专题03 椭圆（10大基础题6大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

专题03 椭圆 椭圆的定义 1．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知，是椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且，则点到轴的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知图O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是（    ） A．圈 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．双曲线的两支CB 3．（23-24高二上·山东青岛·期中）在平面上，动点与两个定点，的距离之和为，若，则点的轨迹为（    ） A．线段 B．两条射线 C．椭圆 D．不存在 4．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知点，直线与椭圆相交于两点，则的周长为（    ） A．2 B．8 C．12 D．16 求椭圆的方程 5．（23-24高二上·山东·期中）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东青岛·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 7．（23-24高二上·山东济南·期中）已知椭圆的焦点在轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为，焦距为，则此椭圆的标准方程为 . 8．（23-24高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是 . 9．（23-24高二上·山东枣庄·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别为，并且椭圆经过点． (2)已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上，求C的方程． 表示椭圆的条件 10．（23-24高二上·山东济宁·期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则（     ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 焦点三角形问题 12．（23-24高二上·山东泰安·期中）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点的连线互相垂直，则的面积为 . 13．（多选题）（23-24高二上·山东·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A．的周长为6 B．的面积为 C．内切圆的半径为 D． 14．（多选题）（23-24高二上·山东聊城·期中）已知椭圆分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．存在使得 B．的最小值为 C．直线与直线斜率乘积为定值 D．，则的面积为9 15．（23-24高二上·山东德州·期中）已知椭圆C：，椭圆C的一顶点为A，两个焦点为，，的面积为，焦距为2，过，且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，则的周长是（    ） A． B．8 C． D．16 16．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是（    ）． A． B．6 C． D．12 17．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知椭圆：的左､右焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则（    ） A． B． C． D．1 焦半径问题 19．（23-24高二上·山东威海·期中）已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为 ． 20．（多选题）（23-24高二上·山东临沂·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且的最大值为4，最小值为2，则（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为8 C．若，则的面积为8 D．若，则 21．（多选题）（23-24高二上·山东淄博·期中）设，分别为椭圆的左、右焦点，直线过且交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为定值8 B．的最大值4 C．|AB|的最小值为 D．若面积为1，则 22．（多选题）（23-24高二上·山东济南·期中）设椭圆C：的焦点为、，M在椭圆上，则（    ） A． B．的最大值为7，最小值为1 C．的最大值为16 D．△面积的最大值为10 椭圆的简单几何性质 23．（多选题）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知椭圆C：的焦点分别为．设直线与椭圆C交于两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．直线的方程为 D．的周长为 24．（多选题）（23-24高二上·山东日照·期中）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱面得到一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（    ）    A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 25．（多选题）（23-24高二上·山东青岛·期中）通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（    ） A． B． C．四边形的内切圆过焦点， D．轴，且 26．（多选题）（23-24高二上·山东临沂·期中）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，则（    ） A．周长为14 B．面积最大值为12 C．存在点P使得 D．不可能是等腰直角三角形 27．（多选题）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为9 B．焦距为10 C．若，则的面积为9 D．的周长为20 椭圆的实际应用 28．（多选题）（23-24高二上·山东济宁·期中）“嫦娥四号”探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，标志着我国航天事业取得又一重大成就.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，结合图中的轨道Ⅰ和轨道Ⅱ，下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·山东菏泽·期中）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，，，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为，，，则（    ）      A． B． C． D． 30．（23-24高二上·山东青岛·期中）人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为，，则卫星轨道的离心率等于（    ） A． B． C． D． 直线与椭圆的位置关系 31．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)已知直线l平行于直线DF，且l与椭圆有且只有一个公共点M，求l的方程 32．（23-24高二上·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 33．（23-24高二上·山东滨州·期中）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 弦长问题 34．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知焦点在轴上，焦距为的椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线交椭圆于A，两点，且，求直线的方程． 