专题3.1 圆的基本性质（八大知识点十三类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题3.1 圆的基本性质（八大知识点十三类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】圆的有关概念 （1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。 （2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。 【知识点2】点与圆的位置关系 ： 设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则⑴ 点A在⊙O上，等价于；⑵ 点A在⊙O内，等价于；⑶ 点A在⊙O外，等价于 ． 【知识点3】确定圆的条件 （1）过不在同一直线上的三个点确定一个圆. （2）三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 【知识点4】图形的旋转 （1）旋转的概念 把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转.固定不动的点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，旋转前后的对应的点叫做这个旋转的对应点. （2）旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等；　　 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　 （3）旋转前、后的图形全等. （3）旋转作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 【知识点5】圆周角与圆心角 （1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是圆的直径。 （3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 【知识点6】圆的对称性 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 （2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。 （3）圆的轴对称性：经过圆心任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。 【知识点7】垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 还可以概括为：如果有一条直线，（1）垂直于弦；（2）经过圆心；（3）平分弦（非直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。 【知识点8】弧长公式、扇形面积公式 （1）正变形的圆心角为度. （2）弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为. （3）如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为. （4）如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为. 题型目录 【题型1】圆的有关概念....................................................3; 【题型2】点和圆的位置关系................................................4; 【题型3】圆的确定........................................................4； 【题型4】图形的旋转......................................................5； 【题型5】圆的轴对称性（垂径定理）........................................6； 【题型6】圆心角定理......................................................6； 【题型7】圆周角定理......................................................7； 【题型8】圆内接四边形....................................................8； 【题型9】正多边形与圆....................................................9； 【题型10】弧与扇形......................................................10； 【题型11】圆的综合......................................................10; 【题型12】直通中考......................................................11; 【题型13】拓展延伸......................................................13. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】圆的有关概念 【例1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，在 中， （1）半径有： ． （2）直径有： ． （3）弦有： ． （4）劣弧 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆． 【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 【题型2】点和圆的位置关系 【例2】（2022九年级上·全国·专题练习）已知圆O的直径，半径，在射线上有一点D，且点D与圆O上各点所连接线段最短为1，则的长为多少？ 【变式1】（23-24九年级下·甘肃平凉·开学考试）已知以坐标轴原点为圆心的半径为2，抛物线的对称轴与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【变式2】（2023·陕西西安·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为 ．    【题型3】圆的确定 【例3】（20-21九年级下·全国·课后作业）图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上； 【变式1】（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列语句中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．在同一平面上的三点确定一个圆 C．三角形外心是三角形三个内角平分线的交点 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【变式2】23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 【题型4】图形的旋转 【例4】．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图1，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由； （2）如图2，若，，求以、为邻边的正方形的面积． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，．将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，P是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到，则点P与之间的距离为 ， ． 