精品解析：湖南省岳阳市第九中学2024-2025学年 八年级上学期入学考试数学试题

数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知则下列结论错误的是( ) A B. C. D. 5. 若一个三角形的两边长分别为4和9，则第三边长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 五边形的内角和是 B. 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 8. 如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是线段上一点，连接，，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，是等边三角形，点是边上一点，连接，点是上一点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子的结果为（ ） A t B. －t C. D. 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 白细胞是我们体内的重要免疫细胞，负责保护我们免受病原体的侵害．据研究，白细胞直径约为0.000012米，0.000012用科学记数法表示为______． 13. 如图，在中，、相交于点O，，，，的周长为______． 14. 若关于x的方程有增根，则m的值为____________． 15. 对于三个数a，b，c，我们规定表示这三个数中最大的数.例如，若，则x的取值范围是________． 16. 如图，在中，先后分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交于于点，交于于点，交于的延长线于点，连接，已知，则______． 17. 如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点P的运动时间为t秒，当为锐角三角形时，t的取值范围是______． 18. 定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”若，，，则边上的“中高距”为______． 三．解答题（本大题共8小题，共66分，解答题应写出详细过程和解答步骤） 19. 计算 （1）计算：． （2）解不等式组：，并写出它所有负整数解． 20. 先化简，再求值，其中． 21. 如图，与相交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、、，给出以下三个等量关系：①，②，③．请你以其中两个为条件，另一个为结论，组成一个真命题，并证明． （1）条件：______，结论：______；（填序号） （2）写出你的证明过程． 22. 已知的平方根是，是的立方根，是的整数部分． （1）求的值； （2）若是的小数部分，求的平方根． 23. 如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 24. 某服装店购进一批甲、乙两种款式时尚恤衫，甲种款式共用了7200元，乙种款式共用了12000元，乙种款式的件数是甲种款式件数的2倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价多20元． （1）甲、乙两种款式的恤衫各购进了多少件？ （2）该网店在两种服装进价的基础上都提高标价销售，一段时间后，甲种款式全部售完，乙种款式还剩一半，商家决定对余下的乙种款式按标价的五折出售，若售完后获利不少于6720元，求的取值范围． 25. 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，，； 再根据平方根的定义可得： ，，； 请回答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；（n正整数）=______． ② ______；当时，化简______． （2）应用：求；的值． （3）拓广：求值． 26. 【基础问题】 （1）如图1所示，在和中，，，． ① 求证：． ② 若，则的度数为______． 【类比迁移】 （2）如图2所示，和是等腰直角三角形，，若，求四边形的面积． 【应用拓展】 （3）如图3所示，是等腰直角三角形，，，，则长的最大值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义逐项分析即可． 【详解】A．是分数，属于有理数，故不符合同意； B．3.14是小数，属于有理数，故不符合同意； C．是整数，属于有理数，故不符合同意； D．是无理数，故符合同意； 故选D． 【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 2. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，掌握分式值等于0，分子等于0，分母不等于0是解题的关键． 根据分式值等于0，分子等于0，分母不等于0，列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得：， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式的运用，根据二次根式的加减法法则对A选项、D选项进行判断，根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断，根据平方差公式对C选项进行判断即可． 【详解】解：A、，，不能合并，原式不正确，不符合题意； B、，原式不正确，不符合题意； C、，原式不正确，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 4. 已知则下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，可得答案，熟练掌握不等式的性质是关键． 【详解】解：A、不等式的两边都加，不等号的方向不变，得到，故此选项正确，不符合题意； B、不等式的两边都加1，不等号的方向不变，得到，故此选项正确，不符合题意； C、不等式的两边都除以b，不知道b的符号，无法判定与的大小，故此选项错误，符合题意； D、不等式两边都先乘以，不等号的方向改变，得到，故此选项正确，不符合题意； 故选：C． 5. 若一个三角形的两边长分别为4和9，则第三边长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【详解】解：依题意，设第三边为x 则， 即， 观察A、B、C、D四个选项，符合，只有D选项， 故选：D． 6. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用， 先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出此不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可．解此题的关键是能正确求出不等式的解集． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 系数化为1得，， ∴该不等式的解集为， 在数轴上表示出它的解集为： 故选：D． 