专题01 空间向量与立体几何（10大基础题4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

专题01 空间向量与立体几何 空间向量线性运算 1．（23-24高二上·山东德州·期中）四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东烟台·期中）在三棱锥中，D，E分别为BC，OA的中点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东·期中）已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量做基底，则向量可表示为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东日照·期中）如图，在三棱锥中，，，，点在OA上，且，为BC中点，则（    ） A． B． C． D． 共线问题与共面问题 6．（23-24高二上·山东·期中）已知空间向量，，，下列命题中正确的（    ） A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C．若存在不全为0的实数使得，则，，共面 D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 7．（23-24高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 8．（23-24高二上·山东枣庄·期中）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（23-24高二上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（    ） A．对于空间任意两个非零向量是的充要条件 B．若向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．若，则与向量共线的一个单位向量为 D．若构成空间一组基底，则共面 10．（23-24高二上·山东·期中），，，若共面，则实数 . 夹角问题 11．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 12．（23-24高二上·山东临沂·期中）四面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知，，，若，，求： (1)，，； (2)与夹角的余弦值． 14．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知，，． (1)求； (2)求在上的投影向量． 15．（多选题）（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知向，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．和夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是 16．（多选题）（23-24高二上·山东烟台·期中）已知平行六面体的棱长都为2，，，O为底面ABCD中心，则下列结论正确的有（    ） A． B．与所成角的余弦值为 C．平面ABCD D．已知N为上一点，则最小值为 模长问题 17．（23-24高二上·山东·期中）在平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C．12 D．20 18．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知矩形ABCD中，，，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则（    ） A． B． C． D．4 19．（23-24高二上·山东烟台·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则的长度为 ． 20．（23-24高二上·山东济宁·期中）在四棱柱中，若底面是边长为1的正方形，，，则四棱柱对角线的长为 ． 数量积问题 21．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 22．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 23．（23-24高二上·山东枣庄·期中）已知，则向量在上的投影向量的坐标是 ． 利用空间向量解决平行垂直问题 24．（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 25．（23-24高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 26．（23-24高二上·山东·期中）已知点，，，向量. (1)若，求实数的值； (2)求向量在向量方向上的投影向量. 27．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知向量，，且． (1)求c的值； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 28．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知，，且，则实数的值为（    ） A． B．3 C．4 D．5 29．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知向量，，若，则 ． 30．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知向量与平行，则 ． 异面直线所成角 31．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，,  D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知直三棱柱中，，，那么异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高二上·山东·期中）如图所示，在几何体ABCDEF中，，，，，，平面ABCD，则异面直线EF与AB所成的角为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 35．（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，E，F分别在侧棱和上，且，． (1)若，求； (2)求直线EF与AB所成角的余弦值． 线面角问题 36．（23-24高二上·山东烟台·期中）如图，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，在棱长为1的正方体中，M为BC的中点，则 与所成角的余弦值为 ；C到平面的距离为 . 38．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知正三棱柱的所有棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为 ． 39．（23-24高二上·山东济宁·期中）在正四棱锥中，为顶点S在底面内的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，，且，，是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 41．