平面向量 零基础讲义-2025届高三体育单招数学一轮复习

【2025届体育单招数学零基础讲义】 平面向量知识点·梳理 1、平面向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量叫向量； ②向量的模：向量的大小或长度； ③零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是任意的； ④单位向量：长度为1的向量； ⑤平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量； ⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量； ⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量； 注明：零向量的方向是任意的，零向量和任何向量平行. 2、平面向量的线性运算 ①加减法运算(减法理解为加())： 法则 图形表示 三角形法则 平行四边形法则 ②平面向量的运算律 （1）加法交换律：； （2）加法结合律：； （3）数乘运算：①当时，表示方向和相同，但是模是的倍. ②当时，表示方向和相反，但是模是的倍. ③当时，. ③向量的共线定理：若向量与向量共线，则存在唯一一个实数，使. ④平面向量的数量积： 1）定义：我们把数量叫作与的数量积，即。 2）运算律：①交换律：；②数乘结合律：；③分配律：； 3、平面向量的基本定理与坐标运算 ①平面向量的基本定理 如果是同一个平面内的两个非零向量，那么对于这一平面的任意向量，存在唯一一对实数，使；其中，不共线向量叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. ②平面向量的坐标表示与运算 1）向量的坐标求法：已知，则 . 2）向量的坐标运算：已知，则 ①；②； 4、平面向量坐标表示与向量表示的相关运算 已知两个非零向量，则： 向量表示 坐标表示 向量的模 ，的数量积 与的垂直 与的平行 与的夹角 重点题型·归类精讲 题型一 平面向量中的坐标运算 【例1-1】（2024年真题）已知点，点满足，则的坐标是 A、 B、 C、 D、 【例1-2】（2017年真题）已知向量，则___ 【例1-3】（2008年真题）已知平面向量，则 A.-1 B.1 C.-3 D.3 【变式1】已知向量，若，则实数m等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式2】已知向量，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，求： (1)； (2). 【变式4】已知点、、，求． 题型二 平面向量中的数量积问题 【例2-1】（2022年真题）若向量满足，且的夹角为120°，则 ． 【例2-2】（2006年真题）设与是平面向量，已知，且，则向量 A、 B、 C、 D、 【例2-3】已知等边三角形边长为，则（    ） A． B． C． D． 【例2-4】已知向量与的夹角为，且，，则 . 【变式1】已知向量、满足， 与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】己知向量，满足，，且，则与的夹角为____ 题型三 平面向量中的夹角问题 【例3-1】（2023年真题）已知向量，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．120° D．135° 【例3-2】（2015年真题）若向量满足，则___ 【例3-3】（2011年真题）已知平面向量，则与的夹角是 A、 B、 C、 D、 【例3-4】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【例3-5】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知非零向量与满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型四 平面向量中的平行、垂直问题 【例4-1】（2018年真题）已知平面向量，单位向量满足，则与的夹角是 A、 B、 C、 D、 【例4-2】（2016年真题）已知平面向量，若与垂直，则___ 【例4-3】（2012年真题）已知平面向量，若，则 A、 B、 C、 D、 【例4-4】（2009年真题）已知非零向量，满足，且与垂直，则与的夹角为 A、 B、 C、 D、 【例4-5】（2007年真题）已知向量，则与垂直的单位向量是___ 【变式1】设向量，若∥，则 . 【变式2】已知向量，．若，则 ． 【变式3】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 题型五 平面向量中的长度（模长）问题 【例5-1】（2021年真题）若向量满足，则 ． 【例5-2】（2020年真题）已知向量满足，且与的夹角为，则__ 【例5-3】（2019年真题）已知向量，则 A、5 B、4 C、3 D、 【例5-4】（2013年真题）若平面上单位向量的夹角为，则 A、5 B、4 C、3 D、2 【例5-5】（2010年真题）为平面向量，已知夹角为，则___ 【例5-6】（2005年真题）已知向量与的夹角为，则 【变式1】已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】已知平面向量，满足，，则（    ） A． B． C．3 D． 课后模拟·巩固练习 1、设平面向量，，且，则=（    ） A．1 B．14 C． D． 2、平面向量，若，则（    ） A． B．2 C． D． 3、已知向量，，.若，且，则（    ） A． B． C． D． 4、已知点、，且，求点的坐标． 5、设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 6、若向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7、向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8、（多选）设向量，，则（    ） A． B． C． D． 9、已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 10、已知向量满足，，，则（    ） A． B． C．5 D．20 11、已知向量，的夹角为，，且向量与垂直，则实数（    ） A．2 B． C． D．2 12、已知向量，的夹角为，，，则 ． 