【题型5】圆的轴对称性（垂径定理） 【例5】如图，已知的直径垂直弦于点，连接并延长交于点，且 （1）求证：点是的中点； （2）若，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，是上一动点，连接，，若的半径为5，，则点到距离的最大值为 ，面积的最大值为 ． 【变式2】（23-24九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点是的弦的中点，经过圆心交于点，，求的半径为 ． 【题型6】圆心角定理 【例6】（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． （1）求证：； （2）连接 作直线求证：． 【变式1】（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为 ． 【题型7】圆周角定理 【例7】（2024·安徽合肥·三模）如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于．   （1）求证：； （2）连接，若的半径为2，求的长． 【变式1】（2024·安徽·模拟预测）为的外接圆，，为的直径，若，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，是优弧上一动点，连接，，，分别是，的中点，连接． （1）若取得最大值，则点在线段 上； （2）若，，则的最大值为 ． 【题型8】圆内接四边形 【例8】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． 如图，圆内接四边形ABCDABCD的对角线ACAC，BDBD交于点EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD （1）求证：平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点，若，，试求四边形的面积和此圆半径的长． 【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏·模拟预测）如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为 ．    【题型9】正多边形与圆 【例9】（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正方形内接于，E是的中点，连接．   （1）求∠E的度数． （2）求证：． （3）若，则点E到的距离为 ． 【变式1】（2024九年级下·江苏常州·专题练习）如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（　　） A．3 B． C．4 D． 【变式2】（2024·河北·模拟预测）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形的边长为，目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案 ，两种方案底面积差为 （结果保留根号） 【题型10】弧与扇形 【例10】（2024·河北邢台·模拟预测）如图1，为直径，点C为直径上方圆上一点，连接、，已知，，点D是上的动点，且点C、D分别位于的两侧． （1）求的半径； （2）当时，求的长度； （3）如图2，当经过圆心O时，求阴影部分的面积． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·福建莆田·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，平分，若，，则的长为 ． 【题型11】圆的综合 【例11】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，求证，是等边三角形； （3）如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点 ，（点在点左边），与 轴交于点，抛物线的顶点为，点在线段（不与点，M重合）上，连接，将线段绕点旋转后得到线段 ，若点恰好落在抛物线上，则点的坐标为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型12】直通中考 【例1】（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【例2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 【题型13】拓展延伸 【例1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在等腰三角形中，，，在线段上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，当△为等腰三角形时，的值为 ． 【例2】（2024·全国·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于两点．过点的直线交抛物线于点．点在抛物线上，横坐标为，连接，将线段绕点旋转，得到线段，当点恰好落在直线上时，点的坐标 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 圆的基本性质（八大知识点十三类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】圆的有关概念 （1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。 （2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。 【知识点2】点与圆的位置关系 ： 设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则⑴ 点A在⊙O上，等价于；⑵ 点A在⊙O内，等价于；⑶ 点A在⊙O外，等价于 ． 【知识点3】确定圆的条件 （1）过不在同一直线上的三个点确定一个圆. （2）三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 【知识点4】图形的旋转 （1）旋转的概念 把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转.固定不动的点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，旋转前后的对应的点叫做这个旋转的对应点. （2）旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等；　　 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　 （3）旋转前、后的图形全等. （3）旋转作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 【知识点5】圆周角与圆心角 （1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是圆的直径。 （3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 【知识点6】圆的对称性 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 （2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。 （3）圆的轴对称性：经过圆心任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。 【知识点7】垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 还可以概括为：如果有一条直线，（1）垂直于弦；（2）经过圆心；（3）平分弦（非直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。 