重难点07 椭圆中的参数范围与最值问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

重难点07 椭圆中的参数范围与最值问题 1．（多选题）（22-23高二上·山东·期中）椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，以下说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上存在点，使得 C．过点的直线与椭圆交于，两点，则的面积最大值为 D．定义曲线为椭圆的伴随曲线，则曲线与椭圆无公共点 2．（多选题）（22-23高二上·山东济南·期中）已知，是椭圆的左，右焦点，动点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·山东枣庄·期中）已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为 . 4．（22-23高二上·山东日照·期中）椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于点A，B，当的周长最大为 时，的面积是 . 5．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于E，F两点，H为线段EF的中点. (1)求椭圆的方程; (2)已知点，且，求直线的方程. (3)点为直线上一点，且不在轴上，是椭圆长轴的两个端点，直线与椭圆C的另外一个交点分别为M，N，设的面积分别为，求的最大值. 6．（23-24高二上·山东青岛·期中）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.    (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，. （i）证明：点B在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 7．（23-24高二上·山东临沂·期中）一动圆与圆外切，同时与内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线； (2)设点，斜率不为0的直线与方程交于点，，与圆相切且切点为，为中点．求圆的半径的取值范围． 8．（23-24高二上·山东聊城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为和，的下顶点为，直线，点在上. (1)若，线段的中点在轴上，求的坐标； (2)椭圆上存在一个点，到的距离为，使，当变化时，求的最小值. 9．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆，①直线过的右焦点，椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍，②点，都在上，③四点，，，中恰有三点在椭圆上． 在以上三个条件中任选一个，解答下列问题． (1)求椭圆的标准方程： (2)设，，是椭圆上不同于，的两点（其中在轴上方），若直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求四边形面积的最大值． 10．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知，是椭圆M：的左右焦点． (1)若C是椭圆上一点，求的最小值； (2)直线与椭圆M交于A，B两点，O是坐标原点．椭圆M上存在点P使得四边形OAPB为平行四边形，求m的值． 11．（22-23高二上·山东日照·期中）如图，已知椭圆的左、右顶点为、，又、与椭圆短轴的一个端点组成的三角形面积为.圆的圆心为椭圆的左顶点.    (1)求椭圆的方程； (2)当圆半径时，过椭圆外一点垂直于轴的圆的切线为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线分别交于、两点，求的最小值； (3)圆A与椭圆交于点、.点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点.求证：为定值. 12．（22-23高二上·山东德州·期中）已知圆M：，点，P是圆M一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q． (1)求点Q的轨迹方程C； (2)若点A是曲线C上的动点，求的最大值（其中O为坐标原点）． 13．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点在椭圆上，且， ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 14．（22-23高二上·山东济南·期中）已知点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线与轨迹交于不同的两点，，则的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由. 15．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于两点. （ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值； （ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值. 16．（22-23高二上·山东临沂·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆于，两点. （1）求的周长； （2）椭圆上是否存在点，使得点到直线：的距离最大？若存在，求出最大距离；若不存在，说明理由. 17．