专题02 直线与圆的方程 （12大基础题10大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

专题02 直线与圆的方程 直线的倾斜角与斜率 1．（23-24高二上·山东淄博·期中）若经过点和的直线的斜率为2，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．（23-24高二上·山东烟台·期中）经过点，两点的直线的方向向量为，则m的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知直线经过点和，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 5．（23-24高二上·广东深圳·期中）经过两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么实数 . 7．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ． 过定点的直线与线段相交问题 8．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知点，，若直线与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 9．（23-24高二上·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 10．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知点，，若直线：与线段有公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·山东·期中）已知点，，若直线与线段AB恒相交，则k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 直线方程的求解 13．（23-24高二上·山东烟台·期中）若直线在y轴上的截距为2，则该直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D． 14．（23-24高二上·山东济宁·期中）若，，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（23-24高二上·山东青岛·期中）过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·山东聊城·期中）经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·山东济宁·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为 . 18．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在菱形中，，，.    (1)求直线的方程及直线的倾斜角； (2)求对角线所在的直线方程. 19．（23-24高二上·山东德州·期中）已知直线：和直线：，其中m为实数． (1)若，求m的值； (2)若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 20．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知直线过定点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 21．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为，，点在边BC上． (1)若△ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程； (2)若P为BC的中点，求边BC所在直线的一般方程． 直线过定点问题 22．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知点和直线，则点到直线的距离的最大值是 ． 23．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知直线经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·山东菏泽·期中）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点 两条直线平行与垂直的问题 26．（23-24高二上·山东·期中）已知直线，，若，则的值为（    ） A． B．6 C．4 D． 27．（23-24高二上·山东济南·期中）若经过点和的直线与斜率为的直线互相垂直，则的值是 . 28．（多选题）（23-24高二上·山东日照·期中）设a为非零实数，直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．恒过点 D．当时，不经过第一象限 29．（多选题）（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知直线，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 30．（多选题）（23-24高二上·山东济南·期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若斜率，则 B．若，则 C．若倾斜角，则 D．若，则 31．（多选题）（23-24高二上·山东·期中）已知直线，直线，则（    ） A．恒过定点 B．当时， C．当时，或 D．点到距离的最大值为4 直线的交点问题 32．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知直线，直线． (1)当时，求两直线的交点坐标； (2)当时，求两直线间的距离． 33．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知直线，，且直线与垂直. (1)求的值； (2)若直线过直线与的交点，且原点到该直线的距离为3，求直线的方程. 34．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知直线：x+y-4=0，：x-y+2=0和直线：ax-y+1-4a=0. (1)若存在一个三角形，它的三条边所在的直线分别是，，，求实数a的取值范围； (2)若直线l经过和的交点，且点到l的距离为2，试求直线l的方程. 三种距离公式的应用 35．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知直线l过点，求满足下列条件的直线l的方程． (1)在两坐标轴上的截距相等； (2)，到直线l距离相等． 36．（23-24高二上·山东聊城·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是 . 37．（23-24高二上·山东烟台·期中）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为 ． 38．（23-24高二上·山东济宁·期中）若两条平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高二上·山东枣庄·期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 求圆的方程 40．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高二上·山东潍坊·期中）圆 上的点 关于直线 的对称点仍在圆 上， 且该圆的半径为 ， 则圆 的方程为（    ） A． B． C． 或 D． 或 42．（23-24高二上·山东烟台·期中）求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆C经过，且圆心在直线， （1）圆C的方程是 （2）若从点发出的光线经过直线，反射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是 44．（23-24高二上·山东聊城·期中）与圆同圆心，且过点的圆的方程是： . 45．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的外接圆的方程为 ． 直线与圆的位置关系 46．（23-24高二上·山东青岛·期中）对于圆：，下列说法正确的为（    ） A．点圆的内部 B．圆的圆心为 C．圆的半径为 D．圆与直线相切 47．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知直线，点是圆内一点，若过点A的圆的最短弦所在直线为m，则下列说法正确的是（    ） A．l与圆C相交，且 B．l与圆C相切，且 C．l与圆C相离，且 D．l与圆C相离，且 48．（23-24高二上·山东烟台·期中）若直线与圆相离，则过点的直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 49．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高二上·山东临沂·期中）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A． B．