第十四章 整式的乘法与因式分解（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第十四章 整式的乘法与因式分解（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．与运算结果相等的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．通过计算图中阴影部分的面积，可以验证的等式为（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（    ） A． B． C．2 D． 7．已知，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．3 D．2 8．已知，，，则代数式的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 9．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，，第2022次输出的结果为（  ）． A．3 B．18 C．12 D．6 10．下列四种说法中正确的有（    ） ①． ②若两个不等实数a、b满足，则、互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．因式分解： ． 12．计算： ． 13．如果成立，则的值为 ． 14．如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地密码连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是 ． 15．如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，则阴影部分的面积为 ． 16．已知实数x，y，z满足，，则 ． 17．已知，则 ． 18．已知，且互不相等，则 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）计算． (1)． (2)． 20．（10分）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 21．（10分）因式分解： (1)； (2)． 22．（10分）已知展开的结果中，不含和项．（，为常数） (1)求，的值； (2)先化简，再求值：．（，利用（）结果） 23．（10分）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道 (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知，剩余草坪面积是216平方米，求通道的宽度是多少米？ 24．（10分）我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式“”变形成或等形式， 问题：若x满足，求的值． 我们可以作如下解答；设，，则， 即：． 所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． 25．（10分）如图，将边长的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法：______，方法：______； (2)从中你发现什么结论呢？____________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 26．（10分）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； （3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．与运算结果相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方．根据积的乘方：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘进行计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．根据整式相关运算的法则逐项判断即可 【详解】解：，故A错误，不符合题意； ，故B正确，符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D错误，不符合题意； 故选：B． 3．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是把这个多项式因式分解． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案． 【详解】解：A．，该选项不符合题意； B．没把一个多项式转化成几个整式的积，不属于因式分解，故此选项不符合题意； C．是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意； D．是把一个多项式转化成几个整式的积，属于因式分解，故此选项符合题意． 故选：D． 4．通过计算图中阴影部分的面积，可以验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据阴影部分的面积为两个正方形的面积之差，还可以表示为两个梯形的面积，由此即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：图中阴影部分面积可以表示为， 还可以表示为， ∴， 故选：A． 5．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 6．计算的结果是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方的逆运用以及同底数幂相乘的逆运用，先整理，再运用积的乘方的逆运用进行计算，即可作答． 【详解】解： 故选：D 7．已知，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解以及代数式求值，将转化为是解题关键．将转化为，然后将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 8．已知，，，则代数式的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查了代数式求值，完全平方公式的运用，正确掌握完全平方公式是解题的关键．先分别计算，再将多项式根据完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ， 故选：C． 9．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，，第2022次输出的结果为（  ）． A．3 B．18 C．12 D．6 【答案】D 【分析】首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次、第8次输出的结果各是多少，总结出规律，然后判断出第2022次输出的结果为多少即可． 【详解】解：第1次输出的结果为：15＋3＝18， 第2次输出的结果为：×18＝9， 第3次输出的结果为：9＋3＝12， 第4次输出的结果为：×12＝6， 第5次输出的结果为：×6＝3， 第6次输出的结果为：3＋3＝6， …， 从第4次开始，以6，3依次循环， ∵（2022−3）÷2＝2019÷2＝1009…1， ∴第2022次输出的结果为6． 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，代数式求值，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 10．下列四种说法中正确的有（    ） ①． ②若两个不等实数a、b满足，则、互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键． 根据整式的混合运算，完全平方公式进行一一判断即可求解； 【详解】解：①； 故①错误； ②，整理得， 即得：，由于实数，不相等，即得出、互为相反数， 故②正确； ③整理得， 即得， 即， 故③正确； ④由， 可得， 即可变形为：， 可以得到或， 故④错误； 故选：B 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的的方法是解题的关键． 