专题14 中心对称（9大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题14 中心对称 目录 【题型一 辨别中心对称图形】 1 【题型二 由中心对称图形的性质判断结论正误】 2 【题型三 补全图形使之成为中心对称图形】 3 【题型四 关于原点对称的点的坐标】 4 【题型五 由中心对称的性质求线段长度】 5 【题型六 由中心对称的性质求面积】 5 【题型七 由中心对称的性质求坐标】 6 【题型八 画某个图形的中心对称图形】 7 【题型九 中心对称的规律问题】 9 【题型一 辨别中心对称图形】 例题：（2024年山东省青岛市中考数学试题）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和复旦大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型二 由中心对称图形的性质判断结论正误】 例题：（2024·山西阳泉·三模）我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．其中赵爽弦图巧妙的利用数形结合验证了勾股定理，以下对于赵爽弦图的说法，正确的是（    ） A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．是中心对称图形，但不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 2．（21-22八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，与关于点成中心对称，有以下结论：①点A与点是对称点；②；③；④．其中正确结论的序号为 ． 【题型三 补全图形使之成为中心对称图形】 例题：（2024·贵州贵阳·一模）已知图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取小等边三角形涂上阴影：    (1)在图1中，选取2个小等边三角形，使得7个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． (2)在图2中，选取3个小等边三角形，使得8个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在方格网中已知格点和点P，请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)画出，使得和关于点P成中心对称； (2)请在方格网中标出所有使以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形的D点． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）下图是由含内角的菱形组成的一个的网格图． 请画出以为边的格点四边形 ，其中点，，，均在格点上． 要求如下∶ (1)在图1中画一个是中心对称，但非轴对称的格点四边形． (2)在图2中画一个是轴对称，但非中心对称的格点四边形． 【题型四 关于原点对称的点的坐标】 例题：（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）点关于原点对称的点的坐标是 ． 2．（2023·河南商丘·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则 . 【题型五 由中心对称的性质求线段长度】 例题：（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【变式训练】 1．（23-24八年级下·内蒙古包头·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为 ． 【题型六 由中心对称的性质求面积】 例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）． A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（    ） A．8 B．10 C．15 D．30 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．则阴影部分的面积为 平方米． 【题型七 由中心对称的性质求坐标】 例题：（2023·山东青岛·模拟预测）如图，把 经过一定的变换得到 ，如果上的点P 的坐标为，那么它的对应点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·辽宁大连·开学考试）把点绕原点旋转后得到点，则点的坐标为 ． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，再把点绕点旋转得到点，那么点的坐标是 ． 【题型八 画某个图形的中心对称图形】 例题：（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（    ） 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【变式训练】 1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，老师让同学们利用棋子在棋盘上拼出一个中心对称图形（颜色忽略），为了增加难度，加入了方向角，则下一个棋子应该放在中心点的（    ）    A．西北方向的处 B．西南方向的处 C．东南方向的处 D．西南方向的处 2．（23-24八年级下·重庆南岸·期末）如图所示，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为，，．    (1)在图中，画出向右平移7个单位得到的； (2)在图中，画出以点为对称中心，与成中心对称图形，并写出点，，的坐标； (3)在轴上存在点，使得最短，直接写出点的坐标． 【题型九 中心对称的规律问题】 例题：（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ． 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建三明·期中）平面直角坐标系中的点与点关于原点对称，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列图形中，是中心对称图形的是 （       ） A．   B．   C．   D．   5．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·单元测试）点与关于原点对称，则 ． 7．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为 ．    8．（23-24八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，位于第二象限，点A的坐标是，关于原点对称的图形，则点坐标为 ． 9．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ，（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③长方形；④正五边形；⑤圆；⑥平行四边形 10．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．求证：是等腰三角形． 12．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，由个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示） (1)使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形； (3)使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形． 14．（23-24八年级上·四川内江·开学考试）如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，点在格点上． (1)画，使与关于直线成轴对称； (2)画，使与关于点成中心对称． 15．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标：_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 中心对称 目录 【题型一 辨别中心对称图形】 1 【题型二 由中心对称图形的性质判断结论正误】 3 【题型三 补全图形使之成为中心对称图形】 5 【题型四 关于原点对称的点的坐标】 8 【题型五 由中心对称的性质求线段长度】 9 【题型六 由中心对称的性质求面积】 11 【题型七 由中心对称的性质求坐标】 12 【题型八 画某个图形的中心对称图形】 14 【题型九 中心对称的规律问题】 17 【题型一 辨别中心对称图形】 例题：（2024年山东省青岛市中考数学试题）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握相关定义是解题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，但它是中心对称图形，故不符合题意； B．是轴对称图形，但它不是中心对称图形，故不符合题意； C．不是轴对称图形，但它是中心对称图形，故不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和复旦大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、看起来像轴对称图形但不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的定义，根据如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；结合定义逐项判断即可． 【详解】解：．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，该选项错误，不符合题意； ． 该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项错误，不符合题意； ． 该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项正确，符合题意； ． 