13.1轴对称【7大题型】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

13.1轴对称 【考点梳理】 · 考点一：轴对称图像 · 考点二：轴对称图形的性质求解 · 考点三：桌球或者光学中的轴对称问题 · 考点四：垂直平分线的性质 · 考点五：垂直平分线的判定 · 考点六：尺规作图 · 考点七：垂直平分线的综合问题 【知识梳理】 知识点一：轴对称 （1） 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴 对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称； （2） 两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点； （3） 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分 能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够 重合； （4） 轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于 这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 知识点二：垂直平分线 1垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； 2如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 3.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 4.对称的两个图形是全等的； 5.垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 6.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 【题型探究】 题型一：轴对称图像 1．（23-24八年级上·全国）“创建全国文明城市，建设黄石美好家园”，黄石市正在为全国文明城市的目标不懈努力，同学们对“社会主义核心价值观”一定不会陌生，请问下列四个美术字中可以看作轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．   B．   C． D．   3．（2021·山东济南·一模）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光，在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C．D． 题型二：轴对称图形的性质求解 4．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 5．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，点P在内，线段交、于点E、F点，M、N分别是点P关于、的对称点，若的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 题型三：桌球或者光学中的轴对称问题 7．（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是一个经过改造的规则为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 8．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型四：垂直平分线的性质 10．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，为中边的中垂线，，则的周长是（ ） A．16 B．18 C．26 D．28 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（   ）． A．6.5 B．7.5 C．13 D．43 12．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型五：垂直平分线的判定 13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．    (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 14．（2024·湖南长沙·一模）如图，中，，平分，于E．求证： (1)； (2)直线是线段的垂直平分线． 15．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 题型六：尺规作图 16．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，设三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 17．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中， (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点D、E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长等于50，求的长． 18．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔在内，到两个城镇M，N的距离相等，且到两条公路和的距离也相等，发射塔P应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．） 题型七：垂直平分线的综合问题 19．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，平分，且平分，于点E，于点F． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 21．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图①，在与中，，，，易证：（不需要证明） (1)如图②，在等边中，点、分别在边、上，且，与交于点，求证：； (2)如图③，在等腰三角形中，，点是边的垂直平分线与的交点，点、分别在、的延长线上．若，，，则的度数为______． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25八年级上·广东揭阳）下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（　　） A．笛卡尔心形线 B．赵爽弦图 C．莱洛三角形 D．科克曲线 23．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 24．（2024·四川达州·模拟预测）如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 25．（2024·河北·模拟预测）如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，交直线l于点F，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B．直线l C． D．平分线段 26．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长是（    ） A．13 B．5 C．8 D．26 27．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（   ） A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 28．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，的垂直平分线分别交于点 D，E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在中，边的垂直平分线交于点，交于点边的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 30．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，则的长 ． 31．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，为内一点，分别画出点关于，的对称点，，连接，交于点，交于点．若，则的周长为 ． 32．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，点D，E在上，与关于直线对称，则的度数是 ． 33．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点在的垂直平分线上，将沿翻折后，使点落在点处，线段与相交于点，则 ． 34．（2024八年级上·江苏·专题练习）起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．