1或 C．或3 D． 51．（23-24高二上·山东泰安·期中）若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 圆与圆的位置关系 52．（23-24高二上·山东淄博·期中）圆与圆的公切线有（    ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 53．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．外离 D．相交 54．（23-24高二上·山东济宁·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 55．（23-24高二上·山东德州·期中）已知两圆和无公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 56．（23-24高二上·山东菏泽·期中）设集合，集合，当时，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知圆C：上总存在两个点到原点的距离为2，则圆C半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 弦长问题 58．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆C的方程为，直线m过点，且与圆C交于A，B两点，若，则直线m的斜率为（    ） A．或0 B．或0 C．或0 D．或0 59．（23-24高二上·山东菏泽·期中）若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 60．（23-24高二上·山东潍坊·期中）动直线被圆截得的最短弦长的值为 ，此时实数 ． 61．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆，直线（）恒过定点. (1)求定点的坐标； (2)求直线被圆截得的弦长最短时的值、直线的方程以及最短弦长. 切线问题与公切线问题 62．（23-24高二上·山东德州·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 ．（写出一条即可） 63．（23-24高二上·山东潍坊·期中）为测量一工件的内圆弧对应的半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度（如图所示），则 . 64．（23-24高二上·山东潍坊·期中）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为 . 65．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知直线和圆． (1)若直线交圆于两点，求弦的长； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 66．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 67．（23-24高二上·山东青岛·期中）过点作圆的两条切线，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 68．（23-24高二上·山东威海·期中）已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（    ） A．6 B．36 C．10 D． 点线对称、线点对称、线线对称问题 69．（23-24高二上·山东·期中）已知点，则它关于直线对称点为 . 70．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 71．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程为 . 72．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .    73．（23-24高二上·山东青岛·期中）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 直线方程的综合应用 74．（23-24高二上·山东枣庄·期中）（1）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求直线的方程； （2）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程. 75．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知的顶点，边上的高BH所在直线为，边上的中线AD所在直线方程为． (1)求顶点A的坐标； (2)求直线的方程.（结果用一般式方程表示）． 76．（23-24高二上·山东威海·期中）已知，y轴为边中线 (1)求边所在直线方程； (2)求角平分线所在直线方程． 77．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知直角坐标平面内的两点. （1）求线段的中垂线所在直线的方程； （2）求以向量为方向向量且过点的直线l的方程； （3）一束光线从点B射向轴，反射后的光线过点A，求反射光线所在的直线方程. 78．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知三个顶点分别为，，． (1)求的面积； (2)过内一点有一条直线l与边AB，AC分别交于点M，N，且点P平分线段MN，求直线l的方程． 线段和差最值问题 79．（23-24高二上·山东·期中）华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合对于㑚决部分数学问题有着事半功倍的效果．已知，则的最小值为 ． 80．（23-24高二上·山东·期中）已知点是直线上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 直线与坐标系围成的面积问题 81．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为 ． 82．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知直线经过点，且与轴､轴的正半轴交于两点，是坐标原点，若满足__________. (1)求直线的一般式方程； (2)已知点为直线上一动点，求最小值. 试从①直线的方向向量为；②直线经过与的交点；③的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分. 83．（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值． 与圆有关的轨迹问题 84．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知，，P点满足． (1)求点P的轨迹的方程，并说明是何图形； (2)设T为直线上一点，直线TO，TA分别与相交于点B，C，求四边形面积S的最大值． 85．（23-24高二上·山东·期中）已知定点，点为圆上的动点. (1)求的中点的轨迹方程； (2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程. 86．（23-24高二上·山东聊城·期中）已知在平面直角坐标系中，点，直线：.圆的半径为1，圆心在直线上. (1)若直线与圆相切，求圆的标准方程； (2)已知动点，满足，说明的轨迹是什么? 87．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 88．（23-24高二上·山东临沂·期中）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．9 89．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知圆C的圆心在直线上，并经过点，与直线相切． (1)求圆C的方程； (2)已知，动点到圆C的切线长等于的2倍，求出点的轨迹方程． 与圆有关的范围与最值问题 90．（多选题）（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知圆：和圆：的交点为，，直线：与圆交于，两点，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围是 B．圆上存在两点和，使得 C．圆上的点到直线的最大距离为 D．若，则 91．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 92．（23-24高二上·山东·期中）已知实数满足方程，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 93．（23-24高二上·山东德州·期中）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为 ；的最小值为 ． 94．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知O为坐标原点，A，B均在直线上，，动点P满足，则的最小值为 ． 切点弦问题 95．