第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：二次函数、简单事件的概率）-2024-2025学年九年级数学上学期重难点专题提升精讲精练（浙教版）

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：二次函数、简单事件的概率】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则点P的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）2023年杭州亚运会有三种吉祥物，分别是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”，这三种吉祥物各自代表着杭州的一处世界文化遗产．现甲、乙两名同学从三种吉祥物中挑选一个作为纪念品，则两人挑选的吉祥物相同的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （    ） A．对称轴是直线 B．当时， y随x的增大而减小 C．顶点坐标为 D．图象与x轴没有交点 5．（22-23九年级·浙江温州·自主招生）布袋里有 100 个球， 其中有红球 28 个， 绿球 20 个， 黄球 12 个， 蓝球 20 个， 白球 10 个， 黑球 10 个， 从袋中任意摸出球来， 若要一次摸出至少 15 个同色的球， 则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C． 个 D．16 个 6．（21-22九年级·浙江杭州·自主招生）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A．B．C． D． 7．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知点，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知点M是抛物线（m为常数）的顶点，直线与坐标轴分别交于两点，则的面积为（    ） A． B．6 C．4 D． 9．（2020·浙江台州·一模）已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（2020·山东泰安·二模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个相等的实数根．其中结论正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式 ． 12．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如表：估计这批青稞发芽的概率是 结果保留到 每次试验粒数 发芽频数 13．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为 米． 14．（23-24九年级上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，若顶点C到x轴的距离为，则线段的长度为 ． 15．（22-23九年级上·浙江衢州·阶段练习）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知抛物线的 “特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为 ． 16．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，抛物线的图象与轴交于点，点与点关于该抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点．点在线段上（不含端点）的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．    （1）当时，点横坐标为 ． （2）在直线下方的抛物线上存在点，使（点不与点重合）．则点的坐标为 ． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（24-25九年级上·浙江·假期作业）将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式． 18．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数（为常数）的图象与轴交于点． (1)求的值； (2)求二次函数的图象与轴交点坐标． 19．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）有4张正面分别写着数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上洗均匀． (1)随机抽取一张，记下数字后放回洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．用列表或画树状图法求点在第二象限的概率． (2)随机抽取一张记下数字（不放回），再从余下的3张中随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，求点在第二象限的概率． 20．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线经过点，．    (1)求抛物线的表达式及与x轴的交点坐标． (2)利用函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 21．（2024·浙江杭州·二模）某学校给初一全体学生开设了，，，四门拓展性课程，为了了解学生对这四门课程的喜好情况，学校随机抽取了60名初一学生进行“你最喜爱的拓展性课程（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： (1)求扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小． (2)依据本次调查的结果，估计全体480名初一学生最喜欢D课程的人数为多少？ (3)现从“最喜爱A课程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人，来分享他们的理由，请用画树状图或列表求恰好甲、乙被选到的概率． 22．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知抛物线经过． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)若是抛物线上不同的两点，且，求n的值； (3)将抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度，当时，它的函数值y的最小值为7，求m的值． 23．（2023·浙江宁波·模拟预测）每年的6月中旬，是杨梅成熟季．李大叔请网红在抖音中进行直播带货．网红要求的佣金分两部分：一是每天固定的薪酬为200元；二是带货的提成，每卖出一筐杨梅提成为5元，若当天销量超过50筐时，每多售出一筐，当天所售的所有杨梅每筐提成再增加0.5元． (1)若网红一天售出筐，当天可得多少佣金？ (2)设当天售出的杨梅的筐数为筐，网红的收入为元，求关于的函数表达式． (3)直播带货杨梅价格为每筐100元，若网红当天销售筐时，李大叔的销售纯收入达到最大值（销售纯收入＝销售额—网红的收入），之后若仍按原约定的提成办法，李大叔的销售纯收入将随筐数的增加而减少，所以跟网红约定，当销售筐数多于筐时，每筐提成不再增加，以销售筐时每筐的提成计算．则当天网红销售150筐时，李大叔的销售纯收入为多少元？ 24．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：二次函数、简单事件的概率】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则点P的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，根据二次函数的对称轴求出点P关于对称轴的对称点的坐标，是解题关键．根据抛物线的对称轴即可以得到点P关于对称轴的对称点． 【详解】解：∵ 抛物线对称轴为直线，并且图象过点， ∴关于直线的对称点为， 故选：A． 2．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据左加上加的平移原则计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握左加上加，左右平移，位于x上，上下平移，对于y实施是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故选B． 3．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）2023年杭州亚运会有三种吉祥物，分别是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”，这三种吉祥物各自代表着杭州的一处世界文化遗产．现甲、乙两名同学从三种吉祥物中挑选一个作为纪念品，则两人挑选的吉祥物相同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的列表法与树状补法利用列表或树状图法展示所有或树状图法展示所有可能的结果，求出n．再从中选出符合事件a或b的结果数目m．然后根据概率公式计算事件a或事件b的概率，画树状图展示所有9种等可能的情况数．找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有9种等可能的情况数．其中甲和乙拿到同一种吉祥物的有3种情况， 则甲和乙拿到同一种吉祥物的概率是． 故选：C． 4．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （    ） A．对称轴是直线 B．当时， y随x的增大而减小 C．顶点坐标为 D．图象与x轴没有交点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的顶点式得到函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，逐项进行分析即可． 【详解】A．二次函数的对称轴为直线，故此选项不符合题意； B．当时， y随x的增大而减小，当时， y随x的增大而增大，故此选项不符合题意； C．二次函数顶点坐标为，故此选项不符合题意； D．二次函数的开口向下，且顶点在x轴的下方，故图象与x轴没有交点，故此选项符合题意； 故选：D． 5．（22-23九年级·浙江温州·自主招生）布袋里有 100 个球， 其中有红球 28 个， 绿球 20 个， 黄球 12 个， 蓝球 20 个， 白球 10 个， 黑球 10 个， 从袋中任意摸出球来， 若要一次摸出至少 15 个同色的球， 则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C． 个 D．16 个 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况先摸出9个黑球，14个白球，再摸出另三色中一色的14个球，此时再任意摸出一个小球即可保证15个小球颜色相同． 根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况． 【详解】解：最坏情况考虑就行了，摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球，最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同，即最少要摸：个球； 故选B． 6．（21-22九年级·浙江杭州·自主招生）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先根据抛物线的位置确定的符号，从而确定反比例函数、一次函数的图象位置即可解答． 【解答】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限，因此； ∴双曲线的图象在第二、四象限； 由于抛物线开口向上，所以； 对称轴，所以； 抛物线与x轴有两个交点，故； ∴直线经过第一、二、四象限． 故选：D． 7．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知点，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，注意分类讨论是解题的关键．对进行分类讨论：，，，再利用开口方向和离对称轴距离判断增减性即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 当时，开口向下，且点离对称轴距离比点远， 则，不符合题意； 当时，即时，开口向上，且点离对称轴距离比点远， 则，符合题意； 当时，开口向上，且点离对称轴距离比点近， 则，不符合题意； 综上所述，， 故选：C． 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知点M是抛物线（m为常数）的顶点，直线与坐标轴分别交于两点，则的面积为（    ） A． B．6 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质、一次函数 图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式，通过解直角三角形求出点中边上的高是解题的关键. 将抛物线解析式变形为顶点式，即可找出点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标，过点作直线于点，延长交直线 于点，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质可求出的长度，同理可求出的长度，进而可求出的长度，再利用三角形的面积公式即可求出的面积. 【详解】解：， ∴点的坐标为 ∴点在直线 上. ∵直线与坐标轴分别交于点两点， ∴点的坐标为点的坐标. 过点作直线于点，延长交直线 于点，如图所示. ∵点的坐标为, 点B的坐标, ， ， 同理，可求出： ， ，                故选: B. 9．（2020·浙江台州·一模）已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∵二次函数的对称轴为直线且开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点， 故选：D． 10．（2020·山东泰安·二模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个相等的实数根．