（23-24高二上·山东·期中）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为菱形，，，．    (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)若点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 二面角问题 42．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在正四棱锥中，，，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角. 43．（23-24高二上·山东临沂·期中）如图，在四棱雉中，平面，底面为菱形，，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)已知二面角的大小为，求菱形的边长． 44．（23-24高二上·山东日照·期中）如图，四棱锥，底面是正方形，平面，，，点E在线段SD上． (1)求证：； (2)若直线BE与平面所成角的正弦值，求二面角的余弦值． 45．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，四边形是正方形，平面，，，，F为PD的中点． (1)求证：BD平面； (2)求面与面夹角的大小． 46．（23-24高二上·山东·期中）已知三棱台中，，，，，，，平面平面，点为中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 点线距、点面距、面面距 47．（23-24高二上·山东临沂·期中）如图，在长方体中，，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)设，求点到平面的距离． 48．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，． (1)求异面直线与所成角的大小． (2)求直线到平面的距离． 49．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知空间三点，，． (1)若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标； (2)求点C到直线AB的距离． 50．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且．    (1)证明：面； (2)求点到平面的距离； 51．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知平面的一个法向量为，其中，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 立体几何范围与最值问题 53．（23-24高二上·山东济宁·期中）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54．（多选题）（23-24高二上·山东·期中）在棱长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，点分别为线段与线段上一点，则（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．点到直线的距离为 C．当平面时， D．的最小值为 55．（多选题）（23-24高二上·山东临沂·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（    ） A．当时，三棱锥A-PCE的体积 B．当时，EP∥平面 C．当，平面CEP时 D．的最小值为 56．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图，在直三棱柱中，，、分别是线段、上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是三棱柱的顶点，则长的最小值为 . 轨迹问题 57．（多选题）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角为 B．点到平面的距离为 C．四面体的外接球体积为 D．动点在平面上，且与所成角为，则点的轨迹是椭圆 58．（多选题）（23-24高二上·山东日照·期中）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ）    A．当P在侧面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的取值范围是 59．（多选题）（23-24高二上·山东泰安·期中）已知正方体的棱长为1，M为侧面上的动点，N为侧面上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则M的轨迹长度为 B．若，则M到直线的距离的最小值为 C．若，则，且直线平面 D．若，则与平面所成角正弦的最小值为 60．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图所示，正方体的棱长为3，动点在底面正方形内，且与两个定点，的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)求动点到平面的距离的取值范围． 立体几何存在性问题 61．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，． (1)求证平面ACF (2)在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为？若存在，求出线段PH的长 62．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. (1)求证：平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 63．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图所示，在四棱柱中，侧棱⊥底面，,，，，为棱的中点，是的中点. (1)求证：∥平面； (2)求证：⊥平面； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求，若不存在，请说明理由. 64．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，侧面面， (1)求证：； (2)设平面与平面的交线为，在上是否存在点，使得平面和平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 65．（23-24高二上·山东枣庄·期中）四棱锥底面为平行四边形，且，平面. (1)在棱上是否存在点，使得平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 66．（23-24高二上·山东青岛·期中）在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，平面平面ABCD，，E为PA中点. (1)求证：平面PBC； (2)已知平面PAD与平面PBC的交线为，在上是否存在点N，使二面角的正弦值为？若存在，请求出PN的长；若不存在，请说明理由． 立体几何新定义问题 67．（23-24高二上·山东德州·期中）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面遍历多面体M的所有以点P为公共点的面，在长方体中，，，点S为底面的中心，记三棱锥在点A处的离散曲率为，四棱锥在点S处的离散曲率为n，则 ． 