第十四章 整式的乘法与因式分解（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第十四章 整式的乘法与因式分解（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．计算：结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是同底数幂相乘，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则． 根据同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，即可求解． 【详解】解：． 故选：． 2．下列从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：．，等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，是用完全平方公式进行的因式分解，故该选项符合题意； 故选：D. 3．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公因式的定义，多项式的公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，据此求解即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：C． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，利用合并同类项法则、同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、同底数幂相除法则逐项判定即可． 【详解】解∶A．与不是同类项，不可以合并，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 5．计算的结果是（    ） A． B．－32 C．0 D．78 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，先把原式变形为，再利用平方差公式去括号即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：C． 6．下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．根据平方差公式的特点直接可得到答案． 【详解】解：A、两个二项式中都是相反的项，不符合平方差公式的特点； B、两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式的特点； C、两个二项式中没有完全相同的项，不符合平方差公式的特点； D、两个二项式中有一项完全相同，另一项不是互为相反数，不符合平方差公式的特点； 故选：B． 7．如图将 4 个长、宽分别均为 a 和 b 的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，根据图形先求出拼接后大正方形的边长为，小正方形的边长为，再由阴影部分的面积关系建立等式即可 【详解】解：由图可知，拼接后大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴阴影部分的面积, ∵阴影部分的面积是4个小长方形的面积和， ∴阴影部分的面积, ∴， 故选：C 8．按如图所示的运算程序，能使输出y值为5的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了根据条件求代数式值问题，解答的关键在于根据条件正确地代入代数式及代入的值．根据所给程序运算，逐个判断即可． 【详解】解：A．当，时，，不合题意； B．当，时，，不合题意； C．当，时，，不合题意； D．当，时，，符合题意； 故选：D． 9．计算等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法运算，直接利用整式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解： 故选C． 10．已知多项式和（m，n为常数），以下结论中正确的是（    ） ①当且时，无论y取何值，都有； ②当时，所得的结果中不含一次项； ③当时，一定有； ④若且，则； ⑤若，且x，y为整数，则． A．①②④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】主要是运用整式的运算法则及因式分解等知识对各项进行一一判断即可． 【详解】①当且时，A+B=， ∵无论y取何值，总有， ∴无论y取何值，都有， 故①正确； ②当时，， ∴所得的结果中不含一次项； 故②正确； ③当时，， 其结果与0无法比较大小， 故③错误； ④若且，则， 变形得：， ∴x=1，y=-1， ∴x=-y， 故④错误； ⑤若，且x，y为整数， 则 变形得：， 因式分解得：， ∵x，y为整数，则必有． 故⑤正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查的是整式运算及因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握运用乘法公式进行计算及因式分解． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．将因式分解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了综合提公因式以及公式法分解因式， 先提公因式3，再利用平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．已知，，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先根据幂的乘方的逆运算求出，再根据同底数幂乘法的逆运算求解即可．熟知相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：15． 13．已知，则 ． 【答案】1.5 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，根据，利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：1.5 14．若，则 . 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式：，根据完全平方公式得出，，所以，即，求出，熟记公式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 15．若代数式是完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．根据完全平方式的结构特点进行解答即可． 【详解】解：∵多项式是完全平方式，即： ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 16．因式分解后，一个因式为，则另一个因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，根据一个因式为添加项凑即可得到答案； 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 17．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式求值，公式法因式分解，利用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：， 当，时，原式． 故答案为：． 18．若的展开式中不含和项，求 ， ． 【答案】 3 8 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，利用法则展开并合并同类项后，根据展开式中不含和项得到 即可求出答案． 【详解】解： ∵展开式中不含和项， ∴ 解得 故答案为：3，8 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分） （）计算：． （）计算：． 【答案】（）；（）． 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）利用同底数幂的乘法、积的乘方分别运算，再合并同类项即可； （）利用同底数幂的乘法、积的乘方分别运算，再合并同类项即可． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 20．（10分）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是∶ （1）利用多项式乘以多项式法则，平方差公式展开，然后合并同类项即可； （2）利用多项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（10分）分解因式： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握乘法公式以及提公因式是解本题的关键． （1）提取公因式分解即可； （2）先将原式变形为，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（10分）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据可得，再将代入，即可求得答案； （2）将原式整理为，然后将，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴． 23．（10分）如图为某公园绿地平面图（长度单位：m）． (1)计算绿地面积S（用含a的式子表示） (2)当时，求绿地面积S． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘以多项式的应用，利用面积的计算列出代数式是解决问题的关键． （1）根据图形表示出绿地面积即可； （2）将的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题图可知，绿地面积 （2）当时，． 24．（10分）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式 解：原式 请阅读理解上面解法后，解决下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)①；② (2)9 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题关键是首先把多项式正确的分组，然后利用公式法即可解决问题． （1）①将后三项分为一组，后三项符合完全平方公式特征，分解后再用平方差公式分解即可； ②将一、二两项分一组，三、四两项分一组，分别用提取公因式法因式分解，再提取整体，即得答案； （2）先用②的方法因式分解得，再将，代入，即得答案． 【详解】（1）①解： ； ②解： ； （2）解： ， ，， ， 的值为9． 25．（10分）综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）分别用代数式表示图形中阴影部分的面积即可； （2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图形中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，也可以拼成为，高为的平行四边形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）原式 ． （3）原式 ． 26．（10分）阅读材料：对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 利用上述“配方法”分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）将原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； 本题考查了因式分解，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．计算：结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（    ） A． B．－32 C．0 D．78 6．下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 7．如图将 4 个长、宽分别均为 a 和 b 的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数式是（    ） A． B． C． D． 8．按如图所示的运算程序，能使输出y值为5的是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．计算等于（    ） A． B． C． D． 10．已知多项式和（m，n为常数），以下结论中正确的是（    ） ①当且时，无论y取何值，都有； ②当时，所得的结果中不含一次项； ③当时，一定有； ④若且，则； ⑤若，且x，y为整数，则． A．①②④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．③④⑤ 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．将因式分解为 ． 12．已知，，则的值为 ． 13．已知，则 ． 14．若，则 . 15．若代数式是完全平方式，则 ． 16．因式分解后，一个因式为，则另一个因式是 ． 17．已知，，则的值为 ． 18．若的展开式中不含和项，求 ， ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（8分） （）计算：． （）计算：． 20．（10分）计算： (1)． (2) 21．（10分）分解因式： (1) ； (2)． 22．（10分）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 23．（10分）如图为某公园绿地平面图（长度单位：m）． (1)计算绿地面积S（用含a的式子表示） (2)当时，求绿地面积S． 24．（10分）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式 解：原式 请阅读理解上面解法后，解决下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)已知，，求的值． 25．（10分）综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 26．（10分）阅读材料：对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 利用上述“配方法”分解因式： (1)； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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