图1是一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：第一步将长方形纸条沿折叠，使点A落在点的位置上，与交于点F（如图2）．第二步将纸条沿折叠，使点B，C分别落在直线的右侧点，的位置上（如图3）．若，，则 ． 三、解答题 35．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹） 36．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)的面积为 ； (2)在图中作出关于直线的对称图形． (3)利用网格纸，在上找一点P，使得的距离最短．（保留痕迹） 37．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，的平分线交于点，垂直平分，垂足为点． ． (1)请说明：； (2)若的面积为4， 求的面积． 38．（24-25八年级上·广东揭阳）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    (1)连接，若求的周长； (2)若，求的度数． 39．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，延长，交于点，所在的直线垂直平分线段，过点作交于点． (1)试说明：； (2)若，的面积为，求的长． 40．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，已知△ABC． (1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：①作的中线；② 延 长至E， 使 ，连接 （保留作图痕迹，不写作法）．线段 和 线 段 的数量关系和位置关系是 ； (2)当 时，如图1所示，若是的中线，试探究与 的数量关系，并说明理由； (3)当 时，如图2所示，若是的中线，，，， ，连 接，请直接写出的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1轴对称 【考点梳理】 · 考点一：轴对称图像 · 考点二：轴对称图形的性质求解 · 考点三：桌球或者光学中的轴对称问题 · 考点四：垂直平分线的性质 · 考点五：垂直平分线的判定 · 考点六：尺规作图 · 考点七：垂直平分线的综合问题 【知识梳理】 知识点一：轴对称 （1） 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴 对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称； （2） 两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点； （3） 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分 能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够 重合； （4） 轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于 这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 知识点二：垂直平分线 1垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； 2如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 3.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 4.对称的两个图形是全等的； 5.垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 6.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 【题型探究】 题型一：轴对称图像 1．（23-24八年级上·全国）“创建全国文明城市，建设黄石美好家园”，黄石市正在为全国文明城市的目标不懈努力，同学们对“社会主义核心价值观”一定不会陌生，请问下列四个美术字中可以看作轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，叫做轴对称图形； 利用轴对称图形的定义进行解答即可； 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：D 2．（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查轴对称的定义，根据轴对称的定义（如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称）进行逐一判断即可： 【详解】解：根据轴对称的概念，A、B、C都不成轴对称，不符合题意； 只有D成轴对称，符合题意． 故选：D． 3．（2021·山东济南·一模）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光，在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形说法正确，符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 题型二：轴对称图形的性质求解 4．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A、和关于直线对称， ， ，正确，不符合题意； B、和关于直线对称， 线段，，被直线垂直平分，正确，不符合题意； C、和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， 为等腰三角形，正确，不符合题意； D、和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 5．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，点P在内，线段交、于点E、F点，M、N分别是点P关于、的对称点，若的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点M、N分别是点P关于直线、的对称点，即可推出为P的中垂线，为的中垂线，即可推出，，然后根据的周长为，，即可推出的长度． 【详解】解：∵点M、N分别是点P关于直线、的对称点， ∴为的中垂线，为的中垂线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴． 故选：C． 题型三：桌球或者光学中的轴对称问题 7．（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是一个经过改造的规则为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴球最后将落入的球袋是4号袋， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键． 8．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：A． 9．（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【详解】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型四：垂直平分线的性质 10．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，为中边的中垂线，，则的周长是（ ） A．16 B．18 C．26 D．28 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键． 利用线垂直平分线的性质得，再等量代换即可求得三角形的周长． 【详解】解：∵为中边的中垂线， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：B． 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（   ）． A．6.5 B．7.5 C．13 D．43 【答案】A 【分析】本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等以及求得是解题的关键． 根据垂直平分线得到、，结合的周长为得到，再根据的周长为即可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ∴、， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 故选A． 12．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，解题关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．依据线段垂直平分线的性质，即可得到，再根据角平分线的定义，即可得出的度数，根据三角形内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：垂直平分， ， 又平分， ， ， 故选：B． 