专题05 简单几何体易错必刷题型专训（75题25个考点）-2024-2025学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第三册）

专题05 简单几何体易错必刷题型专训（75题25个考点） 【易错必刷一 正棱柱及其有关计算】 1．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（    ） A． B． C．3 D． 2．（23-24高二·全国·课后作业）正六棱柱的高为5，最长的对角线为13，则它的底面积是 . 3．（23-24高二·湖南·课后作业）已知高为5，底面边长为2的正四棱柱中，点O，分别为上下两底面的中心，求与之间的距离． 【易错必刷二 棱柱的展开图及最短距离问题】 1．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 2．（22-23高一·全国·课后作业）在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为 3．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在一本打开的书封面上有一只蚂蚁，在封底有一小块饼干.蚂蚁想爬过书脊到达饼干处.若蚂蚁和饼干离书脊的距离分别为4cm和3cm，书脊的长度是20cm，求蚂蚁爬行的最短路线和最短距离.    【易错必刷三 判断正方体的截面形状】 1．（23-24高二上·上海杨浦·期中）用平面截正方体，截面不可能是（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形 2．（22-23高二上·上海静安·期末）在棱长为的正方体中，，分别是正方形、正方形的中心，则过点，，的平面截正方体的截面面积为 ． 3．（2024高二·全国·专题练习）单位正方体中，和上各有一点E，F，且，过A，E，F作正方体的截面，是否可能是正三角形？正方形？ 【易错必刷四 圆柱的结构特征辨析】 1．（22-23高一·全国·课后作业）圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24高二上·上海黄浦·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点，若直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则线段AB长度的取值范围是 ． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是什么图形？如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状又会是什么图形？请分别画出以上两种情形的示意图． 【易错必刷五 棱柱及其有关计算】 1．（22-23高一·全国·课后作业）长方体中，，，则此长方体的对角线长是（    ） A．2 B． C． D． 2．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知长方体的长､宽､高分别为1､2､3，则长方体的体对角线长为 . 3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知斜三棱柱底面为正三角形，边长为，若顶点在底面的射影恰为底面中心，且，求三棱柱的高． 【易错必刷六 柱体体积的有关计算】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）设正四棱柱的一条对角线长为3，它的四个侧面与两个底面的面积之和是16，则它的体积是（    ） A．4 B．8 C． D．4或 2．（23-24高二·上海·课堂例题）若正六棱柱的高为4，底面边长为2，则这个正六棱柱的体积是 ． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，设圆柱有一个内接棱柱（即棱柱的侧棱都是圆柱的母线，棱柱的两个底面分别在圆柱的两个底面内）．已知圆柱的体积是，棱柱的底面是边长为2的正三角形．求棱柱的体积． 【易错必刷七 圆柱轴截面的有关计算】 1．（23-24高二·全国·课后作业）用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）． A．32 B． C． D． 2．（23-24高二上·上海闵行·阶段练习）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，则此圆柱的底面的面积是 . 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知一个圆柱的体积为，轴截面面积为，求这个圆柱的半径和高． 【易错必刷八 棱柱表面积的有关计算】 1．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二·上海·课堂例题）将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，其表面积增加了 ． 3．（2023高二上·上海·专题练习）现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求：该直四棱柱的侧面积、表面积；【注：体对角线是连接棱柱上下底面、不在同一侧面的两顶点的连线】 【易错必刷九 圆柱表面积的有关计算】 1．（23-24高一下·全国·课后作业）已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的全面积为 ． 3．（2023高二上·上海·专题练习）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作个全等的矩形骨架，总计耗用铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）；当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到）． 【易错必刷十 正棱锥及其有关计算】 1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（    ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 2．（22-23高一·全国·课后作业）华裔建筑师贝聿铭为卢浮宫设计的玻璃金字塔是一个底面边长为30米的正四棱锥，其四个玻璃侧面的面积约1500平方米，则塔高约为 米． 3．（23-24高一·全国·课后作业）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，求该正三棱锥的高及侧面上的斜高． 