）解法1：过做于， ∵平面，面，∴， 又，面PAC，∴面， 为点到平面的距离， 在中，， ∵，又∵，∴为的中点， ∴点到平面的距离为． 解法2：∵平面， ∴， 在中，， ∴， 设点到平面的距离为，则， 由，得，∴． ∵，又∵，∴为的中点． ∴点到平面的距离为． 解法3：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，， 则，，， 设，则， ∴， 由，知， ∴，为中点， ∴，，，， 设平面的法向量为， 由，得， ∴，取，得， ∴是平面的一个法向量． ∴点到平面的距离为． 17．（22-23高二上·山东泰安·期中）如图，平面，，，，点M为BQ的中点． (1)求二面角的正弦值； (2)若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面MCP的距离． 【解析】（1）平面，平面，则，又， 则以为坐标原点，，， 的方向为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得：，，，， ，，， 设平面的法向量，则，即 ， 令，则，即， 同理可得平面的法向量， ∵，且，则， 故二面角的正弦值为. （2）设，， 即，则， ∴， 设平面的法向量为，，即， 令，则，即， 由题意知：，即， 整理得：，解得：或， 又，则， ∴，则， 由（1）知：平面的一个法向量为， 所以到平面MCP的距离. 18．（22-23高二上·山东德州·期中）如图，圆柱轴截面ABCD是正方形，，点E在底面圆周上，，F为垂足． (1)求证：； (2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为时，求三棱锥的体积． 【解析】（1）由题意可知底面 , 底面 ,故 ， 又，，平面AED， 故平面AED, 由平面AED,得， 又，平面BED，故平面BED, 由平面BED,，可得． （2）由题意，以A为原点，在底面圆内过点A作AB的垂线作为x轴，以AB，AD所在直线为y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系， 并设AD的长度为2，则，，，， 因为平面ABE，所以∠DEA就是直线DE与平面ABE所成的角， 所以，所以，所以， ， ， 由上可得，， 设平面DCE的法向量为，则，即 取，得． 因为， 所以点B到平面CDE的距离． 所以三棱锥的体积为：. 19．（22-23高二上·山东烟台·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）连接交于点，连接． 因为是的中点，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面． 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 由题知，，，两两垂直，所以，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，． 所以，，．设面的一个法向量， 则，令，则 又， 所以点到平面的距离为． 即直线到平面的距离为． （2）由（1）知，平面的一个法向量． 又，， 设平面的一个法向量面，则 ，所以，取． 设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 20．（22-23高二上·山东枣庄·期中）如图，在棱长为的正四面体中，是线段的中点．在线段上，且． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【解析】（1）设，，． 由题知：， 又 故． 故． 又． 故． 又因为平面，平面，且，所以平面． （2）由（Ⅰ）知，点到平面的距离为： ． 21．（22-23高二上·山东泰安·期中）如图，在三棱柱中，平面，分别为，，，的中点，，.    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1）在三棱柱中，因为平面，所以四边形为矩形． 又因为分别为，的中点，，所以.   又因为，所以. 由于，所以平面. （2）由（1）知，，．又平面， 所以平面． 因为平面，所以．如图建立空间直角坐称系． 由题意得，，，，所以，，. 设平面的法向量为，所以， 从而，令，则，， 所以平面的法向量.所以点到平面的距离． 22．（22-23高二上·山东济南·期中）1.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点，且BM⊥PD. (1)证明：CD⊥面PAD； (2)求点M到平面PAC的距离； (3)求二面角的余弦值. 【解析】（1）∵底面ABCD是矩形 ∴CD⊥AD ∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD ∴PA⊥CD ∵ ∴CD⊥面PAD （2）∵PA⊥平面ABCD，，平面ABCD ∴， ∵底面ABCD是矩形 ∴AB⊥AD ∴如图所示，选点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， ∵PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点 ∴，，，，， ∴， ∵BM⊥PD. ∴，即，解得： ∴ 设平面PAC的法向量为 则，即，令得：，，所以 设点M到平面PAC的距离为 则 （3）∵AB⊥平面PAD，PD平面PAD ∴AB⊥PD ∵BM⊥PD， ∴PD⊥平面ABM ∴平面ABM的法向量为 设平面ACM的法向量为 则，即，令得：，，所以 则 设二面角的大小为，由题意知，为锐角 则 23．（22-23高二上·山东泰安·期中）已知空间中的三点，，，设，. （1）若与互相垂直，求的值； （2）求点到直线的距离. 【解析】因为，，， 所以 （1），， 因为， 所以， 整理得， 解得或， 所以的值为或. (2) 设直线的单位方向向量为， 则 由于， 所以， 所以点N到直线PM的距离 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$