【知识点8】弧长公式、扇形面积公式 （1）正变形的圆心角为度. （2）弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为. （3）如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为. （4）如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为. 题型目录 【题型1】圆的有关概念.....................................................3; 【题型2】点和圆的位置关系.................................................5; 【题型3】圆的确定.........................................................8； 【题型4】图形的旋转......................................................10； 【题型5】圆的轴对称性（垂径定理）........................................13； 【题型6】圆心角定理......................................................16； 【题型7】圆周角定理......................................................20； 【题型8】圆内接四边形....................................................23； 【题型9】正多边形与圆....................................................27； 【题型10】弧与扇形.......................................................31； 【题型11】圆的综合.......................................................35; 【题型12】直通中考.......................................................41; 【题型13】拓展延伸.......................................................45. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】圆的有关概念 【例1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【分析】本题考查了四点共圆，直角三角形斜边中线的性质．求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以． 解：证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键．根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可． 解：同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故①正确； 如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆，故②正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故③错误． 故选：A． 【变式2】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，在 中， （1）半径有： ． （2）直径有： ． （3）弦有： ． （4）劣弧 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆． 【答案】 ， ，， 【分析】本题考查圆的基本概念，根据半径，直径，弦，弧的定义，逐一进行判断即可． 解：（1）半径有，； （2）直径有； （3）弦有，，； （4）劣弧 对应的优弧是； 故答案为：，；；，，； 【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 【答案】①③④⑨ 【分析】本题主要考查圆的有关性质．根据弦、直径、等圆、等弧的概念判断即可． 解：①直径是圆中最长的弦，说法正确； ②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误； ③面积相等的两个圆是等圆，说法正确； ④等弧所对的圆心角相等，说法正确； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的优弧相等，劣弧相等，原说法错误； ⑥圆周角的定义包括两个基本特征：一是顶点位于圆周上，二是角的两边都与圆相交，原说法错误； ⑦将圆绕圆心旋转一个角度可以和自身重合，原说法错误； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径所在直线都是它的对称轴，原说法错误； ⑨半圆是弧，说法正确； ⑩过圆心且两端都在圆上的线段是直径，原说法错误； 故答案为：①③④⑨． 【题型2】点和圆的位置关系 【例2】（2022九年级上·全国·专题练习）已知圆O的直径，半径，在射线上有一点D，且点D与圆O上各点所连接线段最短为1，则的长为多少？ 【答案】或 【分析】题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了勾股定理． 利用点在上，得到，然后分类讨论：当点在外，，在中，利用勾股定理可计算出；当点在内，，利用勾股定理可计算出，于是可得到的长． 解：如图， 直径， ， ， ， 点与圆上各点所连接线段最短为1， ， 当点在外，， 在中，； 当点在内，， 在中，， 的长为或． 【变式1】（23-24九年级下·甘肃平凉·开学考试）已知以坐标轴原点为圆心的半径为2，抛物线的对称轴与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，二次函数的性质，关键是掌握圆心到直线的距离与半径的关系．先求出抛物线对称轴，再求出圆心到对称轴的距离，然后与半径比较即可． 解：， 抛物线对称轴为直线， 原点到直线的距离为1， ， 直线与以坐标轴原点为圆心的半径为2相交， 故选：A 【变式2】（2023·陕西西安·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置． 由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得． 解：连接， ∵， ∴， ∵点、点关于原点对称， ∴， ∴， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值， 过点作轴于点，    则、， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∴， 即点A的坐标为， 故答案为：． 【题型3】圆的确定 【例3】（20-21九年级下·全国·课后作业）图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上； 【分析】连接CO；由勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，得出∠ACD=90°；再根据斜边上中线的性质和圆的对称性分析，即可完成证明． 解：图，连接CO ∵AB=6，BC=8，∠B=90°， ∴ ∵CD=24，AD=26 ∴ ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ACD=90° ∵AD为⊙O的直径 ∴AO=OD ∴OC为Rt△ACD斜边上的中线 ∴ ∴点C在圆O上． 【点拨】本题考查了圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解． 【变式1】（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列语句中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．在同一平面上的三点确定一个圆 C．