重难点01 空间角的向量求法-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

重难点01 空间角的向量求法 1．（23-24高二上·山东烟台·期中）如图，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，,  D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东济宁·期中）在正四棱锥中，为顶点S在底面内的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（23-24高二上·山东临沂·期中）如图所示，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．平面与平面的夹角为 5．（多选题）（23-24高二上·山东烟台·期中）已知正方体的棱长为是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是（    ） A．与一定不垂直 B．的面积是 C．点P到平面的距离是定值 D．二面角的正弦值是 6．（多选题）（23-24高二上·山东济宁·期中）如图正方体中，为正方形的中心，、分别为、的中点，下列结论正确的是（    ）    A．三个向量，，不共面 B． C． D．平面与平面的夹角的余弦值为 7．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在正四棱锥中，，，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角. 8．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，． (1)求证平面ACF (2)在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为？若存在，求出线段PH的长 9．（23-24高二上·山东临沂·期中）如图，在四棱雉中，平面，底面为菱形，，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)已知二面角的大小为，求菱形的边长． 10．（23-24高二上·山东日照·期中）如图，四棱锥，底面是正方形，平面，，，点E在线段SD上． (1)求证：； (2)若直线BE与平面所成角的正弦值，求二面角的余弦值． 11．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，四边形是正方形，平面，，，，F为PD的中点． (1)求证：BD平面； (2)求面与面夹角的大小． 12．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）．    (1)若为的中点，证明：． (2)设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 13．（23-24高二上·山东烟台·期中）如图，为边长是2的菱形，，平面，平面，，P为边BC上一点（与B，C两点不重合），使得EP与平面所成的角为． (1)求BP的长； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 14．（23-24高二上·山东潍坊·期中）边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且.    (1)证明：平面平面； (2)设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围. 15．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在三棱柱中，，，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 16．（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，在矩形中，，，E为线段中点，现将沿折起，使得点D到点P位置，且． (1)求证：平面平面； (2)已知点M是线段上的动点（不与点P，C重合），若使平面与平面的夹角为，试确定点M的位置． 17．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. (1)求证：平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 18．（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，E，F分别在侧棱和上，且，． (1)若，求； (2)求直线EF与AB所成角的余弦值． 19．（23-24高二上·山东·期中）已知三棱台中，，，，，，，平面平面，点为中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 20．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，，且，，是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 21．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，且，M，N分别PC，AB为的中点．    (1)证明：平面PAD； (2)求平面MNB与平面NBC的夹角． 22．（22-23高二上·山东潍坊·期中）在三棱锥中，为等边三角形，平面，将三角形绕逆时针旋转至位置（如图），且二面角的大小为. (1)证明：四点共面，且； (2)若，设为的中点，求与平面所成角的正弦值. 23．（22-23高二上·山东淄博·期中）如图,四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,点P是圆柱OQ的底面圆周上的一个动点,G是DP的中点,圆柱OQ的底面圆的半径OA=2,圆柱的高为. (1)求证:BP⊥平面PAD; (2)当三棱锥D-APB体积最大时,求平面PAG与平面BAG夹角的余弦值; 24．（22-23高二上·山东聊城·期中）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 25．（22-23高二上·山东临沂·期中）如图，在四棱锥中，，，，点M为棱PA的中点． (1)设，，，用，，表示，； (2)若底面ABCD，且，求平面BCM与平面ABCD所成角的余弦值． 