专题8 全等三角形常考的八种模型-2024-2025学年八年级数学提优专题训练及试卷测试（人教版）

专题8 全等三角形常考的八种模型（原卷版） 类型一 平移模型 1．太阳光线AC和DE是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△DFE的依据是 　 　． 2．已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件： ①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF． （1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）． （2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF． 类型二 对称模型 3．如图，CA＝CB，AD＝BD，M、N分别是CA、CB的中点，若△ADM的面积为3，则图中阴影部分的面积为 　 　． 4．如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠OAD＝∠OAE． 类型三 角平分线模型 5．如图，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为F，若∠CAB＝30°，∠B＝50°，则∠BDE的度数为 　 　． 6．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和37，则△EDF的面积为　 　． 7．已知△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O． （1）直接写出∠BOC与∠A的数量关系； （2）若∠A＝60°，利用（1）的关系，求出∠BOC的度数； （3）利用（2）的结果，试判断BE，CD，BC的数量关系，并证明． 8．已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BO交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝2，DF＝4，求线段DB的长． 类型四 不共点旋转模型 9．如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是 　 　，根据你添加的条件证明全等的依据是 　 　． 10．如图①所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD． （1）请猜想线段EG，FG的数量关系，不用说明理由． （2）若将△DEC的边EC沿CA方向移动，变为图②时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由． 类型五 共顶点旋转模型（手拉手模型） 11．如图，在△ABC中，点E在BD延长线上，已知AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，∠ABD＝25°，∠CAE＝35°，则∠AED的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．70° 12．如图，已知AB⊥AC于点A，AD⊥AE于点A，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：∠D＝∠E； （2）∠B的度数为 　 　． 13．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF． （1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：∠BFA＝∠AFE． 14．如图1，△ABD和△AEC均为等边三角形，连接BE、CD． （1）请判断：线段BE与CD的大小关系是　 　； （2）观察图2，当△ABD和△AEC分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变？ （3）观察图3和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形，猜想类似的结论是　 　，在图4中证明你的猜想； （4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明），如图5，BB1与EE1的关系是　 　；它们分别在哪两个全等三角形中　 　；请在图6中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点，能构造出两个全等三角形？ 15．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点B，C重合），把线段AD绕着点A逆时针旋转至AE（即 AD＝AE），使得∠DAE＝∠BAC，连接DB，CE． （1）如图（1），点D在线段BC上，若∠BAC＝90°，则∠BCE＝　 　； （2）如图（2），当点D在线段BC上时，若∠BAC＝60°，请求出∠BCE的度数． （3）如图（3），设∠BAC＝α，∠BCE＝β，当点D在直线BC上移动时，请直接写出α，β的数量关系，不用证明． 类型六 一线三垂直模型 16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝2，则EF的长度为 　 　． 17．如图，F、G、H在直线AC上，EF∥BG∥DH，BG⊥AC，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD． （1）求证：△FEA≌△GAB； （2）请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 类型七 一线三等角模型 18．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC和AC上一点，AD＝DE，AB＝9，AE的垂直平分线交BC于点D，若∠ADE＝∠B＝∠C，CD＝3BD，则CE的值为 　 　． 19．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题： ①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，求证：BE＝CF； ②如图2，若∠α+∠BCA＝180°，探索三条线段EF、BE、AF的数量关系，并证明你的结论； （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明． 类型八 婆罗摩笈多模型 20．如图，在锐角△ABC中，AF是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE、DE、DC，DE与FA的延长线交于点G，下列5个结论：①BE＝DC；②BE⊥DC；③AE＝EG；④∠DAG＝∠ABC；⑤S△ABC＝S△ADE．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 21．已知如图，AD＝AB，AC＝AE，∠ACB＝∠DAB＝90°，且AG⊥DG，AE∥CB，AC、DE交于点F． （1）求证：∠DAC＝∠B； （2）求证：DG＝AE； （3）猜想线段AF、BC的数量关系是 　 　，请说明理由． 