专题13 图形的旋转（10大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题13 图形的旋转 目录 【题型一 判断生活中的旋转现象】 1 【题型二 由旋转的性质判断结论正误】 2 【题型三 由旋转的性质进行求解】 2 【题型四 由旋转的性质证明线段相等或角相等】 3 【题型五 画旋转图形】 4 【题型六 旋转对称图形】 5 【题型七 旋转求坐标】 6 【题型八 旋转中的规律性问题】 7 【题型九 由旋转的性质求最值】 8 【题型十 图形的动态旋转】 9 【题型一 判断生活中的旋转现象】 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）下列运动中不属于旋转的是（    ） A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动 C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动 【变式训练】 1．（22-23七年级上·辽宁本溪·开学考试）队列比赛，老师喊得口令是“向右转”，你的身体应该（    ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 2．（22-23九年级上·宁夏吴忠·期中）运动“冰壶滑行到终点．直升机螺旋桨的转动．气球冉冉升起．钢架雪车加速前进”属于旋转的是 ． 【题型二 由旋转的性质判断结论正误】 例题：（23-24八年级下·广东深圳·期末）在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是（    ） A．对应点所连线段都平行 B．对应线段都平行 C．对应点所连线段都相等 D．对应线段都相等 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 2．（2022·四川泸州·一模）如图，△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，则下列说法正确的是（　　） A．点B与点D是对应点 B．∠BCD等于旋转角 C．点A与点E是对应点 D．△ABC≌△DEC 【题型三 由旋转的性质进行求解】 例题：（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将绕点B顺时针旋转一定的角度得到，此时点C在边上，若，，则的长是 ． 【题型四 由旋转的性质证明线段相等或角相等】 例题：（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，是由绕点顺时针旋转得到的，当点恰好落在上时，与的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则 ． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，试判断并证明线段与的数量关系与位置关系． 【题型五 画旋转图形】 例题：（23-24八年级下·全国·期中）如图，已知的三个顶点的坐标为、、． (1)画出将绕原点O逆时针旋转，所得到的； (2)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标：_____． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)把向上平移1个单位，得到，画出； (2)把绕点逆时针旋转得到，画出； (3)请直接写出五边形的周长． 2．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为___________； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标为___________． 【题型六 旋转对称图形】 例题：（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（   ） A．（3）和（4） B．（2）和（3） C．（2）和（4） D．（4）和（3） 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）下面四个图案（忽略旁边一圈的文字）：是旋转对称图形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下列图形绕某点逆时针旋转后，不能与原来图形重合的是（    ） A． B． C． D． 【题型七 旋转求坐标】 例题：（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·湖北恩施·期末）如图，将绕原点O逆时针旋转得到，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，将先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型八 旋转中的规律性问题】 例题：（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x、y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 【题型九 由旋转的性质求最值】 例题：（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在等边三角形中，，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为 ． 【题型十 图形的动态旋转】 例题：（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的边平行于三角板的某一边时（不包含重合的情形），此时t的值为 ．    【变式训练】 1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针方向旋转秒（）．    (1)如图2，________度（用含的式子表示）； (2)在旋转的过程中，是否存在的值，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转．请求出在旋转过程中，当为何值时，平分． 2．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“奇妙线”． (1)一个角的平分线___________这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） (2)若，且射线是的“奇妙线”，则___________； 深入研究： 如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线成时停止旋转，旋转的时间为t秒． (3)当t=___________时，射线是的“奇妙线”； (4)若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“奇妙线”时，t=___________． 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下列图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将绕着点C顺时针旋转后得到，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将绕点顺时针旋转得到．若线段 ，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，．将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　） A．1 B． C．2 D． 5．（2024年山东省青岛市中考数学试题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，是等边三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则四边形的面积为 ． 7．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当到达时停止旋转. （1）的度数为 . （2）当旋转了 秒时，度. 8．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，对角线绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交于点E、F，若，则图中阴影部分的面积是 ． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，P为边上一点．连接，将线段绕点A顺时针旋转至．连接，则 ． 10．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如图，将绕点A逆时针旋转得到，其中点B，C分别与点D，E对应，如果B，D，C三点恰好在同一直线上，下列结论：①是等腰三角形；②；③；④；⑤，其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知和点，求作绕点顺时针旋转得到的．（保留作图痕迹，不写作法） 12．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）中，，，将绕点A逆时针旋转后至． (1)求的度数； (2)若，线段与，分别交于、，求的长． 13．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 ． (1)将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为）； (2)将绕着点O顺时针旋转，画出旋转后得到的（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为），则的坐标_____________； (3)在平面内有一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的所有点D的坐标是 ． 15．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起： (1)①如图若，则______________；②猜想与的数量关系式为______________； (2)若三角尺不动，将三角尺的边与边重合，然后绕点按顺时针方向任意转动一个角度，当等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出角度所有可能得值______________； (3)若三角尺不动，将三角形的边与边重合，然后绕点按顺时针方向每分钟旋转，旋转过程中两三角尺斜边无重叠，旋转时间为分钟．在旋转一周过程中，为______________时，与平行？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 图形的旋转 目录 【题型一 判断生活中的旋转现象】 1 【题型二 由旋转的性质判断结论正误】 2 【题型三 由旋转的性质进行求解】 4 【题型四 由旋转的性质证明线段相等或角相等】 5 【题型五 画旋转图形】 7 【题型六 旋转对称图形】 11 【题型七 旋转求坐标】 13 【题型八 旋转中的规律性问题】 15 【题型九 由旋转的性质求最值】 17 【题型十 图形的动态旋转】 21 【题型一 判断生活中的旋转现象】 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）下列运动中不属于旋转的是（    ） A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动 C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可 【详解】解：A. 摩天轮的转动，属于旋转，故不符合题意； B. 酒店旋转门的转动，属于旋转，故不符合题意； C. 气球升空的运动,，属于平移，故符合题意； D. 电风扇叶片的转动，属于旋转，故不符合题意； 故选：C 【变式训练】 1．（22-23七年级上·辽宁本溪·开学考试）队列比赛，老师喊得口令是“向右转”，你的身体应该（    ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的知识，熟练掌握旋转的定义是解题关键．结合生活实际以及旋转的定义，即可获得答案． 【详解】解：队列比赛，老师喊得口令是“向右转”，身体应该顺时针旋转． 故选：A． 2．（22-23九年级上·宁夏吴忠·期中）运动“冰壶滑行到终点．直升机螺旋桨的转动．气球冉冉升起．钢架雪车加速前进”属于旋转的是 ． 【答案】直升机螺旋桨的转动 【分析】根据旋转和平移的定义可得答案． 【详解】解：冰壶滑行到终点属于旋转加平移；直升机螺旋桨的转动属于旋转；气球冉冉升起属于平移；钢架雪车加速前进属于平移， 故答案为：直升机螺旋桨的转动． 【点睛】本题考查了生活中常见的旋转和平移现象，熟知旋转和平移的定义是解题的关键． 【题型二 由旋转的性质判断结论正误】 例题：（23-24八年级下·广东深圳·期末）在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是（    ） A．对应点所连线段都平行 B．对应线段都平行 C．对应点所连线段都相等 D．对应线段都相等 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，旋转的性质，掌握平移和旋转的性质是解题关键．根据平移和旋转后的对应线段都相等解答即可． 【详解】解：平移的性质：对应点所连线段平行（在同一直线上）、对应点所连线段相等、对应线段平行（在同一直线上）、对应线段相等、对应角相等； 旋转的性质：对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心的距离相等． 故选D． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．进行判断即可． 【详解】解：由绕O旋转而得到， 点A与是一组对应点，，，故A，B，D都不合题意． 与不是对应角， 与不一定相等，不成立，故C符合题意． 故选：C． 2．（2022·四川泸州·一模）如图，△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，则下列说法正确的是（　　） A．点B与点D是对应点 B．∠BCD等于旋转角 C．点A与点E是对应点 D．△ABC≌△DEC 【答案】D 【分析】利用旋转的性质即可求解 【详解】解：∵△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置， ∴△ABC≌△DEC，点B与点E是对应点，点A与点D是对应点，∠ACD与∠BCE是旋转角， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，掌握旋转的性质是解题的关键． 【题型三 由旋转的性质进行求解】 例题：（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，得到，利用角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴； 故选A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，最后由三角形内角和即可求解，即可． 【详解】解：由旋转性质可知：， ∵点D恰好落在的延长线上， ∴， ∴， 即旋转角的度数是， 故选：B． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将绕点B顺时针旋转一定的角度得到，此时点C在边上，若，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了旋转的性质．由旋转的性质可得，，即可求解．理解旋转前后的对应线段相等是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ，， ． 故答案为：3． 【题型四 由旋转的性质证明线段相等或角相等】 例题：（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，是由绕点顺时针旋转得到的，当点恰好落在上时，与的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，由旋转的性质可得，，可得，由三角形的内角和及平角定义即可得出结论． 【详解】解：是由绕点顺时针旋转得到的， ，， ， ， ， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键． 根据旋转的性质知，，然后利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】∵绕点按逆时针方向旋转后与重合， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，试判断并证明线段与的数量关系与位置关系． 【答案】相等且垂直，见解析 【分析】本题主要考查了旋转变换以及旋转的性质，解题的关键是：依据旋转的性质即可得到，再根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推理，即可得出结论． 