26．（22-23高二上·山东枣庄·期中）四棱锥底面为平行四边形，且，平面. (1)在棱上是否存在点，使得平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 27．（22-23高二上·山东泰安·期中）如图，平面，，，，点M为BQ的中点． (1)求二面角的正弦值； (2)若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面MCP的距离． 28．（22-23高二上·山东泰安·期中）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD．△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E为BS上一点，且BE＝2ES． (1)证明：直线平面ACE； (2)求直线AS与平面ACE所成角的余弦值． 29．（22-23高二上·山东·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，M为PD的中点． (1)证明：平面PBC． (2)求平面PBC与平面PCD的夹角． 30．（22-23高二上·山东·期中）在长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是AD，的中点． (1)证明：MN与平面BCN不垂直． (2)求MN与平面所成角的正弦值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 空间角的向量求法 1．（23-24高二上·山东烟台·期中）如图，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构建如下图的空间直角坐标系，则， 所以，，， 若是面的一个法向量，则， 取，则， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 2．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，,  D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，构造如下图示的空间直角坐标系，则， 所以，则. 所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为. 故选：A 3．（23-24高二上·山东济宁·期中）在正四棱锥中，为顶点S在底面内的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系， 设， 则， 则，，, 设平面PAC的一个法向量为，则， 令，则，可得， 则， 设直线BC与平面PAC的夹角为， 可得直线BC与平面PAC的夹角的正弦值为， 所以直线BC与平面PAC的夹角的余弦值. 故选：C 4．（多选题）（23-24高二上·山东临沂·期中）如图所示，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．平面与平面的夹角为 【答案】BCD 【解析】 如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，. 对于A项，有，，显然不共线，所以A错误； 对于B项，，， 所以，， 所以，. 所以，直线与所成的角为.故B正确； 对于C项，，， 设是平面的一个法向量， 则， 令可得，是平面的一个法向量. 因为， 所以，直线与平面所成的角的正弦值， 所以，.故C正确； 对于D项，，. 设是平面的一个法向量， 则， 取，则是平面的一个法向量. 因为， 所以，平面与平面的夹角的余弦值， 所以，.故D正确. 故选：BCD. 5．（多选题）（23-24高二上·山东烟台·期中）已知正方体的棱长为是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是（    ） A．与一定不垂直 B．的面积是 C．点P到平面的距离是定值 D．二面角的正弦值是 【答案】BCD 【解析】对于A，当点与点重合时，由正方体的性质易得面，而面，所以，故A错误； 对于B，点到的距离，所以.故B正确； 对于C，由于平面就是平面， 所以点到平面的距离为，所以， 又因为点到的距离为，所以. 设点到平面的距离为，则，所以，故C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系， 如图所示，，设， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，，则， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，，则，设二面角的平面角为， 则，所以，故D正确； 故选：BCD． . 6．（多选题）（23-24高二上·山东济宁·期中）如图正方体中，为正方形的中心，、分别为、的中点，下列结论正确的是（    ）    A．三个向量，，不共面 B． C． D．平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】以A为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 不妨设正方体棱长为2， 则，， 对A，，，，设， 则，即，所以， 即，，共面，故A错误； 对B，，因为， ，所以，故B正确； 对C，因为，，所以，故C正确； 对D，设平面的法向量，则， 令，则，即， 取平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为， 则，故D正确. 故选：BCD 7．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在正四棱锥中，，，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角. 【解析】（1）证明：取的中点，连 分别是的中点 且 又是的中点 且         且       则四边形 是平行四边形                 又      平面 （2）连接，设， 如图：分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 在正四棱锥中，底面为正方形，，所以， 又因为，所以. 设平面的一个法向量为，则 ，即， 令，得 又平面的一个法向量为. 所以平面与平面的夹角为 8．