【易错必刷十一 棱锥的展开图】 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，，如图，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的侧面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为 ．    3．（2023高一·全国·专题练习）如图在正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)若正方形边长为，则每个面的三角形面积为多少？ 【易错必刷十二 棱锥中截面的有关计算】 1．（23-24高二·全国·课后作业）一个棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则所截得小棱锥与原棱锥的高之比是（    ） A．1：2 B．1：4 C． D． 2．（23-24高二·上海浦东新·期末）已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为 . 3．（23-24高二·上海·课堂例题）若棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为50，求该截面与棱锥底面之间的距离． 【易错必刷十三 圆锥的结构特征辨析】 1．（22-23高一·全国·课后作业）有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．（23-24高二上·上海长宁·期中）圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm，求圆台的高． 【易错必刷十四 圆锥中截面的有关计算】 1．（23-24高一·全国·课后作业）若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023高二上·上海·专题练习）已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为 ；母线的长为 . 3．（23-24高二·上海·课堂例题）设圆锥的母线长为1，高为，过圆锥的任意给定的两条母线作一个截面．求截面面积的最大值． 【易错必刷十五 圆锥的展开图及最短距离问题】 1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 2．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥的高为 . 3．（24-25高二上·上海·课前预习）圆锥侧面的平面展开图为什么不能是一个三角形？ 【易错必刷十六 锥体体积的有关计算】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）正六棱锥底边为2，侧棱与底面所成角为．则六棱锥的体积是（    ） A．12 B． C．36 D． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）正四棱锥的所有棱长为a，则它的体积是 ． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的高与体积时，相应的截面面积分别为、．求证：． 【易错必刷十七 棱锥表面积的有关计算】 1．（23-24高二上·河南·阶段练习）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课后作业）棱长都是3的三棱锥的侧面积S为 ． 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为，且．设，，求帐篷的表面积． 【易错必刷十八 圆锥表面积的有关计算】 1．（22-23高一下·福建泉州·阶段练习）如图是底面半径为的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，则该圆锥的表面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）圆锥的侧面积与全面积之比是，则圆锥的顶角是 ． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，底面周长为．求这个圆锥的侧面积和表面积． 【易错必刷十九 由平面图形旋转得旋转体】 1．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，该几何体是由哪个平面图形旋转得到的？画出其余平面图形旋转得到的几何体．（  ）    A．   B．   C．   D．   2．（22-23高一下·全国·课后作业）已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB，CD且，梯形ABCD绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体是由 、 、 的几何体构成的组合体. 3．（2023高二上·上海·专题练习）已知是直角梯形与底边垂直的一腰（如图）．分别以，，，为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？    【易错必刷二十 球的结构特征辨析】 1．（24-25高二上·上海·单元测试）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26高二上·上海·单元测试）A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作大圆的个数是 个． 3．（24-25高二上·上海·课前预习）球面是否还有类似“圆”的定义？ 【易错必刷二十一 球的截面的性质及计算】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的（    ） A．； B．； C．； D．． 2．（23-24高二·上海·课堂例题）若平面截球O所得圆的半径为1，球的表面积是，则球心O到平面的距离为 ． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）已知半径为的球面上三点满足，，，球心到平面的距离为12．求球的半径． 【易错必刷二十二 求球面距离】 1．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，设地球的半径为，在北纬圈上有两个点、．在西经，在东经，则、两点间的球面距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023高一·全国·专题练习）设地球半径为，北纬圈上两地的经度差为，若，则两地的球面距离为 ． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）设地球的半径为，在北纬圈上有两点，它们的经度相差，求这两点间的纬线的长. 【易错必刷二十三 直线与球、平面与球的位置关系】 1．