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 96．（23-24高二上·山东济宁·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆. （1）求圆的方程； （2）若点，当在上运动时，记的最大值和最小值分别为和，求的值. （3）过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程. 97．（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，已知圆，动点，过点P引圆的两条切线，切点分别为． (1)求证：直线过定点； (2)若两条切线与轴分别交于两点，求的面积的最小值． 公共弦问题 98．（23-24高二上·山东泰安·期中）若圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的垂直平分线的方程为 C．公共弦的长为 D．P为圆上一动点，则点P到直线的距离的最大值为 99．（多选题）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知圆与圆，下列说法正确的是（    ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若，分别是圆，上的动点，则 100．（多选题）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知圆和圆相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线AB的方程为 C．线段AB的长为 D．M到直线AB的距离与N到直线AB的距离之比为1：5 圆的综合应用 101．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知点，关于原点对称，点在直线上，，圆过点，且与直线相切，设圆心的横坐标为. （1）求圆的半径； （2）已知点，当时，作直线与圆相交于不同的两点，，已知直线不经过点，且直线，斜率之和为，求证：直线恒过定点. 102．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知直线和圆，且直线和圆交于两点. (1)当为何值时，截得的弦长为4； (2)若，求的取值范围. 103．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积分别是．求的取值范围． 104．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． (1)当时，求切线所在的直线方程； (2)若线段中点为，求证：存在定点，使得为定值． 105．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知圆与圆：关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为，记四边形的面积为，求的取值范围. 106．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且．若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 107．（23-24高二上·山东临沂·期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，，且点在第一象限．记的外接圆为圆． (1)求圆的方程； (2)过点且不与y轴重合的直线l与圆E交于，两点，是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由． 直线与圆新定义问题 108．（多选题）（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知有序数对，满足，有序数对满足，定义，则（    ） A．的最小值为 B．取最小值时的值为 C．的最小值为 D．的最大值为20 109．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 110．（多选题）（23-24高二上·山东·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A．上的点到直线的最小距离为 B．若点在上，则的最小值是－2 C．若点在上，则的最小值是－2 D．圆与有公共点，则的取值范围是 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与圆的方程 直线的倾斜角与斜率 1．（23-24高二上·山东淄博·期中）若经过点和的直线的斜率为2，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】由题意，解得， 故选：C． 2．（23-24高二上·山东烟台·期中）经过点，两点的直线的方向向量为，则m的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由题设，故对应直线的一个方向向量为， 所以. 故选：B 3．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知直线经过点和，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的倾斜角为， 因为， 所以且， 所以， 故选：C. 4．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【解析】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 从而直线的倾斜角. 故选：D. 5．（23-24高二上·广东深圳·期中）经过两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，所以直线的倾斜角为； 故选：A 6．（23-24高二上·山东·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么实数 . 【答案】 【解析】过两点的直线的倾斜角为， 则，又. 故答案为：1. 7．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ． 【答案】 【解析】由题意知， 该直线的斜率为， 解得. 故答案为：. 过定点的直线与线段相交问题 8．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知点，，若直线与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由直线，可得，故直线经过定点， 已知点，， 的斜率为，的斜率为， 由直线与线段AB相交，故直线的斜率的取值范围为或， 设直线的倾斜角为，则， 画出的图像如图所示， 由，，观察图像可知，当或，时 直线倾斜角的取值范围为． 故答案为：. 9．（23-24高二上·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 10．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知点，，若直线：与线段有公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示： 直线：过定点，， 因为直线：与线段有公共点， 所以， 故选：D 11．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C 12．（23-24高二上·山东·期中）已知点，，若直线与线段AB恒相交，则k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】直线方程为，易知它过定点，如图， 又，， 所以直线的斜率范围是． 故选：D． 直线方程的求解 13．（23-24高二上·山东烟台·期中）若直线在y轴上的截距为2，则该直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为的纵截距为，所以直线经过， 所以，所以， 所以斜率， 故选：D. 14．（23-24高二上·山东济宁·期中）若，，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】依题意，，，则， 直线可化为， 其中， 所以直线不经过第四象限. 故选：D 15．（23-24高二上·山东青岛·期中）过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线的方向向量为，所以， 所以直线方程为，即为， 故选：D. 16．（23-24高二上·山东聊城·期中）经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立，解得：， 即直线的交点为， 又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 故该直线方程为：，即 故选：D. 17．（23-24高二上·山东济宁·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为 . 【答案】 【解析】由题设知：是直角三角形，则垂心为直角顶点，外心为斜边的中点， ∴“欧拉线”的方程为. 