精品解析：海南省农垦中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年度高三上学期第一次月考—数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 集合，则（ ） A. B. R C. D. 2. 若f (x)是幂函数，且满足＝3，则f 等于（ ） A. 3 B. －3 C. D. － 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 34 B. 39 C. 42 D. 45 4. 攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为，高为，则该屋顶的面积约为（ ） A. B. C. D. 5. 如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ） A. B. C D. 6. 李明开发的小程序经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（取） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 7. 已知，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则（ ） A. 56 B. 57 C. 58 D. 59 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（ ） A. 众数12 B. 平均数为14 C. 中位数为14.5 D. 第85百分位数为16 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 C. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象 D. 的零点所在的一个区间为 11. 已知函数，对任意的都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是上的增函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数的实部为，且为纯虚数，则复数___________. 13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且的面积，若的平分线交于点D，则________． 14. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是______. 四、解答题，本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，平面四边形ABCD内接于一个圆，且，，为钝角，. （1）求； （2）若，求△BCD的面积． 16. 已知函数是定义在R上的奇函数． （1）求的解析式； （2）求当时，函数的值域． 17. 已知数列满足：，． （1）证明：数列是等比数列并求数列的前项和为． （2）设，求数列的前项和． 18. 如图，三棱锥中，正三角形所在平面与平面垂直，为中点，是的重心，，G到平面的距离为1，. （1）证明：平面； （2）证明：是直角三角形； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程. （2）讨论函数的单调性； （3）设函数．证明：存实数，使得曲线 关于直线对称. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高三上学期第一次月考—数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 集合，则（ ） A. B. R C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A,B，根据交集的定义计算． 【详解】因为集合， 化简，所以. 故选：C． 2. 若f (x)是幂函数，且满足＝3，则f 等于（ ） A. 3 B. －3 C. D. － 【答案】C 【解析】 【分析】设出函数解析式，根据已知条件求得函数解析式，再求函数值即可. 【详解】设f (x)＝xα，则＝2α＝3，∴f . 故选：. 【点睛】本题考查幂函数函数值的求解，属简单题. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 34 B. 39 C. 42 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的片段和性质即可求解. 【详解】由成等差数列， 则，即，故. 故选：B 4. 攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为，高为，则该屋顶的面积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件求出母线，再运用圆锥侧面积公式求出侧面积，即为屋顶面积. 【详解】 由题知，圆锥底面圆半径，高， 则母线， 因此圆锥的侧面积为. 即屋顶的面积为， 故选：B. 5. 如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可． 【详解】对于B.的定义域为R，且 ，故为偶函数； 对于D.的定义域为R，且 ，故为偶函数； 由图象，可知为奇函数，故排除B、D； 对于A.当时，则，而，此时，由图像知道排除A； 故选：C. 6. 李明开发的小程序经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（取） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】依题意知，从而求得，再令，结合对数运算可求得结果. 详解】∵经过t天后，用户人数， 又∵小程序发布经过10天后有2000名用户，∴， 即，可得，∴① 当用户超过50000名时有， 即，可得，∴② 联立①和②可得，即，故， ∴用户超过50000名至少经过的天数为34天. 故选：D. 7. 已知，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可 【详解】， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以，， 因为， 所以， 所以 故选：D 8. 若函数定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则（ ） A. 56 B. 57 C. 58 D. 59 【答案】B 【解析】 【分析】根据的奇偶性、对称性得到函数的周期，再通过赋值和分组求和即可求解. 【详解】的图象向左平移个单位得到的图象，在将横坐标缩小为原来的一半， 得到的图象，由于偶函数，图象关于直线对称， 所以的图象关于直线对称. 由于的图象向右平移个单位得到的图象， 由于关于点成中心对称，所以的图象关于点成中心对称. 则， ，所以是周期为的周期函数. ，所以， ，则， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：有关抽象函数的奇偶性、对称性等问题，可以考虑利用图象变换的知识将已知条件转化为相对于的已知条件.一个函数，如果函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形，则可以考虑函数具有周期性. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（ ） A. 众数为12 B. 平均数为14 C. 中位数为14.5 D. 第85百分位数为16 【答案】BC 【解析】 【分析】由众数，中位数，平均数，第百分位数的定义求出即可. 【详解】成绩从小到大排列为：. A：出现次数最多的数为，故A错误； B：平均数，故B正确； C：中位数为：，故C正确； D：第85百分位数为第，即第位，为，故D错误； 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 C. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象 D. 的零点所在的一个区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据对数函数的定义即可求解；对B，由二次函数的性质可判断；对C，根据三角函数的平移原则即可判断；对D，根据函数单调性结合零点存在性定理即可判断. 【详解】对于A，令，解得，， 所以恒过定点，故选项A正确； 对于B，因为，，为真命题，则，解得，故B错误； 对于C，函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，故C正确； 对于D，因为在上均单调递增， 则在上单调递增， 又，，则根据零点存在性定理知其零点所在的一个区间为，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，对任意的都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是上的增函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令可求，可判断A；令，可判断函数的奇偶性，可判断B；推出，取反例验证可判断C；令，可得数列的递推公式，再求的通项公式可判断D. 【详解】对A：令，则，故A正确； 对B：令，则， 由A可知：，所以函数为奇函数，故B正确； 对C：由， 设，则， 则. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增.故C错误； 对D：令，可得：由得：， 又，所以是以为首项，以1为公差的等差数列. 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：对于函数方程问题，赋值法是解决问题的突破口. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数的实部为，且为纯虚数，则复数___________. 【答案】## 【解析】 【分析】解设复数，根据复数定义和纯虚数定义，直接求解参数即可. 【详解】由题设，（，）， 则， 所以，，故. 故答案为： 13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且的面积，若的平分线交于点D，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式和余弦定理求得以及，利用正弦定理求得，进而求得. 【详解】依题意， 所以， 所以，所以为锐角，且. 由余弦定理得， 是的平分线，由正弦定理得， 由于，所以， 所以，而， ， 在三角形中，由正弦定理得， 解得. 故答案： 14. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或．画出函数图象，数形结合得答案． 【详解】设，则， 由，解得， 当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数． 当时，函数取得极大值也是最大值为（）． 方程化为． 解得或． 如图画出函数图象：可得的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 四、解答题，本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，平面四边形ABCD内接于一个圆，且，，为钝角，. （1）求； （2）若，求△BCD的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得. （2）先求得，利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积. 【小问1详解】 因为为钝角，，所以， 由余弦定理得， 整理得，解得（负根舍去）， 由正弦定理得. 【小问2详解】 由于圆的内接四边形对角互补，所以且为锐角，则， 在三角形中，由余弦定理得： ，， 解得（负根舍去）， 所以三角形的面积为. 16. 已知函数是定义在R上的奇函数． （1）求的解析式； （2）求当时，函数的值域． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b作答. （2）由（1）的结论，求出函数的解析式，结合二次函数求出值域.. 【小问1详解】 由函数是上的奇函数，则有，解得，即， ，， 即，，解得，经验证得，时，是奇函数， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，因此当时，，当时，， 所以所求值域为. 17. 已知数列满足：，． （1）证明：数列是等比数列并求数列的前项和为． （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析，；（2）. 【解析】 【分析】（1）要证数列是等比数列，只需证明等于同一个常数即可，根据构造即可得证；求出数列的通项公式，利用分组求和法即可求出数列的前项和； （2）求出数列得通项公式，利用错位相减法即可求得数列的前项和． 【详解】（1）证明：因为， 所以，即， ， 所以数列是以2为首项2为公比的等比数列， 则 ，故， 所以 ； （2）解：， 则① ② ①②得： 所以. 18. 如图，三棱锥中，正三角形所在平面与平面垂直，为的中点，是的重心，，G到平面的距离为1，. （1）证明：平面； （2）证明：是直角三角形； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接PG并延长交BC于D，连接OD、OG，由，利用线面平行的判定推理即得. （2）平面平面ABC，可得平面ABC，结合，可得结论. （3）建立空间直角坐标系，求出法向量，可得平面PAB与平面PBC夹角余弦值. 【小问1详解】 在三棱锥中，连接PG并延长交BC于D，连接OD、OG， 由G为的重心，得D为BC的中点，又O是AC中点， 则，又平面POG，平面POG， 所以平面. 【小问2详解】 由是正三角形，O是AB的中点，得， 又平面平面ABC，平面平面，平面PAC， 则平面ABC，又平面ABC，于， 又，又平面POD，，因此平面POD， 又平面POD，则，又由（1）知，于是， 所以是直角三角形. 【小问3详解】 在平面内过B作于F，平面平面ABC，平面平面，则平面PAC， 由G为的重心，且G到平面PAC的距离为1，得B到平面PAC的距离为3，即， 在中，，则，在中，， 以O为原点，直线OC，OP分别为y，z轴，过点O且垂直于平面PAC的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面PAB的法向量为，， 则，令，得， 设平面PBC的法向量为，， 则，令，得， 因此， 所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为. 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程. （2）讨论函数的单调性； （3）设函数．证明：存在实数，使得曲线 关于直线对称. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出切点，求导，由导数的几何意义得到切线斜率，进而得到切线方程； （2）求定义域，求导，分，两种情况，得到函数的单调性； （3）求的定义域，根据对称得到，再得到，从而得到关于直线对称. 【小问1详解】 切点为. 因为，所以切线的斜率为， 所以曲线在处的切线方程为， 化简得； 【小问2详解】 由题意可知，则的定义域为， ，， 当时，，则在上单调递减； 当时，令，即，解得， 若，； 若，， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 证明：函数， 函数的定义域为． 若存在，使得曲线关于直线对称， 则关于直线对称，所以 由 ． 可知曲线关于直线对称． 【点睛】知识点点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$