该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【题型二 由中心对称图形的性质判断结论正误】 例题：（2024·山西阳泉·三模）我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．其中赵爽弦图巧妙的利用数形结合验证了勾股定理，以下对于赵爽弦图的说法，正确的是（    ） A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．是中心对称图形，但不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 【答案】B 【分析】本题考查中心对称，根据题意得到的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，则：的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称， 故只有淇淇对； 故选B． 2．（21-22八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，与关于点成中心对称，有以下结论：①点A与点是对称点；②；③；④．其中正确结论的序号为 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质分别判断即可． 【详解】解：由中心对称的性质知，①点A与点是对称点，正确； ②，正确； 由中心对称知， ， ∴， ∴，故③正确； ∴，故④错误； 故答案为：①②③． 【题型三 补全图形使之成为中心对称图形】 例题：（2024·贵州贵阳·一模）已知图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取小等边三角形涂上阴影：    (1)在图1中，选取2个小等边三角形，使得7个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． (2)在图2中，选取3个小等边三角形，使得8个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及利用旋转设计图案，正确掌握相关图形的性质是解题关键． （1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案； （2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：轴对称图形如图1所示；（答案不唯一）    （2）解：中心对称图形如图2所示（答案不唯一）    【变式训练】 1．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在方格网中已知格点和点P，请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)画出，使得和关于点P成中心对称； (2)请在方格网中标出所有使以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形的D点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）分以，为对角线两种情况，结合平行四边形的判定确定点即可． 本题考查中心对称、平行四边形的判定，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图， 即为所求． （2）解：如图，当以为对角线时，四边形为平行四边形； 当以为对角线时，四边形为平行四边形． 则点和均为满足题意的点． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）下图是由含内角的菱形组成的一个的网格图． 请画出以为边的格点四边形 ，其中点，，，均在格点上． 要求如下∶ (1)在图1中画一个是中心对称，但非轴对称的格点四边形． (2)在图2中画一个是轴对称，但非中心对称的格点四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图、轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握轴对称图形、中心对称图形的定义是解答本题的关键． （1）根据题意，画平行四边形即可． （2）根据轴对称图形和中心对称图形的定义画图即可． 【详解】（1）解：如图1，四边形即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图2，四边形即为所求（答案不唯一）． ． 【题型四 关于原点对称的点的坐标】 例题：（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是求一个点关于原点对称的对称点的坐标，掌握变化的规则是解决此题的关键． 根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即可求出． 【详解】点关于原点对称的点的坐标为． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标．根据“关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数”即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 2．（2023·河南商丘·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则 . 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，求代数式的值，先根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型五 由中心对称的性质求线段长度】 例题：（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，成中心对称的两个图形全等以及成中心对称的两个图形的对应边相等． 根据中心对称的性质可得的面积等于12，．根据三角形的面积公式即可求中边上的高． 【详解】根据中心对称的性质可得：的面积等于的面积是12，． 根据三角形的面积公式，则边上的高是． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·内蒙古包头·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了成中心对称的图形的性质、三角形全等的性质、勾股定理，由题意得出，从而得出，，，求出，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】在直角中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得，依据中心对称可得，据此即可求解． 本题主要考查了直角三角形的性质：的锐角所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵与关于中心对称， ∴， 故答案为：． 【题型六 由中心对称的性质求面积】 例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形的性质，三角形的面积公式．根据中心对称图形的性质得出是解题关键． 【详解】解：∵阴影部分图形关于点O成中心对称， ∴, ∴． ∵的高， ∴． 故选D． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（    ） A．8 B．10 C．15 D．30 【答案】C 【分析】图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对称图形的性质得到解答． 【详解】解：由图可知，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分， 则阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．则阴影部分的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，由阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，再列式计算即可． 【详解】解：∵观赏鱼池是中心对称，且米， ∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆， ∴阴影部分的面积为（平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 故答案为： 【题型七 由中心对称的性质求坐标】 例题：（2023·山东青岛·模拟预测）如图，把 经过一定的变换得到 ，如果上的点P 的坐标为，那么它的对应点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转中心坐标的计算，解题的关键是掌握中点坐标的计算方法；根据题意可知旋转中心坐标为，再根据中点坐标公式的计算方法求解即可． 【详解】解：由图可知，与关于成中心对称，设， ， 解得， ． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·辽宁大连·开学考试）把点绕原点旋转后得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于原点对称的特点，根据关于原点对称的点的横坐标、纵坐标均为原坐标的横坐标、纵坐标的相反数即可求解，掌握关于原点对称点的特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，点绕原点旋转后的得到点，即关于原点对称， ∴， 故答案为： ． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，再把点绕点旋转得到点，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移和中心对称对称的性质，掌握这些是解题关键．设，由平移得，再利用旋转可得，，求解即可得解． 【详解】解：设， ∵点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点， ∴即， ∵把点绕点旋转得到点， ∴，， 解得，， ∴ 故答案为： 【题型八 画某个图形的中心对称图形】 例题：（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（    ） 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得4个涂黑的正方形组成轴对称图形，如图，      共有2个， 故选：B． 