故答案为：. 18．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在菱形中，，，.    (1)求直线的方程及直线的倾斜角； (2)求对角线所在的直线方程. 【解析】（1）由题意可得， 所以直线的方程为，即直线的方程为， 在菱形中，，即有，又直线的倾斜角为， 所以可得直线的倾斜角为； （2）由（1）可得，结合菱形中，可得，可得， 所以对角线所在的直线方程为，即. 19．（23-24高二上·山东德州·期中）已知直线：和直线：，其中m为实数． (1)若，求m的值； (2)若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 【解析】（1）由题意得，解得或0； （2）由在直线上，得，解得，可得， 显然直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为， 令，可得，再令，可得， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或， 即或． 20．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知直线过定点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【解析】（1）， 所以直线的斜率为， 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为2． 又因为直线过点， 所以直线的方程为，即． （2）直线过原点时，设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，因为直线l在两坐标轴截距相等， 所以设直线的方程为，即， 因为直线过点，所以， 所以直线的方程为． 综上，直线的方程为或． 21．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为，，点在边BC上． (1)若△ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程； (2)若P为BC的中点，求边BC所在直线的一般方程． 【解析】（1）由△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为，， 可知角A不是直角， ①若角B是直角，由点P在边BC上， 得边BC所在直线的方程为； ②若角C是直角，由边AC所在直线的方程为， 得边BC所在直线的斜率为，又点P在边BC上， 所以边BC所在直线的方程为，即． 综上，边BC所在直线的方程为或. （2）由题意可设，由P为BC的中点，得， 将点C的坐标代入边AC所在直线的方程， 得，解得，所以， 得边BC所在直线的斜率为， 所以边BC所在直线的方程为， 即． 直线过定点问题 22．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知点和直线，则点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】5 【解析】由可得， 所以故定点， 所以点到直线的距离的最大值为， 故答案为：5 23．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知直线经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对化简得，，得，解得，点， 又直线经过点P，且的方向向量，可设上一点为，其中与不重合， 则，解得，故利用两点式，可得的直线方程为： . 故选：B 24．（23-24高二上·山东菏泽·期中）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线可化为：， 由，解得，所以直线过定点， 点到直线的距离的最大值为： ， 故选：B 25．（23-24高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点 【答案】 【解析】直线方程化简为， 即， 当，解得：， 所以直线恒过定点. 故答案为： 两条直线平行与垂直的问题 26．（23-24高二上·山东·期中）已知直线，，若，则的值为（    ） A． B．6 C．4 D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 故选：C. 27．（23-24高二上·山东济南·期中）若经过点和的直线与斜率为的直线互相垂直，则的值是 . 【答案】 【解析】由题意可知，直线的斜率为且，所以，，解得. 故答案为：. 28．（多选题）（23-24高二上·山东日照·期中）设a为非零实数，直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．恒过点 D．当时，不经过第一象限 【答案】BD 【解析】若，则，解得或（舍），故A错误； 若，则，解得或（舍），故B正确； 将点代入直线，可得，故不过点，故C错误； 若不经过第一象限，当时，此时，则， 解得且；当时，即，此时不经过第一象限；当时，即，此时不经过第一象限；综上所述，当且时，不经过第一象限，故D正确； 故选：BD 29．（多选题）（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知直线，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】AB 【解析】则由题意得，的斜率 对于，因为，显然，斜率为， 则解得或， 当或时，两条直线不重合，所以符合题意. 故选：AB 30．（多选题）（23-24高二上·山东济南·期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若斜率，则 B．若，则 C．若倾斜角，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A, 若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确； 对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确； 对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则 ，正确； 对于D, 若，不妨取， 则，不满足，不垂直，D错误， 故选： 31．（多选题）（23-24高二上·山东·期中）已知直线，直线，则（    ） A．恒过定点 B．当时， C．当时，或 D．点到距离的最大值为4 【答案】AB 【解析】A选项：，所以过，所以A正确； B选项：，所以，所以B正确； C选项：令，解得或， 当时，；当时，与重合，所以C错误； D选项：由于恒过定点，所以最大距离为到的距离，等于5，所以D错误. 故选：AB 直线的交点问题 32．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知直线，直线． (1)当时，求两直线的交点坐标； (2)当时，求两直线间的距离． 【解析】（1）若，所以， 解得或； 当时，， 即，所以交点为. 当时，， 即， 由解得，所以交点为. 综上所述，交点为、. （2）若，所以， ，解得或. 当时，， 两直线间的距离为. 当时，， 即，两直线重合，不符合题意. 综上所述，两直线间的距离为. 33．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知直线，，且直线与垂直. (1)求的值； (2)若直线过直线与的交点，且原点到该直线的距离为3，求直线的方程. 【解析】（1）由直线与垂直，得，即，解得. （2）由（1）得，直线的方程为，即， 解，得，即点坐标为， ①当直线的斜率不存在时，其直线方程为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为原点到该直线的距离为3，所以，所以， 则直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 34．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知直线：x+y-4=0，：x-y+2=0和直线：ax-y+1-4a=0. (1)若存在一个三角形，它的三条边所在的直线分别是，，，求实数a的取值范围； (2)若直线l经过和的交点，且点到l的距离为2，试求直线l的方程. 【解析】（1）由可得：，∴和的交点A的坐标为. 当过点A时，， 此时不存在三角形满足题意，为满足题意，必有， 当或时，由于的斜率为-1，的斜率为1，的斜率为a，∴a=1或a=-1， 此时也不存在三角形满足题意，为满足题意，必有，综上可知：且. （2）直线l经过和的交点，当轴时，l的方程为：x=1， 点到l的距离为2，符合题意； 当l与x轴不垂直时，设l的方程为：，即， 由于点到l的距离为2，所以， 此时l的方程为：，综上可知，直线l的方程为：x=1或. 三种距离公式的应用 35．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知直线l过点，求满足下列条件的直线l的方程． (1)在两坐标轴上的截距相等； (2)，到直线l距离相等． 