（23-24高三上·海南·阶段练习）若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24高三上·山东日照·阶段练习）已知球O的半径为4，点A，B，C在球O的表面上，平面ABC⊥平面ABO，且CA＝CB，球面上的点到平面ABC的最大距离为5，则三棱锥O－ABC的体积为 . 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知球的半径为5，若两平行平面分别截球所得的截面面积为，，求这两个平行平面间的距离． 【易错必刷二十四 球的体积的有关计算】 1．（2023高二上·上海·专题练习）若两球的体积之和是，经过两球球心的截面圆周长之和为 ，则两球的半径之差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二下·上海·期末）将函数的图象绕着轴旋转一周所得的几何容器的容积是 . 3．（23-24高二·上海·课堂例题）把一个半径为R的实心铁球熔化铸成两个小球，两个小球的半径之比为．求其中较小球的半径． 【易错必刷二十五 球的表面积的有关计算】 1．（24-25高二上·上海·假期作业）将一个球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的（    ） A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 2．（23-24高二·上海·课堂例题）若一个球的体积是，则这个球的表面积是 ． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）如果两个球的体积之比为，求这两个球的表面积之比． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 简单几何体易错必刷题型专训（75题25个考点） 【易错必刷一 正棱柱及其有关计算】 1．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，利用两次勾股定理求解. 【详解】连接， 在中，， 在中，. 故选：D.    2．（23-24高二·全国·课后作业）正六棱柱的高为5，最长的对角线为13，则它的底面积是 . 【答案】 【分析】设正六棱柱的底面边长为，得到底面对角线的长度，再由题意，根据勾股定理，求出，即可求出结果. 【详解】设正六棱柱的底面边长为， 则底面上最长对角线长为， 所以由，解得， 所以底面积为. 故答案为：. 3．（23-24高二·湖南·课后作业）已知高为5，底面边长为2的正四棱柱中，点O，分别为上下两底面的中心，求与之间的距离． 【答案】 【分析】连接，根据正四棱柱的几何性质可得、且5，进而求出；在中利用勾股定理求得，利用面积相等即可求出的距离. 【详解】连接，由正四棱柱的几何性质可知且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又分别为上、下底面的中心，即且， 所以四边形为平行四边形，所以， 且点C到的距离为5， 所以， 在中，， 设的距离为d， 则以为底边，以d为高的平行四边形的面积为， 解得，即的距离为.    【易错必刷二 棱柱的展开图及最短距离问题】 1．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】将绕翻折到与共面，连接，则的长度即为的最小值，利用勾股定理计算可得. 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示： 连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故选：D 2．（22-23高一·全国·课后作业）在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为 【答案】3 【分析】由条件证明点E、F关于平面对称，由此可得，再根据结论两点之间线段最短求的最小值即可. 【详解】取的中点F，连接，如下图： 因为E为的中点，所以点E、F关于平面对称， 所以， 因为， 当且仅当点为线段与平面的交点时等号成立； 所以的最小值为， 由已知为直角三角形，且，为直角， 所以， 所以的最小值为3. 故答案为：3. 3．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在一本打开的书封面上有一只蚂蚁，在封底有一小块饼干.蚂蚁想爬过书脊到达饼干处.若蚂蚁和饼干离书脊的距离分别为4cm和3cm，书脊的长度是20cm，求蚂蚁爬行的最短路线和最短距离.    【答案】最短路线见解析，最短距离为 【分析】将书展开可，根据已知结合勾股定理，即可得出答案. 【详解】将书展开可得如图（蚂蚁在处，饼干在处）最短路线为，    由已知可得，，，则. 又， 由勾股定理可得， 所以，. 【易错必刷三 判断正方体的截面形状】 1．（23-24高二上·上海杨浦·期中）用平面截正方体，截面不可能是（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】举例即可说明A、B、D正确；假设截面是正五边形，经分析得出必有两条截线平行，这与正五边形的性质相矛盾，即可判断C项. 【详解】对于A项，当截面与正方体表面平行，且与正方体相交时，截面为正方形，即截面可能是菱形，故A项正确； 对于B项，如图1，当时，有，且，此时截面为等腰梯形，故B项正确； 对于C项，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形，故C项错误； 对于D项，如图2，分别为各边的中心，易证共面，且为正六边形，故D项正确. 故选：C. 2．（22-23高二上·上海静安·期末）在棱长为的正方体中，，分别是正方形、正方形的中心，则过点，，的平面截正方体的截面面积为 ． 【答案】 【分析】连接AC，, ,找到过点A、、的平面截正方体的截面,确定其形状，求得截面边长，即可求得答案. 【详解】如图连接AC，则AC过点M,连接,则经过点N,连接, 则过点A、、的平面截正方体的截面为等边， 因为正方体棱长为，故边长为，面积为， 故答案为： 3．（2024高二·全国·专题练习）单位正方体中，和上各有一点E，F，且，过A，E，F作正方体的截面，是否可能是正三角形？正方形？ 【答案】答案见解析 【分析】首先作出图形，分析题意得出，此时截面为菱形，但它不会是正方形．进行下一步解答得出， 当，时，此时截面为五边形，但不可能是正五边形，再进一步分析得出结论. 【详解】如图，设截面和或其延长线交于G．    当时，∵，，∴，此时截面为菱形，但它不会是正方形． 事实上，作，与交于M（或其延长线），连接AG，EF，BD，AC， 由知，，而，， 由此可见菱形AEGF的对角线不相等，∴此菱形不可能是正方形． 当，时，此时截面为五边形，但不可能是正五边形（见前例）（如图）．    当时，截面是正． 