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，． (1)求证平面ACF (2)在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为？若存在，求出线段PH的长 【解析】（1）连接BD交AC于M，连接FM， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴ 又平面ACF，平面ACF，∴平面ACF． （2） 设线段PB上存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为， 即CH与平面ACF所成角的正弦值为， 设，取AD中点O，连接OC，OP， ∵，∴， ∵侧面底面ABCD，侧面底面， 侧面PAD，∴底面ABCD， ∵，，，所以，， 以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面ACF的一个法向量为， 则， 令，则，， ∴平面ACF的一个法向量为， 又，∴， 又，∴， 设CH与平面ACF所成角， 则 整理得， 解得或，当时，， 当时，， 故在线段PB上存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为， 或． 9．（23-24高二上·山东临沂·期中）如图，在四棱雉中，平面，底面为菱形，，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)已知二面角的大小为，求菱形的边长． 【解析】（1）如图所示， 取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以是的中位线， 所以且， 又因为为的中点， 所以且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又因为平面，平面，，， 所以平面， 因为平面，所以， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 又因为为的中点，所以， 又底面为菱形，所以是等边三角形， 设菱形的边长为， 则，，，， 因为平面平面，所以平面的法向量为， 设平面法向量为， 因为，， 则， 令，则，所以， 因为二面角的大小为， 所以，解得， 所以菱形的边长为． 10．（23-24高二上·山东日照·期中）如图，四棱锥，底面是正方形，平面，，，点E在线段SD上． (1)求证：； (2)若直线BE与平面所成角的正弦值，求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：连接BD，因为底面是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，SD，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以． （2）因为平面，点E是线段SD上的点， 所以直线BE与平面所成的角为，所以， 又因为四边形是正方形，，所以， 设，则， 所以，解得，即． 以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则由，得， 即，令，得 平面ADE的一个法向量为， 由图可知二面角为锐二面角，设为， 所以， 所以二面角的余弦值为． 11．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，四边形是正方形，平面，，，，F为PD的中点． (1)求证：BD平面； (2)求面与面夹角的大小． 【解析】（1） 依题意，平面，如图，以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系． 依题意，可得，，，，，， 取的中点M，连接．∵，， ∴，∴， ∵平面平面， ∴平面． （2）因为，平面，所以平面， 故为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，因为， 所以即，令，得，， 故． 设面与面夹角为，则， 因为，所以面与面夹角是 12．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）．    (1)若为的中点，证明：． (2)设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【解析】（1）证明：分别取，的中点，，连接 由直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，可知， 且平面平面，故; 以为坐标原点，以所在直线为周，建立空间直角坐标系如图所示， 因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，为的中点， 所以，，，，， 故，，则， 所以，即． （2）设，则点，所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 故， 又平面的一个法向量为， 所以， 因为，则，所以， 故的取值范围为． 13．（23-24高二上·山东烟台·期中）如图，为边长是2的菱形，，平面，平面，，P为边BC上一点（与B，C两点不重合），使得EP与平面所成的角为． (1)求BP的长； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【解析】（1）由面，面且，为边长是2的菱形，， 将几何图形补全为直棱柱，垂直平分，构建如下空间直角坐标系， 则，设，则， 所以，，， 令是面的一个法向量，则， 取，则， 由EP与平面所成的角为，故， 所以，即，可得或（舍）， 所以. （2）由（1）知：，则，， 令是面的一个法向量，则， 取，则，又是面的一个法向量， 所以， 故平面与平面所成角的余弦值. 14．（23-24高二上·山东潍坊·期中）边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且.    (1)证明：平面平面； (2)设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围. 【解析】（1）在正方形中， ∵面面面，面面， ∴面， ∵面,∴， ∵在以为直径的半圆上，∴， 又∵面，面， 又面， ∴面面， （2）∵，∴ 又∵为二面角的平面角， ∴，同理. 在梯形中，. 