5.4二次函数与二元一次方程讲义 2024-2025学年苏科版 九年级数学下册

二次函数与一元二次方程 【知识与技能目标】 理解二次函数与一元二次方程之间的关系，并能熟练运用解一元二次方程的方法确定二次函数与x轴的交点。 【过程与方法目标】 学生通过探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题。 【情感态度与价值观目标】 通过教学活动，激发学生的学习兴趣，培养数形结合的意识。 【重点】 理解二次函数与一元二次方程之间的关系。 【难点】 熟练运用解一元二次方程的方法确定二次函数与x轴的交点。 教 学 过 程 知识梳理 知识点一、二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 知识点二、抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． （1） 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； （2） 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； （3） 当方程组无解时两函数图象没有交点． 注意：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题 知识点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次 方程的两个根．由根与系数的关系得，，． ∴ = 即 （△＞0） 知识点四、抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 典例精讲 例1、对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点 【变式1-1】已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是（1，3） C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点 【变式1-2】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，此二次函数与x轴的另一个交点是（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（6，0） 例2、已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点． （1）求m的取值范围； （2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴两个交点的坐标． 【变式2-1】已知二次函数 ．求证：不论 为何实数，此二次函数的图像与 轴都有两个不同交点． 例3、如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为 ， ，则方程 的解是　 　. 【变式3-1】如图,将二次函数(其中)的图象在轴下方的部分沿轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为,另有一次函数的图象记为,若与恰有两个交点时,则的范围是　 　. 例4、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为　 　． 【变式4-1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为　 　． 例5、如表是二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的一组对应值，那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 A．x＝1 B．x＝1.1 C．x＝1.2 D．x＝1.3 【变式5-1】如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣5中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣5＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 … A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6 例6、图示为抛物线y＝ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x＝2，若其与x轴的一交点为B（6，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　） A．x＞6 B．0＜x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6 例7、如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围； （3）求△ABC的面积． 课堂检测 1、二次函数y＝x2+mx+m﹣1（m为常数）的图象与x轴的交点个数为（　　） A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．无交点 2、函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0 3、抛物线 与 轴交点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 4、已知在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x+2k﹣2的图象与x轴有两个交点． （1）求k的取值范围； （2）当k取正整数时，请你写出二次函数y=x2+2x+2k﹣2的表达式，并求出此二次函数图象与x轴的两个交点坐标． 5、已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为 　 　． 6、下表列出了函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y 1 2 1 ﹣2 ﹣7 A．1与2之间 B．﹣2与﹣1之间 C．﹣1与0之间 D．0与1之间 7.如图所示，抛物线y1＝ax2+bx+c的顶点坐标（1，4），与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB的解析式为y2＝kx+b． （1）求抛物线y1的解析式； （2）当y1＝﹣5时，求自变量x的值为 　 　； （3）当0＜x＜3时，y1的取值范围是 　 ； （4）当ax2+bx+c＜kx+b时，x的取值范围是 　 　； 8、如图二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D． （1）求二次函数的解析式； （2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围； （3）若直线BD与y轴的交点为E点，连结AD，AE，求△ADE的面积． 课后练习 1、抛物线y＝kx 2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A．k>－ B．k≥－ 且k≠0 C．k≥－ D．k>－ 且k≠0 2、抛物线y＝2x2+4x+7与坐标轴的交点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3、已知二次函数y＝x2﹣5x﹣m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x3＝﹣1，x4＝4 4、如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝9，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝9 D．x1＝1，x2＝﹣3 5、如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（　　） A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3 6、已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若有一直线l：y＝mx+n经过点A、C，直接写出不等式ax2+bx+c≥mx+n的解集； （3）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，请直接写出P点的坐标． 7、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点A坐标为（1，﹣1），与直线相交于O、B两点，点O是原点． （1）求二次函数的解析式． （2）求点B的坐标． （3）直接写出不等式的解． 责任 专业 奉献 润泽1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$