68．（23-24高二上·山东潍坊·期中）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴､轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．若，且，求 69．（23-24高二上·山东济南·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量与立体几何 空间向量线性运算 1．（23-24高二上·山东德州·期中）四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图， 因为E为棱BC的中点， 所以, 故选：C 2．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，连接因点，分别是，的中点，点在棱上，且满足 则 即： 故选：C. 3．（23-24高二上·山东烟台·期中）在三棱锥中，D，E分别为BC，OA的中点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 . 故选：D 4．（23-24高二上·山东·期中）已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量做基底，则向量可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ． 故选：D. 5．（23-24高二上·山东日照·期中）如图，在三棱锥中，，，，点在OA上，且，为BC中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，. 故选：A. 共线问题与共面问题 6．（23-24高二上·山东·期中）已知空间向量，，，下列命题中正确的（    ） A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C．若存在不全为0的实数使得，则，，共面 D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 【答案】C 【解析】对于A选项：由于与共线，则，所在的直线也可能重合，故A不正确； 对于B选项：根据自由向量的意义知，空间任意两向量，都共面，故B不正确； 对于C选项：因为存在不全为0的实数，使得,不妨设， 则，由共面向量定理知，，一定共面，故C正确； 对于D选项：只有当，，不共面时,空间中任意向量才能表示为. 故D不正确. 故选：C 7．（23-24高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】如图所示，根据空间向量的线性运算法则， 可得， 因为，可得， 所以. 故选：B. 8．（23-24高二上·山东枣庄·期中）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线， 则可设， 又点在平面外，则 ， 即， 则， 又， 所以，解得，， 故选：C． 9．（多选题）（23-24高二上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（    ） A．对于空间任意两个非零向量是的充要条件 B．若向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．若，则与向量共线的一个单位向量为 D．若构成空间一组基底，则共面 【答案】BC 【解析】A选项，两个非零向量满足，则或，所以A选项错误. B选项，，则与任何向量共面，不能构成基底，B选项正确. C选项，与向量共线的一个单位向量为， 所以C选项正确. D选项，构成空间一组基底，则不共面， 不共线， 若共面， 则存在使得， 则，此方程组无解，所以不共面，D选项错误. 故选：BC 10．（23-24高二上·山东·期中），，，若共面，则实数 . 【答案】 【解析】由于共面，则存在，使得， 又，，，故， 故，解得. 故答案为：. 夹角问题 11．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解析】由题设，则， 所以，又，可得，即. 故选：C 12．（23-24高二上·山东临沂·期中）四面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，， 所以 ， 所以，解得， 故选：C 13．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知，，，若，，求： (1)，，； (2)与夹角的余弦值． 【解析】（1）因为，，，，所以， 所以，即，解得， 所以，， 又，所以，解得，所以． （2）由（1）知，， 所以，，． ∴． 14．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知，，． (1)求； (2)求在上的投影向量． 【解析】（1）因为，， 所以，，， 所以． 因为， 所以． （2）因为，， 所以． 因为， 所以在上的投影向量为 ． 15．（多选题）（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知向，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．和夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是 【答案】BC 【解析】A：若与共线，存在使，则无解，故不共线，错误； B：与同向的单位向量是，正确； C：由，故，正确； D：若是面ABC的一个法向量，则，令，则，错误. 故选：BC 16．（多选题）（23-24高二上·山东烟台·期中）已知平行六面体的棱长都为2，，，O为底面ABCD中心，则下列结论正确的有（    ） A． B．与所成角的余弦值为 C．平面ABCD D．已知N为上一点，则最小值为 【答案】BCD 【解析】设，如下图： 对于A：因为， 所以， 所以，故A错误； 对于B：， 所以， 所以， 所以， 所以与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C：因为，所以为等腰直角三角形， 所以，， 因为，且， 所以均为边长为的等边三角形，所以， 所以，所以为等腰直角三角形， 又因为为底面的中心，所以为中点，所以且， 所以，所以， 又因为，平面，所以平面，故C正确； 对于D：将平面与平面展开成一个平面，如下图所示： 当且仅当三点共线时有最小值， 此时，所以， 所以，所以， 所以的最小值为，故D正确； 故选：BCD. 模长问题 17．（23-24高二上·山东·期中）在平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C．12 D．20 【答案】B 【解析】在平行六面体中，， ，而， 所以 ， . 故选：B 18．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知矩形ABCD中，，，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】在矩形中，过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N． ∵，， 则可得，，，，． 因为平面平面，平面，， 又平面平面， 则平面，所以， 由题可得， 所以 ， 所以． 故选：C. 19．（23-24高二上·山东烟台·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则的长度为 ． 【答案】 【解析】依题意，， 两边平方得 ， 所以. 故答案为： 20．