35．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，是弦的中点，求直线的方程及弦的长度. 36．（23-24高二上·山东聊城·期中）已知椭圆的焦距和短轴长相等，上顶点为. (1)求的方程； (2)过点斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，且，求的值. 37．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率为1，经过点，且与椭圆交于，两点，若，求值． 点差法 38．（23-24高二上·山东临沂·期中）椭圆与直线相交于，两点，过的中点与坐标原点的直线的斜率为2，则 ． 39．（23-24高二上·山东·期中）已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 40．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知椭圆，其右焦点为，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则E的方程为（ ） A． B． C． D． 41．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知椭圆上两点，若的中点为，直线的斜率等于，则直线的斜率等于（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系xOy中，动圆P和圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心轨迹为E． (1)求轨迹E的方程； (2)若直线l：与E交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围． 离心率问题 43．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的最大值为 . 44．（23-24高二上·山东·期中）已知焦点在轴上的椭圆，点，当时，上有且仅有一点到点的距离最小，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点、，且．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知右焦点为F的椭圆E：上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点F，且，则E的离心率是（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知F是椭圆的一个焦点，若存在直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 48．（23-24高二上·山东聊城·期中）已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A，B两点.若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）是椭圆的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的3倍，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 定点问题 50．（23-24高二上·山东淄博·期中）阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）.试结合，上述事实现象完成下列问题： (1)有一椭圆型台球桌，长轴长为，短轴长为.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值； (2)过点的直线（直线斜率不为）与焦点在轴，且长轴长为，短轴长为的椭圆交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在，请说明理由； (3)结论:椭图上任点处的切线的方程为.在直线上任一点向（2）中的椭圆引切线，切点分别为，.求证:直线恒过定点. 51．（23-24高二上·山东·期中）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：    步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕. 现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、. （i）求证：为定值； （ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标. 52．（23-24高二下·山东青岛·期中）中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线. 在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线. (1)求曲线C的焦点，的坐标； (2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由. 53．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知轨迹上任一点与定点的距离和到定直线的距离的比为. (1)求轨迹的方程，并说明轨迹表示什么图形？ (2)设点，过点且斜率为的动直线与轨迹交于两点，直线分别交圆于异于点的点，设直线的斜率为，直线的斜率分别为. ①求证：为定值； ②问：直线是否过一定点，若过，请求出定点；若不过，请说明理由. 轨迹问题 54．（23-24高二上·山东临沂·期中）设是圆：上的一动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 55．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知点，，动点到直线的距离为，，则（    ） A．点的轨迹是圆 B．点的轨迹曲线的离心率等于 C．点的轨迹方程为 D．的周长为定值 56．（23-24高二上·山东聊城·期中）已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 57．（23-24高二上·山东威海·期中）平面直角坐标系中，动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为， (1)求点M的轨迹方程． (2)若点，则求的最大值与最小值． 58．（多选题）（23-24高二上·山东临沂·期中）《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，则下列结论正确的是（    ） A．动点的轨迹方程为 B．直线为成双直线 C．若直线与点的轨迹相交于两点，点为点的轨迹上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则 D．点为点的轨迹上的任意一点，，，则面积为 59．（23-24高二上·山东青岛·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 定值问题 60．（23-24高二上·山东日照·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形． (1)求C的标准方程； (2)M，N为C上且在x轴上方的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 61．（23-24高二上·山东德州·期中）已知椭圆C：的右焦点为，点Q为椭圆C上任意一点，且的最小值为． (1)求椭圆的C标准方程； (2)设椭圆：，过点Q作椭圆C的切线交椭圆于M，N两点，求证：（O为原点）的面积为定值，并求出此定值． （注：在椭圆C：上一点的切线方程为） 62．（23-24高二上·山东日照·期中）如图，已知椭圆的左、右顶点为、，又、与椭圆短轴的一个端点组成的三角形面积为.圆的圆心为椭圆的左顶点.    (1)求椭圆的方程； (2)当圆半径时，过椭圆外一点垂直于轴的圆的切线为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线分别交于、两点，求的最小值； (3)圆A与椭圆交于点、.点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点.求证：为定值. 63．