3.7 用计算器探索规律（学霸课堂笔记）-2024-2025学年数学五年级上册同步培优讲义（人教版）

3.7 用计算器探索规律 第一部分 知识清单 · · 商是整数部分为0的循环小数，循环节是9的倍数，被除数是几，循环节就是9的几倍。 · 在探索规律时，有时要根据计算结果寻找规律。可以用计算器算出结果，再观察发现规律。 第二部分 典型例题 例1：张可用计算器计算时，错误地输入了，下面（    ）种做法可以弥补他的错误。 A．积减去1 B．积减去5.2 C．积减去15.6 D．积减去16.6 答案：B 分析：16.6可以拆成（15.6＋1），利用乘法分配律，可以发现错误结果多了5.2，减去多的5.2即可，据此分析。 详解： 与比较，多加了5.2，的积减去5.2可以弥补他的错误。 故答案为：B 例2：根据规律完成后面两题。 1999998÷9＝222222      2999997÷9＝333333      3999996÷9＝444444 4999995÷9＝( )     ( )999994÷9＝( ) 答案： 555555 5 666666 分析：被除数是七位数，最高位上的数与个位上的数相加等于9，其余数位上的数都是9，除数是9，商为六位数，各个数位上的数相同，且比被除数最高位上的数多1。 详解：1999998÷9＝222222       2999997÷9＝333333       3999996÷9＝444444 4999995÷9＝555555     5999994÷9＝666666 例3：每个箱子最多能装4.8kg苹果，有56kg苹果，全部装完至少需要11个箱子。( ) 答案：× 分析：根据除法的意义，用苹果的总质量除以每箱最多能装的质量，进行计算，求出需要的箱子数量，其结果根据实际情况运用“进一法”保留整数即可。 详解：56÷4.8≈12（个） 全部装完至少需要12个箱子，原题说法错误。 故答案为：× 例4：我们在课堂上已经找到了四位数的“数字黑洞”。 什么是“数字黑洞”？ 数字黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入了循环的境况。例如，任意选四个不同的数字，按从大到小的顺序排成一个数，再按从小到大的顺序排成一个数，用大数减去小数（如1，2，3，0，就用3210－123）。用所得结果的四位数重复上述过程，最多七步必得6174，即7641－1467＝6174。仿佛掉进了黑洞，永远出不来。 不信的话，请你试一试！ （1）你能用同样的方法找到三位数的“数字黑洞”吗？ （2）你能不能找到五位数的“数字黑洞”呢？ 答案：（1）495 （2）82962 分析：（1）根据四位数的数字黑洞的求解方法可举例三个数进行求解，如1，2，7；将这三个数按从大到小的顺序排成一个数，再按从小到大的顺序排成一个数，用大数减去小数，用所得结果的三位数重复上述过程，即可求出三位数的“数字黑洞”。 （2）首先选择五个不同的数字（‌1、‌2、‌3、‌4、‌5）‌，‌然后按照从大到小的顺序排列组成一个数，‌再从小到大顺序排列组成另一个数，‌接着用较大的数减去较小的数。‌重复这个过程，‌最终会发现数字会陷入一个循环圈，‌即所谓的“数字黑洞”，据此解答。 详解：（1）721－127＝594 954－459＝495 三位数的“数字黑洞”是495。 （2）54321－12345＝41976 97641－14679＝82962 通过这种运算，‌我们可以发现五位数的“数字黑洞”是82962。‌ 点睛：读懂题意，按照例子给出的方法操作是解题的关键。 ：基础过关练 一、选择题 1．按照下边算式的规律，下面正确的等式是（    ）。 A． B． C． D． 2．以下说法错误的是（    ）。 A．求近似数时都要用四舍五入法 B．整数乘法运算定律对于小数同样适用 C．计算小数乘法时，先按整数乘法算出积，再点小数点 3．妈妈将7千克香油分装在玻璃瓶中，每个玻璃瓶最多装0.6千克。妈妈需要准备（    ）个玻璃瓶。 A．10 B．11 C．12 D．13 4．“麦是伏中草，不割自己倒”。一台收割机收割一片麦田，一共收割了13.6吨小麦，用一辆载质量4吨的卡车运输，全部运完至少需要（    ）次。 A．3 B．4 C．5 5．关于商的灵活运用。下列（    ）情境问题适合用“进一法”来解决。 A．小明的妈妈要将2.5kg香油分装在最多可盛0.4kg玻璃瓶里，需要准备几个瓶子？ B．