其中结论正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线图像的性质得到的范围，根据对称轴和轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①符合题意； ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∵与轴的交点在，，之间包含端点， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵顶点坐标 ，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴对于任意实数，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵顶点坐标，且开口向下， ∴直线与抛物线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④不符合题意． 故选：C． 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目给定的条件，直接利用顶点式可得函数解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴所求抛物线的解析式为． 故答案为：． 12．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如表：估计这批青稞发芽的概率是 结果保留到 每次试验粒数 发芽频数 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应的概率．根据表格中的数据，可以估算出这批青稞发芽的概率． 【详解】解：由表格中的数据可得， ，，，，， 由上可得，估计这批青稞发芽的概率是， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为 米． 【答案】11 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度． 根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令求出相应的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离． 【详解】解：∵， ∴当，时，， 即， 解得，（舍去）， ∴运动员小铭将铅球推出的距离为11米． 14．（23-24九年级上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，若顶点C到x轴的距离为，则线段的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．将题中二次函数化为顶点式是解题的关键． 设顶点式，再解方程得，，然后把B ，A两点的横坐标相减得到的长度． 【详解】解：设抛物线解析式为， 当时，， 解得，， 所以，， 所以， 故答案为：6． 15．（22-23九年级上·浙江衢州·阶段练习）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知抛物线的 “特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题、等腰直角三角形的性质、坐标与图形，根据等腰直角三角形的性质可得该抛物线的顶点的横纵坐标相等或互为相反数，进而得到关于b的方程，然后解方程求解即可． 【详解】解：由得顶点坐标为， 令，由得，， ∴该抛物线与x轴的两个交点坐标为，， ∵抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形， ∴或，且， 解得或， 即的值为2或， 故答案为：2或． 16．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，抛物线的图象与轴交于点，点与点关于该抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点．点在线段上（不含端点）的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．    （1）当时，点横坐标为 ． （2）在直线下方的抛物线上存在点，使（点不与点重合）．则点的坐标为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）先求出抛物线的解析式为，的函数解析式为，则可设，，得出，根据，列出方程求解即可； （2）过点B作的平行线，交抛物线于点Q，易得的平行线解析式为，联立该直线与抛物线的解析式，求出其交点坐标即可． 【详解】解：（1）把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 把代入得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 设，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：（舍去）， ∴点P的横坐标为2； 故答案为：2； （2）∵， ∴点Q作过点B且平行于的直线上， 过点B作的平行线，交抛物线于点Q， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， 设的平行线解析式为， ∵的函数解析式为， ∴，即， 把代入得：， 解得：， ∴的平行线解析式为， 联立得：， 解得：，（舍）， ∴点Q的坐标为， 故答案为：．    三、解答题（8小题，共72分） 17．（24-25九年级上·浙江·假期作业）将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：， 将其向左平移3个单位得到： ， 再将向下平移2个单位得到： ． 18．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数（为常数）的图象与轴交于点． (1)求的值； (2)求二次函数的图象与轴交点坐标． 【答案】(1) (2)和 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点等知识． （1）把点代入函数解析式即可求出答案； （2）由（1）得到函数解析式，取，进一步解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中，得， 解得． （2）由（1）得二次函数的解析式为， 令，得， 解得，， 图象与轴交点坐标是和 19．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）有4张正面分别写着数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上洗均匀． (1)随机抽取一张，记下数字后放回洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．用列表或画树状图法求点在第二象限的概率． (2)随机抽取一张记下数字（不放回），再从余下的3张中随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，求点在第二象限的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）由题意可根据画树状图进行求解概率即可； （2）由题意可根据画树状图进行求解概率即可． 