22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC、BE，点P为DC的中点． （1）观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是 　 ，位置关系是 　 　； （2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由； （3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝6，BC＝10，请直接写出线段AP长的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8 全等三角形常考的八种模型（解析版） 类型一 平移模型 1．太阳光线AC和DE是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△DFE的依据是 　AAS　． 【思路引领】根据AAS证明三角形全等即可． 【解答】解：∵AC∥DE， ∴∠ACB＝∠DEF， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（AAS）． 故答案为：AAS． 【总结提升】本题考查全等三角形的判定，平行投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件： ①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF． （1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）． （2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF． 【思路引领】（1）根据两三角形全等的判定定理，选择合适的条件即可． （2）根据（1）中所选条件，进行证明即可． 【解答】解：（1）由题知， 选择的三个条件是：①②③； 或者选择的三个条件是：①③④． 证明：（2）当选择①②③时， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 当选择①③④时， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【总结提升】本题考查全等三角形的证明，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 类型二 对称模型 3．如图，CA＝CB，AD＝BD，M、N分别是CA、CB的中点，若△ADM的面积为3，则图中阴影部分的面积为 　6　． 【思路引领】连接CD，利用SSS证明△ACD≌△BCD，根据全等三角形的性质及三角形面积公式求解即可． 【解答】解：如图，连接CD， 在△ACD和△BCD中， ， ∴△ACD≌△BCD（SSS）， ∴S△ACD＝S△BCD， ∵M、N分别是CA、CB的中点， ∴S△ADM＝S△CDM＝S△ACD，S△BDN＝S△CDN＝S△BCD， ∴阴影部分的面积＝2S△ADM， ∵△ADM的面积为3， ∴阴影部分的面积＝2×3＝6， 故答案为：6． 【总结提升】本题考查了三角形的面积，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4．如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠OAD＝∠OAE． 【思路引领】由∠ADC＝∠AEB＝90°，得∠ODB＝∠OEC＝90°，而∠BOD＝∠COE，OB＝OC，即可证明△BOD≌△COE，得OD＝OE，而OA＝OA，则Rt△AOD≌Rt△AOE，得∠OAD＝∠OAE，所以AO平分∠BAC． 【解答】证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠ODB＝∠OEC＝90°， 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OD＝OE， 在Rt△AOD和Rt△AOE中， ， ∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL）， ∴∠OAD＝∠OAE． 【总结提升】此题重点考查全等三角形的判定与性质，证明△BOD≌△COE及Rt△AOD≌Rt△AOE是解题的关键． 类型三 角平分线模型 5．如图，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为F，若∠CAB＝30°，∠B＝50°，则∠BDE的度数为 　50°　． 【思路引领】根据三角形的内角和求出∠ACB＝90°，利用三角形全等，求出DC＝DE，再利用外角求出答案． 【解答】解：∵∠CAB＝30°，∠B＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∵CE⊥AD， ∴∠AFC＝∠AFE＝90°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠CAD＝∠EAD＝×30°＝15°， 在△ACF与△AEF中， ， ∴△ACF≌△AEF（ASA） ∴AC＝AE， 在△ACD与△AED中， ， ∴△ACD≌△AED （SAS）， ∴DC＝DE， ∴∠DCE＝∠DEC， ∵∠ACE＝90°﹣15°＝75°， ∴∠DCE＝∠DEC＝∠ACB﹣∠ACE＝100°﹣75°＝25°， ∴∠BDE＝∠DCE+∠DEC＝25°+25°＝50°， 故答案为：50°． 【总结提升】本题主要考查角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键． 6．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和37，则△EDF的面积为　6.5　． 【思路引领】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可． 【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF＝DH， 在Rt△ADF和Rt△ADH中，， ∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）， ∴SRt△ADF＝SRt△ADH， 在Rt△DEF和Rt△DGH中，， ∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴SRt△DEF＝SRt△DGH， ∵△ADG和△AED的面积分别为50和37， ∴37+SRt△DEF＝50﹣SRt△DGH， ∴SRt△DEF＝6.5． 故答案为：6.5． 【总结提升】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．已知△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O． （1）直接写出∠BOC与∠A的数量关系； （2）若∠A＝60°，利用（1）的关系，求出∠BOC的度数； （3）利用（2）的结果，试判断BE，CD，BC的数量关系，并证明． 【思路引领】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （2）把∠A＝60°代入计算即可； （3）在BC上取点G，使得CG＝CD，连接OG，证明△COD≌△COG，根据全等三角形的性质得到∠COG＝∠COD＝60°，再证明△BOE≌△BOG，得到BE＝BG，结合图形证明结论． 