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 五边形的内角和是 B. 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角 C. 一组对边平行，另一组对边相等四边形是平行四边形 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，三角形外角性质，平行四边形的判定，角平分线性质定理，根据多边形内角和公式，三角形外角性质，平行四边形的判定，角平分线性质定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、五边形的内角和，本选项正确，不符合题意； B、三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，本选项正确，不符合题意； C、一组对边平行且相等四边形是平行四边形，本选项错误，符合题意； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项正确，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是线段上一点，连接，，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，根据三角形中位线定理得到，根据题意求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：D，E分别是，的中点， ， ， ， ， ，E是的中点， ， 故选：D． 9. 如图，是等边三角形，点是边上一点，连接，点是上一点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，三角形全等判定与性质等知识．根据等边三角形性质得到，即可B选项正确；若，则，根据可以得到A选项错误；延长交于点F，证明，得到，根据，得到，得到C选项错误；证明，，从而得到，得到D选项错误． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，故B选项正确，符合题意； 若，则， ∵， ∴A选项错误，不符合题意； 如图，延长交于点F， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D选项错误，不符合题意． 故选：B 10. 已知，，，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子的结果为（ ） A. t B. －t C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意求出、、、，并从中找出循环节为、、，求出每一个循环节三个数的乘积，即可求出答案． 本题考查了数字类规律探究，以及分式的计算，解题的关键是正确找出题中的规律． 【详解】∵， ， ， 结果每3个一循环，循环节为、、， ∵， ∴从到一共673个循环，且余2， ， ， ． 故选：B 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x≥-1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】由题意可知x+1≥0， ∴x≥-1． 故答案为：x≥-1． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键． 12. 白细胞是我们体内的重要免疫细胞，负责保护我们免受病原体的侵害．据研究，白细胞直径约为0.000012米，0.000012用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 13. 如图，在中，、相交于点O，，，，的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，根据平行四边形性质可求出，，，进而可求出最后结果． 【详解】四边形为平行四边形，、相交于点O， ，，， 的周长为， 故答案为：16． 14. 若关于x的方程有增根，则m的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程有增根，得到，把分式方程化为整式方程，把代入整式方程中，即可求得m的值． 【详解】， 去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴，， 把代入上述整式方程， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是熟练掌握增根使分式方程的公分母为0，是分式方程去分母后得到的整式方程的根． 15. 对于三个数a，b，c，我们规定表示这三个数中最大的数.例如，若，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，在中，先后分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交于于点，交于于点，交于的延长线于点，连接，已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由尺规作图得出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形性质得到，，再根据，得到，从而得出，求得，即可求得，然后由三角形外角性质求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角性质．由尺规作图得出垂直平分是解题的关键． 17. 如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点P的运动时间为t秒，当为锐角三角形时，t的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，分两种情况：当时，当时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况， 当，如图， 在中，，， ， 当，如图， 在中，，， ， 当时，为锐角三角形， ， 故答案为：． 18. 定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”若，，，则边上的“中高距”为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，根据含角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质得，可得，由即可求解． 【详解】解：为边上的高线， ， ， ，，， ，， ， ， 为边上的中线， ， ， 故答案为：． 三．解答题（本大题共8小题，共66分，解答题应写出详细过程和解答步骤） 19. 计算 （1）计算：． （2）解不等式组：，并写出它的所有负整数解． 【答案】（1） （2），负整数解有：，， 【解析】 【分析】本题考查了实数运算，负整数指数幂，零指数幂，开方数和绝对值，一元一次不等式组的求解，熟练掌握运算法则以及方法是解答本题的关键． （1）首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）分别解不等式组的①和②，得到不等式组的解集为，再求负整数解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 解不等式①得，， 解不等式②得，， 原不等式组的解集为， 不等式组的负整数解有：，，． 20. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键，先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法，约分即可，再把代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 21. 如图，与相交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、、，给出以下三个等量关系：①，②，③．请你以其中两个为条件，另一个为结论，组成一个真命题，并证明． （1）条件：______，结论：______；（填序号） （2）写出你的证明过程． 【答案】（1）②③，①（答案不唯一） （2）证明见解析 【解析】 【分析】考查了命题与定理的知识，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理性质是解题关键． （1）根据条件，选择两个条件推出结论的真命题，即可； （2）根据等角对等边得到，结合题意得到，利用可证明，即可得到． 【小问1详解】 解：条件：②③，结论：①， 故答案为：②③，①；（答案不唯一） 【小问2详解】 证明：， ， 点E、F分别为、的中点， ， 在与中， ， ， ． 22. 已知的平方根是，是的立方根，是的整数部分． （1）求的值； （2）若是的小数部分，求的平方根． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值，代入计算即可得出答案； （）先得出的值，即可得出结果； 本题考查了平方根，立方根概念，熟练掌握平方根，立方根概念及运算是解题的关键． 【小问1详解】 ∵的平方根是， ∴， ∵是的立方根， ∴， ∵是的整数部分，而， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（）可知，的整数部分是， ∵是的小数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 23. 如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）26 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，再根据勾股定理求出的长，再求出，求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ，即， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， .， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 【点睛】此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，角平分线的定义，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 24. 某服装店购进一批甲、乙两种款式时尚恤衫，甲种款式共用了7200元，乙种款式共用了12000元，乙种款式的件数是甲种款式件数的2倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价多20元． （1）甲、乙两种款式的恤衫各购进了多少件？ （2）该网店在两种服装进价的基础上都提高标价销售，一段时间后，甲种款式全部售完，乙种款式还剩一半，商家决定对余下的乙种款式按标价的五折出售，若售完后获利不少于6720元，求的取值范围． 【答案】（1）甲60件，乙120件 （2） 【解析】 【分析】本题考查可分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）等量关系式：甲种款式每件进价乙种款式每件进价20元，据此列方程，求解，检验，即可求解； （2）不等关系式：甲种款式的获利乙种款式的获利元，据此列不等式，求解，即可求解； 找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲件，则乙（）件，由题意得 ， 解得， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， （件）， 答：甲款式的T恤衫购进了60件，乙款式的T恤衫购进了120件． 【小问2详解】 解：甲每件元， 乙每件元， ， 解得； 故的取值范围为． 25. 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，，； 再根据平方根的定义可得： ，，； 请回答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；（n为正整数）=______． ② ______；当时，化简______． （2）应用：求；的值． （3）拓广：求的值． 【答案】（1）①；（n为正整数）；②； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，根据题意正确分母有理化以及化简二次根式是解答本题的关键． （1）①根据题干提供的方法进行分母有理化即可；②分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可； （2）每项进行分母有理化然后进行求解即可； （3）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简分母有理化，最后合并即可． 【小问1详解】 解：①； ； 故答案为：；（n为正整数）； ②； ； 故答案为：；； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ， ． 26. 【基础问题】 （1）如图1所示，在和中，，，． ① 求证：． ② 若，则度数为______． 类比迁移】 （2）如图2所示，和是等腰直角三角形，，若，求四边形的面积． 【应用拓展】 （3）如图3所示，是等腰直角三角形，，，，则长的最大值为______． 【答案】（1）①见解析；②；（2）四边形的面积为18；（3） 【解析】 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质得出；②由全等三角形的性质得出，则可得出答案； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，证出，则可得出答案； （3）过A作等腰直角，，连接，，可得，由（1）可知，由，可得，进而可以解决问题． 【详解】解：（1）①证明：， ，即， ，， ， ； ②解：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）和是等腰直角三角形， ，， .， 在和中， ， ， ， 设与交于点F，与交于点O， ， ， ， 四边形的面积； （3）如图，过点A作等腰直角，，连接，， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，四边形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$