【详解】（1）解：由题意得： 由树状图可得总共有16种等可能情况，则点在第二象限的有，，共3种情况， ∴点在第二象限的概率为； （2）解：由题意可得： 由树状图可得总共有12种等可能情况，则点在第二象限的有，，共3种情况， ∴点在第二象限的概率为． 20．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线经过点，．    (1)求抛物线的表达式及与x轴的交点坐标． (2)利用函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数与x轴的交点坐标，求二次函数函数值的取值范围： （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为0时自变量的值即可得到答案； （2）先将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质求出其最值以最值所对应的自变量的值，再结合图象即可作答． 【详解】（1）解：把，代入中，得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 在中，当时，解得或 ∴抛物线与x轴的交点坐标为 （2）解：∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为， 图象如下，    ∴结合图象可知：当时，y的取值范围：． 21．（2024·浙江杭州·二模）某学校给初一全体学生开设了，，，四门拓展性课程，为了了解学生对这四门课程的喜好情况，学校随机抽取了60名初一学生进行“你最喜爱的拓展性课程（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： (1)求扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小． (2)依据本次调查的结果，估计全体480名初一学生最喜欢D课程的人数为多少？ (3)现从“最喜爱A课程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人，来分享他们的理由，请用画树状图或列表求恰好甲、乙被选到的概率． 【答案】(1) (2)48人 (3) 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用列表或树状图法求概率，解题的关键是数形结合，熟练掌握统计图的特点，根据题意画出树状图． （1）先求出喜欢A的人数，然后求出喜欢C的人数，再用乘以C所占的百分比即可求解； （2）用总人数乘以D所占的百分比估计总体即可； （3）先画出树状图，然后再利用概率的公式进行计算即可． 【详解】（1）解：喜欢课程的人数为（人）， 喜欢C课程的人数为（人）， ∴． （2）解：（人）， ∴最喜欢D课程的人数约为48人． （3）解：画树状图如图， ∵共有12种等可能的结果，其中甲、乙被选到的结果有2种， ∴甲、乙被选到的概率为． 22．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知抛物线经过． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)若是抛物线上不同的两点，且，求n的值； (3)将抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度，当时，它的函数值y的最小值为7，求m的值． 【答案】(1)抛物线的表达式为，对称轴为； (2) (3)m的值为5 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论． （1）把点代入解方程组即可得到结论； （2）把代入得到，于是得到，即可得到结论； （3）求出平移后的解析式及对称轴，根据对称轴与取值范围的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：把点代入得， ， 解得：； ∴函数解析式为， ∴对称轴为 （2）解：由（1）得函数解析式为， 把代入得，， ∵ ∴ ∵是抛物线上不同的两点， ∴关于对称轴的对称， ∴． ∴． （3）解：由（1）得函数解析式为， ∵此抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度， 当向左平移时，平移后的解析式为， ∴对称轴为， 当时，顶点处取最小值，此时最小值为，不合题意； 当，时，当时y随x的增大而增大， ∴当时，有最小值7，即， 解得，（舍去）， 综上所述，m的值为5． 23．（2023·浙江宁波·模拟预测）每年的6月中旬，是杨梅成熟季．李大叔请网红在抖音中进行直播带货．网红要求的佣金分两部分：一是每天固定的薪酬为200元；二是带货的提成，每卖出一筐杨梅提成为5元，若当天销量超过50筐时，每多售出一筐，当天所售的所有杨梅每筐提成再增加0.5元． (1)若网红一天售出筐，当天可得多少佣金？ (2)设当天售出的杨梅的筐数为筐，网红的收入为元，求关于的函数表达式． (3)直播带货杨梅价格为每筐100元，若网红当天销售筐时，李大叔的销售纯收入达到最大值（销售纯收入＝销售额—网红的收入），之后若仍按原约定的提成办法，李大叔的销售纯收入将随筐数的增加而减少，所以跟网红约定，当销售筐数多于筐时，每筐提成不再增加，以销售筐时每筐的提成计算．则当天网红销售150筐时，李大叔的销售纯收入为多少元？ 【答案】(1)800元 (2)当时，；当时， (3)元 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是能正确建立二次函数关系式，并利用二次函数的性质解决问题． （1）由固定的薪酬加上带货的提成进行计算即可； （2）分为当时及当时，分别求出函数关系式即可； （3）由二次函数的性质求解即可 【详解】（1）（元）， 答：若网红一天售出60筐，当天可得佣金800元． （2）当时，； 当时，． （3）设李大叔的销售纯收入为元， 当时， ． 当时销售纯收入最大为7000元，之后将随筐数的增加而减少，所以， 此时每筐的提成为（元）， 所以当销售150筐时，李大叔的销售纯收入为（元）． 24．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)面积最大值为，； (3)点的坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点坐标； （）连接，求出直线的表达式为，过点作轴的垂线，交于点，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解； （）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时，， 解得，， ∴； （2）解：连接， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 过点作轴的垂线，交于点， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为； （3）解：∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点的横坐标为， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点在抛物线上， ∴点的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$