22.1.4二次函数 y＝ax²+bx+c的图象与性质 用待定系数法求二次函数的解析式同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册

用待定系数法求二次函数的解析式 练习目标 1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式； 2.会用待定系数法求二次函数的解析式。 一、基础巩固（一层） 用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式 和一般式。 1．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为 ； 2．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为 。 3．已知二次函数的图象过点 （1，2），则的值为_______________ 4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式． 5．一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。 6．已知抛物线的对称轴为直线，经过， 7．已知一个二次函数的图象过（1，5）、（）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。 二、能力提升（二层） 一．选择题（共6小题） 1．已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣9），（0，﹣4）和（1，﹣3），则该二次函数的解析式为（　　） A．y＝﹣2x2+3x﹣4 B．y＝2x2+3x﹣4 C．y＝﹣x2+3x﹣4 D．y＝x2+3x﹣4 2．抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与yx2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（　　） A．y（x+3）2+5 B．y（x﹣3）2﹣5 C．y（x+3）2+5 D．y（x﹣3）2﹣5 3．抛物线y＝ax2+bx+c+与x轴的交点为（1，0）和（3，0），其形状与抛物线y＝﹣2x2相同，则抛物线对应的函数解析式为（　　） A．y＝﹣2x2﹣x+3 B．y＝﹣2x2+8x+6 C．y＝﹣2x2+4x+6 D．y＝﹣2x2+8x﹣6 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表： x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3 则当x＝1时，y的值为（　　） A．5 B．﹣3 C．﹣13 D．﹣27 5．一抛物线与抛物线y＝﹣3x2的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣3（ x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3 C．y＝3（x+1）2+3 D．y＝﹣3（x+1）2+3 6．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6，以下判断正确的是（　　） A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝4，则a＞0 C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝8，则a＞0 三、拓展提高（三层） 二．填空题（共3小题） 7．如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是　 　． 8．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣4≤x≤1时，y的最大值为7，则a的值为　 　． 9．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，﹣4），以点C为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过x轴上的点A，B．则抛物线的解析式是 　 　． 三．解答题（共2小题） 10．如图，二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC． （1）求点C的坐标； （2）求二次函数的解析式，并求出函数顶点坐标． 11．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x+b，其中a﹣b＝4． （1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式． （2）若（x1，y1）（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点，当x1+x2＝2时，y1＝y2，求a的值． （3）若点（﹣1，t）在此二次函数图象上，且当x≥﹣1时y随x的增大而增大，求t的范围． 答案 二、能力提升（二层） 一．选择题（共6小题） 1．解：设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c， 把（﹣1，﹣9），（0，﹣4）和（1，﹣3）分别代入得， 解得， 所以抛物线解析式为y＝﹣2x2+3x﹣4． 故选：A． 2．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2﹣5， 因为所求抛物线与yx2的图象开口大小相同， 而y的最大值为﹣5， 所以a， 所以这条抛物线解析式为y（x﹣3）2﹣5． 故选：B． 3．解：∵其形状与抛物线y＝﹣2x2相同， ∴a＝﹣2， ∵抛物线与x轴的交点为（1，0）、（3，0）， ∴其解析式y＝﹣2（x﹣1）（x﹣3）＝﹣2x2+8x﹣6， 故选：D． 4．解：根据抛物线的对称性，可知对称轴为直线x＝﹣3， 所以x＝1和x＝﹣7对称． 当x＝﹣7时，y的值为﹣27， 所以当x＝1时，y的值为﹣27． 故选：D． 5．解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，3）， ∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+3， ∵抛物线y＝a（x+1）2+3与抛物线y＝﹣3x2的形状、开口方向完全相同， ∴a＝﹣3， ∴所求的抛物线解析式为y＝﹣3（x+1）2+3． 故选：D． 6．解：当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6；代入函数式得：， ∴a（5﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝4， 整理得：a（6﹣2h）＝1， 若h＝2，则a，故A错误； 若h＝4，则a，故B错误； 若h＝6，则a，故C正确； 若h＝8，则a，故D错误； 故选：C． 三、拓展提高（三层） 二．填空题（共3小题） 7．如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是　yx2x+5　． 解：根据题意得，抛物线经过点（0，5），（﹣4，2），（2，4）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2x+5． 故答案为：yx2x+5． 8．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣4≤x≤1时，y的最大值为7，则a的值为　﹣1　． 解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3＝a（x+1）2+3a2﹣a+3， ∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1， ∵当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣4≤x≤1时，y的最大值为7， ∴a＜0，当x＝﹣1时，y＝7， ∴7＝a（x+1）2+3a2﹣a+3， 解得，a1＝﹣1，a2（舍去）， 故答案为：﹣1． 9．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，﹣4），以点C为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过x轴上的点A，B．则抛物线的解析式是 　y＝（x﹣4）2﹣4　． 解：∵▱ABCD中，AB＝4， ∴DC＝AB＝4， 又D（0，﹣4），即OD＝4， ∴C（4，﹣4），即抛物线对称轴为直线x＝4， ∵AB＝4， ∴A（2，0），B（6，0）， ∵顶点C（4，﹣4）， ∴抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣4， 把A（2，0）代入得，0＝4a﹣4， 解得a＝1， ∴抛物线的解析式是y＝（x﹣4）2﹣4； 故答案为：y＝（x﹣4）2﹣4． 三．解答题（共2小题） 10．如图，二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC． （1）求点C的坐标； （2）求二次函数的解析式，并求出函数顶点坐标． 解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0）， ∴AB＝5． ∵AB＝OC， ∴OC＝AB＝5， ∴点C的坐标为（0，5）； （2）设二次函数解析式为：y＝ax2+bx+5， 把点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0）代入得， ， ， ∴． ∵， ∴顶点坐标为． 11．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x+b，其中a﹣b＝4． （1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式． （2）若（x1，y1）（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点，当x1+x2＝2时，y1＝y2，求a的值． （3）若点（﹣1，t）在此二次函数图象上，且当x≥﹣1时y随x的增大而增大，求t的范围． 解：（1）将（1，3），a﹣b＝4代入y＝ax2+（a+1）x+b得：3＝a+a+1+a﹣4， ∴a＝2， ∴b＝a﹣4＝﹣2， ∴这个二次函数的表达式为：y＝2x2+3x﹣2， （2）∵y1＝y2， ∴这两个点关于x轴对称， ∴， ∴， ∴， （3）∵点（﹣1，t）在二次函数图象上， ∴t＝a﹣a﹣1+a﹣4＝a﹣5， ∵当x≥﹣1时y随x的增大而增大， 当a＞0时，有， ∴0＜a≤1， ∴﹣5＜t≤﹣4， 当a＜0时，不符合题意舍去， ∴﹣5＜t≤﹣4． 学科网（北京）股份有限公司 $$