三角形外心是三角形三个内角平分线的交点 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的有关概念、三角形的外心，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据等弧的概念，确定圆的条件以及三角形及其外心之间的关系解答即可． 解：在同圆或等圆中，能够重合的弧才是等弧，故选项A错误，不符合题意； 不在同一直线上的三点确定一个圆，故选项B错误，不符合题意； 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，故选项C错误，不符合题意； 三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，先求出解一元二次方程的根，再分和是直角三角形的两直角边和是直角边，是斜边两种情况解答，根据直角三角形的外接圆的直径即为斜边长即可求解，明确直角三角形的外接圆的直径即为斜边长并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 当和是直角三角形的两直角边时， 直角三角形的斜边， ∴此直角三角形的外接圆的直径为； 当是直角边，是斜边时， 此直角三角形的外接圆的直径为； 综上，此直角三角形的外接圆的直径为或， 故答案为：或． 【题型4】图形的旋转 【例4】．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图1，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由； （2）如图2，若，，求以、为邻边的正方形的面积． 【答案】（1）点在直线上，见解析；（2）18 【分析】（1）根据，，得到，可得线段逆时针旋转落在直线上，即可得解； （2）作于，得出，再根据平行线的性质得到，再根据直角三角形的性质计算即可； 解：（1）结论：点在直线上； ∵，， ∴， ∴，即． ∴线段逆时针旋转落在直线上，即点在直线上． （2）作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即以、为邻边的正方形面积． 【点拨】本题主要考查了旋转综合题，结合平行线的性质计算是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，．将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】如图，过作于，求解，，结合旋转的性质证明，，，可得为等边三角形，求解，再利用含角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案． 解：如图，过作于， 由，， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴A到的距离为1． 故选：A． 【点拨】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 【变式2】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，P是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到，则点P与之间的距离为 ， ． 【答案】 6 /150度 【分析】连接，得出为等边三角形，进而可求出点P与之间的距离；根据，，，判定为直角三角形，即可求解． 解：连接，如图， ∵绕点A逆时针旋转后，得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故答案为：6；． 【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理，作辅助线构造三角形是解题的关键． 【题型5】圆的轴对称性（垂径定理) 【例5】如图，已知的直径垂直弦于点，连接并延长交于点，且 （1）求证：点是的中点； （2）若，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）根据垂径定理得出，证明，得出，同理：，证明是等边三角形，得出，根据直角三角形性质得出，即可证明结论； （2）根据，得出，求出，根据勾股定理求出，即可求出结果． 解：（1）证明：如图，连接． ∵于点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 同理：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴ ∴是的中点． （2）解：∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴． 【点拨】本题主要考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含度角直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，证明是等边三角形． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，是上一动点，连接，，若的半径为5，，则点到距离的最大值为 ，面积的最大值为 ． 【答案】 8 32 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，点到直线的距离，掌握垂径定理是解题的关键． 过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，，就是点到的最大距离，的面积就是的最大面积，根据垂径定理和勾股定理求解即可． 解：如解图，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴点到距离的最大值为8， ∴面积的最大值为． 故答案为：8，32． 【变式2】（23-24九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点是的弦的中点，经过圆心交于点，，求的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接常用的辅助线是解题关键．连接，根据垂径定理的推论可得出，．设的半径为r，则，，根据勾股定理可列出关于r的等式，再求解即可． 解：如图，连接． ∵点是的弦的中点，且经过圆心， ∴，． 设的半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得：． 故答案为：5． 【题型6】圆心角定理 【例6】（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． （1）求证：； （2）连接 作直线求证：． 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 解：（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 【变式1】（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可． 解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． 【变式2】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形中位线定理以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角，连接，作于点，根据已知得，可得，，所以，再根据是的中位线，即可得出答案． 解：连接，作于点， ∵弧的度数为，弧的度数为， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点分别是弦，弦的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 【题型7】圆周角定理 【例7】（2024·安徽合肥·三模）如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于．   （1）求证：； （2）连接，若的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析; (2) 【分析】（1）根据圆周角定理求出，结合对顶角相等及三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据“等角对等边”即可得证； （2）连接，，，，结合圆周角定理、三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出为的中点，为的中点，根据三角形中位线的判定与性质求．