王阿姨用一根25m长的红丝带包装礼盒，每个礼盒要用1.5m长的丝带，这些红丝带可以包装多少个礼盒？ C．张老师带100元去为学校图书室买18.5元/本的词典，他可以买回几本？ 二、填空题 6．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.6×7.12( )7.6    3.02×12.6( )302×0.126    0.56÷32( )0.56 7．找出规律，直接填写。 (1)1.5，3.5，5.5， ，9.5 。 (2)0.4，0.8，1.6， ，6.4， 。 (3)100，25，6.25， ， 。 8．观察前3道题的得数，再直接写出后3题的得数。 3×4＝12 3.3×3.4＝11.22 3.33×33.4＝111.222 3.333×333.4＝( ) 3.3333×3333.4＝( ) 3.33333×33333.4＝( ) 9．根据规律直接写出得数：1÷9＝，2÷9＝，3÷9＝，…那么，8÷9＝( )，9÷9＝( )。 10．制作一种生日蛋糕，每个需要0.25千克面粉，4.6千克面粉最多可以制作( )个这样的生日蛋糕。 11．夏天到了，烹饪小组的同学制作芒果冰淇淋。配方如表，按照这个配方，李芳做了12个人吃的冰淇淋，她用了( )升奶油；王静做的冰淇淋用了62.5克糖，她做的冰淇淋够( )个人吃。 8个人吃的芒果冰淇淋 奶油 0.5升 芒果 1千克 糖 250克 三、判断题 12．数字黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入了一种循环的境况。( ) 13．51名同学去划船，每条船能坐7人，至少需要8条船。( ) 14．已知1÷a＝0.0909…，2÷a＝0.1818…，3÷a＝0.2727…，则7÷a＝0.6363…。( ) 15．一件衬衣要用7颗扣子，60颗扣子最多能钉9件衬衣。( ) 16．已知2017年2月1日是星期三，那么2017年5月1日也是星期三。( ) ：培优提升练 四、计算题 17．看算式，找规律，填答案。 9×4＝36             99×44＝4356          999×444＝443556 9999×4444＝         99999×44444＝ 18．用计算器计算每组前三题，发现规律后直接写出后两道的得数。 （1）0.4×0.9＝ 0.44×0.99＝ 0.444×0.999＝ 0.4444×0.9999＝ 0.44444×0.99999＝ （2）0.6×0.9＝ 0.66×0.99＝ 0.666×0.999＝ 0.6666×0.9999＝ 0.66666×0.99999＝ 五、解答题 19．先用计算器计算出每组中前三个算式的结果，再根据发现的规律把其他算式补充完整。 (1)0.9×0.9＋0.69＝ 9.8×0.9＋1.68＝ 98.7×0.9＋11.67＝ 987.6×0.9＋111.66＝ ×0.9＋ ＝ ×0.9＋ ＝ (2)0.1×0.9－0.01＝ 1.2×0.9－0.01＝ 12.3×0.9－0.01＝ ×0.9－ ＝ ×0.9－ ＝ ×0.9－ ＝ 20．乘坐飞机的每位旅客，携带行李需按规定购买行李票。李叔叔从成都乘飞机到北京，机票是560元/张，他购买机票和行李一共付了728元，李叔叔携带了多少千克行李？ 行李质量 收费标准 不超过20千克 免费 超过20千克的部分 16.8元/千克 21．某市为了鼓励市民节约用水，用分段收费方式，自来水的收费标准如表： 每月用水量 15立方米及以下 15－25立方米部分 25立方米以上部分 收费标准 2.40元/立方米 3.60元/立方米 7.20元/立方米 已知小红家七月份的水费为86.4元，她家七月份用水量为多少立方米？ 22．幸福沙场工人师傅要把55吨沙子运走，已知每辆卡车的载重量是4.5吨，请问至少需要多少辆车可以一次运完？ 23．蛋糕店用一卷18米长的丝带捆扎蛋糕盒，每个蛋糕盒需用丝带1.3米。这卷丝带最多能捆扎多少个蛋糕盒？ 1．D 分析：观察式子发现除数不变；被除数开头数字是21、末尾是78；商的开头数字是54、末尾是45；被除数的小数点前面有几个9，商的小数点前面就有几个9，据此分析。 详解：A．商是整数，排除； B．被除数的小数点前面有2个9，商的小数点前面有3个9，排除； C．被除数的小数点前面有3个9，商中的3个9没有都在小数点前面，排除； D．