（23-24高二上·山东济南·期中）已知椭圆（）的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程 (2)分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和，与交于，与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点 ①求证：； ②求证：定值. 64．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知轨迹上任一点与定点的距离和到定直线的距离的比为， (1)求轨迹的方程，并说明轨迹表示什么图形？ (2)设过点且斜率为的动直线与轨迹交于，两点，且点，直线，分别交圆于异于点的点，，设直线的斜率为，问是否存在实数，使得，若存在求出值，若不存在请说明理由． 椭圆范围与最值问题 65．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其离心率.若P是椭圆上任意一点，A是椭圆的右顶点，则的周长为 ，的最大值为 . 66．（23-24高二上·山东聊城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为和，的下顶点为，直线，点在上. (1)若，线段的中点在轴上，求的坐标； (2)椭圆上存在一个点，到的距离为，使，当变化时，求的最小值. 67．（23-24高二上·山东德州·期中）已知圆M：，点，P是圆M一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q． (1)求点Q的轨迹方程C； (2)若点A是曲线C上的动点，求的最大值（其中O为坐标原点）． 68．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知是椭圆的左焦点，点为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ；的最小值为 ． 69．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的最小值为 ．若点M，N分别是圆和椭圆C上的动点，当椭圆C的离心率取得最小值时，的最大值是 ． 70．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知椭圆，过点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐标原点，若点O在以AB为直径的圆外，则直线l的斜率k的取值范围为 ． 椭圆中的面积问题 71．（23-24高二上·山东济南·期中）已知点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线与轨迹交于不同的两点，，则的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由. 72．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于E，F两点，H为线段EF的中点. (1)求椭圆的方程; (2)已知点，且，求直线的方程. (3)点为直线上一点，且不在轴上，是椭圆长轴的两个端点，直线与椭圆C的另外一个交点分别为M，N，设的面积分别为，求的最大值. 73．（23-24高二上·山东青岛·期中）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.    (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，. （i）证明：点B在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 74．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆，①直线过的右焦点，椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍，②点，都在上，③四点，，，中恰有三点在椭圆上． 在以上三个条件中任选一个，解答下列问题． (1)求椭圆的标准方程： (2)设，，是椭圆上不同于，的两点（其中在轴上方），若直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求四边形面积的最大值． 75．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点在椭圆上，且， ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 76．（23-24高二上·山东聊城·期中）已知椭圆和圆分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线与圆相切. (1)求椭圆的方程； (2)已知，过T的直线与椭圆交于M，N两点，求面积的最大值. 77．（23-24高二上·山东·期中）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且长轴长为8，为椭圆是异于，的点，满足的周长为12． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 椭圆 椭圆的定义 1．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知，是椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且，则点到轴的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由，知， 则，， ，， 则， 则点到轴的距离. 故选：C 2．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知图O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是（    ） A．圈 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．双曲线的两支CB 【答案】B 【解析】解:连接,如图所示: 因为点Q在线段AP的垂直平分线上,所以, 所以, 因为A是圆O内一个定点,所以, 即,即动点Q到两定点O、A的距离和为定值, 根据椭圆的定义,可知点Q的轨迹是:以O,A为焦点,OA为实轴长的椭圆. 故选:B 3．（23-24高二上·山东青岛·期中）在平面上，动点与两个定点，的距离之和为，若，则点的轨迹为（    ） A．线段 B．两条射线 C．椭圆 D．不存在 【答案】D 【解析】由题意可知，, 所以点的轨迹为不存在. 故选：D. 4．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知点，直线与椭圆相交于两点，则的周长为（    ） A．2 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【解析】直线过定点，由椭圆定义可得，，进而可求出结果．由椭圆，可知，，， 直线过定点， 所以、是椭圆的焦点， 由椭圆定义知：，． 的周长为， 故选：． 求椭圆的方程 5．（23-24高二上·山东·期中）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 得， 又因为， 所以， 由， 得， 所以， 又. 因为椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的方程是. 故选：B. 6．（23-24高二上·山东青岛·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 【答案】 【解析】由题意设椭圆的方程为，， 将点代入，， 整理可得：， 解得或（舍， 所以椭圆的方程为：， 故答案为：． 7．（23-24高二上·山东济南·期中）已知椭圆的焦点在轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为，焦距为，则此椭圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】依题意，设椭圆方程为， 则，解得， 所以椭圆方程为. 故答案为：. 8．（23-24高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是 . 【答案】或 【解析】由题意，椭圆的焦距是6，可得，即， 又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得，即， 则， 当焦点可以在轴上时，椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为. 故答案为：或 9．