根据圆周角定理求出，进而推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 此题考查了圆周角定理、三角形中位线定理等知识，作出合理的辅助线并熟练运用圆周角定理、三角形中位线定理是解题的关键． 解：（1）证明：， ， 平分， ， 又， ， 又， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，，，，   ，， ， ， 又， 为的中点． 由（1）知，， 为的中点， 是的中位线， ． ， ， 是等腰直角三角形， ． ， ， 【变式1】（2024·安徽·模拟预测）为的外接圆，，为的直径，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，最后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答． 解：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，是优弧上一动点，连接，，，分别是，的中点，连接． （1）若取得最大值，则点在线段 上； （2）若，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据中位线定理知：当取得最大值时，就取得最大值，当最大时是的直径，即可得解； （2）如图，连接并延长交于点，连接，由（1）知，求得的直径后就可以求得最大值． 解：（1）∵点，分别是，的中点， ∴， ∴当取得最大值时，就取得最大值， 当为的直径时最大，此时点在线段上， 故答案为：； （2）如图，连接并延长交于点，连接， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴的最大值为， ∵和所对的弧是，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值为为． 故答案为：． 【点拨】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，解题的关键是了解当什么时候的值最大． 【题型8】圆内接四边形 【例8】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． 如图，圆内接四边形ABCDABCD的对角线ACAC，BDBD交于点EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD （1）求证：平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点，若，，试求四边形的面积和此圆半径的长． 【答案】(1)见解析; (2)； 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到，由垂径定理推出是等边三角形． （1）由圆周角定理得到，而，因此，得到平分，由圆内接四边形的性质得到，即可求出； （2）由垂径定理推出是等边三角形，得到由，得到，由平行线的性质求出，由圆内接四边形的性质求出，得到，由直角三角形的性质得到，因为是圆的直径，即可得到圆半径的长是4． 解：（1）证明：，， ， 平分， 平分， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 是圆的直径， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ，， ， 是圆的直径， 圆的半径长是4， ． 【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和圆的内接四边形性质，熟练掌握圆的内接四边形性质是解题的关键．利用三角形内角和定理和圆的内接四边形对角互补，根据题意列出关系式化简即可． 解：在中，， 在中，， ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ，即 ， ∴ ． 故选：C． 【变式2】（2024·江苏·模拟预测）如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接，由，得到，求得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论． 解：连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【题型9】正多边形与圆 【例9（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正方形内接于，E是的中点，连接．   （1）求∠E的度数． （2）求证：． （3）若，则点E到的距离为 ． 【答案】(1)； (2)见解析； (3). 【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解； （2）要证明，只要证明即可； （3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解． 解：（1）解：如图，连接，，    ∴ ∵正方形内接于， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交于点F，    ∵，，∴是线段的垂直平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即点E到的距离为， 故答案为：． 【变式1】（2024九年级下·江苏常州·专题练习）如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】分析：首先得到当点E旋转至y轴上时最小，然后分别求得、的长，最后求得的长即可． 解：如图，连接， 根据，当D，E，O三点共线时，最小； ∵边长为2的是等边三角形，点A的坐标为，的中点D在y轴上， ∴，， ∴， ∵正六边形的边长为2， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故选B． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正六边形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握性质和应用是解题的关键． 【变式2】（2024·河北·模拟预测）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形的边长为，目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案 ，两种方案底面积差为 （结果保留根号） 【答案】 二 【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，勾股定理等知识，利用圆面积，等边三角形的面积，即可得出答案． 解：如图1中，圆的半径为3cm， 底面积为． 如图2中，连接，． ，，， ， ， 等边三角形的边长， 底面积， 等边三角形作为底面时，面积比较小，底面积为， 两种方案底面积差为， 故答案为：方案二，． 【题型10】弧与扇形 【例10】（2024·河北邢台·模拟预测）如图1，为直径，点C为直径上方圆上一点，连接、，已知，，点D是上的动点，且点C、D分别位于的两侧． （1）求的半径； （2）当时，求的长度； （3）如图2，当经过圆心O时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)4；(2)；(3)． 【分析】本题考查30°的直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，不规则图形的面积； （1）先根据直径所对的圆周角是直角得到，然后利用30°的直角三角形的性质解题即可； （2）连接，，则是等边三角形，然后得到，，进而利用勾股定理解题即可； （3）先根据勾股定理求出长，然后利用解题即可． 