（23-24高二上·山东济宁·期中）在四棱柱中，若底面是边长为1的正方形，，，则四棱柱对角线的长为 ． 【答案】 【解析】如图， 可得. 则 . 故答案为： 数量积问题 21．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【解析】（1）， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. （2）由题意得， 故， 故 . 22．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【解析】（1）因为，所以， 所以， 因为点E为的中点，所以 . （2）因为，， 所以 = 23．（23-24高二上·山东枣庄·期中）已知，则向量在上的投影向量的坐标是 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以，向量在上的投影向量是， 其坐标为. 故答案为：. 利用空间向量解决平行垂直问题 24．（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【解析】（1）设，，，则，，，， ． 因为 ， 所以 （2）证明：因为 ， 所以． 25．（23-24高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【解析】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面； （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ， 若，则，即 ， 即， 解得或舍去， 即时，. 26．（23-24高二上·山东·期中）已知点，，，向量. (1)若，求实数的值； (2)求向量在向量方向上的投影向量. 【解析】（1）由题意，，， 因为， 所以，即， 得. （2）由题意，，， 所以向量在向量上上的投影向量为：. 27．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知向量，，且． (1)求c的值； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 【解析】（1）， 所以，解得：； （2）当时， ， ， 因为与互相垂直， 所以，解得：， 当时，， 因为与互相垂直， 所以，解得：， 综上：. 28．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知，，且，则实数的值为（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】，，且 ，故，解得 故选：D 29．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知向量，，若，则 ． 【答案】3 【解析】由题意知向量，，， 故存在实数，使得， 即，解得， 故， 故答案为：3 30．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知向量与平行，则 ． 【答案】 【解析】由已知可得，，， 所以，，， 所以，. 故答案为：. 异面直线所成角 31．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，,  D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，构造如下图示的空间直角坐标系，则， 所以，则. 所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为. 故选：A 32．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知直三棱柱中，，，那么异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直三棱柱中，，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设与所成角大小为， 则. 故选：D 33．（23-24高二上·山东·期中）如图所示，在几何体ABCDEF中，，，，，，平面ABCD，则异面直线EF与AB所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，因为平面， 平面，所以， 以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，． 所以，， 所以， 故异面直线EF与AB所成的角为． 故选：A. 34．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）证明：∵以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是， ∴， ∴ ， ∴. （2）∵，， ∴ ， ， ， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 35．（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，E，F分别在侧棱和上，且，． (1)若，求； (2)求直线EF与AB所成角的余弦值． 【解析】（1） ． ，，， （2）设，，， 由（1）知，， ． 又， 又． ． 直线EF与AB所成角的余弦值为． 线面角问题 36．（23-24高二上·山东烟台·期中）如图，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构建如下图的空间直角坐标系，则， 所以，，， 若是面的一个法向量，则， 取，则， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 37．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，在棱长为1的正方体中，M为BC的中点，则 与所成角的余弦值为 ；C到平面的距离为 . 【答案】 【解析】由已知连接，如图所示建立空间直角坐标系, 则，，， 与所成角的余弦值为 如图所示设C到平面的距离为 因为 故答案为：， 38．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知正三棱柱的所有棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为 ． 【答案】0 【解析】设中点为，中点为， 由正三棱柱性质知底面，底面， 则，， 又底面是等边三角形，是中点， 则． 以为原点，，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设正三棱柱的棱长都为2， 则，，，， ∴，，则 ∴， 即异面直线和成角的余弦值为0, 故答案为：0. 39．（23-24高二上·山东济宁·期中）在正四棱锥中，为顶点S在底面内的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系， 设， 则， 则，，, 设平面PAC的一个法向量为，则， 令，则，可得， 则， 设直线BC与平面PAC的夹角为， 可得直线BC与平面PAC的夹角的正弦值为， 所以直线BC与平面PAC的夹角的余弦值. 故选：C 40．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，，且，，是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）因为平面，平面，所以, 由，知，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 又，平面，所以平面 （2）以C为坐标原点，以所在直线分别为，建立空间直角坐标系，如图， 则， 故，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值. 41．