取的中点，以为轴正半轴，以平行于的方向为轴正半轴，以平面内垂直于的方向为轴正半轴，建立如图空间直角坐标系： 则，设，， 则， 设平面的法向量为 则， 令，则， 设直线和平面所成角为， 则， 设， 则， 令， 当时，， 当时，， 令，任意， ， 因为，所以，，， 所以，所以在上为减函数， 故，所以， 所以， 所以， 所以直线和平面所成角的正弦值的取值范围. 15．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在三棱柱中，，，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 【解析】（1）连接，如下图所示： 因为，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）取中点，连接，因为，， 所以≌全等，且与均为等边三角形，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以是等腰直角三角形， 因为为的中点，所以且， 又因为，，所以是等腰直角三角形， 所以，所以，所以， 又因为，所以平面， 以所在直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 又， 设平面的一个法向量为， 所以，所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 所以，所以，令，则， 所以， 又因为二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 16．（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，在矩形中，，，E为线段中点，现将沿折起，使得点D到点P位置，且． (1)求证：平面平面； (2)已知点M是线段上的动点（不与点P，C重合），若使平面与平面的夹角为，试确定点M的位置． 【解析】（1）∵E为中点，， ， 又，四边形为矩形， ， ， ． 又，，AP，平面， 平面， 又平面， 平面平面． （2）过点E作平面，以E为坐标原点，以，，所在直线 分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，，． ，，， 设，， 则， 设是平面的一个法向量，则 即， 取，则， ． 又为平面的一个法向量， ， ∵平面与平面的夹角为， ，解得， 点M为线段的中点． 17．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. (1)求证：平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为侧棱所在直线与上下底面中心的连线所成的角为，则 ， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则. 因为； 所以，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）假设边上存在点满足条件，， 则， 设直线与平面所成角为， 由题意可得 化简得，则或（舍去）， 即存在点符合题意，此时. 18．（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，E，F分别在侧棱和上，且，． (1)若，求； (2)求直线EF与AB所成角的余弦值． 【解析】（1） ． ，，， （2）设，，， 由（1）知，， ． 又， 又． ． 直线EF与AB所成角的余弦值为． 19．（23-24高二上·山东·期中）已知三棱台中，，，，，，，平面平面，点为中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【解析】（1）证明：因为平面平面，交线为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为平面， ， 以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的法向量，则， 取，可得， 设平面法向量，则， 取，可得， 所以， 所以二面角的正弦值为. 20．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，，且，，是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）因为平面，平面，所以, 由，知，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 又，平面，所以平面 （2）以C为坐标原点，以所在直线分别为，建立空间直角坐标系，如图， 则， 故，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值. 21．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，且，M，N分别PC，AB为的中点．    (1)证明：平面PAD； (2)求平面MNB与平面NBC的夹角． 【解析】（1）取PD的中点E，连接ME，EA，如图（1）所示： 因为M，E分别是PC，PD的中点， 在中，，且， 因为底面ABCD是正方形，N为AB的中点， 所以，， 所以且， 故四边形MEAN是平行四边形，所以， 又因为平面PAD，平面PAD， 所以平面PAD. （2）因为底面ABCD是正方形，底面ABCD，所以AB，AD，AP两两垂直， 以A为原点，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图（2）所示： 由条件可知，，，，. 设平面MNB与平面NBC的夹角为，平面MNB的法向量为， 则，取，得平面MNB的一个法向量为， 易知，平面NBC的一个法向量为， 所以， 又，所以， 即平面MNB与平面NBC的夹角为． 22．（22-23高二上·山东潍坊·期中）在三棱锥中，为等边三角形，平面，将三角形绕逆时针旋转至位置（如图），且二面角的大小为. (1)证明：四点共面，且； (2)若，设为的中点，求与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为平面，平面，所以，即为直角三角形， 所以， 又，平面，所以平面， 假设四点不共面， 因为平面平面， 所以平面 平面，与平面平面矛盾， 故四点共面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以，即， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以. （2）由（1）可得两两垂直， 以为坐标原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系： 则，得， 所以，， 设平面的法向量为， 则，取， 设与平面所成角为， 则. 23．