【详解】解：线段与的数量关系为相等，位置关系为互相垂直． 理由如下：如图所示，延长交于，交于， 将绕点顺时针旋转得到， ， ，且， 又， ， 又， ，即， ， 线段与的数量关系为相等，位置关系为互相垂直． 【题型五 画旋转图形】 例题：（23-24八年级下·全国·期中）如图，已知的三个顶点的坐标为、、． (1)画出将绕原点O逆时针旋转，所得到的； (2)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标：_____． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了作图——旋转变换、平行四边形的判定，根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A、B、C关于原点的对称点、、，然后描点连线即可； （2）把点A向左（或右）平移5个单位得到D点坐标，或把B点向下平移3个单位，再向右平移1个单位可得D点坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）以、为邻边，为对角线组成的平行四边形，此时； 以、为邻边，为对角线组成的平行四边形，此时； 以、为邻边，为对角线组成的平行四边形，此时， 综上所述：点D的坐标为或或． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)把向上平移1个单位，得到，画出； (2)把绕点逆时针旋转得到，画出； (3)请直接写出五边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查作图旋转变换与平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义与性质及勾股定理． （1）将三个顶点分别向上平移1个单位得到对应点，再顺次连接即可得； （2）将点、绕点逆时针旋转得到对应点，再首尾顺次连接即可得； （3）利用勾股定理求出和的长度，从而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：，，，， 五边形的周长为． 2．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为___________； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标为___________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题考查作图旋转变换，作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质找到对应的，，，连线即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1所示，△即为所求． 由图可得，点， 故答案为：； （2）解：如图2所示，即为所求． 由图可得，点， 故答案为：． 【题型六 旋转对称图形】 例题：（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（   ） A．（3）和（4） B．（2）和（3） C．（2）和（4） D．（4）和（3） 【答案】A 【分析】本题考查的是学生对旋转和平移的掌握程度，根据平移后的图形与原图形完全相同，旋转后的图形与原图形方向不同，形状大小相同判断即可． 【详解】解：图（3）是由图（1）平移得到的，图（4）是由图（1）旋转得到的． 故选A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）下面四个图案（忽略旁边一圈的文字）：是旋转对称图形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查旋转对称图形的定义，根据：“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，”进行判断即可． 【详解】解：前三个图形是旋转对称图形；第四个图形不是旋转对称图形． 故选：C． 2．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下列图形绕某点逆时针旋转后，不能与原来图形重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．熟知一些常见图形的旋转特性是解题的关键. 【详解】解：A、绕它的中心旋转能与原图形重合，故本选项不符合题意； B、绕它的中心旋转能与原图形重合，故本选项不符合题意； C、绕它的中心旋转不能与原图形重合，故本选项符合题意； D、绕它的中心旋转才能与原图形重合，故本选项不符合题意， 故选C． 【题型七 旋转求坐标】 例题：（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点D，利用直角三角形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查坐标与图形变化—旋转，旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质和直角三角形的有关性质是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点D， ∵，绕点逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是，    故选D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·湖北恩施·期末）如图，将绕原点O逆时针旋转得到，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转前后对应线段的长度不变解答即可． 【详解】由图易知，，，， ∵将绕原点O逆时针旋转得到， ∴，，， ∵点D在第二象限， ∴点D的坐标是． 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，将先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，根据平移的规律找到点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标．熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示：的坐标为，向上平移1个单位后为，再绕点P逆时针旋转后对应点的坐标为． 故选：D． 【题型八 旋转中的规律性问题】 例题：（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标系中的点的规律探究，根据题意，得到正方形每旋转8次回到原来的位置，利用，得到的坐标和点的坐标重合，即可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：，每旋转次，正方形回到原来的位置， ∵， ∴的坐标和点的坐标重合， ∴点的坐标是； 故选A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x、y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点所在的象限，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， 将正方形绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形， 再将正方绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形…以此规律， ∴每4次循环一周，， ∵， ∴点与同在一个象限内， ∴点， 故选：A． 2．（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可． 【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可， ∵在第四象限， ∴除以4后的余数为2， ∵， 故选D．   ． 【题型九 由旋转的性质求最值】 例题：（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【答案】B 【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H， ∴， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5， ∴长的最小值是2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，则点E在以为直径的圆上，取中点G，当过点G时，有最小值，由旋转的性质得到，则此时也取最小值，即可解答． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 取中点G，连接，当过点G时，有最小值，    又∵按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴此时也取最小值， ∵，为的半径，即， ∴此时， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹． 2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在等边三角形中，，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点K，连接、，根据等边三角形的性质，得到，，再结合旋转的性质，证明，有，故当最小时，最小，此时，由是的中位线，可得，从而长的最小值为． 【详解】解：如图，取的中点K，连接、， 是等边三角形，，， ，， 将线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 当最小时，最小，此时， ， ， 是的中位线， 长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 【题型十 图形的动态旋转】 例题：（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的边平行于三角板的某一边时（不包含重合的情形），此时t的值为 ．    【答案】15或27或33 【分析】分情况讨论：当时；当时；当时；结合图形求出的度数，即可求出t的值．本题考查了平行线的性质，旋转的性质，关键在于数形结合，分类讨论． 【详解】解：如图1，当时，    此时与重合， ∴， ∴； 如图2，当时，    ∴， ∴， ∴； 如图3，当时，    ∴， ∴， ∴； 综上，或27或33， 故答案为：15或27或33． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针方向旋转秒（）．    (1)如图2，________度（用含的式子表示）； (2)在旋转的过程中，是否存在的值，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转．请求出在旋转过程中，当为何值时，平分． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】（1）根据旋转有：，再根据，即可作答； （2）分当在内部时，当在外部时两种情况讨论，正确列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）根据旋转的性质有：，即有，再根据平分，可得，据此列方程，即可求解． 【详解】（1）根据旋转有：， ∵， ∴， 故答案为：． （2）当在内部时，即时， 即有：， 根据题意得： 解得：； 当在外部时，即时， 即有：， 根据题意得： 解得：． 综上所述：或． （3）根据旋转的性质有：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角度的计算，角平分线的性质，一元一次方程的应用等知识，理清图中各角度的之间的关系，正确列出方程，是解答本题的关键． 2．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“奇妙线”． (1)一个角的平分线___________这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） (2)若，且射线是的“奇妙线”，则___________； 深入研究： 如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线成时停止旋转，旋转的时间为t秒． (3)当t=___________时，射线是的“奇妙线”； (4)若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“奇妙线”时，t=___________． 【答案】(1)是 (2)30°或45°或60° (3)9或12或18 (4)或或 【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解． （2）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解． （3）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可． （4）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）当是的平分线时， ∵， ∴一个角的平分线是这个角的“奇妙线”； 故答案为：“是”． （2）当射线是的“奇妙线”时， ∴， ∴． 当射线是的“奇妙线”时， ∴， ∴， ∴， ∴． 当射线是的“奇妙线”时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30°或45°或60°． （3）依题意有在的内部， ∴，， ①当时， ， 解得：． ②当时， ， 解得：． ③当时， ， 解得：． 故答案为：当t=9或12或18时，射线是的“奇妙线”． （4）依题意有在的内部， ∴，，， ①当时， ， 解得． ②当时， ， 解得． ③当时， ， 解得． 故答案为：当射线是的“奇妙线”时，t=或或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键． 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下列图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题中确定旋转角的方法是需要掌握的内容．观察每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得到，就是看这个图形可以被通过中心的射线平分成几个全等的部分，即可确定旋转的角度． 【详解】解：每一个图案都可以被通过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转的角度是60度． 故选：C． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将绕着点C顺时针旋转后得到，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，几何图中角度的计算， 根据旋转的性质可得出，，再根据角度的和差关系可得出，进而可得出. 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将绕点顺时针旋转得到．若线段 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转可得，，即得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，．将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】如图，过作于，求解，，结合旋转的性质证明，，，可得为等边三角形，求解，再利用含角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案． 【详解】解：如图，过作于， 由，， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴A到的距离为1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 5．（2024年山东省青岛市中考数学试题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则，即点A的对应点的坐标是． 【详解】解：由题意得，平移前， ∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合， ∴平移方式为向右平移3个单位长度， ∴平移后点A的对应点坐标为， 如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A的对应点的坐标是， 故选：A． 