【解析】（1）若直线过原点，令，则，故直线为； 若截距不为0，令，则，故直线为； 综上，直线方程为或. （2）若，在直线的同一侧，即直线直线， 而，故直线为，则； 若，分别在直线的两侧，即关于直线上一点对称， 所以中点在直线上，又直线l过点，故直线为； 综上，直线l的方程为或. 36．（23-24高二上·山东聊城·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是 . 【答案】 【解析】直线可化为：， 由，解得， 直线恒过定点， 时距离最大，点到直线的距离为， 故答案为：. 37．（23-24高二上·山东烟台·期中）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为 ． 【答案】/ 【解析】由两线平行知：，即直线与平行， 所以它们的距离为. 故答案为： 38．（23-24高二上·山东济宁·期中）若两条平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线与平行，则， 且这两条直线间的距离为，解得，故. 故选：A. 39．（23-24高二上·山东枣庄·期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将直线化为， 所以，这两条平行直线之间的距离. 故选：C. 求圆的方程 40．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以的中点坐标为，，则半径为， 则以线段为直径的圆的方程为. 故选：A. 41．（23-24高二上·山东潍坊·期中）圆 上的点 关于直线 的对称点仍在圆 上， 且该圆的半径为 ， 则圆 的方程为（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】D 【解析】因为圆上的点关于直线的对称点仍在圆上， 所以圆心在直线上， 设圆心的坐标为， 因为该圆的半径为， 则， 解得或， 所以圆心为或， 则圆的方程为或． 故选：D． 42．（23-24高二上·山东烟台·期中）求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆心在直线上，所以设圆心， 因为圆与直线相切于点， 所以，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 故选：A. 43．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆C经过，且圆心在直线， （1）圆C的方程是 （2）若从点发出的光线经过直线，反射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是 【答案】 ． 【解析】 由题知中点为，， 所以的垂直平分线方程为，即， 联立，解得，即圆心为， 所以圆的半径为， 故圆的方程为. 设关于的对称点为， 则直线与垂直，且的中点在直线上， 则，解得， 由题意知反射光线过圆心，故， 即.   故答案为：； 44．（23-24高二上·山东聊城·期中）与圆同圆心，且过点的圆的方程是： . 【答案】 【解析】设所求圆的一般式方程为， 代入点，可得，解得， 所以，所求圆的方程为. 45．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的外接圆的方程为 ． 【答案】 【解析】由题设易知：为直角三角形，故外接圆圆心是斜边的中点，而， 所以斜边为，则外接圆圆心为，故， 综上，的外接圆的方程为. 故答案为： 直线与圆的位置关系 46．（23-24高二上·山东青岛·期中）对于圆：，下列说法正确的为（    ） A．点圆的内部 B．圆的圆心为 C．圆的半径为 D．圆与直线相切 【答案】A 【解析】对于A，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确； 对于B，C，由，得，所以圆的圆心为，半径为，故B，C错误； 对于D，由圆心到直线的距离为，所以，即，所以圆与直线相离，故D错误. 故选：A. 47．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知直线，点是圆内一点，若过点A的圆的最短弦所在直线为m，则下列说法正确的是（    ） A．l与圆C相交，且 B．l与圆C相切，且 C．l与圆C相离，且 D．l与圆C相离，且 【答案】D 【解析】因为点是圆内一点， 所以， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线l与圆C相离， 由圆的性质可知当时，过点A的圆的弦最短，此时， 所以. 故选：D. 48．（23-24高二上·山东烟台·期中）若直线与圆相离，则过点的直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【解析】因为直线与圆相离， 所以圆心到直线的距离大于半径， 即，所以，故点在圆内， 所以过点的直线与圆相交， 故选：C. 49．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，由得，圆心为，半径为 因，故根据题意圆的圆心到直线即的距离小于或等于2， 所以得， 即得，可得， 故选：D 50．（23-24高二上·山东临沂·期中）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A． B．1或 C．或3 D． 【答案】B 【解析】易知圆可化为，即可得圆心为，半径为； 由题意可得圆心到直线的距离， 解得或. 故选：B 51．（23-24高二上·山东泰安·期中）若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】曲线即， 即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分， 直线即恒过定点， 作出直线与半圆的图象，如图， 考查临界情况： 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点， 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且， 即，解得：，舍去）． 据此可得，实数的取值范围是． 故选：D． 圆与圆的位置关系 52．（23-24高二上·山东淄博·期中）圆与圆的公切线有（    ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】两圆的圆心分别为, 半径分别为 圆心距,所以， 所以两圆相交，有2条公切线， 故选：B. 53．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．外离 D．相交 【答案】D 【解析】因为的圆心为，半径，的圆心为，半径， 所以， 所以， 所以与两圆相交， 故选：D. 54．（23-24高二上·山东济宁·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ，所以两圆的位置关系是内切. 故选：C 55．（23-24高二上·山东德州·期中）已知两圆和无公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 设圆心距为，则， 因为两圆和无公共点， 所以两圆外离或内含， 则或， 即或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 56．（23-24高二上·山东菏泽·期中）设集合，集合，当时，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，所以集合M表示以点圆心，以2半径的左半圆，与y轴的交点为， 集合表示以点为圆心，以r为半径的圆， 如下图所示， 当圆C与圆O相外切于点P时，有且仅有一个元素时，此时， 当圆C过点M时，有两个元素，此时，所以， 当圆C过点N时，有且仅有一个元素，此时，所以， 所以当时，则r的取值范围为或， 故选：C . 57．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知圆C：上总存在两个点到原点的距离为2，则圆C半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆心为，半径为，则原点到的距离， 要使总存在两个点到原点的距离为2， 若原点在圆外，则； 若原点在圆上，即，满足； 若原点在圆内，则； 综上，圆C半径r的取值范围是. 故选：C 弦长问题 58．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆C的方程为，直线m过点，且与圆C交于A，B两点，若，则直线m的斜率为（    ） A．或0 B．或0 C．或0 D．或0 【答案】B 【解析】显然，当直线的斜率不存在时，直线与圆相切，不满足要求； 设直线的斜率为，则直线方程为， 即，因为，则圆心到直线的距离， 又，解得或. 故选：B 59．（23-24高二上·山东菏泽·期中）若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【解析】由圆 即，则， 圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 由弦长公式可得，解得， 故选：C． 60．（23-24高二上·山东潍坊·期中）动直线被圆截得的最短弦长的值为 ，此时实数 ． 【答案】 【解析】圆可化为，即圆心为，半径为， 直线过定点， 则圆心到直线的距离的最大值为， 所以动直线被圆截得的最短弦长为， 此时由解得， 故答案为：； 61．