（23-24高二上·山东·期中）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为菱形，，，．    (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)若点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 【解析】（1）因为底面是菱形， 所以， 因为平面，平面 所以平面， 因为平面与平面的交线为，且平面， 所以. （2）取中点，连接，，则 ， 所以， 所以， 因为侧面为等边三角形， 所以 ， 因为 ，且平面，平面， 所以平面 ， 以点 为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为 ，则 ， 令，，所以 ， 设，其中， 则， 所以，所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得， 所以，即. 二面角问题 42．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在正四棱锥中，，，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角. 【解析】（1）证明：取的中点，连 分别是的中点 且 又是的中点 且         且       则四边形 是平行四边形                 又      平面 （2）连接，设， 如图：分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 在正四棱锥中，底面为正方形，，所以， 又因为，所以. 设平面的一个法向量为，则 ，即， 令，得 又平面的一个法向量为. 所以平面与平面的夹角为 43．（23-24高二上·山东临沂·期中）如图，在四棱雉中，平面，底面为菱形，，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)已知二面角的大小为，求菱形的边长． 【解析】（1）如图所示， 取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以是的中位线， 所以且， 又因为为的中点， 所以且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又因为平面，平面，，， 所以平面， 因为平面，所以， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 又因为为的中点，所以， 又底面为菱形，所以是等边三角形， 设菱形的边长为， 则，，，， 因为平面平面，所以平面的法向量为， 设平面法向量为， 因为，， 则， 令，则，所以， 因为二面角的大小为， 所以，解得， 所以菱形的边长为． 44．（23-24高二上·山东日照·期中）如图，四棱锥，底面是正方形，平面，，，点E在线段SD上． (1)求证：； (2)若直线BE与平面所成角的正弦值，求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：连接BD，因为底面是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，SD，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以． （2）因为平面，点E是线段SD上的点， 所以直线BE与平面所成的角为，所以， 又因为四边形是正方形，，所以， 设，则， 所以，解得，即． 以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则由，得， 即，令，得 平面ADE的一个法向量为， 由图可知二面角为锐二面角，设为， 所以， 所以二面角的余弦值为． 45．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，四边形是正方形，平面，，，，F为PD的中点． (1)求证：BD平面； (2)求面与面夹角的大小． 【解析】（1） 依题意，平面，如图，以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系． 依题意，可得，，，，，， 取的中点M，连接．∵，， ∴，∴， ∵平面平面， ∴平面． （2）因为，平面，所以平面， 故为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，因为， 所以即，令，得，， 故． 设面与面夹角为，则， 因为，所以面与面夹角是 46．（23-24高二上·山东·期中）已知三棱台中，，，，，，，平面平面，点为中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【解析】（1）证明：因为平面平面，交线为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为平面， ， 以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的法向量，则， 取，可得， 设平面法向量，则， 取，可得， 所以， 所以二面角的正弦值为. 点线距、点面距、面面距 47．（23-24高二上·山东临沂·期中）如图，在长方体中，，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)设，求点到平面的距离． 【解析】（1）在四边形中，，，即是正方形； 所以， 又平面，平面， ， 又平面，平面，， 平面； （2）由，得， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，， 当为的中点时，，，， 设平面的一个法向量为， 由，可得， 由点到平面的距离公式得， 即点到面的距离是． 48．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，． (1)求异面直线与所成角的大小． (2)求直线到平面的距离． 【解析】（1）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 因为底面为直角梯形，，，， 所以， 则，，，， ，， 设异面直线与所成角为，则， 所以异面直线与所成角大小为． （2），平面，平面，平面， 直线到平面的距离即为点到平面的距离． 设平面的法向量为，，， 则，取，得． ，点到平面的距离． 49．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知空间三点，，． (1)若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标； (2)求点C到直线AB的距离． 【解析】（1），， 设， ，， ，． ，整理得． ， ． 或． （2）取，， 则，． C到直线AB的距离为． 50．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且．    (1)证明：面； (2)求点到平面的距离； 【解析】（1）∵平面，面，∴， 又∵，面，， ∴平面． （2）解法1：过做于， ∵平面，面，∴， 又，面PAC，∴面， 为点到平面的距离， 在中，， ∵，又∵，∴为的中点， ∴点到平面的距离为． 解法2：∵平面， ∴， 在中，， ∴， 设点到平面的距离为，则， 由，得，∴． ∵，又∵，∴为的中点． ∴点到平面的距离为． 