（23-24高二上·山东枣庄·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别为，并且椭圆经过点． (2)已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上，求C的方程． 【解析】（1）根据题意，两个焦点的坐标分别为，即c＝2， 又由椭圆经过点， 则2a，故a， 则b2＝a2﹣c2＝10﹣4＝6，故要求椭圆的方程为1； （2）由题意，因为，两点关于y轴对称，所以椭圆C经过，两点， 又由，知，椭圆C不经过点，所以点在椭圆C上， 因此，解得，所以椭圆C的方程为． 表示椭圆的条件 10．（23-24高二上·山东济宁·期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程表示焦点在x轴上的椭圆，则. 故选：A. 11．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，. 故选：B. 焦点三角形问题 12．（23-24高二上·山东泰安·期中）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点的连线互相垂直，则的面积为 . 【答案】16 【解析】， ，， . 故答案为： 13．（多选题）（23-24高二上·山东·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A．的周长为6 B．的面积为 C．内切圆的半径为 D． 【答案】BC 【解析】由可得， A选项：周长为，所以A错误； B选项：由余弦定理可得，故 所以，所以B正确； C选项：，所以，所以C正确； D选项：，所以， 所以，所以，所以D错误. 故选：BC 14．（多选题）（23-24高二上·山东聊城·期中）已知椭圆分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．存在使得 B．的最小值为 C．直线与直线斜率乘积为定值 D．，则的面积为9 【答案】AD 【解析】设椭圆上下顶点为，由题知椭圆中，， 所以，， 对于A选项，由于， 所以的最大角为钝角，故存在使得，故A正确； 对于选项，记，则， 由余弦定理： ， 当且仅当时取不正确； 对于选项，设， 则， 于是，故C错误. 对于D选项，由于，故， 所以正确； 故选：AD. 15．（23-24高二上·山东德州·期中）已知椭圆C：，椭圆C的一顶点为A，两个焦点为，，的面积为，焦距为2，过，且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，则的周长是（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】B 【解析】因为的面积为，焦距为2，所以， 所以，故椭圆方程为， 假设为椭圆C的上顶点，因为两个焦点为，， 所以，，故, 所以为等边三角形，又因为过，且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点， 所以，, 由椭圆的定义可知：， ， 所以的周长为 ， 故选：. 16．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是（    ）． A． B．6 C． D．12 【答案】D 【解析】由椭圆知，该椭圆的长半轴， A是椭圆的一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上， 由椭圆定义得， 所以的周长 故选：D. 17．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知椭圆：的左､右焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，，即， 由椭圆的定义可知，, 在中，由余弦定理得，可得 ，解得. 所以的面积为. 故选：B. 18．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由题意椭圆，为两个焦点，可得， 则①，即， 由余弦定理得， 即，整理得，② 联立①②，解得：，则， 又因为，则， 使用. 故选：B 焦半径问题 19．（23-24高二上·山东威海·期中）已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为 ． 【答案】16 【解析】由椭圆的定义可得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，故的最大值为16 故答案为：16 20．（多选题）（23-24高二上·山东临沂·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且的最大值为4，最小值为2，则（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为8 C．若，则的面积为8 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A，由题意得，解得，所以离心率为，故A正确； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，由A得，， 当点为上顶点时，最大，即， ， 所以的面积不可能为8，故C错误； 对于D，由且得，， 所以，即，故D错误； 故选：AB． 21．（多选题）（23-24高二上·山东淄博·期中）设，分别为椭圆的左、右焦点，直线过且交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为定值8 B．的最大值4 C．|AB|的最小值为 D．若面积为1，则 【答案】AB 【解析】对于选项A：因为椭圆的方程,所以,即, 由椭圆的定义可得 两式相加得,所以得, 所以的周长为8，故A正确； 对于B选项：，，当且仅当时相等，此时，故B选项正确. 对于选项C:设直线方程为, 与椭圆方程联立得,消去,, 设又,则,. 故, 当时,即垂直于时, 最小为3,故C错误. 对于选项D: ,设， 将代入椭圆方程，，.故D错误. 故选：AB 22．（多选题）（23-24高二上·山东济南·期中）设椭圆C：的焦点为、，M在椭圆上，则（    ） A． B．的最大值为7，最小值为1 C．的最大值为16 D．△面积的最大值为10 【答案】ABC 【解析】由椭圆方程知：， ∴，故A正确. ，，故B正确. ，此时在椭圆左右顶点上，同时△面积也最大，为，故C正确，D错误. 故选：ABC 椭圆的简单几何性质 23．（多选题）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知椭圆C：的焦点分别为．设直线与椭圆C交于两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．直线的方程为 D．的周长为 【答案】BCD 【解析】对于A，因为椭圆的焦点为，所以椭圆的焦点在轴上， 所以，得，所以A错误， 对于B，由选项A，可知，得，所以离心率为，所以B正确， 对于C，设，则，，两式相减得 ，即， 因为为线段MN的中点，所以，， 所以，所以，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即，经检验符合题意，所以C正确， 对于D，因为直线：过点， 所以的周长为，所以D正确 故选：BCD 24．（多选题）（23-24高二上·山东日照·期中）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱面得到一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（    ）    A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，解得，A错误； 显然，则，离心率，B正确； 当以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，C正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D正确. 故选：BCD 25．（多选题）（23-24高二上·山东青岛·期中）通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（    ） A． B． C．四边形的内切圆过焦点， D．轴，且 【答案】BC 【解析】由可知：，，，，，， 对于A，若，则， 所以，即， 所以，与已知不符，故A错误； 对于B，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，四边形的内切圆过焦点，， 所以， 所以， 整理得， 所以，解得（舍去）或 所以，故C正确； 对于D，当轴，时，则， ，， 所以，所以，整理得， 所以，所以，与已知不符，故D错误. 故选：BC 26．