【易错必刷四 圆柱的结构特征辨析】 1．（22-23高一·全国·课后作业）圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设圆柱母线、半径，结合即可得结果. 【详解】令圆柱母线为，底面半径为，则，故. 故选：D 2．（23-24高二上·上海黄浦·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点，若直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则线段AB长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据圆柱的结构特征及异面直线定义，数形结合判断线段长度范围. 【详解】如下图， 要使直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则不能与重合， 假设能与重合，若与重合时线段AB长度最小为2，若与重合时线段AB长度最大为， 综上，线段AB长度的取值范围是. 故答案为： 3．（23-24高二·上海·课堂例题）一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是什么图形？如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状又会是什么图形？请分别画出以上两种情形的示意图． 【答案】答案见解析 【分析】水平放置的圆柱，水平截面形状为圆；如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状是矩形. 【详解】一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是圆，如图： 把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状是矩形，如图： 【易错必刷五 棱柱及其有关计算】 1．（22-23高一·全国·课后作业）长方体中，，，则此长方体的对角线长是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，作图，根据勾股定理和锐角三角函数，分别计算出长方形的长宽高，进而利用长方体的对角线的计算公式，直接计算可得答案 【详解】 由已知得，，，根据勾股定理和锐角三角函数，在直角三角形中，得，，在直角三角形中，由，可得，，则此长方体的对角线长为. 故选：B 2．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知长方体的长､宽､高分别为1､2､3，则长方体的体对角线长为 . 【答案】 【分析】根据长方体的对角线长公式计算． 【详解】对角线长为， 故答案为：． 3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知斜三棱柱底面为正三角形，边长为，若顶点在底面的射影恰为底面中心，且，求三棱柱的高． 【答案】 【分析】根据等边三角形重心的性质和勾股定理即可求解. 【详解】如图，设O为底面中心，连接并延长，交于点， 因为顶点在底面的射影恰为底面中心， 所以平面， 所以， 因为为正三角形， 所以为的重心， 所以为边上的中线， 因为, 所以， 所以, 在中，， 即三棱柱的高为. 【易错必刷六 柱体体积的有关计算】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）设正四棱柱的一条对角线长为3，它的四个侧面与两个底面的面积之和是16，则它的体积是（    ） A．4 B．8 C． D．4或 【答案】D 【分析】设正四棱柱的底面边长为，高为，根据已知列出方程求解即可. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为， 则①，即②， ①②得，，即或， 当时，解得，体积， 当时，解得，体积， 故选：D 2．（23-24高二·上海·课堂例题）若正六棱柱的高为4，底面边长为2，则这个正六棱柱的体积是 ． 【答案】 【分析】由柱体的体积公式即可求解. 【详解】由题意，该正六棱柱的底面边长为2， 则其底面面积， 又因为该正六棱柱的高， 所以该正六棱柱的体积. 故答案为：. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，设圆柱有一个内接棱柱（即棱柱的侧棱都是圆柱的母线，棱柱的两个底面分别在圆柱的两个底面内）．已知圆柱的体积是，棱柱的底面是边长为2的正三角形．求棱柱的体积． 【答案】 【分析】借助棱柱的底面是边长为2的正三角形可得圆柱底面半径，结合圆柱体积可得圆柱的高，再利棱柱体积公式计算即可得解. 【详解】由棱柱的底面是边长为2的正三角形，则圆柱底面半径， 设圆柱的高为，则有，即， 故棱柱的体积为. 【易错必刷七 圆柱轴截面的有关计算】 1．（23-24高二·全国·课后作业）用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）． A．32 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆柱的轴截面的面积求法求解. 【详解】当圆柱的高时，， 所以圆柱的轴截面的面积为； 当圆柱的高，， 所以圆柱的轴截面的面积为， 故选：B 2．（23-24高二上·上海闵行·阶段练习）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，则此圆柱的底面的面积是 . 【答案】 【分析】由圆柱的底面直径即为轴截面的边长，进而可以求解. 【详解】因为圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是， 所以此正方形的边长为，即圆柱的底面直径为， 所以圆柱的底面的面积为. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知一个圆柱的体积为，轴截面面积为，求这个圆柱的半径和高． 【答案】半径为2cm，高为1.5cm． 【分析】根据条件，由求解. 【详解】解：根据题意得， 解得. 所以这个圆柱的半径为2cm，高为1.5cm． 【易错必刷八 棱柱表面积的有关计算】 1．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知正方体表面积为，切割后小正方体的边长为，从而得到个全等的小正方体的表面积，由此可得到答案. 【详解】由题意可知正方体的表面积为， ∴小正方体的棱长为 ， ∴小正方体的表面积为：. ∴27个全等的小正方体的表面积为， ∴表面积增加了． 故选:B． 2．（23-24高二·上海·课堂例题）将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，其表面积增加了 ． 【答案】 【分析】分别计算出小正方体表面积总和与原正方体的表面积作差即可得. 