13、已知向量，且，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 14、已知向量，，则（ ） A． B．5 C．7 D．25 15、已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 16、已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 17、已知向量，，，若，则（ ） A．1 B．2 C． D． 18、已知非零向满足，且，则向量的模长为（ ） A．2 B． C． D．3 19、已知向量，的夹角为，，，则（ ） A． B．21 C．3 D．9 20、已知向量，满足，，，则_________. 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025届体育单招数学零基础讲义】 平面向量知识点·梳理 1、平面向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量叫向量； ②向量的模：向量的大小或长度； ③零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是任意的； ④单位向量：长度为1的向量； ⑤平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量； ⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量； ⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量； 注明：零向量的方向是任意的，零向量和任何向量平行. 2、平面向量的线性运算 ①加减法运算(减法理解为加())： 法则 图形表示 三角形法则 平行四边形法则 ②平面向量的运算律 （1）加法交换律：； （2）加法结合律：； （3）数乘运算：①当时，表示方向和相同，但是模是的倍. ②当时，表示方向和相反，但是模是的倍. ③当时，. ③向量的共线定理：若向量与向量共线，则存在唯一一个实数，使. ④平面向量的数量积： 1）定义：我们把数量叫作与的数量积，即。 2）运算律：①交换律：；②数乘结合律：；③分配律：； 3、平面向量的基本定理与坐标运算 ①平面向量的基本定理 如果是同一个平面内的两个非零向量，那么对于这一平面的任意向量，存在唯一一对实数，使；其中，不共线向量叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. ②平面向量的坐标表示与运算 1）向量的坐标求法：已知，则 . 2）向量的坐标运算：已知，则 ①；②； 4、平面向量坐标表示与向量表示的相关运算 已知两个非零向量，则： 向量表示 坐标表示 向量的模 ，的数量积 与的垂直 与的平行 与的夹角 重点题型·归类精讲 题型一 平面向量中的坐标运算 【例1-1】（2024年真题）已知点，点满足，则的坐标是 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】方法一:向量的运算。 设向量 所以的坐标 方法二:向量的坐标表示。 在坐标系中找到坐标 在第四象限，故选 【例1-2】（2017年真题）已知向量，则___ 【答案】 【解析】 【例1-3】（2008年真题）已知平面向量，则 A.-1 B.1 C.-3 D.3 【答案】C 【解析】方法一： 方法二： 【变式1】已知向量，若，则实数m等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【解析】由题意：；故选：D 【变式2】已知向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量，所以，则，即，故选：D 【变式3】已知，，求： (1)； (2). 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为，，所以. 【变式4】已知点、、，求． 【答案】 【详解】因为、、，所以，， 所以. 题型二 平面向量中的数量积问题 【例2-1】（2022年真题）若向量满足，且的夹角为120°，则 ． 【答案】-3 【解析】 【例2-2】（2006年真题）设与是平面向量，已知，且，则向量 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】设，即 ，解得，所以 求解过程： 所以 本题可快速猜解：正好满足 【例2-3】已知等边三角形边长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由向量的数量积的运算，可得. 故选：A. 【例2-4】已知向量与的夹角为，且，，则 . 【答案】13 【答案】∵向量与的夹角为，且，， ∴. 故答案为：13. 【变式1】已知向量、满足， 与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 与的夹角为， 所以，故选：C 【变式2】己知向量，满足，，且，则与的夹角为____ 【答案】 【解析】设与的夹角为， 因为，所以，所以，， 因为 ，，所以，， 因为，所以，故答案为： 题型三 平面向量中的夹角问题 【例3-1】（2023年真题）已知向量，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．120° D．135° 【答案】D 【解析】本题考查数量积公式 与的夹角为 【例3-2】（2015年真题）若向量满足，则___ 【答案】 【解析】 【例3-3】（2011年真题）已知平面向量，则与的夹角是 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】设夹角为 【例3-4】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 【例3-5】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 故选：C. 【变式1】已知非零向量与满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以，而，所以， 所以. 故选：B 【变式2】已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【答案】因为，所以， 设与的夹角为，所以，所以.故选：D 【变式3】已知为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【答案】由题意可得， 将两边平方可得； 可得，可得； 设与的夹角为，则， 所以. 