被除数的小数点前面有4个9，商的小数点前面有4个9，符合规律。 正确的等式是219999.78÷0.4＝549999.45。 故答案为：D 2．A 分析：取近似值的方法除了最常用的四舍五入法外，还有“进一法”和“去尾法”；整数乘法的运算定律对小数乘法同样可以适用；小数乘法的计算方法：先按照整数乘法的计算方法算出积，再看乘数中一共有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数点；据此解答。 详解：A．求近似数时常用的是四舍五入法，还有“进一法”和“去尾法”，该选项的说法是错误的，符合题意； B．整数乘法运算定律对于小数同样适用，该选项的说法是正确的，不符合题意； C．计算小数乘法时，先按整数乘法算出积，再看乘数中一共有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数点，该选项的说法是正确的，不符合题意。 故答案为：A 3．C 分析：求妈妈需要准备几个瓶子，即求7里面含有几个0.6，根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答，根据实际情况，对商的结果采取“进一法”。 详解：7÷0.6＝11（个）……0.4（千克） 0.4千克也需要1个玻璃瓶。 至少：11＋1＝12（个） 妈妈需要准备12个玻璃瓶。 故答案为：C 4．B 分析：根据题意可知，用13.6吨除以4，即可算出答案。 详解：13.6÷4＝3（次）……1.6（吨） 3＋1＝4（次） 故答案为：B 5．A 分析：最后无论剩下多少香油，都得需要一个瓶子来盛，香油质量÷一个瓶子盛的质量，结果用进一法保留近似数即可；最后无论剩下多少丝带，只要不够一个礼盒的用量，就无法包装一个礼盒，丝带长度÷每个礼盒需要的长度，结果用去尾法保留近似数即可；最后无论剩下多少钱，只要不够一本词典的钱数，就无法购买一本词典，带的钱数÷词典单价，结果用去尾法保留近似数即可。 详解：A．2.5÷0.4≈7（个） 用进一法，需要准备7个瓶子。 B．25÷1.5≈16（个） 用去尾法，这些红丝带可以包装16个礼盒。 C．100÷18.5≈5（本） 用去尾法，他可以买回5本。 小明的妈妈要将2.5kg香油分装在最多可盛0.4kg玻璃瓶里，需要准备几个瓶子？适合用“进一法”来解决。 故答案为：A 6． ＞ ＝ ＜ 分析：一个数和一个大于1的数相乘，乘积比原来的数大。 3.02×12.6和302×0.126两个算式先按照302×126求出积，再从积的末尾数出三位小数，点上小数点，因此两个算式相等； 一个数除以一个大于1的数（0除外），商比原来的数小。 详解：7.12＞1，则7.6×7.12＞7.6 3.02×12.6＝302×0.126 32＞1，则0.56÷32＜0.56 7．(1) 7.5 11.5 (2) 3.2 12.8 (3) 1.5625 0.390625 分析：（1）3.5－1.5＝2，5.5－3.5＝2，即前一个数加上2，等于后一个数； （2）0.8÷0.4＝2，1.6÷0.8＝2，即前一个数乘2，等于后一个数； （3）100÷25＝4，25÷6.25＝4，即前一个数除以4，等于后一个数；据此解答。 详解：（1）5.5＋2＝7.5 9.5＋2＝11.5 即1.5，3.5，5.5，7.5，9.5，11.5。 （2）1.6×2＝3.2 6.4×2＝12.8 即0.4，0.8，1.6，3.2，6.4，12.8。 （3）6.25÷4＝1.5625 1.5625÷4＝0.390625 即100，25，6.25，1.5625，0.390625。 8． 1111.2222 11111.22222 111111.222222 分析：从算式中观察得知：第二个算式开始每向下延伸一个算式，第一个因数的小数部分就多一个数字3，第二个因数的整数部分就多一个数字3；积则为小数部分和整数部分分别多一个数字2和1，据此填空。 详解：则根据分析的规律： 3×4＝12 3.3×3.4＝11.22 3.33×33.4＝111.222 3.333×333.4＝1111.2222 3.3333×3333.4＝11111.22222 3.33333×33333.4＝111111.222222 9． 1 分析：观察算式可知，除数都是9，被除数是1、2、3⋯，商是循环小数，当被除数是1时，商的循环节就是1；当被除数是2时，商的循环节就是2，则被除数是几，循环节就是几，据此解答即可。 