【解答】解：（1）∠BOC＝90°+∠A， 理由如下：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°+∠A； （2）当∠A＝60°时，∠BOC＝90°+×60°＝120°； （3）BE+CD＝BC， 证明：在BC上取点G，使得CG＝CD，连接OG， 由（2）知：∠BOC＝120°， ∴∠BOE＝∠COD＝60°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠DCO＝∠GCO， 在△COD和△COG中， ∴△COD≌△COG（SAS） ∴∠COG＝∠COD＝60°， ∴∠BOG＝120°﹣60°＝60°＝∠BOE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBO＝∠GBO， ∴在△BOE和△BOG中， ∴△BOE≌△BOG（ASA） ∴BE＝BG， ∵BG+GC＝BC， ∴BE+CD＝BC． 【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 8．已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BO交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝2，DF＝4，求线段DB的长． 【思路引领】（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可； （3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可． 【解答】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F， ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF， ∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°， ∴∠CBE＝∠CDF， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS） ∴BC＝DC； （2）解：AD﹣AB＝2BE， 理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F， ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF， 在Rt△ACF和Rt△ACE中， ， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL）， ∴AE＝AF， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠CDF＝∠CBE， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS）， ∴DF＝BE， ∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE， ∴AD﹣AB＝2BE； （3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH， ∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB 在△OBH和△OBG中， ， ∴△OBH≌△OBG（SAS） ∴∠OHB＝∠OGB， ∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线， ∴点O到AD，AB，BD的距离相等， ∴∠ODH＝∠ODF， ∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB， ∴∠DOH＝∠DAB＝60°， ∴∠GOH＝120°， ∴∠BOG＝∠BOH＝60°， ∴∠DOF＝∠BOG＝60°， ∴∠DOH＝∠DOF， 在△ODH和△ODF中， ， ∴△ODH≌△ODF（ASA）， ∴DH＝DF， ∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+4＝6． 【总结提升】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 类型四 不共点旋转模型 9．如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是 　AB＝ED　，根据你添加的条件证明全等的依据是 　AAS　． 【思路引领】根据AB∥ED，AC∥FD得到∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，只需添加一组相等的对应边即可． 【解答】解：添加的条件是：AB＝ED．证明如下： ∵AB∥ED，AC∥FD， ∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 故答案为：AB＝ED；AAS． 【总结提升】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 10．如图①所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD． （1）请猜想线段EG，FG的数量关系，不用说明理由． （2）若将△DEC的边EC沿CA方向移动，变为图②时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由． 【思路引领】（1）根据垂直定义可得∠DEC＝∠DEG＝∠AFB＝∠BFG＝90°，再利用等式的性质可得AF＝CE，然后利用HL证明Rt△AFB≌Rt△CED，从而利用全等三角形的性质可得BF＝DE，再根据对顶角相等可得∠BGF＝∠DGE，从而利用AAS证明△BFG≌△DEG，最后利用全等三角形的性质可得GE＝GF，即可解答； （2）利用（1）的思路，即可解答． 【解答】解：（1）GE＝GF， 理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC＝∠DEG＝∠AFB＝∠BFG＝90°， ∵AE＝CF， ∴AE﹣EF＝CF﹣EF， ∴AF＝CE， ∵AB＝CD， ∴Rt△AFB≌Rt△CED（HL）， ∴BF＝DE， ∵∠BGF＝∠DGE， ∴△BFG≌△DEG（AAS）， ∴GE＝GF； （2）上述结论依然成立， 理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC＝∠DEG＝∠AFB＝∠BFG＝90°， ∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， ∴AF＝CE， ∵AB＝CD， ∴Rt△AFB≌Rt△CED（HL）， ∴BF＝DE， ∵∠BGF＝∠DGE， ∴△BFG≌△DEG（AAS）， ∴GE＝GF． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 类型五 共顶点旋转模型（手拉手模型） 11．如图，在△ABC中，点E在BD延长线上，已知AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，∠ABD＝25°，∠CAE＝35°，则∠AED的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．