（22-23高二上·山东淄博·期中）如图,四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,点P是圆柱OQ的底面圆周上的一个动点,G是DP的中点,圆柱OQ的底面圆的半径OA=2,圆柱的高为. (1)求证:BP⊥平面PAD; (2)当三棱锥D-APB体积最大时,求平面PAG与平面BAG夹角的余弦值; 【解析】（1）证明:因为四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,所以平面, 因为平面,所以, 因为为底面圆的直径,所以, 因为平面,平面,且, 所以平面,得证; （2）由圆柱OQ的底面圆的半径OA=2,圆柱的高为, 即,当三棱锥D-APB体积最大时, 即底面面积最大,即, 连接,可知平面, 以为原点,方向分别为轴,建立空间直角坐标系,如图所示: 故可知: , 所以,, 记平面法向量, 所以,即, 取,可得, 记平面法向量, 所以,即, 取,可得, 所以, 故平面PAG与平面BAG夹角的余弦值为. 24．（22-23高二上·山东聊城·期中）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）证明：∵以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是， ∴， ∴ ， ∴. （2）∵，， ∴ ， ， ， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 25．（22-23高二上·山东临沂·期中）如图，在四棱锥中，，，，点M为棱PA的中点． (1)设，，，用，，表示，； (2)若底面ABCD，且，求平面BCM与平面ABCD所成角的余弦值． 【解析】（1）； ； （2）由面，面，则， 又，则，故两两垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，， 可设平面ABCD的法向量为，， 设平面BCM的法向量为，则，即，令，， 故，平面BCM与平面ABCD所成角的余弦值为. 26．（22-23高二上·山东枣庄·期中）四棱锥底面为平行四边形，且，平面. (1)在棱上是否存在点，使得平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）存在点，且时平面，理由如下： 连接相交于点，连接，则平面平面， 若平面，平面，平面，所以， 因为，，所以， ， 所以时平面； （2）因为，，， 由余弦定理可得， 由可得， ，又平面， 以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则， 所以， 设直线与平面所成角的为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 27．（22-23高二上·山东泰安·期中）如图，平面，，，，点M为BQ的中点． (1)求二面角的正弦值； (2)若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面MCP的距离． 【解析】（1）平面，平面，则，又， 则以为坐标原点，，， 的方向为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得：，，，， ，，， 设平面的法向量，则，即 ， 令，则，即， 同理可得平面的法向量， ∵，且，则， 故二面角的正弦值为. （2）设，， 即，则， ∴， 设平面的法向量为，，即， 令，则，即， 由题意知：，即， 整理得：，解得：或， 又，则， ∴，则， 由（1）知：平面的一个法向量为， 所以到平面MCP的距离. 28．（22-23高二上·山东泰安·期中）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD．△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E为BS上一点，且BE＝2ES． (1)证明：直线平面ACE； (2)求直线AS与平面ACE所成角的余弦值． 【解析】（1）连接交于点，连接． 因为，所以与相似． 所以．又 则，所以． 又因为平面，平面，所以直线平面． （2）平面平面，平面平面， 平面，，所以平面． 以为坐标原点，所在的方向分别为轴、轴的正方向， 与均垂直的方向作为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，0，，，1，，，2，，， ，2，，． 设平面的一个法向量为，，， 则，令，得 设直线AS与平面ACE所成的角为，则 则． 又，则 故直线AS与平面ACE所成角的余弦值为 29．（22-23高二上·山东·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，M为PD的中点． (1)证明：平面PBC． (2)求平面PBC与平面PCD的夹角． 【解析】（1）证明：取PC的中点为N，连接MN，NB， 则且． 因为且，所以且， 所以四边形MNBA为平行四边形，所以． 又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC． （2）过A作，垂足为H，则． 如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，． 设平面PBC的法向量为，因为，，所以令，得． 设平面PCD的法向量为，因为，，所以令，得． 设平面PBC与平面PCD的夹角为θ，则， 所以平面PBC与平面PCD的夹角为． 30．（22-23高二上·山东·期中）在长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是AD，的中点． (1)证明：MN与平面BCN不垂直． (2)求MN与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，． （1）证明：因为，，所以，但， 所以MN与平面BCN不垂直． （2）设平面的法向量为，因为，，所以令，得． 设MN与平面所成的角为θ，则， 故MN与平面所成角的正弦值为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$