解法3：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，， 则，，， 设，则， ∴， 由，知， ∴，为中点， ∴，，，， 设平面的法向量为， 由，得， ∴，取，得， ∴是平面的一个法向量． ∴点到平面的距离为． 51．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知平面的一个法向量为，其中，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：， 所以点到平面的距离为. 故选：C. 52．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则点到直线的距离为： . 故选：B 立体几何范围与最值问题 53．（23-24高二上·山东济宁·期中）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正方体的外接球的球心为，球的半径为， 则，可得，所以， 又 ， 当为正方体某个面的中心时，取最小值； 当与正方体的顶点重合时，取最大值. 则，所以. 故选：A. 54．（多选题）（23-24高二上·山东·期中）在棱长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，点分别为线段与线段上一点，则（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．点到直线的距离为 C．当平面时， D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】如图所示， 以为坐标原点，分别为建立空间直角坐标系，可得 ， 所以 对于A：，所以A正确； 对于B：，所以B错误； 对于C： ， 因为//平面，所以，即，所以C正确； 对于D：设，其中， 则，， 解得， 所以 ， 所以当时，D正确， 故选：ACD 55．（多选题）（23-24高二上·山东临沂·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（    ） A．当时，三棱锥A-PCE的体积 B．当时，EP∥平面 C．当，平面CEP时 D．的最小值为 【答案】BD 【解析】对于A，当时，则，故点到平面的距离为,所以,故A错误， 对于B，在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，,0,， 所以，则点,,， ，，，而， 显然，即是平面的一个法向量， 而，因此平行于平面，即直线与平面平行，B正确； 对于C，取的中点，连接，，，如图， 因为为边的中点，则，当平面时，平面， 连接，连接，连接，显然平面平面， 因此，，平面，平面，则平面， 即有，而， 所以，C错误． 对于D，， 于是，当且仅当时取等号，D正确； 故选：BD 56．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图，在直三棱柱中，，、分别是线段、上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是三棱柱的顶点，则长的最小值为 . 【答案】/ 【解析】如图，由已知，，两两互相垂直， 以点A为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系， 可得，，，， 设，，， ，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，， 因为平面，所以, , 又， ，可得， ，， ， 当时，取最小值，最小值为. 故答案为: . 轨迹问题 57．（多选题）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角为 B．点到平面的距离为 C．四面体的外接球体积为 D．动点在平面上，且与所成角为，则点的轨迹是椭圆 【答案】BC 【解析】取中点,连接,可得面,则,故A错误； 在四面体中，过点作面于点,则为为底面正三角形的重心，因为所有棱长均为,,即点到平面的距离为,故B正确； 设为正四面体的中心则为内切球的半径，为外接球的半径， 因为，所以，即, 所以四面体的外接球体积,故C正确； 建系如图：,设，则 因为，所以， 即，平方化简可得：，可知点的轨迹为双曲线,故D错误.   故选：BC． 58．（多选题）（23-24高二上·山东日照·期中）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ）    A．当P在侧面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的取值范围是 【答案】AC 【解析】对于,因为平面平面， 所以当P在侧面上运动时，点到平面的距离不变， 而正方形的面积不变，所以当P在侧面上运动时， 四棱锥的体积不变，故正确； 对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 设，则， 设与所成角为， 则， ，当时，； 当时, ， 则，综上，. 所以当在线段上运动时，与所成角的取值范围是，故错误； 对于，因为直线与平面所成角为， 若点在平面和平面内， 最大，不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，作平面, 因为,所以 因为所以所以 点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一圆， 所以点的轨迹长度为 所以点的轨迹总长度为故正确； 对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，, 则， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 则， 因为平面,所以， 即， 所以， 当时，等号成立，故错误. 故选： 59．（多选题）（23-24高二上·山东泰安·期中）已知正方体的棱长为1，M为侧面上的动点，N为侧面上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则M的轨迹长度为 B．若，则M到直线的距离的最小值为 C．若，则，且直线平面 D．若，则与平面所成角正弦的最小值为 【答案】AC 【解析】对于A，因为，所以在以为球心，为半径的球上. 又为侧面上的点，所以在球被平面截得的交线上. 因为，平面，，，所以， 所以，为以点为圆心，为半径的圆上，如图1，则M的轨迹长度为，故A正确 对于B，如图1，，则，到直线的距离的最小值为，故B错误； 对于C，如图2，连结. 因为平面，平面，所以. 又，平面，平面，， 所以，平面. 又平面，所以. 同理可得，. 又平面，平面，， 所以，平面. 又，平面，所以直线平面，故C正确； 对于D，以点为坐标原点，分别以为轴的正方向， 如图3建立空间直角坐标系，则，，，，，，. 因为，设，，. 设是平面的一个法向量， 则，即， 取，则，是平面的一个法向量. 则， 又，当时，有最小值1， 所以，，即， 所以，与平面所成角正弦的最大值为，故D错误； 故选：AC. 60．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图所示，正方体的棱长为3，动点在底面正方形内，且与两个定点，的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)求动点到平面的距离的取值范围． 