70° 【思路引领】由∠DAE＝∠BAC，得∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，则∠CAE＝∠BAD＝35°，所以∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，因为AD＝AE，所以∠AED＝∠ADE＝60°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，∠ABD＝25°，∠CAE＝35°， ∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD， ∴∠CAE＝∠BAD＝35°， ∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝25°+35°＝60°， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE＝60°， 故选：C． 【总结提升】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的性质等知识，证明∠CAE＝∠BAD＝35°是解题的关键． 12．如图，已知AB⊥AC于点A，AD⊥AE于点A，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：∠D＝∠E； （2）∠B的度数为 　45°　． 【思路引领】（1）根据垂直的定义可得∠BAC＝∠DAE＝90°，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等； （2）根据等腰直角三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵AB⊥AC，AD⊥AE， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE， 即∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠D＝∠E； （2）解：∵AB⊥AC，AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°． 故答案为：45°． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法，并求出∠BAE＝∠CAD是解题的关键，也是本题的难点． 13．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：∠BFA＝∠AFE． 【思路引领】（1）根据SAS证明结论即可； （2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题． 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N． ∵△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE， ∵， ∴AM＝AN， ∴点A在∠BFE平分线上， ∴FA平分∠BFE，即∠BFA＝∠AFE． 【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型． 14．如图1，△ABD和△AEC均为等边三角形，连接BE、CD． （1）请判断：线段BE与CD的大小关系是　BE＝CD　； （2）观察图2，当△ABD和△AEC分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变？ （3）观察图3和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形，猜想类似的结论是　AE＝CG　，在图4中证明你的猜想； （4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明），如图5，BB1与EE1的关系是　BB1＝EE1　；它们分别在哪两个全等三角形中　△AE1E和△AB1B中　；请在图6中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点，能构造出两个全等三角形？ 【思路引领】本题是变式拓展题，图形由简单到复杂，需要从简单图形中探讨解题方法，并借鉴用到复杂图形中；证明三角形全等时，用旋转变换寻找三角形全等的条件． 【解答】解：（1）线段BE与CD的大小关系是BE＝CD； （2）线段BE与CD的大小关系不会改变； （3）AE＝CG． 证明：如图4，正方形ABCD与正方形DEFG中， ∵AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝∠GDE＝90°， 又∠CDG＝90°+∠ADG＝∠ADE， ∴△ADE≌△CDG， ∴AE＝CG． （4）这些结论可以推广到任意正多边形． 如图5，BB1＝EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中， 如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F． 【总结提升】本题综合考查全等三角形、等边三角形和多边形的有关知识．注意对三角形全等的证明方法的发散． 15．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点B，C重合），把线段AD绕着点A逆时针旋转至AE（即 AD＝AE），使得∠DAE＝∠BAC，连接DB，CE． （1）如图（1），点D在线段BC上，若∠BAC＝90°，则∠BCE＝　90°　； （2）如图（2），当点D在线段BC上时，若∠BAC＝60°，请求出∠BCE的度数． （3）如图（3），设∠BAC＝α，∠BCE＝β，当点D在直线BC上移动时，请直接写出α，β的数量关系，不用证明． 【思路引领】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠B，得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠B＝60°，计算即可； （3）分三种情况讨论：当点D在线段BC上；当点D在射线BC上时，当点D在射线BC的反向延长线上时，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°， ∴∠DAE＝∠BAC＝90°， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠ACB＝45°，∠ADE＝∠AED＝45°， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE＝∠B＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， 故答案为：90°； （2）∵∠BAC＝60°， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠ACB＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°， 由（1）得，∠ACE＝∠B＝60°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝120°； （3）α+β＝180°或α＝β．