故选：C 题型四 平面向量中的平行、垂直问题 【例4-1】（2018年真题）已知平面向量，单位向量满足，则与的夹角是 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】向量垂直，相乘等于0，即，单位向量长度为1，，所以。 【例4-2】（2016年真题）已知平面向量，若与垂直，则___ 【答案】2 【解析】，与垂直 【例4-3】（2012年真题）已知平面向量，若，则 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】 【例4-4】（2009年真题）已知非零向量，满足，且与垂直，则与的夹角为 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】与垂直，则为两个向量的夹角)，，故选B 【例4-5】（2007年真题）已知向量，则与垂直的单位向量是___ 【答案】或 【解析】单位向量长度为1，故与垂直的单位向量为 或 【变式1】设向量，若∥，则 . 【答案】2 【解析】因为∥，则，解得.故答案为：2 【变式2】已知向量，．若，则 ． 【答案】1或 【解析】因为向量，，， 所以有，或， 故答案为：1或 【变式3】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 题型五 平面向量中的长度（模长）问题 【例5-1】（2021年真题）若向量满足，则 ． 【答案】 【解析】思路，见到向量的模(两边有坚线)，先平方，后开方 (向量的平方就是向量长度、向量模的平方) 【例5-2】（2020年真题）已知向量满足，且与的夹角为，则__ 【答案】 【解析】思路:向量见模平方 (完全平方公式) (舍去)或 【例5-3】（2019年真题）已知向量，则 A、5 B、4 C、3 D、 【答案】A 【解析】 【例5-4】（2013年真题）若平面上单位向量的夹角为，则 A、5 B、4 C、3 D、2 【答案】A 【解析】先平方、后开方， 【例5-5】（2010年真题）为平面向量，已知夹角为，则___ 【答案】2 【解析】先平方、后开方：， 【例5-6】（2005年真题）已知向量与的夹角为，则 【答案】 【解析】方法一：画出向量，用勾股定理求解 方法二：先平方、再开方 【变式1】已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】∵，又∵ ∴9，∴故选：C. 【变式2】已知平面向量，满足，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】因为，，所以， 即.故选：C 课后模拟·巩固练习 1、设平面向量，，且，则=（    ） A．1 B．14 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以又，则所以， 则，故选： 2、平面向量，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，解得，所以，所以． 故选：C． 3、已知向量，，.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，由可得，， 即，整理得. 又因为，所以，联立，解得或，故，故选C 4、已知点、，且，求点的坐标． 【答案】 【分析】设点的坐标为，利用平面向量的坐标运算与向量相等列出方程组，求解即可． 【详解】设点，由得，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为． 5、设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，又，所以，得到，所以，得到， 所以，故选：B 6、若向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则， 由，有，得， 由，则与的夹角为. 故选：C 7、向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，，又因为， 解之得：，故B项正确.故选：B 8、（多选）设向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对A，，所以，所以，故A正确； 对B，，所以，所以B错误； 对C，因为，且为不共线的两向量，所以，故C正确； 对D，因为，且为不共线的两向量，所以D错误. 故选：AC. 9、已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】C 【答案】因为，所以，故选：C. 10、已知向量满足，，，则（    ） A． B． C．5 D．20 【答案】B 【答案】因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 11、已知向量，的夹角为，，且向量与垂直，则实数（    ） A．2 B． C． D．2 【答案】D 【解析】由，则，即，解得. 故选：D. 12、已知向量，的夹角为，，，则 ． 【答案】 【解析】由题意， 向量，的夹角为，，， ， 故答案为：. 13、已知向量，且，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解析】，由于，所以.故选：C 14、已知向量，，则（ ） A． B．5 C．7 D．25 【答案】B 【解析】根据题意，向量，，则，故.故选：B． 15、已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意：，，，所以.故选：D 16、已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：B. 17、已知向量，，，若，则（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为向量，，所以， 因为，所以，可得，故选：D 18、已知非零向满足，且，则向量的模长为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解析】解：设，因为，所以， 又，所以，解得.故选：B. 19、已知向量，的夹角为，，，则（ ） A． B．21 C．3 D．9 【答案】C 【解析】由题意得：， 故选：C 20、已知向量，满足，，，则_________. 【答案】 【解析】由可得，，即，解得：，所以． 故答案为：． 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$