【详解】，则这27个全等的小正方体的棱长均为， 小正方体表面积总和为， 原正方体的表面积为， 故表面积增加了. 故答案为：. 3．（2023高二上·上海·专题练习）现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求：该直四棱柱的侧面积、表面积；【注：体对角线是连接棱柱上下底面、不在同一侧面的两顶点的连线】 【答案】侧面积为，表面积为 【分析】根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合棱柱的侧面积和表面积公式进行求解即可. 【详解】如图，设底面对角线，交点为O， 体对角线， 所以， ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴， 因此直四棱柱的侧面积为， 底面积为， 因此直四棱柱的表面积为：. 【易错必刷九 圆柱表面积的有关计算】 1．（23-24高一下·全国·课后作业）已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，则由题意可得，然后分别表示出圆柱的表面积与侧面积进行求解即可. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 因为圆柱的侧面展开图是一个正方形，所以， 所以圆柱的表面积为， 圆柱的侧面积为， 所以这个圆柱的表面积与侧面积的比值是， 故选：C 2．（23-24高二上·上海·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的全面积为 ． 【答案】 【分析】利用圆柱的全面积公式求解. 【详解】由圆柱的全面积公式得：， 故答案为： 3．（2023高二上·上海·专题练习）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作个全等的矩形骨架，总计耗用铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）；当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到）． 【答案】当时，有最大值，约为 【分析】 根据题意，直接圆柱下底面面积和侧面积之和即可得到答案. 【详解】 由题意知矩形的高即圆柱的母线长为， 所以塑料片面积 ， 所以当m时，有最大值，约为. 【易错必刷十 正棱锥及其有关计算】 1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（    ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 【答案】D 【分析】对于选项A，考虑正四面体.对于B，C，D选项，画出满足部分条件的几何体，通过证明来说明是否存在满足题意的图形. 【详解】对于选项A，正四面体为满足条件的正三棱锥，故排除A； 对于选项B，考虑如图所示的正四棱锥. 满足， 为底面正方形中心，EO平面ABCD. 因底面为正方形，故， 则，，，两两全等，得. 故存在满足条件的正四棱锥，排除B； 对于选项C，考虑如图所示的五棱锥. 满足， O为底面正五边形中心，FO平面ABCDE. 因底面为正五边形，故， 则，，，，两两全等.得. 故存在满足条件的正五棱锥，排除C； 对于选项D，考虑如图所示的正六棱锥. 满足， O为底面正六边形中心.GO平面ABCDEF. 但注意到OA=AB，，则有. 这与所设满足的条件矛盾，故不存在满足条件的正六棱锥，故D正确. 故选：D 2．（22-23高一·全国·课后作业）华裔建筑师贝聿铭为卢浮宫设计的玻璃金字塔是一个底面边长为30米的正四棱锥，其四个玻璃侧面的面积约1500平方米，则塔高约为 米． 【答案】20 【分析】做底面于点，取的中点，可得、，根据四个玻璃侧面的面积求出可得，再由勾股定理可得答案. 【详解】如图，做正四棱锥底面于点，则为底面的中心，取的中点， 连接、，则，， 因为，所以， 因为四个玻璃侧面的面积约1500平方米，所以平方米， 由可得， 所以， 则塔高约为米， 故答案为：20. 3．（23-24高一·全国·课后作业）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，求该正三棱锥的高及侧面上的斜高． 【答案】高为3，侧面上的斜高为. 【分析】根据正三棱锥的性质结合条件即得. 【详解】如图，正三棱锥，取的中心为，连接， 由正三棱锥的定义得面， 又为等边三角形，则， 所以正三棱锥的高, 作交于，又，， 则正三棱锥的斜高， 所以该正三棱锥的高为3，侧面上的斜高为． 【易错必刷十一 棱锥的展开图】 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过展开平面以及勾股定理求得正确答案. 【详解】把正三棱锥沿剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形：、、， 则，， 连接，交于，交于， 则线段就是的最小周长，又， 根据勾股定理，，∴. 故选：A   . 2．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，，如图，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的侧面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为 ．    【答案】 【分析】沿着三棱锥的侧棱剪开展在一个平面上，得到三棱锥的侧面展开图，连接，在直角中，即可求得蚂蚁爬过的最短路程. 【详解】如图所示，沿着三棱锥的侧棱剪开展在一个平面上，得到三棱锥的侧面展开图， 连接，因为，， 所以， 在直角中，可得， 即蚂蚁爬过的最短路程为. 故答案为：.    3．（2023高一·全国·专题练习）如图在正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)若正方形边长为，则每个面的三角形面积为多少？ 【答案】(1)三棱锥 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，将正方形，沿图中虚线将3个三角形折起，使得三点重合，即得到一个三棱锥； （2）由（1）知，其中、和都为直角三角形，为等腰三角形，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，将正方形，沿图中虚线将3个三角形折起，使得三点重合，可得如图所示的一个三棱锥. （2）解：由（1）知，其中为直角三角形，面积为； 为直角三角形，面积为； 为直角三角形，面积为； 为等腰三角形，且，可得边上的高为， 所以面积为. 【易错必刷十二 棱锥中截面的有关计算】 1．（23-24高二·全国·课后作业）一个棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则所截得小棱锥与原棱锥的高之比是（    ） A．