专题3.2 旋转中三种几何模型十三类题型（模型梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题3.2 旋转中三种几何模型十三类题型（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型图形归纳与题型目录】 【模型1】等边三角形旋转模型 在正中，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的、、三条线段集中于图（1-1-b）中的一个中，此时也为正三角形。 【模型2】正方形旋转模型 在正方形中，为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的、、三条线段集中于图（2-1-b）中的中，此时为等腰直角三角形。 【模型3】等腰直角三角形旋转模型 在等腰直角三角形中，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个为等腰直角三角形。 模型类型与题型目录 【模型1】等边三角形旋转模型 【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段长....................................2； 【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度......................................3； 【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积......................................3； 【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理....................................4； 【模型2】正方形旋转模型 【题型5】利用正方形的旋转模型求角度........................................4； 【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长......................................5； 【题型7】利用正方形的旋转模型求面积........................................5； 【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理......................................6； 【模型3】等腰直角三角形旋转模型 【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求线段长..............................7； 【题型10】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度...............................7； 【题型11】利用等腰直角三角形的旋转模型求面积...............................8； 【题型12】利用等腰直角三角形的旋转模型进行推理.............................8； 【题型13】拓展与延伸.......................................................9. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段长 【例1】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是 ． 【变式】（2024·河南驻马店·三模）如图，在等边三角形中，，点P在上，且将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，．当 时，的长为 ． 【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度 【例2】（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，是等边三角形，是边上任意一点（与点不重合），经顺时针旋转后与重合．连接，则 度；设，则的度数为 度（用含有的代数式表示）．    【变式】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，连接，．若，，，则的度数是 ． 【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积 【例3】（2024·广东河源·一模）等边三角形的边长为2，将该三角形绕顶点在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式】（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，是等边三角形，点P在内，，将绕点A逆时针旋转得到，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理 【例4】（2024九年级·全国·竞赛）如图，在等边中，点为上一点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C．的周长是 D．是等边三角形 【变式】（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，，和交于点P．则下列结论中正确的是（　　）    A． B．与不平行 C．可以看作是平移而成的 D．和都是等边三角形 【题型5】利用正方形的旋转模型求角度 【例5】（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知正方形，P是正方形内一点．若，， ，则的度数为 ；的面积为 ． 【变式】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，为正方形内一点，，，，则 ． 【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长 【例6】（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（    ） A． B．1.5 C． D． 【变式】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，边长为的正方形绕点C顺时针旋转后得到正方形， 交于点H，则的长是 ． 【题型7】利用正方形的旋转模型求面积 【例7】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正方形的边长为1；将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如图，边长为1的正方形绕点A顺时针旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理 【例8】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数，使得；④取中点，连接，，的面积随着的增大而增大．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接，下列结论：；四边形是正方形，若，则；若，其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求线段长 【例9】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转后，能与重合，连接，如果，那么的长等于（　　） A． B． C． D． 【变式】（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图，是等腰直角三角形内一点，是斜边，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，如果，那么的长是 ．    【题型10】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度 【例10】（2024·山东聊城·三模）如图，点D是等腰直角三角形内的一点，且，，将绕点 A按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F．若，则 ．    【变式】（22-23八年级下·江苏·开学考试）如图，在等腰直角三角形中，，是内一点，，，，那么 度． 【题型11】利用等腰直角三角形的旋转模型求面积 【例11】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在等腰直角三角形的斜边上取异于的两点，使，则以为边的三角形的面积为 ． 【变式】（23-24八年级下·福建·期末）将直角边长为的等腰直角三角形绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ． 【题型12】利用等腰直角三角形的旋转模型进行推理 【例11】（22-23八年级上·四川宜宾·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是边上的动点（不与点B、C重合），与交于点F，连接．