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知椭圆C1：y2＝1的左右顶点是双曲线C2：的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为． （1）求双曲线C2的方程； （2）若直线与C1相交于M1，M2两点，与C2相交于Q1，Q2两点，且•5，求|M1M2|的取值范围． 18．（22-23高二上·山东济南·期中）已知两点，在椭圆：上，为椭圆上的动点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）将表示为的函数，并求的取值范围. 19．（22-23高二上·山东·期中）已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设点是椭圆上的动点，为椭圆的左焦点，求线段的中点的轨迹方程； (3)直线过定点，且与椭圆交于不同的两点，若为钝角（为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 20．（22-23高二上·山东·期中）如图，点，分别是椭圆的左､右焦点，点A是椭圆C上一点，且满足轴，，直线与椭圆C相交于另一点B. (1)求椭圆C的离心率； (2)若的周长为，M为椭圆C上任意一点，求的取值范围. 21．（22-23高二上·山东·期中）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且长轴长为8，为椭圆是异于，的点，满足的周长为12． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 22．（22-23高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系xOy中，动圆P和圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心轨迹为E． (1)求轨迹E的方程； (2)若直线l：与E交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围． 23．（22-23高二上·天津·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点，为左顶点，为下顶点，椭圆上有一点且点在第一象限，交轴于点，交轴于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值. 24．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知O为坐标原点，定点，定直线，动点P到直线的距离设为d，且满足：． (1)求动点P的轨迹曲线W的方程． (2)若直线与曲线W交于A，B两点，求面积的最大值． 25．（22-23高二上·山东青岛·期中）如图，点是椭圆的短轴位于轴下方的端点，过作斜率为的直线交椭圆于点，若点的坐标为，且满足轴，． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左顶点为，左焦点为，点为椭圆上任意一点，求的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点07 椭圆中的参数范围与最值问题 1．（多选题）（22-23高二上·山东·期中）椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，以下说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上存在点，使得 C．过点的直线与椭圆交于，两点，则的面积最大值为 D．定义曲线为椭圆的伴随曲线，则曲线与椭圆无公共点 【答案】BD 【解析】对于A：因，，则，即，离心率， A错误； 对于B：以线段为直径的圆O：，显然椭圆的短轴端点在圆O内，于是得圆O与椭圆C有公共点， 即椭圆上存在点，有，则，B正确； 对于C：显然直线AB不垂直于y轴，将直线的方程代入椭圆的方程得：， 设，，， 因此， 因为，当且仅当取等号，则，C错误； 对于D：椭圆中，，而伴随曲线中，， 因此，曲线与椭圆C不可能有公共点，D正确. 故选：BD 2．（多选题）（22-23高二上·山东济南·期中）已知，是椭圆的左，右焦点，动点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由椭圆方程求得焦点坐标，再由得，分别写出直线和的方程，由M到两直线的距离相等列式，整理可得m关于的关系式，求得m的取值范围，即可得出结果.由椭圆方程可得， 由可得， 则直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 在的平分线上， ①， ， ， 则①式可化为，即， 又，， 结合选项可得m的可能取值为1，0，. 故选：ACD. 3．（22-23高二上·山东枣庄·期中）已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为 . 【答案】 【解析】由题意知：， 设的延长线交的延长线于点，，为线段中点， 由椭圆定义知：，， 分别为和中点，， 点轨迹是以为圆心，为半径的圆， 由椭圆方程知：短轴端点为， 当点在轴上时，其到临近的短轴端点的距离最近，最近距离为. 故答案为：. 4．（22-23高二上·山东日照·期中）椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于点A，B，当的周长最大为 时，的面积是 . 【答案】 8 3 【解析】设椭圆的右焦点为， 根据椭圆的定义可知， 当且仅当经过右焦点时，取得最大值. 此时直线，代入椭圆方程可得， 此时. 故答案为：8；3. 5．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于E，F两点，H为线段EF的中点. (1)求椭圆的方程; (2)已知点，且，求直线的方程. (3)点为直线上一点，且不在轴上，是椭圆长轴的两个端点，直线与椭圆C的另外一个交点分别为M，N，设的面积分别为，求的最大值. 