11.3.2 多边形的内角和课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册

11.3.2 多边形的内角和 第十一章 三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 八年级数学上(RJ) 教学课件 情境引入 学习目标 1.了解多边形的外角定义,并能准确找出多边形的外角. 2.会用分割法探索多边形的内角和计算公式.(难点) 3.运用多边形的内角和计算公式与外角和解决问题.(重点) 导入新课 提问引入 1.三角形的内角和是多少度? 180 你知道长方形和正方形的内角和是多少度? 都是360 . 猜想任意四边形的内角和是多少度? 2. 3. 讲授新课 多边形的内角和 一 问题1 如图,求四边形ABCD的内角和. 这种转化方法我们不妨称其为“对角线分割转化法”. 分析:如果四边形内角和是360 ,我们已经知道三角形内角和是180 ,利用三角形内角和定理来证明任意一个四边形的内角和为360 , 可将四边形分成两个三角形. A B C D C B D ∴∠D+∠DAB+∠B+∠BCD =∠D+(∠2+∠1)+∠B+(∠3+∠4) =(∠D+∠2+∠4)+(∠B+∠1+∠3) =360 即四边形ABCD的内角和为360 . 1 4 3 2 解:如图,连接对角线AC,则四边形被分为 ABC和 ACD, 在 ACD中,∠D+∠2+∠4=180 , 在 ABC中,∠B+∠1+∠3=180 . A 多边形的内角和 一 问题2 类比推导四边形内角和的方法,你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗? 观察上图填:(1)从五边形的一个顶点出发,可以作 条对角线,它们将五边形分为 个三角形,五边形的内角和等于180 . (2)从六边形的一个顶点出发,可以作 条对角线,它们将六边形分为 个三角形,六边形的内角和等于180 . 2 3 3 3 4 4 多边形的内角和 一 多边形的边数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和 3 0 1 1 180 =180 4 1 2 2 180 =360 5 2 3 3 180 =540 6 3 4 4 180 =720 ...... ...... ...... ...... n 你发现了多边形的内角 和与边数的关系了吗? n-3 n-2 (n-2) 180 多边形的内角和 一 多边形的内角和公式 n边形内角和等于(n-2) 180 . 把一个多边形分成几个三角形,还有其他分法吗?运用这些分法,能得出多边形的内角和公式吗? 其他分割方法欣赏 练一练:(1)12边形的内角和等于 . (2)如果一个多边形的内角和等于1440 ,那么这是 边形. 1800 十 P P 多边形的内角和 一 想一想:如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有 什么关系?试说明理由. 解: 如图,四边形ABCD中,∠A+ ∠C =180 . ∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2) 180 = 360 , 因为 ∠B+∠D= 360 -(∠A+∠C) = 360 - 180 =180 . 所以 A B C D 如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角互补. 解:设这个多边形边数为n,则 (n–2)•180=360+720, 解得n=8, ∵这个多边形的每个内角都相等, (8–2) 180 =1080 , ∴它每一个内角的度数为1080 8=135 . 例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720 ,并且这个多边形的各内角都相等,这个多边形的每个内角是多少度? 利用多边形内角和公式求角度或边数 1. 根据多边形的内角和完成下列题目. (1) 一个多边形的内角和是720 ,这个多边形的边数是( ) A.4条 B.5条 C.6条 D.7条 (2) 若一个多边形的边数为8条,则这个多边形的内角和是( ) A.900 B.540 C.1080 D.360 (3) 若一个多边形增加一条边,那么它的内角和( ) A.增加180 B.增加360 C.减少360 D.不变 C C A 知道了多边形的内角和公式,那么回想正多边形的性质,你知道 正多边形的每个内角是多少度吗?为什么? 因为正多边形的每个内角相等,所以用内角和除以内角的个数 (n)即可得到正多边形每个内角的度数. 正多边形的每个内角的度数等于 . 多边形的内角和 一 2.(2021春•娄底期中)一个正多边形的内角和为1800 , 求它的边数和每个内角的度数. 解:设这个正多边形的边数是n,则(n-2)•180 =1800 . 解得n=12. 1800 12=150 . 故这个正多边形的边数为12;每个内角的度数150 . 利用内角和公式计算时,先不要去括 号,把(n-2)看成一个整体,先求 (n-2)的值,再求n的值.这样可使 运算更简单 多边形的外角和 二 问题 如图,在五边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角 的和叫做五边形的外角和.五边形的外角和等于多少? 1.任意一个外角和它相邻的内角有什么关系? 2.五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少? 3.这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系? E B C D 1 2 3 4 5 A 互补 五个平角和(900 )-五边形的内角和(540 )=外角和(360 ) 5 180 =900 E B C D 1 2 3 4 5 A 五边形外角和 =360 =5个平角 -五边形内角和 =5 180 -(5-2) 180 结论:五边形的外角和等于360 . 多边形的外角和 二 在n边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做n边形的外角和. n边形外角和 n边形的外角和等于360 . -(n-2) 180 =360 =n个平角-n边形内角和 = n 180 E B C D 1 2 3 4 n A 知识要点 多边形的外角和公式 多边形的外角和为定值,与边数无关 多边形的外角和 二 练一练: (1)若一个正多边形的内角是120 ,那么这是正_边形. (2)已知多边形的每个外角都是45 ,则这个多边形是_边形. 六 正八 知道了多边形的外角和公式,那么回想正多边形的性质, 你知道正多边形的每个外角是多少度吗?为什么? 因为正多边形的每个外角相等,所以用外角和(360 )除以内角 的个数(n)即可得到正多边形每个外角的度数. 正多边形的每个外角的度数等于 . 多边形的外角和 二 当堂练习 1.判断. (1)当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加. ( ) (2)当多边形边数增加时,它的外角和也随着增加. ( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等. ( ) (4)从n边形一个顶点出发,可以引出(n-2)条对角线,得到(n-2)个三角形. ( ) 2.五边形的内角和为 ,它的对角线有 条. 540 5 3.如果一个多边形的边数增加一条,那么这个多边形的内角和增加_,外角和增加_. 180 0 典例精析 例1 已知一个多边形,它的内角和等于外角和的2倍,求这 个多边形的边数. 解: 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n-2)•180 , 多边形外角和等于360 , ∴ (n-2)•180 =2 360 . 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6. 变式:一个多边形的外角和是内角和的 ,则其边数n为 . 12 例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2,求这个多边形的边数. 解:设这个多边形的内角为7x ,外角为2x ,根据题意得 7x+2x=180, 解得x=20. 即每个内角是140 ,每个外角是40 . 360 40 =9. 答:这个多边形是九边形. 还有其他解法吗? 解:设这个多边形的边数为x ,根据题意得 解得x=9. 答:这个多边形是九边形. 4.一个多边形的内角和不可能是( ) A.1800 B.540 C.720 D.810 D 5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条,这个多边形内角和等于( ) A.360 B.540 C.720 D.900 D 能力提升: 一个多边形所有内角与一个外角的和是2380 ,则这个多边形的边数为_. 15 解析:设这个多边形的边数为x(x为正整数),则这个多边形的内角和为(x-2) 180 ,由题意可得: 2380-180<(x-2) 180 <2380, 解得:4.22<x<15.22 因为x为正整数,所以x=15,即这个多边形的边数为13. 课堂小结 多边形的内角和 内角和计算公式 (n-2) 180 (n ≥3的整数) 外角和 多边形的外角和等于360 特别注意:与边数无关。 正多 边形 内角= ,外角= $$