二次函数y＝ax²+bx+c的图象和性质分层练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册

4. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质 训练目标 1.能通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。 2.熟记二次函数的顶点坐标公式； 3.会画二次函数一般式的图象． 4.会用二次函数的性质解决问题； 1、 基础巩固（一层） 1.二次函数的一般形式可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是 ， 2.用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。 用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。 1 2 ② 3 ③ 3．已知二次函数的图象过点（1，2），则的值为________________． 4. 已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式． 2、 能力提升（二层） 1．将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝﹣（x+1）2+4 B．y＝﹣（x﹣1）2+4 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2 2．已知点（1，y1），（2，y2）是抛物线y＝x2﹣6x上的两点，则y1，y2的大小关系为（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定 3．二次函数y＝x2+2x﹣5有（　　） A．最小值﹣6 B．最小值﹣5 C．最大值﹣6 D．最大值﹣5 4．对于二次函数y＝﹣x2+2x+3，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．当x≥1时，y随x的增大而减小 C．当x＝1时，y有最小值2 D．当y＞0时，﹣1＜x＜3 二．填空题（共3小题） 5．当m＝　 　时，二次函数y＝x2﹣2x﹣m有最小值5． 三、拓展提高（三层） 6．已知二次函数 y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关于 a，b，c间的关系判断正确的有　 　（填序号） ①ab＜0；②bc＜0；③abc＜0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0． 7．已知抛物线y＝x2+kx+k+3，根据下面的条件，直接写出k的值． （1）抛物线经过原点，则k＝　 　； （2）抛物线的对称轴x＝﹣3，则k＝　 　； （3）抛物线的顶点在y轴上，则k＝　 　； （4）抛物线的顶点在x轴上，则k＝　 　． 三．解答题（共3小题） 8．已知二次函数． （1）试直接写出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）试判断抛物线与抛物线y的关系． 9．如图抛物线y＝ax2﹣5ax+4a与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）． （1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标． （2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式． 10．求二次函数y＝﹣x2+2x+5在0≤x≤3范围内的最小值和最大值． 答案 一．选择题 1． A．2． A．3． A．4． C． 二．填空题（共3小题） 5．当m＝　﹣6　时，二次函数y＝x2﹣2x﹣m有最小值5． 解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣m有最小值5， ∴5， 解得m＝﹣6． 故答案为：﹣6 6．已知二次函数 y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关于 a，b，c间的关系判断正确的有　③⑤　（填序号） ①ab＜0；②bc＜0；③abc＜0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0． 解：∵开口向下， ∴a＜0， ∵1， ∴b＜0， ∴ab＞0，故①错误； ∵抛物线与y轴的负半轴相交， ∴c＜0， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴bc＞0，abc＜0，故②错误，③正确； 当x＝1，﹣1时，y的值分别为a+b+c＜0和a﹣b+c＜0，故④错误，⑤正确； 故答案为：③⑤． 7．已知抛物线y＝x2+kx+k+3，根据下面的条件，直接写出k的值． （1）抛物线经过原点，则k＝　﹣3　； （2）抛物线的对称轴x＝﹣3，则k＝　6　； （3）抛物线的顶点在y轴上，则k＝　0　； （4）抛物线的顶点在x轴上，则k＝　﹣2或6　． 解：（1）抛物线经过原点，即k+3＝0，解得k＝﹣3； 故答案为：﹣3； （2）抛物线的对称轴x＝﹣3即：x3，解得：k＝6． 故答案为：6． （3）抛物线的顶点在y轴上，即x0，解得：k＝0； 故答案为：＝0； （4）抛物线的顶点在x轴上，即0，解得：k＝﹣2或6； 故答案为：﹣2或6； 三．解答题（共3小题） 8．已知二次函数． （1）试直接写出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）试判断抛物线与抛物线y的关系． 解：（1）由题意，∵yx2+6x+10（x2+12x+36）﹣8（x+6）2﹣8， ∴函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣6，顶点为（﹣6，﹣8）． （2）由题意，∵yx2+6x+10（x+6）2﹣8， 又依据“左加右减，上加下减”的规律， ∴yx2+6x+10是由yx2向左平移6个单位，再向下平移8个单位得到的． 9．如图抛物线y＝ax2﹣5ax+4a与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）． （1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标． （2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式． 解：（1）把点C（5，4）代入抛物线y＝ax2﹣5ax+4a， 得25a﹣25a+4a＝4， 解得a＝1． ∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣5x+4． ∵y＝x2﹣5x+4＝（x）2， ∴顶点坐标为P（，）． （2）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位． 得到的二次函数解析式为y＝（x3）24＝（x）2， 即y＝x2+x+2． 10．求二次函数y＝﹣x2+2x+5在0≤x≤3范围内的最小值和最大值． 解：∵y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，6）， ∵0≤x≤3， ∴当x＝1时，取得最大值y＝6；当x＝3时，取得最小值y＝2． ∴二次函数在0≤x≤3范围内的最小值为2，最大值为6． 学科网（北京）股份有限公司 $$