【解析】（1）由椭圆的定义得，因为，所以， 在中，由余弦定理得， 即， 又，即，代入整理得，解得，所以， 所以椭圆的方程为:. （2）由题意，设的方程为:，且， 联立方程组，整理得， 则且， 所以，则， 因为，所以，即， 整理得，因为，可得或， 直线的方程为或者. （3）设且，则，， 联立方程组，整理得，可得， 同理可得，联立，整理得，可得， 所以， 令，则， 当，即，即时，取得最大值. 6．（23-24高二上·山东青岛·期中）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.    (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，. （i）证明：点B在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 【解析】（1）由题知，椭圆的焦点为，， 故可设椭圆的方程为，将点代入可得， 解得， 所以椭圆得方程为. （2）（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，； 根据题意可知直线斜率均存在，且，； 所以直线的方程为，的方程为； 联立直线和椭圆方程，消去可得； 由韦达定理可得，解得，则； 联立直线和椭圆方程，消去可得； 由韦达定理可得，解得，则； 则，； 所以； 即可知为钝角，所以点B在以为直径的圆内； （ii）易知四边形的面积为， 设，则，当且仅当时等号成立； 由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以，可得， 所以时，四边形的面积最大为6，此时点的坐标为， 由对称性可知，即当点的坐标为或时， 四边形的面积最大，最大值为6. 7．（23-24高二上·山东临沂·期中）一动圆与圆外切，同时与内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线； (2)设点，斜率不为0的直线与方程交于点，，与圆相切且切点为，为中点．求圆的半径的取值范围． 【解析】（1）设动圆心为，半径为， 圆可化为， 可化为， 由题意可得，， 则， 所以，圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，且，，得， 则动圆圆心的轨迹方程为． （2）由题意知，直线的斜率存在且不为0， 设直线方程为，，， 设圆的半径为， ， ， ，， 所以， 又因为为的中点，所以， 又圆与直线相切于点，所以，且，所以， 所以，解得，所以， ， 解得：， 所以， 由，即， 所以圆的半径的取值范围为． 8．（23-24高二上·山东聊城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为和，的下顶点为，直线，点在上. (1)若，线段的中点在轴上，求的坐标； (2)椭圆上存在一个点，到的距离为，使，当变化时，求的最小值. 【解析】（1）由题意可得， ，， 的中点在轴上，则由中点坐标公式可知：的纵坐标之和为0， 的纵坐标为，代入得：. （2）设，则由题意得： 则， 或 ，或, 据此可得，或, 整理可得，或, 解得， 又， 从而，即的最小值为. 9．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆，①直线过的右焦点，椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍，②点，都在上，③四点，，，中恰有三点在椭圆上． 在以上三个条件中任选一个，解答下列问题． (1)求椭圆的标准方程： (2)设，，是椭圆上不同于，的两点（其中在轴上方），若直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求四边形面积的最大值． 【解析】（1）若选①设椭圆的焦距为，直线恒过定点，所以． 椭圆的下顶点到直线的距离， 由题意得解得，． 所以椭圆的标准方程为； 若选②因为，都在上，所以解得 所以椭圆的标准方程为； 若选③由对称知：，都在椭圆上，对于椭圆在第一象限的图像上的点， 易知是的减函数，故，只有一个点符合，显然不在椭圆上， 所以，，三点在椭圆上，所以， 将代入椭圆方程可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设直线的斜率为，即直线的方程为， 联立直线与椭圆方程化简整理可得， ， 设，由韦达定理可得，，即，， 因为直线的斜率等于直线的斜率的倍， 所以可得直线的方程为， 联立直线与椭圆方程 化简整理可得， ， 设，由韦达定理可得，即，， 由对称性，不妨设， 则四边形的面积 ， 令，则，当且仅当，即，等号成立， 则，故的最大值为． 10．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知，是椭圆M：的左右焦点． (1)若C是椭圆上一点，求的最小值； (2)直线与椭圆M交于A，B两点，O是坐标原点．椭圆M上存在点P使得四边形OAPB为平行四边形，求m的值． 【解析】（1）由椭圆方程，可得，，设，则 ，， 所以，将原椭圆方程变形并代入，得， 又由椭圆的几何性质可得， 所以当时，的最小值为0. （2）设，，联立，得， 判别式，解得，由根与系数之间的关系得， ，又四边形OAPB为平行四边形， A，B两点中点和O，P两点中点重合，即A，B两点中点坐标为， 推出P点坐标，又因为P点在椭圆上，，解得， 11．（22-23高二上·山东日照·期中）如图，已知椭圆的左、右顶点为、，又、与椭圆短轴的一个端点组成的三角形面积为.圆的圆心为椭圆的左顶点.    (1)求椭圆的方程； (2)当圆半径时，过椭圆外一点垂直于轴的圆的切线为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线分别交于、两点，求的最小值； (3)圆A与椭圆交于点、.点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点.求证：为定值. 【解析】（1）由题意知、与椭圆短轴的一个端点组成的三角形的面积为， 又因为，则，，因此，椭圆的方程为. （2）直线，由已知、， 设直线的斜率为，则的方程为， 联立，解得，得， 设点，其中，则， 则，所以，， 所以直线的方程为，所以， ，当且仅当时等号成立. 