【解析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图， 设， 由，得 化简得， 即， 故曲线C是以为圆心，2为半径的圆在正方形内一段圆弧． （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量， 则，令，则，，故， 由（1）可设，其中, 则， 设到平面的距离为， 则， 由（1）可令，其中， 则， 因为，所以， 即，所以， 故. 立体几何存在性问题 61．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，． (1)求证平面ACF (2)在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为？若存在，求出线段PH的长 【解析】（1）连接BD交AC于M，连接FM， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴ 又平面ACF，平面ACF，∴平面ACF． （2） 设线段PB上存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为， 即CH与平面ACF所成角的正弦值为， 设，取AD中点O，连接OC，OP， ∵，∴， ∵侧面底面ABCD，侧面底面， 侧面PAD，∴底面ABCD， ∵，，，所以，， 以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面ACF的一个法向量为， 则， 令，则，， ∴平面ACF的一个法向量为， 又，∴， 又，∴， 设CH与平面ACF所成角， 则 整理得， 解得或，当时，， 当时，， 故在线段PB上存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为， 或． 62．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. (1)求证：平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为侧棱所在直线与上下底面中心的连线所成的角为，则 ， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则. 因为； 所以，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）假设边上存在点满足条件，， 则， 设直线与平面所成角为， 由题意可得 化简得，则或（舍去）， 即存在点符合题意，此时. 63．（23-24高二上·山东淄博·期中）如图所示，在四棱柱中，侧棱⊥底面，,，，，为棱的中点，是的中点. (1)求证：∥平面； (2)求证：⊥平面； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求，若不存在，请说明理由. 【解析】（1） 由已知，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，连接，则，，，， ，，∴，∴∥， 又∵平面，平面，∴∥平面. （2）由已知，，，，， ∴，， ∴，，∴，， 又∵，平面，平面， ∴平面. （3）假设存在点，满足题意，且（），则， ，∴， ∴， 易知向量是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则 ， ∵，∴解得（舍）或， ∴线段上是否存在点满足，使得直线与平面所成角的正弦值是. 64．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，侧面面， (1)求证：； (2)设平面与平面的交线为，在上是否存在点，使得平面和平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为，， 所以， 因为， 所以，，从而， 因为， 所以， 所以，从而， 因为侧面面，侧面面，面， 所以平面， 又因为面， 所以. （2）延长和交于点，连接，则就是直线，为的中位线， 以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 所以，， 设面的法向量为，则 由，即， 令，则，，取， 设在上存在点N，满足，则 . 设平面的法向量为，则 由，即， 令，则，，取， 设平面和平面的夹角为，则 ，解得或， 所以在l上存在点，在线段上，，或者在线段的反向延长线上，. 65．（23-24高二上·山东枣庄·期中）四棱锥底面为平行四边形，且，平面. (1)在棱上是否存在点，使得平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）存在点，且时平面，理由如下： 连接相交于点，连接，则平面平面， 若平面，平面，平面，所以， 因为，，所以， ， 所以时平面； （2）因为，，， 由余弦定理可得， 由可得， ，又平面， 以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则， 所以， 设直线与平面所成角的为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 66．（23-24高二上·山东青岛·期中）在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，平面平面ABCD，，E为PA中点. (1)求证：平面PBC； (2)已知平面PAD与平面PBC的交线为，在上是否存在点N，使二面角的正弦值为？若存在，请求出PN的长；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）取的中点，连接， ∵分别为的中点，则且， 又∵且， ∴且，则为平行四边形，∴， 平面PBC，平面PBC， ∴平面PBC； （2）由题意可得：， 则，即， 取的中点，连接， ∵，则， 平面平面ABCD，平面平面，平面 ∴平面ABCD， 以为坐标原点建立空间直角坐标系，则可得： ， 设平面的法向量，则有， 令，则，即， 由（1）可得：平面PBC， 平面PAD，平面平面， ∴，则直线的方向向量可以是， 设，则， ， 设平面的法向量，则有， 令，则，即 ∵二面角的正弦值为，所以二面角的余弦值的绝对值为，则， 解得或， 当时，，此时的长为， 当，，则PN的长为. 立体几何新定义问题 67．（23-24高二上·山东德州·期中）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面遍历多面体M的所有以点P为公共点的面，在长方体中，，，点S为底面的中心，记三棱锥在点A处的离散曲率为，四棱锥在点S处的离散曲率为n，则 ． 【答案】 【解析】在长方体中, , 故三棱锥在点A处的离散曲率； 设交于O,连接,，，四边形为正方形， 则 , ,故 ,同理, 四棱锥为正四棱锥，而 ,则四棱锥每个侧面都为正三角形， 所以 , 故四棱锥在点S处的离散曲率， 故， 故答案为： 68．（23-24高二上·山东潍坊·期中）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴､轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．若，且，求 【解析】（1）由，，知，， 所以， 所以； （2）设，，分别为与，，同方向的单位向量， 则，，， 由题， 因为，所以， 由知 则． 69．（23-24高二上·山东济南·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线与平面所成角的正弦值.因为平面的方程为，故其法向量为， 因为直线的方程为，故其方向向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 故选：B. 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