【变式训练】 1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，老师让同学们利用棋子在棋盘上拼出一个中心对称图形（颜色忽略），为了增加难度，加入了方向角，则下一个棋子应该放在中心点的（    ）    A．西北方向的处 B．西南方向的处 C．东南方向的处 D．西南方向的处 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、B、C均无法找到一个点，使其绕着某个点旋转能与原来的图形重合， D能找到一个点，使其绕着某个点旋转能与原来的图形重合，此时红点即对称点：    故选D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对应点． 2．（23-24八年级下·重庆南岸·期末）如图所示，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为，，．    (1)在图中，画出向右平移7个单位得到的； (2)在图中，画出以点为对称中心，与成中心对称图形，并写出点，，的坐标； (3)在轴上存在点，使得最短，直接写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， (3) 【分析】本题主要考查了平移作图、中心对称作图、最短路径问题等知识点，正确作出图形是解题的关键． （1）先将三点向右平移7个单位得到，然后顺次连接即可； （2）先根据中心对称作出的对应点，然后顺次连接即可完成作图，再读出，，即可； （3）如图：作关于y轴的对称点,连接,与y轴的交点即为P点，然后根据图像确定点P的坐标即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求； ． （3）解：如图：作关于y轴的对称点,连接,与y轴的交点即为P点，由图像可得．    【题型九 中心对称的规律问题】 例题：（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建三明·期中）平面直角坐标系中的点与点关于原点对称，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据“成中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可判断． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， ，，与的面积相等， 故①②④正确； 对称点到对称中心的距离相等， ， 故③正确； 综上可知，正确的有4个， 故选D． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成中心对称的知识，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点；熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：根据成中心对称的概念可得，与成中心对称的如图所示： ， 故选：D． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列图形中，是中心对称图形的是 （       ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查中心对称图形的判断能力，解题的关键是掌握中心对称的定义． 根据中心对称的定义，把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．结合题目中的图形逐个判断即可解答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误； B、是中心对称图形，故选项正确； C、不是中心对称图形，故选项错误； D、不是中心对称图形，故选项错误． 故选：B． 5．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得出，，根据中心对称的性质得出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边的中线，， ∴，， ∵与关于点C中心对称，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·单元测试）点与关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握平面直角坐标系内关于原点对称的两点坐标特征成为解题的关键 根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数即可解答． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、中心对称图形的概念、勾股定理．根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理列式求出，根据中心对称图形的性质计算． 【详解】解：在中，， ， 由勾股定理得，，即， 解得，， 图形是一个中心对称图形，为对称中心， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，位于第二象限，点A的坐标是，关于原点对称的图形，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数即可得到答案． 【详解】解：∵和关于原点对称，点A的坐标是， ∴点坐标为， 故答案为：． 9．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ，（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③长方形；④正五边形；⑤圆；⑥平行四边形 【答案】③⑤ 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称的定义，解题的关键是掌握中心对称图形和轴对称的定义，轴对称，把一个图形一部分沿着某一条直线折叠，能够与另一部分重合的图形；中心对称，一个图形围绕着某一个旋转180度能够与原来的图形重合；旋转图形，一个图形围绕着某一个点旋转任意角度能够与原来的图形重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：等边三角形，等腰直角三角形，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形； 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； 长方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形． 故答案为：③⑤． 10．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，中心对称图形的性质等，先证明，得到，等量代换得到，即可证明． 【详解】证明：∵点D与点C关于点E中心对称， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 12．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解此题的关键． （1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴，，， ∴的周长， 答：的周长为18． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，由个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示） (1)使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形； (3)使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是图案设计问题，由于设计方案的多样化，只要满足相应问题对轴对称，中心对称的要求即可，这样就可以发挥学生丰富的想象力，提高学习兴趣．轴对称图形是指在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．再展开丰富的想象力画图即可． （1）根据轴对称图形与中心对称图形的特点画图即可； （2）根据轴对称图形与中心对称图形的特点画图即可； （3）根据轴对称图形与中心对称图形的特点画图即可； 【详解】（1）解：如图，所画图形如下： （2）解：如图，所画图形如下： （3）解：如图，所画图形如下： 14．（23-24八年级上·四川内江·开学考试）如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，点在格点上． (1)画，使与关于直线成轴对称； (2)画，使与关于点成中心对称． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析． 【分析】（）分别作出，，关于的对称点，，即可； （）分别作出，，关于点成中心对称的对称点，，即可； 本题考查了轴对称变换，中心对称变换等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图， 即为所求； 15．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标：_________． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查作图—旋转变换，平移变换等知识， （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； （2）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； （3）结合图形并根据平移的性质、中心对称的性质求出点、、、、、的坐标，再求出它们的中点的坐标判断出与是关于该中点对称的中心对称图形，由此即可得．对应点连线的交点即为旋转中心； 解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，即为所作； （3）由图可知可得：、、， ∴、、、、、， 即、、、、、， 又∵，，， ∴、、的中点的坐标均为， ∴与是以点为对称中心的中心对称图形， 则旋转中心的坐标为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$