此时线段长度的最小值是. （3）设、、， 则直线的方程为， 令，得，同理，故， 又点与点在椭圆上，故，， 得， 所以为定值. 12．（22-23高二上·山东德州·期中）已知圆M：，点，P是圆M一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q． (1)求点Q的轨迹方程C； (2)若点A是曲线C上的动点，求的最大值（其中O为坐标原点）． 【解析】（1）圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程； （2）设，则， 进而① 又，所以，将其代入①得 ， 由椭圆的有界性可知 ，所以当 时，取最大值 13．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点在椭圆上，且， ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 【解析】（1）由题意可得：， 解得：， 故椭圆方程为：. （2）①设点. 因为，，即 由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程为， 联立，消去并整理得：， 根据，代入整理可得： ， 将代入，得， 整理得：，解得或， 因为时直线恒过定点，不合题意，舍去， 所以，直线恒过定点. ②由①知，直线的方程为：， 点到直线的距离， 联立，消去并整理得：， ， 所以的面积， 令，则，， ， 因为，所以时面积最大，最大值为. 14．（22-23高二上·山东济南·期中）已知点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线与轨迹交于不同的两点，，则的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意知：，， ， 由椭圆定义知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，可知，，即，，则 所以点的轨迹方程为； （2）存在； 设，，不妨设， 由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为， 联立，得， 则 由韦达定理知， ， 当且仅当，即时的面积取得最大值 此时直线的方程为 15．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于两点. （ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值； （ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值. 【解析】（1）由题意知：，， 又，则以为圆心且过的圆的半径为， 故，所以椭圆的标准方程为：. （2）（ⅰ）设直线的方程为：， 将代入得：， 所以且， 故. 又， 点到直线的距离， 所以， 等号当仅当时取，即当时，的面积取最大值为. （ⅱ）显然直线的斜率一定存在， 设直线的方程为：，， 由（ⅰ）知： 所以， 所以， 解得，，直线过定点或， 所以D在以OZ为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于， 所以存在定点或，使得为定值. 16．（22-23高二上·山东临沂·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆于，两点. （1）求的周长； （2）椭圆上是否存在点，使得点到直线：的距离最大？若存在，求出最大距离；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由椭圆：可知，椭圆的长轴长， 由椭圆的定义可知，，， 又∵直线过焦点交椭圆与，两点. 的周长为：. （2）假设椭圆上存在点，使得点到直线：的距离最大，则点为平行于直线的直线与椭圆的切点. 设与直线：平行且与椭圆相切的直线方程为：. 联立，整理得：， ∵直线与椭圆相切，∴， 解得：. 当时，直线与椭圆的切点到直线的距离最大，且此最大距离也是直线与直线之间的距离，此时直线的方程为， 直线：与直线：的距离， 椭圆上存在点，使得点到直线：的距离最大，最大距离为. 17．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知椭圆C1：y2＝1的左右顶点是双曲线C2：的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为． （1）求双曲线C2的方程； （2）若直线与C1相交于M1，M2两点，与C2相交于Q1，Q2两点，且•5，求|M1M2|的取值范围． 【解析】（1）由椭圆C1：y2＝1的左右顶点为（，0），（，0），可得a2＝3， 又椭圆C1的上顶点（0，1）到双曲线C2的渐近线bx﹣ay＝0的距离为， 由点到直线的距离公式有可得b＝1， 所以双曲线C2的方程为y2＝1； （2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m， 代入y2＝1，消去y并整理得（1﹣3k2）x2﹣6kmx﹣3m2﹣3＝0， 要与C2相交于两点，则应有⇒①， 设Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2），则有：x1+x2，x1•x2． 又•x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2， 又•5，所以有[（1+k2）（﹣3m2﹣3）+6k2m2+m2（1﹣3k2）]＝﹣5 整理得m2＝1﹣9k2…②， 将y＝kx+m，代入y2＝1，消去y并整理得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0， 要有两交点，则△＝36k2m2﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）＞0⇒3k2+1＞m2…③ 由①②③有：0＜k2． 