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆，直线（）恒过定点. (1)求定点的坐标； (2)求直线被圆截得的弦长最短时的值、直线的方程以及最短弦长. 【解析】（1）直线的方程整理得， 该方程对于任意实数成立，则，解得， 所以直线恒过定点. （2）因为直线恒经过圆内的定点， 当直线垂直于时被截得的弦长最短. 由，可知， 所以当直线被圆截得的弦最短时，直线的斜率为2， 于是有，解得， 此时直线的方程为，即， 又因为，所以最短弦长为. 切线问题与公切线问题 62．（23-24高二上·山东德州·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 ．（写出一条即可） 【答案】（填，都正确）. 【解析】由题意可知，圆的圆心坐标为,半径为 圆的圆心坐标为,半径为如图所示 所以,，即， 所以两圆外切， 由图可知，与两圆都相切的直线有三条. 当切线为时，因为，所以， 设直线：，即， 所以，解得或（舍）， 故所求直线的方程为，即. 由图可知，；与关于直线对称， 联立，解得， 所以与的一个交点为，在上取一点， 该点关于直线的对称点为，则，解得， 所以对称点为. 所以， 故所求直线的方程为，即. 所以与圆和圆都相切的一条直线方程为:（填，都正确）. 故答案为：（填，都正确）. 63．（23-24高二上·山东潍坊·期中）为测量一工件的内圆弧对应的半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度（如图所示），则 . 【答案】/ 【解析】 如图，设两圆外切于点，连接，作交于点， 点为线段与圆的交点， 因为，所以， 因为，， 所以，所以， 所以，解得， 故答案为：. 64．（23-24高二上·山东潍坊·期中）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为 . 【答案】或 【解析】由题意可知点在反射光线上，设反射光线所在的直线方程为，利用直线与圆的相切的性质即可得出.由题意可知点在反射光线上， 设反射光线所在的直线方程为，即. 圆的圆心，半径为1， 由直线与圆相切的性质可得， 解得或. 故答案为：或 65．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知直线和圆． (1)若直线交圆于两点，求弦的长； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【解析】（1）将圆，化成标准方程：， 圆的圆心，半径， 圆到直线的距离， ． （2）当直线的斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即， 圆心到直线的距离，解得． 切线方程为，即， 综上所述，所求的直线方程为：或． 66．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 将化为标准方程为：， 所以圆的圆心为，半径为2， 由题意，四边形面积为， 又因为， 所以当最短时，四边形面积最小，此时. 故选：C 67．（23-24高二上·山东青岛·期中）过点作圆的两条切线，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 所以,进而可得， 故，所以四边形的面积为， 故选：C 68．（23-24高二上·山东威海·期中）已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（    ） A．6 B．36 C．10 D． 【答案】B 【解析】圆标准方程为，，半径为， 圆标准方程为，，半径为， 两圆有三条公切线，则两圆外切， 所以，即， 点在以原点为圆心，4为半径的圆上，记， ，所以， 所以的最小值为． 故选：B． 点线对称、线点对称、线线对称问题 69．（23-24高二上·山东·期中）已知点，则它关于直线对称点为 . 【答案】 【解析】设关于直线对称的点为，则，直线为：，整理得，联立，解得， 则中点坐标为，所以. 故答案为：. 70．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，解得. 故选：A. 71．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程为 . 【答案】 【解析】点关于轴的对称点，点关于的对称点，如下图所示： 又因为，所以，即， 所以，解得，所以， 所以光线经过的路程为， 故答案为：. 72．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .    【答案】 【解析】点关于轴的对称点，关于的对称点，如图所示， 又因为，，所以直线方程为：，即， 所以，解得，即. 所以光线经过的路程为. 故答案为： 73．（23-24高二上·山东青岛·期中）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为2，与x轴交于点， 则与关于x轴对称的直线斜率为，并过点， 所以，所求方程为，即. 故选：D 直线方程的综合应用 74．（23-24高二上·山东枣庄·期中）（1）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求直线的方程； （2）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程. 【解析】（1）由题意知：点在直线上，则可设， 中点为，，解得：， ，，直线方程为：，即， 由得：，即； 直线的方程为：，即； （2）设直线在轴上的截距分别为， 当时，直线经过原点，则直线斜率， 直线方程为，即； 当时，可设直线方程为，则， 直线方程为； 综上所述：直线方程为或. 75．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知的顶点，边上的高BH所在直线为，边上的中线AD所在直线方程为． (1)求顶点A的坐标； (2)求直线的方程.（结果用一般式方程表示）． 【解析】（1）， 所在直线方程为，即， 由，得：，所以 （2）设，则，分别代入BH所在直线和AD所在直线方程， 即，解得：，即， 所以，即直线的方程. 76．（23-24高二上·山东威海·期中）已知，y轴为边中线 (1)求边所在直线方程； (2)求角平分线所在直线方程． 【解析】（1）因为，倾斜角为，， 设交y轴于点M，则根据条件可知为等边三角形，则， M为中点，则．，故直线方程为． （2）因为， 倾斜角为， 所以， 所以内角角平分线斜率为， 故内角平分线所在直线方程为． 77．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知直角坐标平面内的两点. （1）求线段的中垂线所在直线的方程； （2）求以向量为方向向量且过点的直线l的方程； （3）一束光线从点B射向轴，反射后的光线过点A，求反射光线所在的直线方程. 【解析】（1）由，∴线段的中点坐标为 又，∴线段的中垂线的斜率为， ∴由直线方程的点斜式可得线段的中垂线所在直线方程为， 即. （2）由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线l的斜率为， 由直线方程的点斜式得直线l的方程为， 即. （3）设关于轴的对称点为，则点，所以，则直线，即反射光线所在的直线方程为. 78．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知三个顶点分别为，，． (1)求的面积； (2)过内一点有一条直线l与边AB，AC分别交于点M，N，且点P平分线段MN，求直线l的方程． 【解析】（1），，， 直线AB的斜率， 直线AB的方程为， 点C到直线AB的距离， ， ； （2）由题知，直线AB的斜率， 直线AC的方程为， 设，则， ∵点M，N分别在直线AB，AC上， ，解得， 直线l的斜率， 直线l的方程为， 即． 线段和差最值问题 79．（23-24高二上·山东·期中）华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合对于㑚决部分数学问题有着事半功倍的效果．已知，则的最小值为 ． 【答案】10 【解析】条件可以转化为平面直角坐标系内的点到，，，距离之和的最小值， 在中，，当点与点重合时， 在中，，当点与点重合时， 所以当为四边形对角线交点时距离之和最小， 即的最小值即为四边形两条对角线的长度之和， 故求得最小值为. 故答案为：. 80．（23-24高二上·山东·期中）已知点是直线上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解析：设关于直线的对称点为，所以， 解得:，所以：， 当三点共线时有最小值：， 所以：的最小值等于.故D项正确. 故选：D. 直线与坐标系围成的面积问题 81．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，可设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件可求得的取值范围，并求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值及其对应的值 ，由此可求得直线的方程.由题意可知，直线的斜率存在且不为零， 可设直线的方程为，即. 