题型五：垂直平分线的判定 13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．    (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）连接、，，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【详解】（1）证明：连接、、，   垂直平分，垂直平分， ，， 点P在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，，， ，， 在中，，， ， 即，， 在四边形中，， 14．（2024·湖南长沙·一模）如图，中，，平分，于E．求证： (1)； (2)直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定； （1）根据角平分线的性质可得，从而证明，即可证明； （2）根据垂直平分线的判定证明即可． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 15．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得出，结合，即可得出是的垂直平分线进行作答． （2）先由等边三角形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，证明，再证明，结合边的等量代换以及边的运算，即可作答． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． （2）证明： 过作，如图： 是等边三角形， ，， ． ． ，． ，平分， ， ， ． ，， ． ． 又， ， 题型六：尺规作图 16．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，设三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故作出的垂直平分线相交于点P，则点P是所求的点． 本题主要考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【详解】解：如图，点P就是学校的位置． 17．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中， (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点D、E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长等于50，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的作图，以及线段的垂直平分线的性质，正确理解的周长是关键． （1）利用尺规作图即可作出； （2）根据线段的垂直平分线的性质可得，则的周长，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求， （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴． 18．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔在内，到两个城镇M，N的距离相等，且到两条公路和的距离也相等，发射塔P应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，尺规作图；由发射塔到两个城镇M，N的距离相等可知发射塔在线段的垂直平分线上，由发射塔到两条公路和的距离也相等可知发射塔在的角平分线上，故作线段的垂直平分线与的角平分线，它们的交点即为所求． 【详解】解：点P位置如图所示： 题型七：垂直平分线的综合问题 19．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，平分，且平分，于点E，于点F． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）连接，，    ∵垂直平分， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∴在和中 ∴， ∴． （2）∵，， ∴在和中 ∴， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 21．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图①，在与中，，，，易证：（不需要证明） (1)如图②，在等边中，点、分别在边、上，且，与交于点，求证：； (2)如图③，在等腰三角形中，，点是边的垂直平分线与的交点，点、分别在、的延长线上．若，，，则的度数为______． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：在等边中，，， 在与中，， ； （2）解：点在的垂直平分线上， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25八年级上·广东揭阳）下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（　　） A．笛卡尔心形线 B．赵爽弦图 C．莱洛三角形 D．科克曲线 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 23．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，根据成轴对称的个图形对应角相等的性质，即可进行解答． 【详解】解：∵与关于直线l对称，， ∴， 故选：A． 24．（2024·四川达州·模拟预测）如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 25．（2024·河北·模拟预测）如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，交直线l于点F，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B．直线l C． D．平分线段 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．根据作图信息，一一判断即可． 【详解】解：由作图可知， 垂直平分线段，故D选项是正确的 ∴，故B选项是正确的； ∴，故C选项是正确的； 则不一定正确的是 故选：A 26．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长是（    ） A．13 B．5 C．8 D．26 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，得到，进而推出的周长是，计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长是． 故选A． 27．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（   ） A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．设交于点，连接，，根据垂直平分线的性质得出，，当点与点重合时，的周长最小，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接，， 垂直平分， ，， 的周长为： ， 当点与点重合时，的周长最小， ，， 的周长最小值为：， 故选：B 28．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，的垂直平分线分别交于点 D，E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由垂直平分线的性质得到，，再根据三角形内角和定理得到，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴， 又∵， ∴， ∵垂直平分，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 29．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在中，边的垂直平分线交于点，交于点边的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，分类讨论：当在之间时和当D在之间时，并结合图形，运用垂直平分线的性质得出，，再结合三角形的内角和定理，，代入化简进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设 如图所示：当在之间时 ∵边的垂直平分线交于点，交于点边的垂直平分线交于点，交于点． ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 如图所示：当E在之间时 ∵边的垂直平分线交于点，交于点边的垂直平分线交于点，交于点． ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：C 二、填空题 30．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，则的长 ． 