下列结论：①；②;③；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在的延长线上，且的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是 ．    【变式】（2023·天津河北·二模）如图，已知为等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D．是等边三角形 第三部分【拓展延伸】 【题型13】拓展延伸 【例1】如图，P在等边△ABC内且∠APC＝120°，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2024九年级·全国·竞赛）如图，和都为等腰直角三角形，点在上，点在的延长线上，，现将绕点旋转，得到，连接，过点作，垂足为点，直线交于点，则线段的长度为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 旋转中三种几何模型十三类题型（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型图形归纳与题型目录】 【模型1】等边三角形旋转模型 在正中，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的、、三条线段集中于图（1-1-b）中的一个中，此时也为正三角形。 【模型2】正方形旋转模型 在正方形中，为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的、、三条线段集中于图（2-1-b）中的中，此时为等腰直角三角形。 【模型3】等腰直角三角形旋转模型 在等腰直角三角形中，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个为等腰直角三角形。 模型类型与题型目录 【模型1】等边三角形旋转模型 【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段长....................................2； 【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度......................................5； 【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积......................................7； 【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理....................................9； 【模型2】正方形旋转模型 【题型5】利用正方形的旋转模型求角度.......................................11； 【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长.....................................14； 【题型7】利用正方形的旋转模型求面积.......................................16； 【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理.....................................18； 【模型3】等腰直角三角形旋转模型 【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求线段长.............................23； 【题型10】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度..............................24； 【题型11】利用等腰直角三角形的旋转模型求面积..............................26； 【题型12】利用等腰直角三角形的旋转模型进行推理............................28； 【题型13】拓展与延伸......................................................30. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段长 【例1】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据题意证明，即可求解． 解：，都是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【变式】（2024·河南驻马店·三模）如图，在等边三角形中，，点P在上，且将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，．当 时，的长为 ． 【答案】或 【分析】延长交于点H，由等边三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定可得，利用勾股定理求得，根据旋转的性质分两种情况讨论：当点Q在线段上时；当点Q在线段的延长线上时，求出的值，再利用勾股定理求解即可． 解：如图，延长交于点H， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q， ∴， 当点在线段上时，， ∴， 当点Q在线段的延长线上时，， ∴，故答案为：或 ． 【点拨】本题考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理、旋转的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度 【例2】（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，是等边三角形，是边上任意一点（与点不重合），经顺时针旋转后与重合．连接，则 度；设，则的度数为 度（用含有的代数式表示）．    【答案】 60 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，图形旋转的性质，三角形内角和定理、外角和定理的运用，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，旋转的性质可得，可判定是等边三角形，根据，及三角形外角的性质即可求解． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵旋转与重合， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵旋转后与重合， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，是外角， ∴， ∴， 故答案为：， ． 【变式】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，连接，．若，，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理的计算是解题的关键． 根据等边三角形，旋转的性质可证是等边三角形，可得，由此可证，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，结合即可求解． 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵绕点旋转得， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴， 故答案为： ． 【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积 【例3】（2024·广东河源·一模）等边三角形的边长为2，将该三角形绕顶点在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，可得，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，，由三角形的面积公式可求解． 解：如图，设与的交点为，   将该三角形绕顶点在平面内旋转， ，， ，， ，， ， ， ， ， 旋转后的图形与原图形重叠部分的面积，故选：A 【变式】（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，是等边三角形，点P在内，，将绕点A逆时针旋转得到，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质推出，根据旋转的性质得出，推出，求出，得出是等边三角形，即可求出答案． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转得到 ∴， ∴， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， 过点Q作于点E，如图，则， 由勾股定理得， ∴的面积= 故选：C． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出是等边三角形，注意“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，每个角都等于60°． 