1：2 B．1：4 C． D． 【答案】C 【分析】利用面积之比是相似比的平方求解. 【详解】解：设截得小棱锥的高为h，原棱锥的高为H， 因为截面面积恰好是棱锥底面面积的一半， 所以，则， 故选：C 2．（23-24高二·上海浦东新·期末）已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为 . 【答案】 【分析】由平行关系确定相似关系，根据相似比定出面积比，从而得解. 【详解】由题意知, 所求截面是等边三角形, 且与点构成一个小的正三棱锥, 因为, 即, 所以该小的正三棱锥与正三棱锥 的相似比为, 所以 , 所以所求截面的面积 . 故答案为: . 3．（23-24高二·上海·课堂例题）若棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为50，求该截面与棱锥底面之间的距离． 【答案】 【分析】设出截面与棱锥底面的距离，利用比例关系列方程求解. 【详解】根据题意，设截面与棱锥底面的距离为，则有，解得， 故该截面和底面的距离是. 【易错必刷十三 圆锥的结构特征辨析】 1．（22-23高一·全国·课后作业）有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据圆柱，圆锥几何体的特征依次判断即可得答案. 【详解】解：对于①，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点所得直线与旋转轴不一定平行，故错误； 对于②，圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长，故正确； 对于③，圆柱的母线均与旋转轴平行，故圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行，正确. 所以，正确的命题是②③ 故选：B 2．（23-24高二上·上海长宁·期中）圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】直接根据圆锥的图形特点计算即可. 【详解】由已知得该圆锥的高为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm，求圆台的高． 【答案】 【分析】由圆锥平行于底面的截面的性质求解． 【详解】∵用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16， ∴圆台的上、下底面半径之比是1：4． ∵截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm， ∴圆台的下底面半径为4cm．作大圆锥的轴截面如图， 设圆台的母线长为y，由，得，解得． ∴圆台的高． 【易错必刷十四 圆锥中截面的有关计算】 1．（23-24高一·全国·课后作业）若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设底面半径为r，利用轴截面的面积列方程求出r的值. 【详解】设底面半径为r．因为轴截面是等腰直角三角形，所以圆锥的高也是r． 据题意得，解得． 故选：C. 2．（2023高二上·上海·专题练习）已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为 ；母线的长为 . 【答案】 2 【分析】设正三角形的边长为，根据题意，列出方程求得轴截面正三角形的边长，进而求得圆锥的高和母线长. 【详解】设正三角形的边长为，因为轴截面的面积为，可得a2＝，解得， 由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为， 圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为. 故答案为：；； 3．（23-24高二·上海·课堂例题）设圆锥的母线长为1，高为，过圆锥的任意给定的两条母线作一个截面．求截面面积的最大值． 【答案】 【分析】首先判断轴截面顶角是否大于，进一步结合三角形面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的轴截面顶角为，则，而，所以， 解得， 由与截面等腰三角形顶角是连续变化的， 故当截面顶角三角形的顶角取，所求截面面积最大， 且最大面积为. 【易错必刷十五 圆锥的展开图及最短距离问题】 1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将空间图形进行翻折变化到同一平面，根据两点之间线段最短即可求解. 【详解】 将翻折到平面内，得到如图所示平面四边形， 因为所以, 所以,所以, 又因为，所以翻折后的图形中, 根据两点之间线段最短可知，的最小值为, 故选:B. 2．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥的高为 . 【答案】 【分析】设圆锥的母线为，高为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长求出，再由勾股定理计算可得. 【详解】设圆锥的母线为，高为，底面半径，扇形的半径为. 由已知可得的长为， 又，由可得， 所以圆锥的高. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·课前预习）圆锥侧面的平面展开图为什么不能是一个三角形？ 【答案】答案见解析 【分析】结合圆锥的结构特征分析即可. 【详解】三角形顶点到对边上任意点的距离不可能都相等，而圆锥母线都相等，所以不能为三角形． 【易错必刷十六 锥体体积的有关计算】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）正六棱锥底边为2，侧棱与底面所成角为．则六棱锥的体积是（    ） A．12 B． C．36 D． 【答案】A 【分析】由已知条件推导出棱锥的底面面积，棱锥的高，由此能求出体积． 【详解】正六棱锥的底面边长为2， ， 侧棱与底面所成角为， 棱锥的高， 体积为， 故选：A． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）正四棱锥的所有棱长为a，则它的体积是 ． 【答案】 【分析】根据几何关系求四棱锥的高，再代入体积公式，即可求解. 【详解】作平面，点是底面正方形的中心， ，，则， 所以四棱锥的体积. 故答案为： 3．（23-24高二·上海·课堂例题）棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的高与体积时，相应的截面面积分别为、．求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】设棱锥的底面积为，分别判断与的关系，从而判断的大小关系. 