（多选题）（23-24高二上·山东临沂·期中）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，则（    ） A．周长为14 B．面积最大值为12 C．存在点P使得 D．不可能是等腰直角三角形 【答案】BCD 【解析】因为椭圆E：，所以，则， 对于A，不妨设，则，又， 所以周长为，故A错误； 对于B，因为当点在轴上时，点到的距离最大，且最大值为， 所以，即面积最大值为12，故B正确； 对于C，假设存在点P使得，则， 又，所以，则， 所以是方程的两根，显然，方程有两解， 所以存在点P使得，故C正确； 对于D，当时，，显然，所以不是直角三角形； 当时，，显然，所以不是直角三角形； 同理：当时，也不是直角三角形； 综上：不可能是等腰直角三角形，故D正确. 故选：BCD . 27．（多选题）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为9 B．焦距为10 C．若，则的面积为9 D．的周长为20 【答案】AC 【解析】由椭圆的方程得： . 对A当点为椭圆的左顶点时，点到右焦点的距离的最大，且为9，故A正确； 对B.焦距为B错误； 对C.由题意得：，① 由椭圆定义得：， 即，② ②-①得：， 的面积为，故C正确 对D，的周长为，故D错误； 故选：AC 椭圆的实际应用 28．（多选题）（23-24高二上·山东济宁·期中）“嫦娥四号”探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，标志着我国航天事业取得又一重大成就.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，结合图中的轨道Ⅰ和轨道Ⅱ，下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】 ，即，故A正确； ∵，且，故B错误，D正确； ∵， ∴， ， ， ，∴，故C正确； 故选：ACD. 29．（23-24高二上·山东菏泽·期中）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，，，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为，，，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆的短轴长与长轴长的比值为， 代入椭圆的离心率公式， 故，，， 计算，，，则， 所以. 故选：A. 30．（23-24高二上·山东青岛·期中）人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为，，则卫星轨道的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆的离心率：，（c，半焦距；a，长半轴） 所以只要求出椭圆的c和a， 由题意，结合图形可知， ， ， 所以． 故选：A． 直线与椭圆的位置关系 31．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)已知直线l平行于直线DF，且l与椭圆有且只有一个公共点M，求l的方程 【解析】（1）因为椭圆的中心在原点，一个焦点为， 所以c=4，且另一个焦点为， 又点在椭圆上， 所以， 解得，则， 所以椭圆的方程为； （2）由题意，设直线l的方程为：， 由，化简得， 因为l与椭圆有且只有一个公共点， 所以， 即，解得， 所以直线的方程为：. 32．（23-24高二上·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【解析】将直线l：变形为l：， 由得，于是直线l过定点， 而，于是点在椭圆C：内部， 因此直线l：与椭圆C：相交． 故选：A． 33．（23-24高二上·山东滨州·期中）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【解析】联立，消去，整理得到，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离. 故选：C 弦长问题 34．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知焦点在轴上，焦距为的椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线交椭圆于A，两点，且，求直线的方程． 【解析】（1）设椭圆的标准方程为， 由已知可得，且，， 所以，， 解得，， 故椭圆的标准方程为：． （2）由已知可得，直线的斜率， 设直线方程为，点，. 由方程组，化简得：， 由， 可得，解得． 由韦达定理可得，，， ， 整理可得，，解得， 直线方程或． 35．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，是弦的中点，求直线的方程及弦的长度. 【解析】（1）已知椭圆的两个焦点分别为，设椭圆的标准方程为，且，则①， 又椭圆过点，所以②，联立①②解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在，且直线过点，设直线的方程为，即，设， 则，消去得，所以， 又是弦的中点，所以，解得，则， 所以 故直线的方程为，弦为. 36．（23-24高二上·山东聊城·期中）已知椭圆的焦距和短轴长相等，上顶点为. (1)求的方程； (2)过点斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，且，求的值. 【解析】（1）由题知，焦点在x轴上， 所以， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）根据题意，设直线，， 则，整理得， ，即， ， ， 即，解得：或（舍去）， . 37．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率为1，经过点，且与椭圆交于，两点，若，求值． 【解析】（1）设椭圆的方程为， 所以，，解得， 所以，所以. （2）根据题意可得，则， 且，则， 又， 所以， 即， 则，解得，经检验，符合题意． 点差法 38．（23-24高二上·山东临沂·期中）椭圆与直线相交于，两点，过的中点与坐标原点的直线的斜率为2，则 ． 【答案】 【解析】设， 则，， 由点M是AB的中点，得，① 又，两式相减，得，② 将①代入②，得， 整理，得，所以. 故答案为：. 39．（23-24高二上·山东·期中）已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】设直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标是，则， 直线的斜率. 由，得， 得，所以， 即，， ，，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 40．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知椭圆，其右焦点为，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则E的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，过点的直线交椭圆于，两点， 若的中点坐标为，所以直线斜率， 代入椭圆方程得， 两式相减得， ， 所求的椭圆方程为. 故选：B. 41．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知椭圆上两点，若的中点为，直线的斜率等于，则直线的斜率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，把两点坐标代入椭圆方程相减后可得与的关系，从而得出结论．设，，， 则，两式相减得，整理得， 即． 故选：D． 42．（23-24高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系xOy中，动圆P和圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心轨迹为E． (1)求轨迹E的方程； (2)若直线l：与E交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围． 【解析】（1）由题意，圆的标准方程为：，圆心， 圆的标准方程为，圆心， 不妨设动圆P的半径为， 动圆P和圆内切，故；动圆P和圆外切，故， 即，又， 故动圆P的圆心轨迹是以为焦点的椭圆，， 即轨迹E的方程是：. （2）由题意，联立直线与椭圆： ，可得， 不妨设，则， 即， ， 线段MN的中点横坐标，纵坐标， 线段MN的垂直平分线过定点，故， 即，代入可得， ，即 即，解得或. 离心率问题 43．