二、填空题 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，是等边三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理及其逆定理，连接，过点P作于点D，先证是等边三角形，求出的面积，再证，求出的面积，最后利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点P作于点D， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当到达时停止旋转. （1）的度数为 . （2）当旋转了 秒时，度. 【答案】 或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键． （1）根据余角的定义求出答案即可； （2）设运动时间为，根据题意分情况进行讨论． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2）设运动时间为， 根据题意可得， 当时， 此时 解得； 当时， 此时解得； 综上所述，或秒时，度． 8．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，对角线绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交于点E、F，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和旋转的性质，熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质是解题的关键． 连接，先求出的面积，根据平行四边形的性质求出的面积，根据求出的面积，同理得到的面积，得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∵点O是的中点， ∴点O在上，且点O是的中点， ∴的面积＝的面积， ∵， ∴的面积＝的面积， 再由旋转性质同理可得，的面积， ∴图中阴影部分的面积 故答案为：． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，P为边上一点．连接，将线段绕点A顺时针旋转至．连接，则 ． 【答案】或30度 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，根据旋转的性质得出，，再由等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵将线段绕点A顺时针旋转至． ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如图，将绕点A逆时针旋转得到，其中点B，C分别与点D，E对应，如果B，D，C三点恰好在同一直线上，下列结论：①是等腰三角形；②；③；④；⑤，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】首先根据旋转的性质得到，然后由全等三角形的性质得到，，，，然后利用等腰三角形的性质和判定和三角形内角和定理逐项求解判断即可． 【详解】∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴ ∴，，， ∴是等腰三角形；故①正确； ∴，， ∴，故④正确； ∵， ∴，故⑤正确； 如图所示，设与交于点F， ∵， ∴，故②正确， 由题意无法证明，故③错误， 综上所述，正确的是①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知和点，求作绕点顺时针旋转得到的．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了旋转变换，根据旋转的性质得出对应点位置是解题关键． 利用旋转的性质分别得出对应点的位置，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， 即为所求． 12．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）中，，，将绕点A逆时针旋转后至． (1)求的度数； (2)若，线段与，分别交于、，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握特殊角度的直角三角形的三边关系是解题的关键． （1）利用旋转的性质和三角形内角和直接求解即可； （2）过点作于点，作于点，利用等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质得出，，，结合，求出，得，再利用和分别是等腰直角三角形和含角的直角三角形，利用特殊三边关系即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转知：， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点， 由旋转知，，， ∴，， ∴，，， ∴， 得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键． （1）利用边角边原理证明即可 ． （2）利用三角形全等的性质计算即可 ． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2）∵，， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 ． (1)将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为）； (2)将绕着点O顺时针旋转，画出旋转后得到的（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为），则的坐标_____________； (3)在平面内有一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的所有点D的坐标是 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解， (3)或或 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，正确作出图形，属于中考常考题型． （1）根据平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． （2）根据旋转的性质分别作出，，的对应点，，即可． （3）有三种情形，画出平行四边形，可得结论． 【详解】（1）解：如图，，即为所求． （2）解：如图，，即为所求． ∴， 故答案为：， （3）解：依题意，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形， 的坐标是或或． 故答案为：或或． 15．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起： (1)①如图若，则______________；②猜想与的数量关系式为______________； (2)若三角尺不动，将三角尺的边与边重合，然后绕点按顺时针方向任意转动一个角度，当等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出角度所有可能得值______________； (3)若三角尺不动，将三角形的边与边重合，然后绕点按顺时针方向每分钟旋转，旋转过程中两三角尺斜边无重叠，旋转时间为分钟．在旋转一周过程中，为______________时，与平行？ 【答案】(1)， (2)、、、 (3)分钟或69分钟 【分析】（1）①由于是两直角三角形板重叠，重叠的部分就比减少的部分，所以若，则的度数为； ②由于，重叠的度数就是的度数，所以； （2）分别利用、、、分别求出即可； （3）分两种情形画出图形，求出旋转角度即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意得，， 而 ， 故答案为：； ②， 理由：∵ ∴． ， ，即与互补． 故答案为：； （2）解：①当时， ； ②当时， ∴， ∵， ∴； ③当时， ∴在中，， ∴， ∴； ④当时， ∴， ∵， ∴， 即角度所有可能的值为：、、、； （3）解：如图延长交于． ， ， ， ，， ， 旋转时间． 如图当时， ∴， ∴， ∴由旋转得， ∴此时旋转时间． 综上所述，分钟或69分钟时，与平行． 故答案为：33分钟或69分钟． 【点睛】本题题主要考查了旋转的性质、平行线的性质，三角形的内角和定理和外角定理，解决本题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$