在直线的方程中，令，可得；令，可得. 即点、，由题意可得，解得， 的面积为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，直线的方程为，即. 故答案为：. 82．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知直线经过点，且与轴､轴的正半轴交于两点，是坐标原点，若满足__________. (1)求直线的一般式方程； (2)已知点为直线上一动点，求最小值. 试从①直线的方向向量为；②直线经过与的交点；③的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分. 【解析】（1）若选①，由直线的方向向量为得，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 所以直线的一般式方程为. 若选②，直线经过与的交点， 联立，解得， 所以交点坐标为， 直线的斜率为， 所以直线的方程为， 所以直线的一般式方程为. 若选③，由题意设直线的方程为，则 所以直线的一般式方程为. （2）设点关于直线的对称点为， 由题意得，，解得， 所以， 83．（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值． 【解析】（1）①当直线过坐标原点，直线过点． 所以方程为，即； ②当直线不过坐标原点，，设方程为， 由直线过点，将代入方程得，解得， 所以直线的方程为，即； 综上：的方程为或. （2）由题意知斜率存在且小于0，设方程为， 令，解得；令，解得； 因为，所以，， 所以面积 ， 当且仅当即时取等号， 所以面积的最小值为4. 与圆有关的轨迹问题 84．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知，，P点满足． (1)求点P的轨迹的方程，并说明是何图形； (2)设T为直线上一点，直线TO，TA分别与相交于点B，C，求四边形面积S的最大值． 【解析】（1）设，因为， 所以， 故点P的轨迹的方程为，（除去）， 故轨迹为以为圆心，3为半径的圆，除去，； （2）考虑对称性，不妨设， 则直线， 联立可得，， 解得，所以， 直线， 联立可得，， 则，解得，故， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故四边形面积S的最大值为12. 85．（23-24高二上·山东·期中）已知定点，点为圆上的动点. (1)求的中点的轨迹方程； (2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程. 【解析】（1）设点的坐标为，则点的坐标为， 点为圆上的动点， ，即， 的中点的轨迹方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入，可得，此时，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 圆的半径且，圆心到直线的距离， ，解得， 直线的方程为，即； 综上，直线的方程为或. 86．（23-24高二上·山东聊城·期中）已知在平面直角坐标系中，点，直线：.圆的半径为1，圆心在直线上. (1)若直线与圆相切，求圆的标准方程； (2)已知动点，满足，说明的轨迹是什么? 【解析】（1）因为圆心在直线上，所以圆心可设为， 由题意可得，即， 所以，解得或， 所以圆心的坐标为或， 所以圆的标准方程为或. （2）由，得， 化简得：， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，半径是2的圆. 87．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 【解析】（1）设，因为， 所以，所以， 化简得：， 所以的轨迹方程为：； （2）当直线斜率不存在时，直线方程为，代入的轨迹方程可得， 不妨令，所以， 所以； 当直线斜率存在时，设，， 联立，可得， 所以， 又， 所以， 所以， 因为，所以，所以，所以； 综上可知，的取值范围为. 88．（23-24高二上·山东临沂·期中）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【解析】设， 因为，所以， 整理得：，表示以为圆心的圆， 又因为点P的轨迹关于直线对称， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值是3， 故选:C. 89．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知圆C的圆心在直线上，并经过点，与直线相切． (1)求圆C的方程； (2)已知，动点到圆C的切线长等于的2倍，求出点的轨迹方程． 【解析】（1）设圆心坐标为， 故，解得：， 故圆心为，半径为， 故圆C的方程为； （2）设， 则，故动点到圆C的切线长为， ， 所以， 化简得：， 故点的轨迹方程为：. 与圆有关的范围与最值问题 90．（多选题）（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知圆：和圆：的交点为，，直线：与圆交于，两点，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围是 B．圆上存在两点和，使得 C．圆上的点到直线的最大距离为 D．若，则 【答案】AC 【解析】A选项：圆：的标准方程为， 圆心为,半径为，因为直线：与圆交于，两点， 所以圆到直线的距离为，即，解得， 所以的取值范围是，故A正确； B选项：圆：的标准方程为， 圆心，半径，根据两圆的方程有直线方程为， 圆到直线AB的距离为，所以， 圆上任意两点，，，故B错误； C选项：圆上的点到直线的距离的最大值为，故C正确； D选项：因为，所以为等边三角形， 圆到直线的距离为，所以， 故或，故D错误. 故选：AC 91．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由，可得， 此方程表示的曲线为以为圆心半径为2的圆的右半部分， 则表示点与此半圆上点的距离， 其最大值为，最小值为， 又，，， 则最大值为，最小值为. 故选：B 92．（23-24高二上·山东·期中）已知实数满足方程，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【解析】的方程可化为， 它表示圆心，半径为1的圆， 表示圆上的点与点的连线的斜率， 设过圆上点与点的直线方程为， 则圆心到直线的距离， 可得，即最大值为， 故选：B. 93．（23-24高二上·山东德州·期中）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为 ；的最小值为 ． 【答案】 / / 【解析】由，， 可得，即， 所以，解得， 所以点， 又，， 则， 所以当时，取最小值为， 经检验，当时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意. 故答案为：，. 94．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知O为坐标原点，A，B均在直线上，，动点P满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设，， 因为，所以， 因为，所以， 即， 整理得， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 易得圆心在上， 又点到直线的距离， 故. 故答案为：. 切点弦问题 95．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由圆的方程为可知圆心，半径，点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小， 所以，，所以直线的方程为， 联立，解得， 以为直径，以中点为圆心的圆方程为， 两圆方程相减可得直线的方程， 故选：D 96．（23-24高二上·山东济宁·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆. （1）求圆的方程； （2）若点，当在上运动时，记的最大值和最小值分别为和，求的值. （3）过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程. 【解析】（1）设点，由，且得 ，整理得, 所以圆的方程为 （2）由，设得 ， 而，当时，取得最小值；，当时，取得最大值，所以. （3）设切点，则， 直线方程为：，整理得， 同理可得直线方程为：， 由直线均过点，则， 即点都在直线上，所以直线的方程为. 97．（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，已知圆，动点，过点P引圆的两条切线，切点分别为． (1)求证：直线过定点； (2)若两条切线与轴分别交于两点，求的面积的最小值． 【解析】（1）由题知，圆的标准方程为， 所以圆心，半径， 因为是圆的两条切线，所以，， 所以A，B在以PC为直径的圆上， 又因为，且PC的中点为， 所以以PC为直径的圆M的方程为， 化简可得， 所以AB为圆C与圆M的公共弦， 所以直线AB的方程为，令，解得， 所以直线过定点； （2）当PA，PB有一条斜率不存在，即时， 不妨设PA的斜率不存在，则直线PA的方程为，此时，， 设直线PB的方程为， 由圆心到PB的距离，解得， 所以直线PB的方程为， 所以， 此时，； 同理斜率不存在时； 当PA，PB斜率均存在，即时， 设过点的切线方程为，即， 因为PA，PB与圆C相切， 所以圆心C到直线的距离， 即，， 设PA，PB的斜率分别为，， 则，， 又点在直线上，点在直线上， ，， 所以 而， 所以． 