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的最大值为 . 【答案】/ 【解析】已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B、F为其右焦点， 设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为长方形， 根据椭圆的定义，且，则， 所以， 又由离心率的公式得， 由，则， 所以，即椭圆的离心率的最大值为. 故答案为： 44．（23-24高二上·山东·期中）已知焦点在轴上的椭圆，点，当时，上有且仅有一点到点的距离最小，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆上任意一点， 则， 由对称性可知：在时取得最小值， 又因为二次函数对称轴为， 所以，即，所以，又因为，所以. 故选：A. 45．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点、，且．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆的右焦点为，连接、，如下图所示： 因为直线关于原点对称，椭圆也关于原点对称， 直线与椭圆交于点、，则、也关于原点对称， 所以为、的中点， 又因为，则四边形为矩形，所以，则， 所以，，， 由椭圆的定义可得， 故该椭圆的离心率为. 故选：A. 46．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知右焦点为F的椭圆E：上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点F，且，则E的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的左焦点为，连接， 因为点平分，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，则， 在直角中，，所以， 整理可得，所以， 在直角中，，所以， 所以，所以， 故选：B. 47．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知F是椭圆的一个焦点，若存在直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，与左右焦点，的连线， 由，由椭圆及直线的对称性可得四边形为平行四边形，， 在三角形中，， 所以，即，当且仅当时等号成立，又直线的斜率存在，故， 即，可得， 所以椭圆的离心率. 故选：A． 48．（23-24高二上·山东聊城·期中）已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A，B两点.若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，设为椭圆的左焦点，连接, 由对称性可得为中点，且为中点， 则四边形为平行四边形， 所以，所以， 取，因为点M到直线l的距离不小于， 所以，解得， 所以， 又因为， 所以椭圆E的离心率的取值范围是. 故选：C. 49．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）是椭圆的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的3倍，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆方程为： 如图，设三角形的周长为， 由椭圆的定义可得 ， 又，解之： 故选：B 定点问题 50．（23-24高二上·山东淄博·期中）阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）.试结合，上述事实现象完成下列问题： (1)有一椭圆型台球桌，长轴长为，短轴长为.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值； (2)过点的直线（直线斜率不为）与焦点在轴，且长轴长为，短轴长为的椭圆交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在，请说明理由； (3)结论:椭图上任点处的切线的方程为.在直线上任一点向（2）中的椭圆引切线，切点分别为，.求证:直线恒过定点. 【解析】（1）由已知，，，∴，，， 不妨假设桌球放置于椭圆左焦点处， ①若桌球击出后，经过球桌边缘反射的位置位于椭圆长轴的右端点， 则第一次返回到左焦点处时，； ②若桌球击出后，经过球桌边缘反射的位置位于椭圆长轴的左端点， 则第一次返回到左焦点处时，； ③若桌球击出后，经过球桌边缘反射的位置位于除椭圆长轴两个端点外的任意一点处， 则第一次返回到左焦点处时，， 综上所述，的值为或或. （2）焦点在轴，且长轴长为，短轴长为的椭圆的标准方程为：， 设过点的直线（直线斜率不为）的方程为：， 则消去，化简得， 设，，则，， ∴当时，是与无关的定值， ∴存在定点，使为定值或定点，使为定值. （3）设，，， 则过所引椭圆切线分别为：：，：， ∵在与上，∴， 即点，的坐标满足方程，点，在直线上， ∴直线的方程为，恒过定点. 51．（23-24高二上·山东·期中）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：    步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕. 现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、. （i）求证：为定值； （ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标. 【解析】（1）由题意可知，， 故点的轨迹是以，为焦点，且长轴长的椭圆， 焦距，所以， 因此轨迹方程为. （2）证明：（i）设，，， 由题可知，如下图所示： 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值. （ii）设直线的方程为，，， 由，得， 所以. 由（i）可知，， 即， 化简得，解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点. 52．（23-24高二下·山东青岛·期中）中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线. 在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线. (1)求曲线C的焦点，的坐标； (2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由. 【解析】（1）方法一：设焦点，， 曲线与x轴正半轴交于点， 由题意知， 于是，， 因此，； 方法二：设焦点，， 由题意知， 即， 整理得，于是，. 因此，，； （2）假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即， 由题意知直线OA，OB斜率均存在， 不妨设直线OA的方程为，直线OB的方程为， 将直线OA的方程与曲线C联立，得， 即. 解得，同理， 因此不可能成立，于是假设不成立， 即曲线C上不存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O. 53．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知轨迹上任一点与定点的距离和到定直线的距离的比为. (1)求轨迹的方程，并说明轨迹表示什么图形？ (2)设点，过点且斜率为的动直线与轨迹交于两点，直线分别交圆于异于点的点，设直线的斜率为，直线的斜率分别为. ①求证：为定值； ②问：直线是否过一定点，若过，请求出定点；若不过，请说明理由. 【解析】（1）设是点到定直线的距离， 由题意，动点的轨迹就是集合， 则， 化简得，即， 所以轨迹是长轴长､短轴长分别为的椭圆； （2）①设直线的方程为， 与联立得，， 设，则， 所以 ； ②设直线的方程为， 与联立得，， 设，则， 所以 ， 由题意知，即， 所以，此时， 所以直线的方程为， 故直线恒过定点. 轨迹问题 54．（23-24高二上·山东临沂·期中）设是圆：上的一动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用垂直平分线的性质有，由结合线段的几何关系得，根据椭圆的定义即可写出点的轨迹方程.∵线段的垂直平分线交线段于点， ∴，而， ∴，又，，即是到定点距离和为定长6的动点， ∴由椭圆第一定义知：且长轴在y轴上，故的轨迹方程为， 故选：B 55．