详解：根据分析可知，1÷9＝，2÷9＝，3÷9＝，…那么，8÷9＝，9÷9＝1。 10．18 分析：最后无论剩下多少面粉，只要不够一个生日蛋糕的用量就无法制作一个生日蛋糕，面粉质量÷一个蛋糕需要的面粉质量，结果用去尾法保留近似数即可。 详解：4.6÷0.25≈18（个） 4.6千克面粉最多可以制作18个这样的生日蛋糕。 11． 0.75 2 分析：先用0.5升除以8，求出1个人吃的芒果冰淇淋需要牛油多少升，再乘12，即求出12个人用奶油多少升； 先用250克除以8，求出1个人吃需要糖的重量，再用62.5除以1个人吃需要糖的重量，即可解答。 详解：0.5÷8×12 ＝0.0625×12 ＝0.75（升） 62.5÷（250÷8） ＝62.5÷31.25 ＝2（个） 李芳做了12个人吃的冰淇淋，她用了0.75升奶油；王静做的冰淇淋用了62.5克糖，她做的冰淇淋够2个人吃。 12．√ 分析：数字黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入了一种循环的境况。例如，任意选四个不同的数字，按从大到小的顺序排成一个数，再按从小到大的顺序排成一个数，用大数减去小数，再用所得结果的四位数重复上述过程，最多七步必得6174。 详解：如：选数字：2，3，5，7。 （1）：7532－2357＝5175 （2）：7551－1557＝5994 （3）：9954－4599＝5355 （4）：5553－3555＝1998 （5）：9981－1899＝8082 （6）：8820－288＝8532 （7）：8532－2358＝6174 七次重复，得到6174，所以原题干说法正确； 故答案为：√ 13．√ 分析：由题意可知，用51除以7进行计算，其结果根据实际情况运用“进一法”保留整数即可。 详解：51÷7≈7（条） 7＋1＝8（条） 则至少需要8条船。原说法正确。 故答案为：√ 14．√ 分析：根据除数不变，被除数乘几，商跟着乘几，进行分析。 详解：7÷1×0.0909…＝0.6363…，已知1÷a＝0.0909…，2÷a＝0.1818…，3÷a＝0.2727…，则7÷a＝0.6363…，说法正确。 故答案为：√ 15．× 分析：根据除法的意义，用60除以7计算，其结果根据实际情况运用“去尾法”保留整数即可，据此计算并判断。 详解：60÷7≈8（件） 则60颗扣子最多能钉8件衬衣。原题干说法错误。 故答案为：× 点睛：本题考查小数除法，明确其结果根据实际情况运用“去尾法”保留整数是解题的关键。 16．× 分析：每周有7天，即每7天是一个周期。根据2017年2月有28天，3月有31天，4月有30天，得到相隔的总天数，除以7，根据所得的商、余数得出答案。 详解：2017年2月有28天，3月有31天，4月有30天，总天数为：（天）。，即4月30日是星期三后的第五天，为星期一；故5月1日是星期二。 故答案为：× 点睛：本题主要考查的是有余数的除法及规律应用，解题的关键是找出一周的规律，进而得出答案。 17．44435556；4444355556 分析：观察这组算式，两个数相乘，一个因数由n个9组成，另一个因数由n个4组成，积从最高位起，依次是（n－1）个4，一个3，（n－1）个5，一个6，据此解答。 详解：9×4＝36             99×44＝4356          999×444＝443556 9999×4444＝44435556         99999×44444＝4444355556 18．（1）0.36；0.4356；0.443556；0.44435556；0.4444355556 （2）0.54；0.6534；0.665334；0.66653334；0.6666533334 分析：（1）用计算器先求出前三题的积分别是：0.4×0.9＝0.36、0.44×0.99＝0.4356、0.444×0.999＝0.443556，发现从第二个算式开始 ，据此解答； （2）用计算器先求出前三题的积分别是：0.6×0.9＝0.54、0.66×0.99＝0.6534、0.666×0.999＝0.665334，发现从第二个算式开始 ，据此解答。 