【答案】8 【分析】本题考查垂直平分线的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，根据题意，则，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：8． 31．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，为内一点，分别画出点关于，的对称点，，连接，交于点，交于点．若，则的周长为 ． 【答案】/5厘米 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质并灵活应用是解本题的关键． 由与 关 于对称，得到 为线段的垂直平分线，进而可得，，进而利用三角形周长公式计算即可求解 【详解】如图所示， 与 关 于对称， 为线段的垂直平分线， ，同理可得：， ， 的周长 故答案为： 32．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，点D，E在上，与关于直线对称，则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查直角三角形的两锐角互余，轴对称性质，以及外角问题，掌握直角三角形的两锐角互余，轴对称性质，以及外角性质，会用已知角求余角，利用对称轴证角相等，利用外角关系解决问题是关键．由，，得，根据对称性的性质可得，根据三角形外角的性质得出，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D，E在上，与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 33．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点在的垂直平分线上，将沿翻折后，使点落在点处，线段与相交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟记折叠的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出，根据三角形外角性质求出，根据折叠的性质求出，根据平角定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折后，使点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 34．（2024八年级上·江苏·专题练习）起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．图1是一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：第一步将长方形纸条沿折叠，使点A落在点的位置上，与交于点F（如图2）．第二步将纸条沿折叠，使点B，C分别落在直线的右侧点，的位置上（如图3）．若，，则 ． 【答案】/28度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握并灵活运用上述知识点是解题的关键． 由长方形的性质及平行线的性质可证得，由长方形的性质，轴对称的性质及平行线的性质可证得，然后根据的内角和等于即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 根据轴对称的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题 35．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作垂线：因为使P到两条道路的距离相等，所以点P应在的平分线上；而且要使，所以点P还应在的中垂线上，即的平分线和的中垂线的交点，即为点P． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 36．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)的面积为 ； (2)在图中作出关于直线的对称图形． (3)利用网格纸，在上找一点P，使得的距离最短．（保留痕迹） 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质以及画轴对称图形，根据题意准确作图是解题的关键． （1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可； （2）分别作出各点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （3）连接交直线于点P，则点P即为所求点． 【详解】（1）解：． 故答案为：5； （2）如图，即为所求； （3）如图，点P即为所求． 37．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，的平分线交于点，垂直平分，垂足为点． ． (1)请说明：； (2)若的面积为4， 求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)8 【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后利用证明，再利用证明，从而可得，即可解答． 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：平分， ， 垂直平分， ， ， ； （2）解：垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为4， 的面积的面积， 的面积为8． 38．（24-25八年级上·广东揭阳·开学考试）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    (1)连接，若求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)12cm (2)134° 【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n边形内角和公式． （1）根据轴对称性质得到，， ，得到的周长等于线段的长度，即为． （2）根据轴对称性质得到，，，，，根据四边形内角和为与，得到，根据五边形内角和为，得到． 【详解】（1）解：如图，∵点P与点M关于对称， ∴， ∵点P与点N关于对称， ∴， ∵， ∴的周长为． （2）解：∵点P与点M 关于对称， ∴， 即， ∵点P 与点N 关于 对称， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴． 39．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，延长，交于点，所在的直线垂直平分线段，过点作交于点． (1)试说明：； (2)若，的面积为，求的长． 【答案】(1)见详见 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线段性质得到，，进而得到，，根据，得到，即可得到，再根据三角形外角的性质进一步得出，即可证明； （2）先证明，过点作，垂足为，根据的面积为求出，根据（1）可知平分，，，根据角平分线的性质即可求出． 【详解】（1）解：∵所在的直线垂直平分线段， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 过点作，垂足为， ∵的面积为， ∴， 又∵， ∴， 由（1）知， ∴平分， 又∵，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的性质等知识，熟知相关知识并根据图形特点灵活应用是解题关键． 40．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，已知△ABC． (1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：①作的中线；② 延 长至E， 使 ，连接 （保留作图痕迹，不写作法）．线段 和 线 段 的数量关系和位置关系是 ； (2)当 时，如图1所示，若是的中线，试探究与 的数量关系，并说明理由； (3)当 时，如图2所示，若是的中线，，，， ，连 接，请直接写出的长． 【答案】(1)①作图见解析②作图见解析；，， (2)， (3)8 【分析】（1）①作线段的垂直平分线,与交于点，连接，即为所求，②由，，，得到，，，即可求解， （2）延 长至E， 使 ，由，，，得到，，，结合，得到，进而得到，，代入，即可求解， （3）延长到点，使得，由，，，得到，，，结合，得到，由，，根据垂直平分线的性质，得到， 本题考查了，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，三角形的中线，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）解：①作图如下，即为所求， ②作图如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， （2）解：延 长至E， 使 ，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：延长到点，使得， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$