【详解】设棱锥的底面积为，当截面平分棱锥的高时，，即； 当截面平分棱锥的体积时，，即. 因为，所以. 【易错必刷十七 棱锥表面积的有关计算】 1．（23-24高二上·河南·阶段练习）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用四棱锥体积公式，可得正八面体的体积，再根据正三角形面积公式可得正八面体的表面积. 【详解】   如图所示，连接，， 则四边形为正方形，且平面， 由正八面体可知， ， 则，， 所以， 表面积， 所以， 故选：B. 2．（23-24高一下·全国·课后作业）棱长都是3的三棱锥的侧面积S为 ． 【答案】/ 【分析】三棱锥的四个面是全等的正三角形，求解即可. 【详解】因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为，且．设，，求帐篷的表面积． 【答案】 【分析】将上面六棱锥的侧面积求出来，底面六棱柱的侧面积求出来，求和即可. 【详解】解：连接．因为，， 所以． 取的中点为Q，连接、PQ， 易得，， ． 设帐篷上部的侧面积为，下部的侧面积为， 所以， ，所以搭建帐篷的表面积为． 【易错必刷十八 圆锥表面积的有关计算】 1．（22-23高一下·福建泉州·阶段练习）如图是底面半径为的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，则该圆锥的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆锥的母线长为，题意可知，再利用圆锥的表面积公式进行计算． 【详解】设圆锥的母线长为，以为圆心，母线为半径的圆的面积为， 又圆锥的侧面积， 因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了周，所以，解得， 所以圆锥的表面积， 故选：A． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）圆锥的侧面积与全面积之比是，则圆锥的顶角是 ． 【答案】60°/ 【分析】运用圆锥侧面积和全面积公式列方程，求出底面半径和母线关系式，后根据锐角三角函数可解. 【详解】根据圆锥侧面积和全面积公式知道，解得，即，则，则圆锥的顶角是60°. 故答案为：60°. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，底面周长为．求这个圆锥的侧面积和表面积． 【答案】侧面积为；表面积为 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的弧长为，利用圆锥侧面展开图的面积公式与圆锥表面积公式计算即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的弧长为， 因为圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，底面周长为， 所以，解得：， 又，解得：， 所以，侧面展开图的弧长为， 则， 【易错必刷十九 由平面图形旋转得旋转体】 1．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，该几何体是由哪个平面图形旋转得到的？画出其余平面图形旋转得到的几何体．（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据旋转体的形成过程，借助直观想象，逐一分析每个选项. 【详解】B选项，旋转一周后，为两个圆锥拼成的几何体； C选项，旋转一周后，为圆锥和圆柱拼成的几何体； D选项，旋转一周后，是上下两个圆锥，中间用圆柱相连的几何体； A选项，旋转一周后，是圆台和圆锥形成的几何体，只有A符合题意. 其余平面图形旋转得到的几何体如图：      故选：A 2．（22-23高一下·全国·课后作业）已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB，CD且，梯形ABCD绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体是由 、 、 的几何体构成的组合体. 【答案】 圆锥 圆柱 圆锥 【分析】作于，于，根据旋转体的定义和性质得到答案. 【详解】如图所示：作于，于， 绕所在的直线旋转一周得到圆锥； 矩形绕所在的直线旋转一周得到圆柱； 绕所在的直线旋转一周得到圆锥； 故答案为：圆锥；圆柱；圆锥； 3．（2023高二上·上海·专题练习）已知是直角梯形与底边垂直的一腰（如图）．分别以，，，为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？    【答案】答案见解析 【分析】分别画出对应立体图形，逐个说明即可. 【详解】①以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台；如图（1）所示； ②以BC边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥；如图（2）所示； ③以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥； 如图（3）所示． ④以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥；如图（4）所示.    【易错必刷二十 球的结构特征辨析】 1．（24-25高二上·上海·单元测试）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据球的概念逐一判断即可. 【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 2．（25-26高二上·上海·单元测试）A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作大圆的个数是 个． 【答案】1或无数 【分析】合理对两点分类讨论，并结合球的性质求解即可. 【详解】当两点与球心不共线时，可作1个大圆， 当两点与球心共线时，可作无数个大圆. 故答案为：1或无数. 3．（24-25高二上·上海·课前预习）球面是否还有类似“圆”的定义？ 【答案】有，空间内到球心距离相等的所有点构成一个球面． 【分析】根据圆的定义和球的特征定义即可. 【详解】圆的定义为：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点构成的集合叫作圆，这个定点叫做圆的圆心； 类似的，球面可以定义为：在空间中，到定点的距离等于定长的点构成的集合叫作球面，这个定点叫做球心. 【易错必刷二十一 球的截面的性质及计算】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】根据球的截面圆半径、球半径、球心与截面圆距离满足的关系式即可求解. 