【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理 【例4】（2024九年级·全国·竞赛）如图，在等边中，点为上一点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C．的周长是 D．是等边三角形 【答案】A 【分析】根据等边三角形得性质得和，由旋转的性质得和，则为等边三角形，则，结合三角形外角定理得和，可判定，由等边三角形和旋转得，可判定，由旋转得，等边三角形的性质得，可得． 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 则，故A错误； ∵为等边三角形， ∴， ∵绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， 则，故B正确； ∵绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，故C正确； ∵绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形，故D正确； 故选：A． 【点拨】本题主要考查等边三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形外角定理和平行线的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的性质和旋转的性质． 【变式】（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，，和交于点P．则下列结论中正确的是（　　）    A． B．与不平行 C．可以看作是平移而成的 D．和都是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，平移的性质，熟练掌握旋转的性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．设与相交于点，根据旋转可得：，从而可得，进而可得和都是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而可得，进而可得，再利用三角形内角和定理，以及对顶角相等可得，最后根据，可得和不全等，从而利用平移的性质可得不可以看作是平移而成的，即可解答. 解：如图: 设与相交于点，    由旋转得:， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴和不全等, ∴不可以看作是平移而成的, 故不符合题意，符合题意， 故选: D. 【题型5】利用正方形的旋转模型求角度 【例5】（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知正方形，P是正方形内一点．若，， ，则的度数为 ；的面积为 ． 【答案】 【分析】将绕点B顺时针旋转，使得与重合，根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，然后求出，再根据勾股定理逆定理判定出是直角三角形，然后求出的度数，再根据旋转的性质可得，过点B作，垂足为H，过点C作，垂足为G，证明是等腰直角三角形，求出，进而求出，易得是等腰三角形，推出，求出，即可求解． 解：如图，将绕点B顺时针旋转，使得与重合， 则是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵是绕点B顺时针旋转得到， ∴； ，， ， ， 三点共线， 过点B作，垂足为H，过点C作，垂足为G， 是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， 故答案为：135，3． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理逆反定理，正方形性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是本题关键． 【变式】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，为正方形内一点，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了旋转的性质及勾股定理的逆定理，将绕点顺时针旋转并连接，构造两个直角三角形：和，利用勾股定理逆定理解答即可． 解：将绕点顺时针旋转并连接， 将绕点顺时针旋转，得， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长 【例6】（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（    ） A． B．1.5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，连接，证明为等边三角形，求得便可得出结果． 解：连接， 由旋转性质得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵边长为1的正方形， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 【变式】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，边长为的正方形绕点C顺时针旋转后得到正方形， 交于点H，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，考查了正方形的性质. 连接，如图，根据旋转的性质得 再根据“”证明则，然后利用含度的直角三角形三边的关系求出即可得到的长. 解：连接, 如图, ∵边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形， , ∴， 在 和 中 ， ， ， ， 在中， ， ， ， 故答案为 【题型7】利用正方形的旋转模型求面积 【例7】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正方形的边长为1；将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，等腰三角形的判定；依据为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积． 解：正方形的边长为1，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点落在对角线上， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积， 故选：C． 【变式】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如图，边长为1的正方形绕点A顺时针旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质和正方形的性质得出，，利用证明，得出，利用含角的直角三角形的性质及勾股定理求出，根据即可得答案． 解：如图，连接， ∵边长为1的正方形绕点A顺时针旋转到的位置， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质和判定定理是解题关键． 【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理 【例8】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数，使得；④取中点，连接，，的面积随着的增大而增大．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，再根据旋转的性质可得，，从而证得，得到，即可求得，可判断①正确；根据正方形的性质可得的长，再根据可得的长，再利用勾股定理可得，可判断②正确；根据题意列出关于面积的一元二次方程，求得有且只有一个实数，使得，可判断③正确；连接，作于点，可得，由，点为的中点，可得，则，从而求得，可判断④错误；即可解题． 解：四边形是正方形，为对角线， ，，， 线段绕点顺时针旋转得到， ，， 又，， ， 在和中： ， ， ， ， 是直角三角形， 故①正确； 正方形边长为， ， ，，， ， ， 故②正确； 由题可知：， 要，则， 整理得：， 解得：， 有且只有一个实数，使得， 故③正确； 如图，连接，作于点，则， ， 与的边上的高相等， ，点为的中点， ， ， ， 的面积不随着的变化而变化， 故④错误；故选：C． 【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质，直角三角形性质，综合运用以上知识是解题的关键． 【变式】（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接，下列结论：；四边形是正方形，若，则；若，其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断正确；过点作于，由等腰三角形 的性质可得，，由“ ”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，可判断正确；由等边三角形的性质得到，可得，再根据正方形的面积可得，可判断正确；灵活运用以上性质进行推理是解题的关键． 