高一数学期中考试模拟卷02-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

高一数学期中考试模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．，若，则实数的取值集合为（      ） A． B． C． D． 2．《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 5．已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 7．设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为区间，其中，，若的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C． D． 10．已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是2 B．的最小值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 11．若正整数，只有为公约数，则称，互质．对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．，是正整数 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合满足，则满足条件的集合的个数为 . 13．某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元. 14．设是定义域为，满足，若对任意的，都有不等式成立，且，则不等式解集是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）若集中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 16．（15分） 夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 17．（15分） 若函数的定义域是，且对任意的，都有成立． (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式，并画出函数图象； (3)在条件（2）前提下，解不等式． 18．（17分） 已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 19．（17分） 已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学期中考试模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．，若，则实数的取值集合为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，或，∴或， 由集合元素互异性可知， 则实数的取值集合为. 故选：A. 2．《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必， 所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件， 故选：B 3．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题， 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 4．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】B 【解析】因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误； 因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确. 故选：B 5．已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 6．若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 7．设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集， 当时，，即的值域为， 若，则，即的值域为，而，符合要求； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 综上所述，. 故选：B. 8．已知函数的定义域为区间，其中，，若的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以二次函数的图象是开口向上的抛物线，且过原点，对称轴为：，顶点坐标为：. ①    为使最大，则应该尽量大，尽量小，如下图所示： 此时，因为函数的值域为，所以. 所以，且，即为方程的两根. 由. 所以，所以. 即的最大值为； ②    为使最小，应该在抛物线对称轴的同侧，根据抛物线的对称性，不妨在抛物线右侧.如下图： 此时，且. 由， 由， 所以（当且仅当即时取“”，但所以等号取不到） 所以. 综上可知：. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由图可知阴影部分所表示的集合为，C正确，B,D错误， 因为，， 所以，故A正确. 故选：AC 10．已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是2 B．的最小值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 【答案】AD 【解析】A. ，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确. B. ，当且仅当时等号成立，故选项B错误. C. ，当且仅当时等号成立，故选项C错误. D.因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：AD 11．若正整数，只有为公约数，则称，互质．对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．，是正整数 【答案】AC 【解析】∵小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， 小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， ∴，故A正确； ∵当时，，故B错误； ∵小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， ，，，，，，，，，，，，共有个， ∴，故C正确； ∵当时，，故D错误． 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合满足，则满足条件的集合的个数为 . 【答案】16 【解析】由已知可得，一定是集合的元素，所以只需要考虑剩余元素出现在集合中的情况即可． 又集合的子集个数为，所以所有满足条件的集合的个数是16． 故答案为：16． 13．某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元. 【答案】 【解析】因为水池的容积为，深为，所以底面积为， 设水池池底的一边长为，则另一边长为， 则总造价 （元）. 当且仅当，即时，取最小值为. 所以水池的最低造价为元. 故答案为：. 14．设是定义域为，满足，若对任意的，都有不等式成立，且，则不等式解集是 ． 【答案】 【解析】是定义域为，关于原点对称, 又，所以是奇函数， 因为，， 设，则， 所以， 所以， 令，则在上单调递增， 又， 所以在上为偶函数， 所以在上单调递减， ， 所以当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以解集是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）若集中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【解析】（1）情形一：若，则中只有这一个元素，故符合题意； 情形二：若，且集合中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得； 综上所述，实数的所有取值可能为：，； （2）， 情形一：当时，，此时满足，故符合题意； 情形二：当时，， 若要，则当且仅当或， 解得或； 综上所述，实数的值可能是：，，. 16．（15分） 夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 【解析】（1）由题意得，每件短袖补衫A的利润为（元）， 所以 ， 当时，取到最大值，最大值为2450元． （2）设A与的总利润为（单位：元）， 则， 得，得． 故打七折时，A售价最小，A售价的最小值为元/件． 17．（15分） 若函数的定义域是，且对任意的，都有成立． (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式，并画出函数图象； (3)在条件（2）前提下，解不等式． 【解析】（1）令可得：，故， 令可得：，故． 又函数的定义域是，故函数为奇函数． （2）令，则，故 ， 又，所以，， 综上可知，． 故函数图像如下： （3）由（2）可知，函数为上的增函数， 因为． 所以． 所以，解得或． 18．（17分） 已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【解析】（1）由已知的解集为，且， 所以是方程的解， 所以，， 所以，， 所以不等式可化为， 所以， 故不等式的解集为. （2）因为， 所以 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 即当且仅当， 时等号成立； 所以的最小值为； （3）因为对任意，不等式恒成立， 所以，， 所以，， ， 令，则，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 19．（17分） 已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【解析】（1）设， 又 即， ， 解得， 即， （2）由题意得，， 则二次函数的对称轴为， 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 所以； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在， 使得成立， 即， 作如下图形： 故是单调递减函数， ，当时，， 当时，， ， ， ， 因为 所以时取最大值， 所以不等式， 解得：或； 综上所述：或． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$