解：（1）∵AB是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴的半径为4． （2）连接，，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴． （3）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、折叠的性质，连接、，由折叠可得，，，证明为等边三角形，得出，，求出，再根据得出，最后根据阴影部分的面积计算即可得解． 解：如图：连接、， ， 由折叠可得：，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：A． 【变式2】（2024·福建莆田·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，平分，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据圆周角定理结合角平分线性质可推出是等腰直角三角形，先根据勾股定理求出的长，再根据弧长公式即可求出的长． 解：连接， ∵四边形内接于为的直径， ， 平分， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ， ∴， 则的长， 故答案为：． 【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形性质和判定，弧长公式等知识点，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 【题型11】圆的综合 【例11】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，求证，是等边三角形； （3）如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)10． 【分析】题目主要考查圆与三角形综合问题，包括圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得，再由圆周角定理及等量代换得出，利用等角对等边即可证明； （2）根据圆周角定理得出，再由等量代换确定，根据等边三角形的判定即可证明； （3）设，根据等边三角形的性质及圆周角定理，利用全等三角形的判定得出，结合图形，根据其性质求解即可． 解：（1）证明：平分， ， 弧弧， ， 弧弧， ， ， ； （2）证明：如图：弧弧， ，且， ， ， 且， 为等边三角形； （3）解：如图：设， 为等边三角形， ， ， 弧弧， ， ， 弧弧， ， 弧弧， ， ， ， ， ， ， 在上截取，且， 是等边二角形， ， ，且， ， ， ． 【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理推论，圆内接四边形，圆周角定理，弧长公式，当点重合时，，由为中点，则，当点在运动过程中，在以为圆心，为半径的上运动，然后根据弧长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，取圆上一点， ∵，， ∴， ∴， 如图，当点重合时， ∵， ∵为中点， ∴， ∴， ∴为直径， 当点在运动过程中，在以为圆心，长度为半径的上运动， ∵为中点，为中点， ∴， ∴， ∴在的运动过程中的路径长为， 故选：． 【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点 ，（点在点左边），与 轴交于点，抛物线的顶点为，点在线段（不与点，M重合）上，连接，将线段绕点旋转后得到线段 ，若点恰好落在抛物线上，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数综合题，掌握数形结合，构造全等三角形将点的坐标进行转换是解题的关键．根据二次函数解析式求出点，的坐标，从而求出直线的解析式；由全等三角形得到，点代入，得从而求得点的坐标，第二种情况是过点作轴于点，过点作轴于点，由全等三角形得到，，点代入，得，求出的值，从而求出点的坐标． 解：， ， 令，得， ， 设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， 直线的解析式为， 设， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ，， 线段绕点旋转后得到线段， ，， ， ，， ， ，， ， 将点代入，得， 解得（不合题意，舍去），， ， 如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ，， 同理，得， ，， ， 将点代入，得， 解得（不合题意，舍去），， ， 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型12】直通中考 【例1】（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案； 解：如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴； 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴， 故答案为：或 【例2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等： （1）利用证明，即可； （2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可； （3）连接，取的中点F，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由为的直径，可得，从而得到，然后根据，可得，可证明，从而得到，即可． 解：（1）在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，连接，取的中点F，连接， ∵的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型13】拓展延伸 【例1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在等腰三角形中，，，在线段上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，当△为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或 【分析】过作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求出，再分类讨论：当时，当时，当时，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识求解即可． 解：如图，过作于点， ，， ， ， ， ， ， 当时， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； 当时，如图， ， ， ，， ，， ，即， 解得：， ， ， ，， ， ，即， 解得：， ， ， ； 当时，则，， 又，在， 此时，、重合，、重合，线段不存在； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识并分类讨论． 【例2】（2024·全国·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于两点．过点的直线交抛物线于点．点在抛物线上，横坐标为，连接，将线段绕点旋转，得到线段，当点恰好落在直线上时，点的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：设抛物线与轴的交点为， 把代入得，， 解得，， ∴，， 把代入得，， ∴， ∴， ∵将线段绕点旋转，得到线段，点在抛物线上，横坐标， ∴当点与点重合时，点与点重合， 此时，点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作轴于，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵点恰好落在直线上， ∴， 解得（不合舍去），， ∴； 综上，点的坐标为或 ， 故答案为：或 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$