【详解】设球的半径为，过球O半径中点且垂直于半径的球O的截面圆半径为， 则由题球心O与截面圆距离为，故截面圆的半径为， 所以截面圆的半径是球O半径的. 故选：C. 2．（23-24高二·上海·课堂例题）若平面截球O所得圆的半径为1，球的表面积是，则球心O到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意可以求出球的半径，进而用勾股定理计算即可. 【详解】因为平面截球所得的圆半径为，设球的半径为， 球的表面积为, 所以球的半径, 所以球心到平面的距离. 故答案为：. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）已知半径为的球面上三点满足，，，球心到平面的距离为12．求球的半径． 【答案】13 【分析】求出外接圆的圆心，利用勾股定理即可得到球的半径． 【详解】因为球面上三点满足，， 所以为直角三角形， 设外接圆的圆心为，球的球心为， 则平面，外接圆的半径， 因为面，所以，则， 由勾股定理得，即，解得, 故球的半径． 【易错必刷二十二 求球面距离】 1．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，设地球的半径为，在北纬圈上有两个点、．在西经，在东经，则、两点间的球面距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 如图示取球心为，取北纬纬线圈的圆心为，即可得到，从而得到，利用勾股定理求出，从而得到为等边三角形，即可求出，从而得解. 【详解】如图示：取球心为，取北纬纬线圈的圆心为，则⊥平面， 则，，所以， 因为在北纬圈上有两个点、，在西经，在东经， 所以，在中，， 所以为等边三角形，则，所以、两点的球面距离为. 故选：A 2．（2023高一·全国·专题练习）设地球半径为，北纬圈上两地的经度差为，若，则两地的球面距离为 ． 【答案】 【分析】由已知及余弦定理计算，可确定球心角，再由球面距离定义即得答案． 【详解】由题意知及余弦定理得 ， 则球心角为， 两地的球面距离为 故答案为：. 3．（24-25高二·上海·课堂例题）设地球的半径为，在北纬圈上有两点，它们的经度相差，求这两点间的纬线的长. 【答案】 【分析】利用球中截面圆的性质，结合地球经纬度的定义即可得解. 【详解】如图所示，连接. 设地球球心为，北纬圈中心为，则，. 所以. 所以. 所以两点间的纬线的长为：. 【易错必刷二十三 直线与球、平面与球的位置关系】 1．（23-24高三上·海南·阶段练习）若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，再根据圆的面积公式，结合球内的垂径定理列式求解即可. 【详解】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，则，，则，. 设球的半径为，球心到平面的距离为，则，所以. 故选：A 2．（23-24高三上·山东日照·阶段练习）已知球O的半径为4，点A，B，C在球O的表面上，平面ABC⊥平面ABO，且CA＝CB，球面上的点到平面ABC的最大距离为5，则三棱锥O－ABC的体积为 . 【答案】5 【分析】根据已知条件作出图像，证明AC⊥BC，即AB是△ABC的外接圆的直径即可. 【详解】取AB的中点D，则OD⊥AB， ∵平面ABC⊥平面ABO且两平面交于AB，∴OD⊥平面ABC， ∴OD⊥DC， ∵OA＝OB＝OC，∴DA＝DB＝DC，∴CA⊥CB， ∵CA＝CB，∴CD⊥AB， ∵球O的半径为4，且球O上的点到平面ABC的最大距离为5， ∴OD＝5－4＝1，， ∴三棱锥的体积. 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知球的半径为5，若两平行平面分别截球所得的截面面积为，，求这两个平行平面间的距离． 【答案】2或6 【分析】利用截面面积求得截面圆半径，利用勾股定理可求得球心到两截面的距离，由两截面与球心的相对位置可确定两平行平面间距离 【详解】解：记截面面积为的小圆半径为，球心到此小圆的距离为；记截面面积为的小圆半径为，球心到此小圆的距离为， 则，即，， 所以，， 由于两平行平面可能在球心同侧也可能在球心异侧， 因此两平行平面间的距离或． 【易错必刷二十四 球的体积的有关计算】 1．（2023高二上·上海·专题练习）若两球的体积之和是，经过两球球心的截面圆周长之和为 ，则两球的半径之差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设两球的半径分别为，，根据题意得到方程，解出即可. 【详解】设两球的半径分别为，，则由题意得， 解得，故； 故选： A. 2．（23-24高二下·上海·期末）将函数的图象绕着轴旋转一周所得的几何容器的容积是 . 【答案】/ 【分析】首先分析可得表示以坐标原点为圆心，半径的半圆（轴及轴上方部分），即可得到旋转后的几何体，再根据球的体积公式计算可得. 【详解】由，则，所以， 所以表示以坐标原点为圆心，半径的半圆（轴及轴上方部分）， 将函数的图象绕着轴旋转一周得到一个半径的半球面， 则该几何体的容积. 故答案为： 3．（23-24高二·上海·课堂例题）把一个半径为R的实心铁球熔化铸成两个小球，两个小球的半径之比为．求其中较小球的半径． 【答案】 【分析】设较小球的半径为，根据题意结合球的体积公式运算求解. 【详解】设较小球的半径为，则较大球的半径为， 则，解得， 所以较小球的半径为. 【易错必刷二十五 球的表面积的有关计算】 1．（24-25高二上·上海·假期作业）将一个球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的（    ） A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 【答案】B 【分析】设原来球的半径为，则新的半径为，再根据表面积求出新的表面积最后求出倍数即可. 【详解】设球的半径为，则原来的表面积，当半径变为原来的2倍时，即半径为， 则表面积为，即这个球的表面积就变为原来的4倍. 故选:. 2．（23-24高二·上海·课堂例题）若一个球的体积是，则这个球的表面积是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合体积求得球的半径，进而可求球的表面积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 所以这个球的表面积为. 故答案为：. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）如果两个球的体积之比为，求这两个球的表面积之比． 【答案】 【分析】设两个球的半径分别为，由，可得，再利用球的表面积公式，即可求解． 【详解】由题意，设两个球的半径分别为，则，解得， 所以，故这两个球的表面积之比为． 学科网（北京）股份有限公司 $$