解：设交于，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵将绕点按顺时针方向旋转， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴ 四边形是正方形，故正确； 如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故正确； 若，则， ∵， ∴，即， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，故正确； ∴正确的有， 故选：． 【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求线段长 【例9】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转后，能与重合，连接，如果，那么的长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转前后对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质得出，再根据勾股定理即可解答． 解：∵绕点逆时针旋转后，能与重合，，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式】（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图，是等腰直角三角形内一点，是斜边，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，如果，那么的长是 ．    【答案】 【分析】证明是等腰直角三角形即可解决问题． 解：由旋转可知：， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【题型10】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度 【例10】（2024·山东聊城·三模）如图，点D是等腰直角三角形内的一点，且，，将绕点 A按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F．若，则 ．    【答案】/107度 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，余角的性质，三角形外角的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先由旋转的性质得，，再根据等腰直角三角形的性质和余角性质求得，，然后由三角形外角性质求解即可． 解：由旋转可得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故答案为：． 【变式】（22-23八年级下·江苏·开学考试）如图，在等腰直角三角形中，，是内一点，，，，那么 度． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转，然后连接，可得，，，，证明，可得，从而可得答案． 解：将绕点逆时针旋转，然后连接， 则，，，， ∴，且， 在中， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查的是旋转的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟练的利用旋转的性质解题是关键． 【题型11】利用等腰直角三角形的旋转模型求面积 【例11】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在等腰直角三角形的斜边上取异于的两点，使，则以为边的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】首先把绕点顺时针旋转，得到．连接，可得．进而得到，，，再证明是直角三角形，进而即可得解． 解：把绕点顺时针旋转，得到．连接．则， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴以为边的三角形的面积为， 故答案为： 【点拨】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的性质，旋转的性质，正确作出辅助线后得出直角三角形是解答此题的关键． 【变式】（23-24八年级下·福建·期末）将直角边长为的等腰直角三角形绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积． 设与交于D点，根据旋转角，等腰直角的一锐角，可求，旋转前后对应边相等，对应角相等，，，根据勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式可求阴影部分面积． 解：设与交于D点， 根据旋转性质得，而， ∴， 又∵， ∴， 由勾股定理得，， 即， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 【题型12】利用等腰直角三角形的旋转模型进行推理 【例11】（22-23八年级上·四川宜宾·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是边上的动点（不与点B、C重合），与交于点F，连接．下列结论：①；②;③；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在的延长线上，且的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是 ．    【答案】①②③ 【分析】①正确．证明，可得结论；②正确．根据得到，得到证明即可；③正确．根据得到，根据三角形外角性质，得到，证明即可；④错误．将绕点B顺时针旋转得到，连接，当点A，点P，点N，点M共线时， 值最小，此时，，设，则，构建方程求出t，可得结论． 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故②正确； ∵， ∴， 根据三角形外角性质，得到， ∴， 故③正确； 将绕点B顺时针旋转得到，连接， 根据旋转性质，得到是等边三角形， 当点A，点P，点N，点M共线时， 值最小，此时，，，    设，则，根据题意，得， 解得， 故 故④错误． 故答案为：①②③． 【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 【变式】（2023·天津河北·二模）如图，已知为等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D．是等边三角形 【答案】C 【分析】根据旋转可知，，，则得和是等边三角形，即可作答． 解：根据旋转的性质可知，，， ∴和是等边三角形，故选项D结论正确， ∴，故选项B结论正确； ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，故选项A结论正确， ，故选项 C结论错误，符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，得出和是等边三角形是解答本题的关键． 第三部分【拓展延伸】 【题型13】拓展延伸 【例1】如图，P在等边△ABC内且∠APC＝120°，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将△APC旋转60°到△ADB，由于要求的最小值，我们不断让PA变大，点P往下移，如图1，根据直角三角形中斜边比直角边大，当PE与PB重合时取到最小值，如图2，当PA⊥PB时，取到最小值，此时PA∥BD，PA＝PD，且∠PDB＝60°，可得的最小值． 解：将△APC旋转60°到△ADB，由于要求的最小值，我们不断让PA变大，点P往下移，如图1， 当CP⊥AB时，PA＝PB，＝1，＝， 根据直角三角形中斜边比直角边大，当PE与PB重合时取到最小值， 如图3，当PA⊥PB时，取到最小值，此时PA∥BD，PA＝PD，且∠PDB＝60°， 可得＝． 故选：D． 【点拨】本题考查等边三角形的性质，垂线段最短，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中压轴题． 【例2】（2024九年级·全国·竞赛）如图，和都为等腰直角三角形，点在上，点在的延长线上，，现将绕点旋转，得到，连接，过点作，垂足为点，直线交于点，则线段的长度为 ． 【答案】或 【分析】分按顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，连接，利用勾股定理，含30度角的直角三角形的特征求出，根据等面积法求出，证明，得到，易得四边形为平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质即可求解． 解：如图1和图2，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，连接， 则有，得， ， 由等面积法有； ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 在图1中，， 在图2中，同理得：． 【点拨】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的特征，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$