提公因式n，然后利用公式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．直接根据积的乘方法则进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 13．如果成立，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查多项式的乘法，根据多项式乘多项式的运算法则可得，接下来与已知等式对比可得，据此求出k值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 14．如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地密码连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是 ． 【答案】 【分析】此题考查了幂的运算，根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．依此即可求解．熟知幂的运算发现规律是关键． 【详解】解：， 则密码为：， 故答案为：． 15．如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据大正方形面积减两个三角形面积即可得阴影部分面积． 【详解】解：由图可知：大正方形面积减两个三角形面积即可得阴影部分面积： 即阴影部分面积为： ， ∵，， ∴ ∴， ∴阴影部分面积为：． 故答案为：． 16．已知实数x，y，z满足，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了整式得混合运算及完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，由，，得，从而，根据偶次方的非负性得，，，代入即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 17．已知，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、解二元一次方程组、代数式求值等知识点，灵活运用因式分解求得成为解题的关键． 先根据已知条件求得，再解方程组可得，最后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，解得：， ∴． 故答案为：2025． 18．已知，且互不相等，则 ． 【答案】 【分析】通过已知条件，找到的关系：，，，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了代数式求值以及因式分解等知识，利用已知条件找到是解题关键． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分）计算． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式混合运算，熟练掌握幂的运算法则解题的关键． （1）先根据积的乘方与幂的乘方法则计算，再根据同底数幂相乘法则计算，最后合并同类项即可； （2）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂相乘法则计算，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（10分）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式运算中的化简求值： （1）先进行完全平方公式和平方差公式的运算，然后合并同类项，再代值计算即可； （1）先进行完全平方公式和多项式乘以多项式的运算，然后合并同类项，再代值计算即可． 【详解】（1）解：原式， 当时，； （2）原式 ； 当时，原式． 21．（10分）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 22．（10分）已知展开的结果中，不含和项．（，为常数） (1)求，的值； (2)先化简，再求值：．（，利用（）结果） 【答案】(1)，； (2)；． 【分析】（）先根据多项式乘以多项式得，展开的结果中，不含和项，可得，，计算求解即可； （）根据平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式得，将，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵展开的结果中，不含和项， ∴，， 解得，； （2）解： ， 将，代入得， 原式． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，代数式求值等知识，熟练掌握多项式乘多项式，多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 23．（10分）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道 (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知，剩余草坪面积是216平方米，求通道的宽度是多少米？ 【答案】(1)平方米 (2)2米 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则，属于中考常考题型． （1）根据通道的面积两个长方形面积中间重叠部分的正方形的面积计算即可． （2）根据剩余草坪的面积大长方形面积通道的面积，求得剩余草坪的面积，再根据，剩余草坪的面积是216平方米，列出方程求解即可． 【详解】（1）解： （平方米）． 答：通道的面积共有平方米； （2）解： ， ， （平方米）， ， （米． 答：通道的宽度是2米． 24．（10分）我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式“”变形成或等形式， 问题：若x满足，求的值． 我们可以作如下解答；设，，则， 即：． 所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． 【答案】(1)120 (2)2021 【分析】（1）设，，再求的值，然后借助完全平方公式求值． （2）设，，再求出的值，然后借助完全平方公式求值． 【详解】（1）设，， 则， 所以， （2）设，， 则 所以， 【点睛】本题考查完全平方公式的变式应用，解决本题的关键是理解题目所给的变形方式并正确应用． 25．（10分）如图，将边长的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法：______，方法：______； (2)从中你发现什么结论呢？____________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）方法可采用两个正方形的面积和；方法可以用大正方形减去两个长方形的面积； （2）由（1）得，两种方式表示的面积是相等的，即可得出结论； （3）①由（2）的结论，代入计算即可；②设，，则，，再根据（2）中结论的变形可得，代入即可得解． 【详解】（1）解：依题得： 方法：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和， ； 方法：阴影部分面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积， ． 故答案为：；． （2）解：由（1）得，． 故答案为：． （3）解：①由题意得：， ， ， 又， ． ②设，， 则有，， 由（2）得：， ， 即． 【点睛】本题考查的知识点是完全平方公式的几何背景、通过对完全平方公式变形求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 26．（10分）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； （3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由，，整体代入得出答案即可． 此题主要考查了分组分解法，提取公因式法，公式法分解因式，以及整体代入法求代数式的值，正确分组再运用提公因式法或公式法分解因式，是解决问题的关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 当，时，原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$