理由如下： ①当点D在线段BC上， ∵∠BAC＝α， ∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣α）， 由（1）得，∠ACE＝∠B＝（180°﹣α）， ∴β＝∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝180°﹣α， ∴α+β＝180°； ②当点D在射线BC上时，如图4，连接CE， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即∠BCE+∠BAC＝180°， ∴α+β＝180°； ③当点D在射线BC的反向延长线上时，如图5，连接BE， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE， ∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°， ∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB， ∴∠BAC＝∠BCE． ∴α＝β； 综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β． 【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 类型六 一线三垂直模型 16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝2，则EF的长度为 　2　． 【思路引领】先证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝2，进一步可得EF的长． 【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BEA＝∠AFC＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠FAC＝90°， ∴∠FAC＝∠ABE， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴AF＝BE，AE＝CF， ∵BE＝4，CF＝2， ∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝2， ∴EF＝AF﹣AE＝4﹣2＝2， 故答案为：2． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 17．如图，F、G、H在直线AC上，EF∥BG∥DH，BG⊥AC，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD． （1）求证：△FEA≌△GAB； （2）请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【思路引领】（1）利用AAS证明△AEF≌△BAG，即可解决问题； （2）由△AEF≌△BAG，同理得△BCG≌△CDH，即可求得AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH，即可求得梯形DEFH的面积和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面积，即可解题． 【解答】（1）证明：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG， ∴∠EFA＝∠AGB＝∠EAB＝90°， ∴∠FEA+∠EAF＝90°， ∠EAF+∠BAG＝90°， ∴∠FEA＝∠BAG， 在△FEA和△GAB中， ， ∴△FEA≌△GAB（AAS）； ∴AG＝EF＝8，AF＝BG＝4， （2）解：∵△FEA≌△GAB（AAS）， ∴AG＝EF＝8，AF＝BG＝4， 同理△BCG≌△CDH（AAS）， ∴CG＝DH＝6，BG＝CH＝4， ∴FH＝4+8+6+4＝22， ∴梯形EFHD的面积是×（EF+DH）×FH＝×（8+6）×22＝154， ∴实线所围成的图形的面积＝S梯形EFHD﹣S△EFA﹣S△ABC﹣S△DHC ＝154﹣×8×4﹣×（8+6）×4﹣×4×6 ＝98． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，本题中求证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH是解题的关键． 类型七 一线三等角模型 18．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC和AC上一点，AD＝DE，AB＝9，AE的垂直平分线交BC于点D，若∠ADE＝∠B＝∠C，CD＝3BD，则CE的值为 　3　． 【思路引领】证明△ABD≌△DCE（AAS），得CD＝AB＝9，BD＝CE，再求出BD＝3，即可得出结论． 【解答】解：∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的垂直平分线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD＝9， ∴BD＝3， ∴CE＝BD＝3， 故答案为：3． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 19．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题： ①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，求证：BE＝CF； ②如图2，若∠α+∠BCA＝180°，探索三条线段EF、BE、AF的数量关系，并证明你的结论； （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明． 【思路引领】（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CBE＝∠ACF，根据AAS得到△BCE≌△CAF，推出BE＝CF即可； ②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS得到△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可； （2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS得到△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可． 【解答】（1）①证明：∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°， ∴∠BEC＝∠AFC＝90°， ∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°， ∴∠CBE＝∠ACF， 在△BCE和△CAF中， ， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝CF； ②解：EF＝BE﹣AF． 证明：∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α+∠ACB＝180°， ∴∠CBE＝180°﹣∠BCE﹣∠α， ∠ACF＝∠ACB﹣∠BCE＝180°﹣∠α﹣∠BCE， ∴∠CBE＝∠ACF， 在△BCE和△CAF中， ， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝CF，CE＝AF， ∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF； （2）解：EF＝BE+AF． 理由：∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA， 又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°， ∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF， ∴∠EBC＝∠ACF， 在△BEC和△CFA中， ， ∴△BEC≌△CFA（AAS）， ∴AF＝CE，BE＝CF， ∵EF＝CE+CF， ∴EF＝BE+AF． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△BCE≌△CAF是解题的关键． 类型八 婆罗摩笈多模型 20．如图，在锐角△ABC中，AF是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE、DE、DC，DE与FA的延长线交于点G，下列5个结论：①BE＝DC；②BE⊥DC；③AE＝EG；④∠DAG＝∠ABC；⑤S△ABC＝S△ADE．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【思路引领】①由已知条件可证明△ADC≌△ABE，可得到CD＝BE； ②设BE和AC交于点R，可知∠AEB＝∠ACD，结合对顶角和三角形内角和定理，可得到∠ENC＝90°； ③过D作DH⊥AF交AF的延长线于H，过E作EM⊥AG于M，根据余角的性质得到∠H＝∠AFB，求得∠HDA＝∠BAF，证得△AHD≌△ABF，根据全等三角形的性质得到DH＝AF，同理EM＝AF，等量代换得到DH＝EM，根据全等三角形的性质的得到DG＝EG，当∠DAE＝90°时，AE＝EG，即可判断③； ④根据全等三角形的性质即可得到结论； ⑤根据S△ABC＝S△ABF+S△ACF，△AHD≌△ABF，△AEM≌△ACF，可得S△ADE＝S△ADG+S△EGM+S△AEM＝S△ADH+S△AEM，进而可得结论． 【解答】解：①∵△ABD和△ACE为等腰直角三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAC＝∠EAB， 在△ADC和△ABE中， ， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴CD＝BE；故①正确； 设BE交AC于点R，CD，BE交于N如图1， 由①可知∠AEB＝∠ACD，且∠ARE＝∠NRC， ∴∠AER+∠ARE＝∠NCR+∠NRC， ∴∠ENC＝∠EAR＝90°， ∴BE⊥DC；故②正确； ③过D作DH⊥AF交AF的延长线于H，过E作EM⊥AG于M， ∵AF⊥BC， ∴∠AFB＝90°， ∴∠H＝∠AFB， ∵∠BAD＝90°， ∴∠HDA＝∠BAF， 在△AHD与△ABF中， ， ∴△AHD≌△ABF（AAS）， ∴DH＝AF， 同理△AEM≌△ACF（AAS）， ∴EM＝AF， ∴DH＝EM， 在△DHG与△EMG中， ， ∴△DHG≌△EMG（AAS）， ∴DG＝EG， ∴AG是△ADE的中线， 当∠DAE＝90°时，AE＝EG，故③错误； ④∵△AHD≌△ABF， ∴∠DAG＝∠ABC，故④正确； ⑤∵S△ABC＝S△ABF+S△ACF，△AHD≌△ABF，△AEM≌△ACF， ∴S△ADE＝S△ADG+S△EGM+S△AEM＝S△ADH+S△AEM， ∴S△ABC＝S△ADE.故⑤正确． 综上所述：①②④⑤，共4个． 故选：B． 【总结提升】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 21．已知如图，AD＝AB，AC＝AE，∠ACB＝∠DAB＝90°，且AG⊥DG，AE∥CB，AC、DE交于点F． （1）求证：∠DAC＝∠B； （2）求证：DG＝AE； （3）猜想线段AF、BC的数量关系是 　BC＝2AF　，请说明理由． 【思路引领】（1）由平行线的性质可得出结论； （2）证明△ADG≌△BAC（AAS），由全等三角形的性质得出DG＝AC；AG＝BC，则可得出结论； （3）证明△AEF≌△GDF（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝GF＝AG＝BC，则可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DAB＝90°，AE∥BC， ∴∠CAE＝180°﹣∠ACB＝90°，∠B＝∠BAE， ∴∠DAC＝90°﹣∠BAC＝∠BAE， ∴∠DAC＝∠B； （2）证明：∵AG⊥DG， ∴∠AGD＝∠ACB＝90°， 在△ADG和△BAC中， ， ∴△ADG≌△BAC（AAS）， ∴DG＝AC，AG＝BC， ∵AC＝AE， ∴DG＝AE； （3）解：BC＝2AF． 理由： 在△AEF和△GDF中， ， ∴△AEF≌△GDF（AAS）， ∴AF＝GF＝AG＝BC， ∴BC＝2AF． 故答案为：BC＝2AF． 【总结提升】本题是三角形综合题，考查了三角形的全等判定和性质、平行线的性质，证明△ADG≌△BAC是解题的关键． 22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC、BE，点P为DC的中点． （1）观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是 　　，位置关系是 　AP⊥BE　； （2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由； （3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝6，BC＝10，请直接写出线段AP长的取值范围． 【思路引领】（1）如图1中，设PA交BE于点O．证明△DAC≌△EAB（SAS），结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）结论成立．如图2中，延长AP到J，使得PJ＝PA，连接JC．延长PA交BE于O．证明△EAB≌△JCA（SAS），即可解决问题． （3）利用三角形的三边关系求出AJ的取值范围，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，设PA交BE于点O． ∵AD＝AE，AC＝AB，∠DAC＝∠EAB， ∴△DAC≌△EAB（SAS）， ∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE， ∵∠DAC＝90°，DP＝PC， ∴PA＝CD＝PC＝PD， ∴PA＝BE．∠C＝∠PAE， ∵∠CAP+∠BAO＝90°， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴PA⊥BE， 故答案为：，AP⊥BE； （2）成立．，AP⊥BE． 理由如下： 延长AP到J，使得PJ＝PA，连接JC．延长PA交BE于O， ∵PA＝PJ，PD＝PC，∠APD＝∠CPJ， ∴△APD≌△JPC（SAS）， ∴AD＝CJ，∠ADP＝∠JCP， ∴AD∥CJ， ∴∠DAC+∠ACJ＝180°， ∵∠BAC＝∠EAD＝90°， ∴∠EAB+∠DAC＝180°， ∴∠EAB＝∠ACJ， ∵AB＝AC，AE＝AD＝CJ， ∴△EAB≌△JCA（SAS）， ∴BE＝AJ，∠CAJ＝∠ABE， ∵PA＝AJ， ∴PA＝BE， ∵∠CAJ+∠BAO＝90°， ∴∠ABE+∠BAO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴PA⊥BE． （3）∵△AED，△ABC都是等腰三角形，DE＝6，BC＝10， ∴AD＝AE＝3，AC＝AB＝5， 由（2）可知CJ＝AD＝3，∵AC＝5， ∴5≤AJ≤5， ∴2≤AJ≤8， ∵AJ＝2AP， ∴≤PA≤4． 【总结提升】本题考查几何变换的综合题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$