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知点，，动点到直线的距离为，，则（    ） A．点的轨迹是圆 B．点的轨迹曲线的离心率等于 C．点的轨迹方程为 D．的周长为定值 【答案】C 【解析】点，，动点到直线的距离为，， 设动点的坐标为，可得：， 化简得点的轨迹方程为， 所以的轨迹是椭圆，所以A错误，C正确； 离心率为：，所以B不正确； △的周长为定值：，所以D不正确； 故选：C． 56．（23-24高二上·山东聊城·期中）已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，，记点关于折痕的对称点为A，折痕相交于点， 则点A在圆周上，折痕为线段的垂直平分线，如图所示： 则有，可知， 所以点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆，其中长轴，焦距， 所以， 所以点的轨迹方程，即折痕围成轮廊的圆锥曲线的方程为. 故选：. 57．（23-24高二上·山东威海·期中）平面直角坐标系中，动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为， (1)求点M的轨迹方程． (2)若点，则求的最大值与最小值． 【解析】（1）设， 依题意得， 两边平方化简得，所以M的轨迹方程为； （2），又M点满足，即， 因此， 又， 所以当时，有最小值，所以 当时，有最大值121，所以． 58．（多选题）（23-24高二上·山东临沂·期中）《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，则下列结论正确的是（    ） A．动点的轨迹方程为 B．直线为成双直线 C．若直线与点的轨迹相交于两点，点为点的轨迹上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则 D．点为点的轨迹上的任意一点，，，则面积为 【答案】BC 【解析】对A，设，则，即，化简得，故A错; 对B，联立，消去得，，故直线上存在这样的点， 所以为成双直线，故B正确; 对C，设，则，所以 ，故C正确. 对D，易得分别为椭圆的左右焦点，， 设，根据余弦定理得， 解得，则， （或根据结论得面积为，）故D错误. 故选：BC. 59．（23-24高二上·山东青岛·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设动圆的圆心，半径为， 又由圆得，圆心，半径， 由圆得，圆心，半径， 由已知得，两式相加消去可得， 根据椭圆定义可得动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，设为 其中， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 定值问题 60．（23-24高二上·山东日照·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形． (1)求C的标准方程； (2)M，N为C上且在x轴上方的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，因为四边形是面积为8的正方形， 所以有且，解得，故， 所以椭圆的标准方程为； （2）由已知，则， 设，因为， 所以． 又因为，所以， 所以 ． 即． 设，的方程分别为：，， 设，， 则， 所以， 因此， 同理可得：，因此，， 所以． 所以为定值，定值为． 61．（23-24高二上·山东德州·期中）已知椭圆C：的右焦点为，点Q为椭圆C上任意一点，且的最小值为． (1)求椭圆的C标准方程； (2)设椭圆：，过点Q作椭圆C的切线交椭圆于M，N两点，求证：（O为原点）的面积为定值，并求出此定值． （注：在椭圆C：上一点的切线方程为） 【解析】（1）设，则， 记，由于对称轴为，且，且， 故在单调递减，故当时，此时，取最小值为， 故的最小值为，故， ， 故椭圆的方程为， （2）设，则过的切线方程为：， 方程为：， 联立， 由于在椭圆上，所以 设, 当切线无斜率时，则方程为，此时或，故 此时; 设切线有斜率时，设斜率为，且 则， 故，原点到切线的距离， 故， 代入 得： ， 综上，的面积为定值10. 62．（23-24高二上·山东日照·期中）如图，已知椭圆的左、右顶点为、，又、与椭圆短轴的一个端点组成的三角形面积为.圆的圆心为椭圆的左顶点.    (1)求椭圆的方程； (2)当圆半径时，过椭圆外一点垂直于轴的圆的切线为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线分别交于、两点，求的最小值； (3)圆A与椭圆交于点、.点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点.求证：为定值. 【解析】（1）由题意知、与椭圆短轴的一个端点组成的三角形的面积为， 又因为，则，，因此，椭圆的方程为. （2）直线，由已知、， 设直线的斜率为，则的方程为， 联立，解得，得， 设点，其中，则， 则，所以，， 所以直线的方程为，所以， ，当且仅当时等号成立. 此时线段长度的最小值是. （3）设、、， 则直线的方程为， 令，得，同理，故， 又点与点在椭圆上，故，， 得， 所以为定值. 63．（23-24高二上·山东济南·期中）已知椭圆（）的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程 (2)分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和，与交于，与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点 ①求证：； ②求证：定值. 【解析】（1）椭圆的的离心率为，所以， 椭圆过点，所以，即， 因此椭圆的标准方程为； （2）①当直线和中有一条没有斜率时，另一条的斜率为零，此时点是或者是，显然成立， 当直线存在斜率且不为零时，设为，所以直线的斜率为， 因为，坐标原点是线段的中点， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（不包括两焦点）， 综上所述：点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，因此， 显然，显然成立， ②当直线和中有一条没有斜率时，由于椭圆的对称性，不妨设直线不存在，因此直线的斜率为零， ，把时，，所以， 显然，所以定值； 当直线存在斜率且不为零时，设为，所以直线的斜率为， 直线的方程为：，于是有，设， ， ， 同理可得：， 于是定值， 综上所述：定值. 64．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知轨迹上任一点与定点的距离和到定直线的距离的比为， (1)求轨迹的方程，并说明轨迹表示什么图形？ (2)设过点且斜率为的动直线与轨迹交于，两点，且点，直线，分别交圆于异于点的点，，设直线的斜率为，问是否存在实数，使得，若存在求出值，若不存在请说明理由． 【解析】（1）设是点到定直线的距离， 由题意，动点的轨迹就是集合， 则，化简得，即． 所以轨迹是长轴、短轴分别为，4的椭圆． （2）存在实数，使得． 设，，，，直线的方程为． 直线的方程为与联立 得， 由，解得， 又，即，代入上式得 即点，同理点 所以 将，代入上式得 ， 即，所以． 椭圆范围与最值问题 65．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其离心率.若P是椭圆上任意一点，A是椭圆的右顶点，则的周长为 ，的最大值为 . 【答案】 【解析】因为椭圆的离心率，所以，又，即，所以，. 所以，，，， 设椭圆上的一点，则， 所以当时，取得最大值， 故答案为：8；. 66．（23-24高二上·山东聊城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为和，的下顶点为，直线，点在上. (1)若，线段的中点在轴上，求的坐标； (2)椭圆上存在一个点，到的距离为，使，当变化时，求的最小值. 【解析】（1）由题意可得， ，， 的中点在轴上，则由中点坐标公式可知：的纵坐标之和为0， 的纵坐标为，代入得：. （2）设，则由题意得： 则， 或 ，或, 据此可得，或, 整理可得，或, 解得， 又， 从而，即的最小值为. 67．（23-24高二上·山东德州·期中）已知圆M：，点，P是圆M一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q． (1)求点Q的轨迹方程C； (2)若点A是曲线C上的动点，求的最大值（其中O为坐标原点）． 【解析】（1）圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程； （2）设，则， 进而① 又，所以，将其代入①得 ， 由椭圆的有界性可知 ，所以当 时，取最大值 68．