设M1（x3，y3）、M2（x4，y4），则有：x3+x4，x3•x4． 所以|M1M2|••， 又m2＝1﹣9k2，代入有：|M1M2|•⇒|M1M2|• ⇒|M1M2|＝12，令t＝k2，则t∈（0，]， 令f（t）⇒f′（t），又t∈（0，]， 所以f'（t）＞0在t∈（0，]内恒成立，故函数f（t）在t∈（0，]内单调递增， 故f（t）∈（0，]，则有|M1M2|∈（0，]． 18．（22-23高二上·山东济南·期中）已知两点，在椭圆：上，为椭圆上的动点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）将表示为的函数，并求的取值范围. 【解析】（1）由题意可知，，所以椭圆的方程为. （2）由点在椭圆上，可得，且. .由，可得， 所以，故的取值范围为. 19．（22-23高二上·山东·期中）已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设点是椭圆上的动点，为椭圆的左焦点，求线段的中点的轨迹方程； (3)直线过定点，且与椭圆交于不同的两点，若为钝角（为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【解析】（1）由椭圆的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点可得，从而， 则有，解得 所以椭圆的方程为. （2）设椭圆上的动点，线段中点（x，y）， 由题意得，即， ∵点在椭圆上， ∴ 整理得， ∴线段中点的轨迹方程为． （3）由题意得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为， 由消去整理得：， ∵直线l与椭圆交于不同的两点， ∴， 解得① 设（x1，y1），（x2，y2）， 则． ∵为钝角， ∴ ，则，                     又． =， 解得 ②                                                       由①②得． ∴ 实数k的取值范围是． 20．（22-23高二上·山东·期中）如图，点，分别是椭圆的左､右焦点，点A是椭圆C上一点，且满足轴，，直线与椭圆C相交于另一点B. (1)求椭圆C的离心率； (2)若的周长为，M为椭圆C上任意一点，求的取值范围. 【解析】（1）在中，∵， ∴，， 由椭圆的定义，，， ∴椭圆离心率. （2）的周长为，则， ∵，∴，， ∴椭圆C的标准方程为， 可得，设，则，， ∵， ∴， ∵， 所以由二次函数性质可知，当时，的最大值为； 当时，的最小值为， 所以的取值范围是. 21．（22-23高二上·山东·期中）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且长轴长为8，为椭圆是异于，的点，满足的周长为12． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 【解析】（1）由题意得，所以. 因为的周长为12，所以，所以， 故. 所以椭圆的方程为． （2）由题意，直线不与轴重合，故设直线的方程为， 由，得， ，即， ，．所以， 又点到直线的距离．所以， 所以（当且仅当时等号成立，且满足）. 故面积的最大值为． 22．（22-23高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系xOy中，动圆P和圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心轨迹为E． (1)求轨迹E的方程； (2)若直线l：与E交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围． 【解析】（1）由题意，圆的标准方程为：，圆心， 圆的标准方程为，圆心， 不妨设动圆P的半径为， 动圆P和圆内切，故；动圆P和圆外切，故， 即，又， 故动圆P的圆心轨迹是以为焦点的椭圆，， 即轨迹E的方程是：. （2）由题意，联立直线与椭圆： ，可得， 不妨设，则， 即， ， 线段MN的中点横坐标，纵坐标， 线段MN的垂直平分线过定点，故， 即，代入可得， ，即 即，解得或. 23．（22-23高二上·天津·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点，为左顶点，为下顶点，椭圆上有一点且点在第一象限，交轴于点，交轴于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值. 【解析】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）由（1）可得： 设直线，则， 联立方程，消去得：， 由题意可得，则， ∴，即， 直线：，令，解得，即， 直线：，令，解得，即， 则的面积 ， 令，则， ∴， ∵，当且仅当，即时等号成立， ∴ 故面积的最大值. 24．（22-23高二上·山东青岛·期中）已知O为坐标原点，定点，定直线，动点P到直线的距离设为d，且满足：． (1)求动点P的轨迹曲线W的方程． (2)若直线与曲线W交于A，B两点，求面积的最大值． 【解析】（1）设点，由题知：， 所以，整理得点P的轨迹方程：． （2）设 将代入得：， 所以，， 得， ， 点O到直线m的距离，所以， 所以，当且仅当即，即时等号成立，此时满足， 所以面积最大值为． 25．（22-23高二上·山东青岛·期中）如图，点是椭圆的短轴位于轴下方的端点，过作斜率为的直线交椭圆于点，若点的坐标为，且满足轴，． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左顶点为，左焦点为，点为椭圆上任意一点，求的取值范围． 【解析】（1）由题意得，的方程为，由，则， ，，由，即，即，，又在椭圆上，得，解得， 所求椭圆方程； （2）由椭圆方程得，则，，设，则 所以，且， 则 由于，所以，即的取值范围为. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$