又因为且，所以当时，， 此时． 综上，面积的最小值为． 公共弦问题 98．（23-24高二上·山东泰安·期中）若圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的垂直平分线的方程为 C．公共弦的长为 D．P为圆上一动点，则点P到直线的距离的最大值为 【答案】D 【解析】对于,依题意知，两圆相交于， 故两圆方程作差可得即， 即为两圆公共弦所在直线方程，故错误； 对于，圆，则其圆心为，, 则线段的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线方程为， 即，故错误； 对于,圆心到直线的距离， 圆半径，所以,故错误； 对于,圆心到直线的距离,圆半径, 则点P到直线的距离的最大值为，故正确， 故选：. 99．（多选题）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知圆与圆，下列说法正确的是（    ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若，分别是圆，上的动点，则 【答案】BCD 【解析】由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 因为，，故两圆相交， 所以与的公切线恰有2条，故A错误； 两圆方程做差可得与相交弦的方程为，故B正确； 由点到直线的距离公式得到相交弦的距离为， 故相交弦的弦长为，C正确；. 由图可知，，故D正确. 故选：BCD 100．（多选题）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知圆和圆相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线AB的方程为 C．线段AB的长为 D．M到直线AB的距离与N到直线AB的距离之比为1：5 【答案】ACD 【解析】因为圆和圆相交于两点，所以圆心，所在直线垂直平分两圆的公共弦，所以，所以A正确； 圆与圆方程相减得到，所以直线AB的方程为，故B错误； 由，化简可得，所以圆的圆心为，半径为2，圆心到直线AB的距离为，所以，故C正确； 由圆，化简可得，所以圆的圆心为，半径为4，圆心到直线AB的距离为，所以，所以D正确. 故选：ACD 圆的综合应用 101．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知点，关于原点对称，点在直线上，，圆过点，且与直线相切，设圆心的横坐标为. （1）求圆的半径； （2）已知点，当时，作直线与圆相交于不同的两点，，已知直线不经过点，且直线，斜率之和为，求证：直线恒过定点. 【解析】(1）∵圆M过点A，B， 圆心M在AB的垂直平分线上，由已知点A在直线x+y=0上，且点A，B关于原点O对称， 点M在直线y=x上，则点M的坐标为(a，a) . ∵圆M与直线x+1=0相切， 圆M的半径为，连接MA，由已知得 ， 又，故可得， 整理得: ，解得a=0或a=2， 故圆M的半径为r=1或r=3. （2）由a <2，得a=0，则圆M的方程为. 设点， 当直线的斜率存在时，设直线: 联立方程组， 消元得 则 又直线PM，PN斜率之和为， ， 得. 代入，可得直线方程， 直线l恒过定点(2，-1)， 当直线l的斜率不存在时， 因为直线PM，PN斜率之和为， ， 但，且， 故不合题意，舍去. 综上，直线l恒过定点(2，-1). 102．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知直线和圆，且直线和圆交于两点. (1)当为何值时，截得的弦长为4； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）设直线与圆心距离为，则， 所以有 解得； （2）当时，，此时， 因为，所以， 有，即， 解得. 103．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积分别是．求的取值范围． 【解析】（1）设，则，解得， 故圆的半径为， 故圆的方程为； （2）当过点的直线斜率不存在时，此时令中得，， 不妨设， 则，，此时， 故， 当过点的直线斜率存在时，设为，与联立得， ，不妨设，， 故，， 故直线，令得，， 所以， 同理可得直线，令得，， 所以， 故， 其中到直线的距离， 故， 则， 故， 因为，所以， 综上，. 104．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． (1)当时，求切线所在的直线方程； (2)若线段中点为，求证：存在定点，使得为定值． 【解析】（1）当是，，设切线方程为，， 圆的圆心为，半径， 圆心到切线的距离为，解得或. 所以切线方程为或. （2）线段的中点坐标为，， 所以以为直径的圆的方程为， 整理得， 结合两式相减并化简得直线的方程为， 由解得， 则，设，为常数， 则 ， 所以当，即时，为定值，为定值 . 所以存在定点，使得为定值． 105．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知圆与圆：关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为，记四边形的面积为，求的取值范围. 【解析】（1） 由，则圆心，半径， 设直线，可知其斜率， 过并垂直于直线的直线斜率，则其方程， 整理可得，联立可得，解得， 设，则，解得，所以， 由圆与圆关于直线对称，则圆的半径， 所以圆. （2）由题意可知，由，当斜率不存在时，斜率为，易知此时不符合题意； 由，则设，由，则设， 将代入直线的方程，可得，则， 点到直线的距离，， 点到直线的距离，， 令，由，则，且，， 由在四边形中，则， 设，令，可得， 分解因式可得，解得， 由函数的对称轴为直线，则单调递增， 由，则，所以. 106．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且．若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【解析】（1）设，， 由中点坐标公式得． 因为点M的轨迹方程是， 所以， 整理得曲线C的方程为． （2）设直线l的方程为，，，， 由，得， 所以，， 所以 ， 所以，且即， 即， 所以直线的方程为，即直线过定点． 因为为定值，且为直角三角形，为斜边， 所以当点是的中点时，为定值． 因为，，所以由中点坐标公式得． 所以存在定点使得为定值． 107．（23-24高二上·山东临沂·期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，，且点在第一象限．记的外接圆为圆． (1)求圆的方程； (2)过点且不与y轴重合的直线l与圆E交于，两点，是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由． 【解析】（1）由题意可得， 所以， 又因为，点在第一象限， 所以直线的倾斜角为， 所以，， 所以， 设的外接圆的方程为， 由有， 解得, 所以的外接圆的方程为：； （2）由题意可知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为：, 由，可得， 所以， ，， 所以， 所以是定值. 直线与圆新定义问题 108．（多选题）（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知有序数对，满足，有序数对满足，定义，则（    ） A．的最小值为 B．取最小值时的值为 C．的最小值为 D．的最大值为20 【答案】BC 【解析】由题意在函数的图象上，在直线上，， 设函数的图象的平行于直线的切线的切点坐标为， 由得，，则， 等于到直线的距离为， 所以．无最大值． 由，解得， 故选：BC． 109．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【解析】设，则， 所以 ， 而可看做轴上动点与两定点的距离和，如图， 由图可知当运动到时，最小，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 110．（多选题）（23-24高二上·山东·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A．上的点到直线的最小距离为 B．若点在上，则的最小值是－2 C．若点在上，则的最小值是－2 D．圆与有公共点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】设 ，，且， ， 化简得： ， ， 圆心 ， 所以上的点到直线的最小距离为 ，故A正确. 令，即 当与圆相切时 取最值， ， 此时 或 ， 的最小值是－2，故B正确. 令即 ， 当与圆相切时 取最值， ， 此时 或 ， 的最小值是，故C错误. 因为圆， 圆心为 ，半径为 与有公共点， 所以 ， 即 解得，故D正确. 故选：ABD. 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