详解：（1）0.4×0.9＝0.36 0.44×0.99＝0.4356 0.444×0.999＝0.443556 0.4444×0.9999＝0.44435556 0.44444×0.99999＝0.4444355556 （2）0.6×0.9＝0.54 0.66×0.99＝0.6534 0.666×0.999＝0.665334 0.6666×0.9999＝0.66653334 0.66666×0.99999＝0.6666533334 19．(1) 1.5 10.5 100.5 1000.5 9876.5 1111.65 10000.5 98765.4 11111.64 100000.5 (2) 0.08 1.07 11.06 123.4 0.01 111.05 1234.5 0.01 1111.04 12345.6 0.01 11111.03 分析：0.9×0.9＋0.69＝0.81＋0.69＝1.5 9.8×0.9＋1.68＝8.82＋1.68＝10.5 98.7×0.9＋11.67＝88.83＋11.67＝100.5 987.6×0.9＋111.66＝888.84＋111.66＝1000.5 通过观察，得出规律：第一个乘数依次增加数位，且数字增大，第二个乘数都是0.9，加数整数部分多一个1，小数部分依次减少0.01，得数的整数部分依次多一个0；因此可得： 9876.5×0.9＋1111.65＝10000.5 98765.4×0.9＋11111.64＝100000.5 （2）0.1×0.9－0.01＝0.09－0.01＝0.08 1.2×0.9－0.01＝1.08－0.01＝1.07 12.3×0.9－0.01＝11.07－0.01＝11.06 通过观察，得出规律：第一个乘数依次增加数位，且数字增大，第二个乘数都是0.9，减数都是0.01，得数整数部分依次多一个1，小数部分依次减少0.01，因此可得： 123.4×0.9－0.01＝111.05 1234.5×0.9－0.01＝1111.04 12345.6×0.9－0.01＝11111.03 详解：（1）由分析得： 0.9×0.9＋0.69＝1.5 9.8×0.9＋1.68＝10.5 98.7×0.9＋11.67＝100.5 987.6×0.9＋111.66＝1000.5 9876.5×0.9＋1111.65＝10000.5 98765.4×0.9＋11111.64＝100000.5 （2）由分析得： 0.1×0.9－0.01＝0.08 1.2×0.9－0.01＝1.07 12.3×0.9－0.01＝11.06 123.4×0.9－0.01＝111.05 1234.5×0.9－0.01＝1111.04 12345.6×0.9－0.01＝11111.03 20．30千克 分析：不超过20千克的行李免费，李叔叔从成都乘飞机到北京，机票是560元/张，他购买机票和行李一共付了728元，728＞560，所以李叔叔携带得行李超过了20千克，用李叔叔购买机票和行李一共付的钱数减去机票的价钱，求出行李付的钱数，再用行李付的钱数除以每千克行李的钱数，求出李叔叔携带的行李超过20千克多少千克，再加上免费的20千克即可解答。 详解：（728－560）÷16.8＋20 ＝168÷16.8＋20 ＝10＋20 ＝30（千克） 答：李叔叔携带了30千克行李。 21．27立方米 分析：首先根据总价单价×数量，求出15立方米的水的价格是多少；然后求出立方米的水的价格是多少，再用小红家今年7月份缴的水费减去25立方米的水的价格，求出超过25立方米部分的水的价格，再用它除以超过25立方米部分每立方米的水的价格，求出超过25立方米的部分有多少立方米，再用它加上25，求出小红家这个月用水量是多少立方米即可。 详解：2.4×15＝36（元） 25－15＝10（立方米） 10×3.6＝36（元） 86.4－36－36＝14.4（元） 14.4÷7.2＝2（立方米） 2＋25＝27（立方米） 答：小红家七月份用水量为27立方米。 22．13辆 分析：要求至少要运几次，也就是求55吨里面有几个4.5吨，用除法计算。要注意：根据实际情况具体分析，采用“进一法”求近似值。 详解：55÷4.5＝12（辆）……1（吨） 12＋1＝13（辆） 答：至少需要13辆车可以一次运完。 23．13个 分析：用丝带的总长度除以每个蛋糕盒需要用的丝带长度，求出的商就是这卷丝带最多能捆扎多少个蛋糕盒，结果根据实际情况，用“去尾法”解答。 详解：18÷1.3≈13（个） 答：这卷丝带最多能捆扎13个蛋糕盒。 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$