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知是椭圆的左焦点，点为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ；的最小值为 ． 【答案】 8 【解析】椭圆中，，，则， 设右焦点为，则，离心率， 则，所以， 所以，当且仅当在的延长线与椭圆的交点时取等号； 又椭圆左准线方程为， 设到左准线的距离为，则，所以， 所以， 当且仅当在过点作左准线的垂线与椭圆的交点时取等号.. 故答案为：； 69．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的最小值为 ．若点M，N分别是圆和椭圆C上的动点，当椭圆C的离心率取得最小值时，的最大值是 ． 【答案】 【解析】如图所示： 当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时， P对两个焦点的张角渐渐增大， 当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值， 由椭圆上存在一点P，使得，可得中，， 可得中，， 所以，即， 所以椭圆离心率e的最小值，由，，， 解得，， 圆的圆心，半径， ，， 而当取得最大值时，取得最大值， 所以当共线时，取得最大值， 所以， , 故答案为：， 70．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知椭圆，过点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐标原点，若点O在以AB为直径的圆外，则直线l的斜率k的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意，直线l斜率存在，设方程为，， 联立方程，得， 由，得，，． 坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，即为，即， ∴ ， 解得，又∵， 可得，即． 故答案为：． 椭圆中的面积问题 71．（23-24高二上·山东济南·期中）已知点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线与轨迹交于不同的两点，，则的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意知：，， ， 由椭圆定义知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，可知，，即，，则 所以点的轨迹方程为； （2）存在； 设，，不妨设， 由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为， 联立，得， 则 由韦达定理知， ， 当且仅当，即时的面积取得最大值 此时直线的方程为 72．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于E，F两点，H为线段EF的中点. (1)求椭圆的方程; (2)已知点，且，求直线的方程. (3)点为直线上一点，且不在轴上，是椭圆长轴的两个端点，直线与椭圆C的另外一个交点分别为M，N，设的面积分别为，求的最大值. 【解析】（1）由椭圆的定义得，因为，所以， 在中，由余弦定理得， 即， 又，即，代入整理得，解得，所以， 所以椭圆的方程为:. （2）由题意，设的方程为:，且， 联立方程组，整理得， 则且， 所以，则， 因为，所以，即， 整理得，因为，可得或， 直线的方程为或者. （3）设且，则，， 联立方程组，整理得，可得， 同理可得，联立，整理得，可得， 所以， 令，则， 当，即，即时，取得最大值. 73．（23-24高二上·山东青岛·期中）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.    (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，. （i）证明：点B在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 【解析】（1）由题知，椭圆的焦点为，， 故可设椭圆的方程为，将点代入可得， 解得， 所以椭圆得方程为. （2）（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，； 根据题意可知直线斜率均存在，且，； 所以直线的方程为，的方程为； 联立直线和椭圆方程，消去可得； 由韦达定理可得，解得，则； 联立直线和椭圆方程，消去可得； 由韦达定理可得，解得，则； 则，； 所以； 即可知为钝角，所以点B在以为直径的圆内； （ii）易知四边形的面积为， 设，则，当且仅当时等号成立； 由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以，可得， 所以时，四边形的面积最大为6，此时点的坐标为， 由对称性可知，即当点的坐标为或时， 四边形的面积最大，最大值为6. 74．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆，①直线过的右焦点，椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍，②点，都在上，③四点，，，中恰有三点在椭圆上． 在以上三个条件中任选一个，解答下列问题． (1)求椭圆的标准方程： (2)设，，是椭圆上不同于，的两点（其中在轴上方），若直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求四边形面积的最大值． 【解析】（1）若选①设椭圆的焦距为，直线恒过定点，所以． 椭圆的下顶点到直线的距离， 由题意得解得，． 所以椭圆的标准方程为； 若选②因为，都在上，所以解得 所以椭圆的标准方程为； 若选③由对称知：，都在椭圆上，对于椭圆在第一象限的图像上的点， 易知是的减函数，故，只有一个点符合，显然不在椭圆上， 所以，，三点在椭圆上，所以， 将代入椭圆方程可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设直线的斜率为，即直线的方程为， 联立直线与椭圆方程化简整理可得， ， 设，由韦达定理可得，，即，， 因为直线的斜率等于直线的斜率的倍， 所以可得直线的方程为， 联立直线与椭圆方程 化简整理可得， ， 设，由韦达定理可得，即，， 由对称性，不妨设， 则四边形的面积 ， 令，则，当且仅当，即，等号成立， 则，故的最大值为． 75．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点在椭圆上，且， ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 【解析】（1）由题意可得：， 解得：， 故椭圆方程为：. （2）①设点. 因为，，即 由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程为， 联立，消去并整理得：， 根据，代入整理可得： ， 将代入，得， 整理得：，解得或， 因为时直线恒过定点，不合题意，舍去， 所以，直线恒过定点. ②由①知，直线的方程为：， 点到直线的距离， 联立，消去并整理得：， ， 所以的面积， 令，则，， ， 因为，所以时面积最大，最大值为. 76．（23-24高二上·山东聊城·期中）已知椭圆和圆分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线与圆相切. (1)求椭圆的方程； (2)已知，过T的直线与椭圆交于M，N两点，求面积的最大值. 【解析】（1）由题意可知.① 设，则由与圆相切，得，即.② 将①②代入解得. ∴椭圆的方程为. （2）由题意知直线的斜率存在且不为0. 设直线的方程为， 代入椭圆方程，整理得， 由，可得. 由韦达定理，得， ∴的面积 . 当且仅当，即时（此时适合的条件）取得等号. 故面积的最大值为. 77．（23-24高二上·山东·期中）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且长轴长为8，为椭圆是异于，的点，满足的周长为12． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 【解析】（1）由题意得，所以. 因为的周长为12，所以，所以， 故. 所以椭圆的方程为． （2）由题意，直线不与轴重合，故设直线的方程为， 由，得， ，即， ，．所以， 又点到直线的距离．所以， 所以（当且仅当时等号成立，且满足）. 故面积的最大值为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$